Formelsammlung Theoretische Physik II: Quantenmechanik

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1 Formelsammlung Theoretische Physik II: Quantenmechanik Stan: Version:.. Erhältlich unter Diese Formelsammlung basiert auf er Vorlesung Theoretische Physik II: Quantenmechanik von Prof. Karlheinz Langanke an er Technischen Universität Darmstat im Sommersemester 6. Die folgene Formelsammlung steht zum kostenlosen Downloa zur Verfügung. Das Urheberrecht un sonstige Rechte an em Text verbleiben beim Verfasser, er keine Gewähr für ie Richtigkeit un Vollstänigkeit er Inhalte übernehmen kann. Inhaltsverzeichnis Wellenfunktion. Schröinger Gleichung statistische Interpretation Wahrscheinlichkeit Diskrete Verteilung Wahrscheinlichkeitsichten....4 Normierung Impuls Zeitunabhängige Schröinger Gl. 3. Stationäre Zustäne Statistische Interpretation Zustan efinierter Energie E Allgemeine Lösung Stetigkeit Besonere Eigenschaften Kastenpotential mit unenlich hohen Wänen Harmonische Oszillatoren Potential Algebraische Lösung Analytische Lösung Das freie Teilchen Delta Gebunene Zustäne freier Zustan Enlicher Potentialtopf Gebunener Zustan Streulösung Formalisierung er Quantenmechanik 6 3. Funktionenräume Hilbertraum Verallgemeinerte statistische Interpretation Vorgehen Projektor / Basiswechsel iskretes Spektrum kontinuierliches Spektrum Heisenberg s Unschärfe Energie-Zeit Unschärfe Zeitverhalten von Observablen. 8 4 QM in 3 Dimensionen 8 4. Verallgemeinerungen Harmonische Oszillator in Drehimpuls Bahnrehimpuls Spin Spin beim Elektron Raiale Schröingergleichung kugelsymmetrisches Potential 4.4 Wasserstoff Atom Ientische Teilchen 5. System unabhängiger Teilchen Zeitunabhängige Störungstheorie 6. Nicht-entarteter Fall Entartete Störungstheorie

2 WELLENFUNKTION 7 Variationsverfahren 7. Obere Schranke Spin / Drehimpuls Kopplung Zeitabhängige Störungstheorie 3 Wellenfunktion. Schröinger Gleichung ψ x, t i = ψ x, t t m x + V ψ x, t = h π =, Js = 658 MeV s e Broglie p = π λ Ist linear in ψ. D.h. wenn ψ, ψ Lsg., ann auch c ψ + c ψ für feste c, c.. statistische Interpretation ψ x, t x = { Wahrscheinlichkeit ein Teilchen im Intervall [x, x + x] zu finen Durch Messung Kollabiert ie Wellenfunktion zu einem Peak am gemessenen Wert.3 Wahrscheinlichkeit.3. Diskrete Verteilung von Ereignissen N j mit j un N j für alle j. totale Anzahl von Ereignissen N = j= N j Wahrscheinlichkeitsverteilung P j = Nj N j= P j = Wahrscheinlichstes Ereigniss max {P j} mittleres Ereigniss N me j= P j = j=n me P j Mittelwert / Erwartungswert f j = j= f j P j j = j = N Varianz σ = j j j = j j σ = j j σ j j σ =Stanarabweichung j= j N j = j= j P j.3. Wahrscheinlichkeitsichten x kontinuierlich Wahrscheinlichkeitsichte x Wahrscheinlichkeit, aß ein Ereigniss zufällig zwischen x un x + x liegt ist x x. Wahrscheinlichkeit für ein Ereigniss im Intervall [a, b] P ab = b a x x Wahrscheinlichkeitsverteilung x x = Mittelwert f x = f x x x x = x x x Varianz σ = x x.4 Normierung Normierungsbeingung Falls sich ψ statistisch interpretieren lassen soll, muss gelten ψ x, t x = Falls ψ Lösung er Schwingungsgleichung, ann ist auch Aψ Lösung A =Konstante. Falls ψ Lösung, aber ψ x ist nicht enlich, ann beschreibt ψ keinen quantenmechanischen Zustan. Falls ψ = auch nicht normierbar / keine Beschreibung eines qm Teilchens Multiplikation von ψ mit A = e iα mit α R änert nichts an er Wahrscheinlichkeitsverteilung ψ x, t x = t t ψ x, t = i.5 Impuls m t ψ ψ x ψ x ψ v t t x t = ψ im x Impuls p i x t = x ψ x ψ x ψ x Messgröße klassisch Ap, x Messgröße q.m. A i x, x

3 . Stationäre Zustäne 3 es kommt entscheient arauf an, an welcher stelle er Operator in Ausrücken steht m t x = p Kinetische Energie T = p x m = m x Heisenbergsche Unschärferelation σ x σ px Zeitunabhängige Schröinger Gl.. Stationäre Zustäne Potential V x ist Zeitunabhängig Schröinger Gleichung lässt sich schreiben als i t ψ x, t = m x + V x ψ x, t Seperationsansatz Löse für E R > ψ x, t = ϕx f t i f t = Ef t t m x + V x ϕ E x = Eϕ E x ie zweite Gleichung heißt Zeitunabhängige Schröingergleichung Lösung ψ x, t = φ E x e i Et Falls sich as System in einem stationären Zustan mit er Energie E befinet: i tψ x, t = Eψ x, t.. Statistische Interpretation ψ Normierbar ϕ E Normierbar Jeer Erwartungswert einer ynamischen Variable Operator A x, i x hängt nicht von t ab. in einem Eigenzustan x = const, t x = = m p.. Zustan efinierter Energie E Analog zur klassischen Hamilton Funktion q.m. Hamilton Operator Ĥ = m x + V x Zeitunabhängige Schröinger Gleichung lässt sich schreiben als Ĥϕx = Eϕx was einer Eigenwertgleichung entspricht H = E H = E σ = Grunzustan x ist er Zustan in em ϕx keine Nullstellen außer evtl. am Ran bestitzt ies ist auch er Zustan mit er geringsten Energie Angeregte Zustäne haben n =,,... Knoten gebunener Zustan erhält man, falls gilt E < lim x ± V x Dies beeutet, ass as Teilchen nicht in ie Unenlichkeit verschwinen kann, sonern an eine Ortsumgebung gebunen ist..3 Allgemeine Lösung Da ie Schröinger Gleichung linear ist, ergibt sich ie allgemeine Lösung als Superponierung über alle Eigenlösugnen ψ x, t = i..4 Stetigkeit ϕ E ist überall stetig ϕe x c i ϕ Ei x e i Eit ist überall stetig, wo as Potential nicht unenlich wir. Es gilt ϕe = m x lim ǫ x+ǫ x ǫ..5 Besonere Eigenschaften V x ϕ E x x Symmetrie Ist V x = V x ist zu gegebenen ϕx auch ϕ x eine Lösung er zeitunabhängigen Schröingergleichung zur gleichen Energie. Falls es je Energie nur eine Lösung gibt, muss ies Folglich eine gerae oer eine ungerae Funktion sein. Merkregel für Bereich mit Konstanten Potential V gilt bei E < V ist ϕx = Ae kx + Be kx κ = mv E bei E > V ist ϕx = Asin ωx + B cosωx ω = me V

4 4 ZEITUNABHÄNGIGE SCHRÖDINGER GL.. Kastenpotential mit unenlich hohen Wänen { x a V x = sonst ψ muss stetig in x sein! Lösung im Intervall [, a] ist E n = π ϕ n x = ma n a sin n π a x außerhalb es Intervalls ist ϕ n x =. mit n Die ϕ i bilen ein Orthonormalsystem, un sogar eine Basis ϕ i ϕ j = δ ij ie Fourier Basis Falls f x = i c iϕ i x gilt c i = ϕ i x f x x Mittelwert von x ist Genau in er Mitte es Potentials, im Symmetriepunkt x = a ψ x, t = i c iϕ i xe i Eit i c i = falls ie ϕ i eine Orthonormalbasis bilen H = i c i E i.h. ie c i sin ie Warscheinlichkeiten als Energie E i zu messen.3 Harmonische Oszillatoren In er Umgebung eines lokalen Extremums lässt sich jee Funktion Näherungsweise als Parabel auffassen. Harmonische Oszillatoren in klassischer Mechanik.3. Potential hat Lösung V x = kx V x = mω x Ψ x, t = ϕxe i Et Lösungsansatz [ ] + mωx ϕx = Eϕx m i x.3. Algebraische Lösung Definiere a + := a := Operatorientitäten m i m i x + imωx x imωx a a + = m x + mω x + ω a + a = m x + mω x ω Hamilton Operator Impuls Ort Ĥ = a a + ω p = m a + + a x = i mω a a + Kommutator [A, B] = AB BA [AB, C] = A[B, C] + [A, C] B [x, p] = i [a, a + ] = ω Lösungen falls ϕ Lösung er Schröinger Gleichung für Energie E, ann ist a + ϕ Lösung für ie Energie E + ω un a ϕ Lösung für ie Energie E ω. Normierung falls ϕ x = gilt Lösungen ϕ n x Iterative Lösung a ϕ x = E ω E n = = A n a + n e mω x n + ω a ϕ n = i nωϕ n a + ϕ n = i n + ωϕ n+ ie Phase von ±i ist eigentlich irrelevant, ist aber so in er Konvention a + a ϕ n = nωϕ n a a + ϕ n = n + ωϕ n n x m = mω mδ n,m + nδ m,n Viralsatz besagt nur beim harmonischen Oszillator E = T = V

5 .5 Delta Analytische Lösung Geschwinigkeit er Welle ist Lösung ϕ n ξ = ξ x = E n = mω 4 π n n! H n ξe ξ mω x n + ω Phasengeschwinigkeit v p = ω k = k m Gruppengeschwinigkeit v g = ω k k=k = k m.5 Delta Dirac Delta δ x Definition siehe mein Skript für ie theoretische Physik Hermite Polynome a j+ = a n = n H x = H x = x H x = 4x n H n x = a j x n j+n j+j+ a j j= = n e x n x n e x = xh n x nh n x Es kommen je nachem ob n gerae oer ungerae ist nur gerae oer ungerae Potenzen in H n x vor. Bilen ein Orthogonalsystem H n x H m x e x x = n! πδnm Lösen ie DGL mit n N y xy + ny =.4 Das freie Teilchen Potential V x = Lösung mit k = me Ψ x, t = π k φk e i kx k m t Bestimmung von φk urch Fouriertransformation er Anfangsbeingung Ψ x, = φk = π π k φk e ikx xψx, e ikx Vorraussetzung ist, as ie folgenen Integrale existieren x Ψ x, < k φx < Potential V x = αδ x Entspricht Einem unenlich hohen Spike im Potential am Punkt x =.5. Gebunene Zustäne Beingung E <, α > Lösung ϕx = E.5. freier Zustan mα = mα e mα x Beschreibung Es wir angenommen, as hier Teilchen von in ie Anornung kommen un urch as Potential gestreut weren. Die Lösung in er Vorlesung hat einiges an Beweisen ausgespart, un ist nur Oberflächlich korrekt. Es würe aber ein Korrekter Beweis as gleiche Liefern Reflexionskoeffizient R = β β = + E mα β = mα k k = me Wahrscheinlichkeit, as ein Teilchen reflektiert wir man hat Reflexion, obwohl er Spike weit unter em Potential liegt Transmissionskoeffizient T = +β = + mα E Wahrscheinlichkeit, as ein Teilchen passieren kann R + T = Unabhängig vom Vorzeichen von α bzw. er Richtung es Potential-Spikes ±. Das heißt, as ein Teilchen urch eine Barriere Durchtunneln kann

6 6 3 FORMALISIERUNG DER QUANTENMECHANIK.6 Enlicher Potentialtopf Potential V x = V > { V a x a sonst.6. Gebunener Zustan κ = me.6. Streulösung Transmissionskoeffizient T mit a T = + sin V m E + V 4E E + V Bei bestimmten Energieen a m E + V = nπ erhält man vollstänige Transmission l = mv+e R Reflexionskoeffizient R = T gerae Lösungen Fe κx ϕx = D coslx ϕ a x > a x a sonst 3 Formalisierung er Quantenmechanik 3. Funktionenräume Fe κa = D cosla κ = l tan la κa + la = mv a Es gibt immer minestens eine gerae Lösung! Anzahl er Lösungen ist größtes n as ie Gleichung n π a mv erfüllt Im Grenzfall mv a ergibt sich la = π, 3 π,..., n + π,... ungerae Lösungen Fe κx x > a ϕx = D sinlx x a ϕ a sonst Fe κa = D sinla κ = l cotla κa + la = mv a Anzahl er Lösungen ist größtes n as ie Gleichung n + π a mv erfüllt Im Grenzfall mv a ergibt sich la = π, π,..., nπ,... Insgesamt haben wir im Grenzfall en Unenlichen Potentialtopf um V nach unten verschoben. Vektoren α entspricht einer Funktionen α x. Diese Funktionen bilen einen C Vektorraum. Lineare Abbilungen Sin lineare Operatoren ˆX. Diese sin im enlichimensionalen mit Matrizen vergleichbar Bsp: ˆ x in Polynomen vom Gra N, ˆx im formaten Potenzreihen Eigenfunktion ˆT α = λ α α heißt Eigenfunktion zum Eigenwert λ von ˆT Skalarproukt α β = α xβ xx Die Grenzen müssen Passen zu Problem efiniert weren Funktionen müssen Quaratintegrable sein α β < hermitesche Operatoren alle α, β ˆ i x ist hermitesch, falls α ˆTβ = ˆTα β für α a = α b für alle α a, b sin Integrationsgrenzen oer bei quarat-integrable Funktionen in [, ] Eigenschaften einer hermiteschen Operation ˆT = ˆT Alle Eigenwerte sin reel Eigenvektoren zu unterschielichen Eigenwerten sin orthogonal

7 3. Funktionenräume 7 Für enlich imensionale Vektorräume spannen ie Eigenvektoren en ganzen Raum auf ˆT = i c i λ i Erwartungswert er Messung Eigenwerte von ˆT =Mögliche Messwerte jeweils mit Wahrscheinlichkeit Eigenvektor i ψ 3.. Hilbertraum In er QM sin wir an Fkt. interressiert, ie quaratintegrabel sin Ψ x Ψ x x < Der Raum er von solchen Funktionen aufgespannt wir, wir mit L, bezeichnet. Ein Vektorraum H mit einem inneren Prouckt, heißt Hilbertraum, falls alle Konvergenten Reihen in H gegen einen Vektor in H konvergieren Vollstänig. 3.. Verallgemeinerte statistische Interpretation. Ein Teilchen wir repräsentiert urch eine Wellenfunktion Ψ x, t. Ψ x, t x ist ie Warscheinlichkeit, as Teilchen im Intervall [x, x + x] zur Zeit t zu finen 3. Die Normierung muss erfüllt sein: Ψ x, t x Dann haben wir Ψ x, t L, mit em inneren Proukt α β = α β x. Wir Ientifizieren ein Teilchen mit einem Vektor in L un bezeichnen es als Ψ. Die Normierung forert Ψ Ψ =. Meßgrößen sin hermitesche Operatoren ˆQ. Der Erwartungswert von ˆQ ist ˆQ = Ψ ˆQΨ 3. Messungen von Observablen liefern ie Eigenwerte reellen von ˆQ un zwingen as System einen Eigenzustan anzunehmen 4. Die Varianz er Messung ist σ ˆQ = ˆQ ˆQ = genau ann, wenn sich as System in einem Eigenzustan von ˆQ befinet Vorgehen. ˆQ ψλ = λ ψ λ bestimmen es Eigenspektrum Menge er Eigenwerte mit en zugehörigen Eigenvektoren. Bilen einer Orthonormalbasis aus en ψ λ 3. Ein belibiger Zustan ist aus aus Basis linear kombinierbar ψ = λ a λ ψ λ, a λ ist ie Wahrscheinlichkeit λ bei einer Messung von ˆQ in ψ zu finen Projektor / Basiswechsel Einsoperator = n e n e n Falls { e n } eine Vollstänige, orthonormierte Basis bilen Projektor ist ein Operator, für en gilt P β = P β Eigenwerte, Zerlegung ˆQ = n λ n e n e n Jeer hermitesche Operator lässt sich auf Diagonalgestalt bringen 3..5 iskretes Spektrum Vollstänigkeit ψ = n c n e n e k ψ = c k Wahrscheinlichkeit ass λ n Auftritt c n = e n ψ 3..6 kontinuierliches Spektrum Eigenzustäne e x = δ x x Ψ = k c k e k Eigenwertgleichung ˆQ e n = λ n e n mit n kontinuierlich un λ n Othogonale Basis e n e k = δ n k x ψ = ψ x = ψ x p ψ = ψ p = ψ p Vollstänigkeit = k e k e k Wahrscheinlichkeitsichte c k k = e k ψ k

8 8 4 QM IN 3 DIMENSIONEN Fourier Transformation amit gilt Ψ p x x p = π e i px Ψ x p p x = x p Ψ x = = Ψ p = = π e i px π p Ψ p xψp π p e i px Ψ p xe i px Ψ x Mittelwerte von Kontinuierlichen Spektren Q x, p, t = { R Ψ ˆQx, i x,tψx R Ψ ˆQ i p,p,tψp 3..7 Heisenberg s Unschärfe σ  σˆb [Â, ˆB] i im Ortsraum im Impulsraum Mit  = ˆx un ˆB = ˆp folgt ie Heisenbergsche Unschärfe Falls ie ] beien Observablen  un ˆB vertauschen [Â, ˆB = un Hermitesch sin, gibt es eine Basis in er  un ˆB gleichzeitig iagonal weren scharf gemessen weren können. Wenn [Â, ˆB] ann existiert keine Basis in er  un ˆB gleichzeitig iagonal weren Bei einer Transformation S ie H invariant läßt S HS = H entspr. [H, S] =. Ist n ist Eigenzustan von H mit Eigenwert E n, ann ist auch S n Eigenzustan von H mit gleichen Eigenwert E n. entweer n un S n sin ie gleichen Zustäne oer as Spektrum von H ist entartet Zeitverhalten von Observablen ˆQ = i ] [Ĥ, ˆQ + ˆQ t t 4 QM in 3 Dimensionen 4. Verallgemeinerungen Kinetische Energie T = p m = m p x + p y + z p klassisch qm: q i i Schröinger Gleichung x i Ψ r i = HΨ r = +V r Ψ r t m Statistische Interpretation Ψ r r = Für zeitunabhängige Potentiale vereinfacht sich ies zu Ψ r = ϕ n r e i Ent +V r ϕ n r = E n ϕ n r m ϕ n r r = Kommutatoren zwischen Ort un Impuls [r i, p i ] = iδ ij [r i, r j ] = [p i, p j ] = Ehrenfest Theorem t r = m p t p = V 3..8 Energie-Zeit Unschärfe 4.. Harmonische Oszillator in 3 t E ϕ n r = ϕ nx x ϕ ny y ϕ nz z nicht vom gleichen Typ wie x, p Unschärfe, weil t keine Observable ist. Entartete Zustäne liegen vor, wenn es zu einem Energiewert mehrere Eigenzustäne existieren.

9 4. Drehimpuls 9 4. Drehimpuls Transformation p m m = m r r r r + L mr in Kugelkoorinaten Kommutator [L i, L j ] = iε ijk L k mit i, j, k {x, y, z} [L i, r j ] = ε ijk ir k [L i, p j ] = ε ijk ip k ] [Ĥ, Li = falls V nur von r abhängt Bilen eine SU Algebra Li Algebra Betrag L = L x + L y + L z [ L, L i ] = Dies ist er einzige Operator er mit L i vertauscht gleichzeitig Diagonalisierbar sin also L un eine Komponente von L Konvention: ies sin L, L z ±Operatoren L + = L L = L + L + = L x + il y L = L x il y L +, L sin nicht hermitesch [ L, L ± ] = [L z, L + ] = L + [L z, L ] = L L l, m = l l + l, m L z l, m = m l, m L + l, m = l l + m m + l, m + L l, m = l l + m m l, m L x = L + + L L y = i L + L Eigenwerte Falls f Eigenfunktion von L mit Eigenwert λ = l l + un zu L z mit Eigenwert µ = m ann ist auch L ± f Eigenfunktion von L un L z zu Eigenwerten λ, µ ±. λ µ für festes λ gibt es Maximum un Minimum für µ λ = µ max + µ max = µ min µ min l m l in ganzzahligen Schritten. l N also l halbzahlig zu jeem l gibt es l + verschieene Werte von m 4.. Bahnrehimpuls entspricht r p L = i r L l, m = l l + l, m m muss ganzzahlig sein l auch l, m = Y l,m ϑ, ϕ Y l,m ϑ, ϕ = l+ l m! 4π l+m! P l m cosϑ e i m ϕ Pl m x = m l l! x m l+m P x l+m l x P l x = 4.. Spin l l l! x x l l Ist ein innerer Freiheitsgera von Elementarteilchen. Er entspricht ebenfalls einem Drehimpuls. S entspricht em L beim Bahnrehimpuls s entspricht em l beim Bahnrehimpuls Alle vom Bahnrehimpuls bekannten Beziehungen gelten analog auch für en Spin s ist für eine Teilchenart fest s = für: Elektronen, Proton, Neutron,... Fermionen, a s halbzahlig s =ganzzahlig für Bosonen 4..3 Spin beim Elektron Elektron Spin s = Eigenzustäne χ + = sm =, χ = sm =, Spin up: χ + Spin own: χ

10 4 QM IN 3 DIMENSIONEN Operatoren in Basis aus Eigenzustänen Ŝ = 3 4 Ŝ i = σ i = = Ŝ + Ŝ Eigenwerte von Ŝi = ± Pauli Matrizen sin et σ i = traceσ i = λ / = ± σ x = σ y = σ z = Eigenvektoren für σ x χ x + = χ z + + χ z χ x = χ z + χ z σi = = E Zustan χ = a b i i = aχ z + + bχ z = a + b χ x + + a b χ x 4.3 Raiale Schröingergleichung u l r l l + m r + V r + mr E u l r = u l = a Ψ r sonst in singulär wir totale Lösung Ψ r = u lr r Y l,m ϑ, ϕ für festes m, l verschieene Eigenwerte ie mit n urchnummeriert sin Normierung u l r r = Ψ r r = 4.3. kugelsymmetrisches Potential { r < a V r = r a β n,l = ka = nπ E n,l = ma β n,l u r = A r j l k r sphärische Bessel Funktion j l x = x l x x l sinx x sphärische von Neumann Funktion u l x = x l x x l cosx x 4.4 Wasserstoff Atom Annahmen zur vereinfachten Rechnung Masse Proton Schwerpunkt im Proton Potential V r = e 4πε r Eigenwertgleichung u = E < κ = me = κr = r an = me πε κ u = l+ e v v = j= a j j a j+ = l+j+ j+j+l+ a j a jmax+ = n = j max + l + [ ] m e E = 4πε E = E n E = m e n 4πε = 3, 59 ev ll+ + u κ = a n a = 4πε me =, 59 m Bohr Raius v = L l+ n l L p q p x = p x p Lq x L q x = e x x q e x x q Laquerre Polynome l n Die Parität ob es eine gerae oer ungerae Funktion ist er Funktionen ist l Die Entartung es Zustanes mit Energie E = E n ist n E γ = h c λ = E i E f = R n f n i R =, 97 7 m Ryberg-Konstante

11 5 Ientische Teilchen In er QM sin ientische Teilchen ununterscheibar Austauschoperator Pϕ r, r = ϕ r, r lässt sich auch Erweitern auf eine Wellenfunktion von mehr als Teilchen Eigenwerte ± Eigenfunktionen ±ϕ r, r = ϕ r, r H un P sin simultan iagonalisierbar Pauli Prinzip a Determinante für zwei gleiche Zustäne mit = reagiert sin solche zustäne nicht mehr normierbar un amit Verboten ieses ϕ ist antisymmetrisch unterscheibare Bosonen gleiche formel wie bei Fermionen, blos as alle Terme er Determinante positiv abgeänert weren. ieses ϕ ist symmetrisch Die Grunzustansenergie eines Bosonen Systems ist immer kleinergleich er eines Fermionensystems E B E F Symmetrische Wellenfunktionen ϕ r, r = ϕ r, r System aus zwei Teilchen. gesucht ist bei einem System mit x x ient. Teilchen, ie gegen Vertauschung symmetrisch sin, heißen Bosonen ies sin genau ie Teilchen mit ganzzahligen Spin Wechselwirkungsteilchen: Photonenm, W,Z Boson, Gluonen Antisymmetrische Wellenfunktion Fermionen ϕ r, r = ϕ r, r ies sin genau ie Teilchen mit halbzahligen Spin Bausteine er Natur Neutrinos, Elektronen, Protonen, Neutronen, Quarks 5. System unabhängiger Teilchen Potential läss sich hier schreiben als V r,...,r n = n V i r i i= Lösung er Schröingergleichung über Trennung er Variablen ϕx, x = ϕ a x ϕ b x unterscheibare Teilchen x x = x a + x b x a x b ientische Bosonen x x =x a +x b x a x b x ab x ab = xϕ a x x ϕ b x Bosonen rücken urch Wechselwirkungstherm also näher zusammen spielt nur bei sehr nahe Benachbarten Teilchen eine Rolle ientische Fermionen x x =x a +x b x a x b + x ab Fermionen entfernen sich also urch Wechselwirkungstherm spielt nur bei sehr nahe Benachbarten Teilchen eine Rolle 6 Zeitunabhängige Störungstheorie 6. Nicht-entarteter Fall H = H + H unterscheibare Teilchen ϕr,..., r n = n ϕ i r i i= ununterscheibare Fermionen ϕr,..., r n = n! et {ϕ i r j } i =,..., n j =,...,n mit. H ϕ n = E n ϕ n bekannt. ϕ n ϕ m = δnm 3. H H kleine Störung Energieskala von H ist klein gegenüber E n E m

12 7 VARIATIONSVERFAHREN Entwickeln mit λ [, ] Entwicklungsparameter H λh H + λh ϕ n = E n ϕ n ϕ n = ϕ n + λϕ n + λ ϕ n +... E n = E n + λe n + λ E n +... Einsetzen in Schröingergleichung un sortieren nach Koeffizienten ergibt folgenes Gleichungssystem H ϕ n = E n ϕ n H ϕ n + H ϕ n = E nϕ n + E nϕ n H ϕ n + H ϕ n = En ϕ n + E n ϕ n + E n ϕ n.. Löse as Eigenwertproblem mit Ŵ α i = E α i Ŵ = ϕ i H ϕ j i,j Sei α = α i Eigenvektor zum Eigenwert Ẽ ϕ = n α i ϕ α i i= ist Eigenfunktion von H +H zur Energie E +Ẽ 7 Variationsverfahren 7. Obere Schranke Falls man nur an E n interessiert ist, un anach ie Entwicklung abbricht erhält man Gegeben Hϕ n = Eϕ n Störungstheorie.ter Ornung En = ϕ n H ϕ n Nähern ϕ n urch normierte parameterisierte Wellenfunktion φ[a i ] mit a i als Parameter Entwickele φ in er ϕ n Basis E n E n + E n φ[a i ] = k c k ϕ k ϕ n ϕ n Störungstheorie.ter Ornung En = ϕ n H ϕ n = ϕ n H ϕm E m n n Em ϕ m H ϕn Erwartungswert er Energie ist Es gilt E [φ] E = E [φ] = φ H φ φ φ k c k E k E k c k ϕ n = m n E n E m ϕ m ies ist genau ann =, wenn φ = ϕ ist. E n E n + E n + E n wir haben also eine obere Schranke für ie Energie. ϕ n ϕ n + ϕ n Allgemein: Für Störungstheorie n-ter Ornung in er Energie benötigt man Störungstheorie n -ter Ornung in en Eigenfunktionen 6. Entartete Störungstheorie gegeben ϕ = n α i ϕ α i i= ist Eigenfunktion für alle α i zu Eigenwert E H ϕ = E ϕ Es gelte as ie ϕ αi orthonormal sin ϕ αi ϕ αι = δ αiα j 7. Spin / Drehimpuls Kopplung Kopplung von beliebigen Drehimpulsen j, j J = J + J ist wieer ein Drehimpuls. Es gilt mit un wie gehabt J jm J z jm = j j + jm = m j jm j = j + j, j + j,..., j j j m j j Aition von n Spins in gleicher Richtung immer symmetrisch gegen inex Vertauschung Aition von gleichen entgegengesetzten Spins antisymmetrisch gegen inex Vertauschung

13 8 Zeitabhängige Störungstheorie 3 ein betrachten ein Zustanssy- wir betrachten stem mit H ψ a = E a ψ a H ψ b = E b ψ b mit othonormalen zeitunabhängigen ψ a, ψ b. Ein beliebiger Zustan ist also gegeben urch Ψ t = c a ψ a e i Eat + c b ψ b e i E bt mit zeitunabhängigen c a, c b für ie gilt c a + c b = Schalten zeiabhängige Störung ein H = H + H t Annahme ψ a, ψ b spannen en Hilbert-Raum von H auf. Das beeutet as ie Wirkung von H c a, c b zeitabhängig macht. Lösen es Gleichungssystems c a = i ca th aa t + c b th ab te iωt c b = i cb th bb t + c a th ba te +iωt mit er Bohrfrequenz un ω = E b E a ψ i H t ψ j = H ij t Es gilt H ij = H ji Lösen urch Iteration Picar Linelöf liefert kann bei er Ranbeingung bei Annahme H aa = H bb = c a t = c b t = zu en folgenen ersten Iterationsglieern c c a t = c b t = i a t = c b t = i t t t H ba te iωt t t H ab t e iωt H ba teiωt t H ba t e iωt t t

14 Inex Angeregte Zustäne, 3 Antisymmetrische Wellenfunktion, Austauschoperator, Bahnrehimpuls, 9 Basiswechsel, 7 Bosonen, 9, Broglie, e, e Broglie, iskretes-spektrum, 7 Drehimpuls, 9 Ehrenfest Theorem, 8 Eigenfunktion, 6 Einsoperator, 7 Ereigniss, Erwartungswert, Fermionen, 9, Fourier Basis, 4 Fourier-Transformation, 8 freie Teilchen, 5 Funktionenräume, 6 gebunener Zustan, 3 Grunzustan, 3 sphärische Bessel Funktion, sphärische von Neumann Funktion, Spin, 9 Spin Kopplung, Störungstheorie,, Stanarabweichung, Symmetrische Wellenfunktion, Transmissionskoeffizient, 5 Unschärfe, 8 Unschärferelation, 3 Varianz, Variationsverfahren, Verteilung, Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeitsichte, Wahrscheinlichkeitsichten, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Wasserstoff Atom, Wellenfunktion, Zeitunabhängige Schröingergleichung, 3 Hermite Polynome, 5 hermitesche Operatoren, 6 Hilbertraum, 7 Ientische Teilchen, Impuls, Kastenpotential, 4 Kinetische Energie, 3 Kollabiert, kontinuierlich, kontinuierliches Spektrum, 7 Laquerre Polynome, Mittelwert, Normierung, Normierungsbeingung, Operatoren, 6 Orthonormalsystem, 4 Pauli Matrizen, Pauli Prinzip, Potentialtopf, 6 Projektor, 7 Reflexionskoeffizient, 5 Ryberg-Konstante, Schröinger Gleichung, Skalarproukt, 6 4