2m x + U(x) ψ(x) = Eψ(x),

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1 4. Woche 4.1 Beispiel der Lösung der Schrödinger-Gleichung: Das Rechteckpotential. Die stationäre Schrödinger-Gl. ist ) ( 2 2 2m x + U(x) ψ(x) = Eψ(x), 2 mit Parametern: Längenskala L, Energieskala U 0. Dimensionslose Länge ξ = x/l, dimensionslose Energie ǫ = E/U 0, v = U(x)/U 0. ( 2 2 2mL 2 U 0 ξ + U(ξ) ) ψ(ξ) = E ψ(ξ), 2 U 0 U 0 Der dimensionslose Parameter B 2 = 2mL 2 U 0 /π 2 2 (d.h. B = (L/h) 2mU) wird der Born sche Parameter genannt. Die SGl. lässt sich daher in der folgenden Form schreiben: ψ + π 2 B 2 [ǫ v(ξ)]ψ = 0. (1) Der Potentialtopf v(ξ) hat eine Breite 1 und Tiefe 1, d.h. das Potential v nimmt nur 2 Werte an: entweder v 1 = 0, oder v 2 = 1. Die Gl.(1) ist eine Sturm-Liouville-Gl. Wir suchen ihre kontinuierlichen, differenzierbaren Ls gen in (, ). In unserem Fall ist sie eine Gl. mit stückweise-konstanten Parametern. Allg. Ls gen: 1

2 ǫ > v i : ψ(x) = Ae ikξ + Ce ikξ mit k = πb ǫ v i (andere Form: A sin kξ + C coskξ, oszillierende Lösung) ǫ < v i : ψ(x) = Ae kξ + C kξ mit k = πb v i ǫ. Die Gesamtlösung wird aus 3 Teile (links von der Mulde, in der Mulde, rechts von der Mulde) zusammengestellt, mit Hilfe den Kontinuitätsbedingungen für ψ und ψ Gebundene Zustände. Betrachten wir zunächst die Energie U 0 < E < 0 (den Fall 0 < E werden wir später betrachten; man kann auch zeigen (gleiche Methode wie hier!), dass es keine Zustände gibt mit E < U 0 ). In diesem Fall für ξ < 1/2 (und für ξ > 1/2) hat man ǫ < v und für 1/2 < ξ < 1/2 hat man ǫ > v. Teillösungen: Für ξ hat man ψ(ξ) 0 (sonnst ist ψ nicht integrabel). Daher ist die einzige Lsg. links von der Mulde ψ(ξ) = a exp(k 1 ξ) = a exp(πb ǫ ξ) (ξ < 1/2) und für ξ hat man gleichermaßen ψ(ξ) = d exp(k 1 ξ) = d exp( πb ǫ ξ) (x > 1/2). In der Mulde gilt ψ(ξ) = b sin πb (1 ǫ ) ξ + c cos πb (1 ǫ ) ξ = b }{{}}{{} 1 sin(k 2 ξ + φ). k 2 k 2 Das Zusammennähen : die Fkt. und ihre Ableitung sind am Orten 1/2 und 1/2 stetig. Die Kontinuitätsbedingungen für die Funktion und für ihre Ableitung. Trick: da ψ und ψ stetig sind, und da an ξ = ±1/2 ψ 0 ist (kann man nachträglich nachprüfen), sollen die logarithmische Ableitungen ψ /ψ = ln ψ an beiden Seiten der Potentialsprünge gleich sein. Daher: d dξ k 1 = k 2 cot( k 2 /2 + φ) 2

3 für ξ = 1/2 und k 1 = k 2 cot(k 2 /2 + φ) für ξ = 1/2, oder D.h. k 1 = k 2 cot( k 2 /2 φ). Arccot (k 1 /k 2 ) = Arctan (k 2 /k 1 ) = k 2 /2 + φ Arccot (k 1 /k 2 ) = Arctan (k 2 /k 1 ) = k 2 /2 φ + πn (n = 0, 1,...) Addition der beiden Gl en ergibt πn k 2 = 2Arctan ( k2 Jetzt: k 2 = πb 1 ǫ, k 2 k 1 = (1 ǫ )/ ǫ so dass πn πb 1 ǫ 1 ǫ = 2Arctan = 2Arcsin 1 ǫ ǫ (Trigonometrie!). Wenn wir κ = 1 ǫ nehmen, dann erhalten wir k 1 πn πbκ = 2Arcsinκ, (0 < κ < 1). Die rechte Seite der Gl. ändert sich zw. 0 und π, siehe Bild. Das heißt: π(n 1) < πbκ n < πn ). die Anzahl n der verschiedenen Lösungen ist N = [1 + B]. Der Born sche Parameter ist eine wichtige dimensionslose Kombination und hat einen klaren physikalischen Sinn. Die kinetische Energie T L eines Zustandes, der auf einer Längenskala L lokalisiert wird (und daher einer de Broglie-Welle mit den Wellenwektor k 1/L entspricht), ist T L = p 2 /2m 2 /(2ml 2 ). Daher stellt B einen Quotienten dieser kinetischen Energie und der Tiefe des Topfes U 0 : B T L /U 0 dar. Z.B. ist die Energie des Grundzustandes in einem rechteckigen Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden (vom Boden des Topfes gerechnet) E 1 = π 2 2 /(ml 2 ), und die Energie des n-ten gebundenen Zustandes ist E n = n 2 π 2 2 /(ml 2 ) = n 2 E 1. Der Born sche Parameter B zeigt, wie viele solcher Zustände in den Topf der Tiefe U 0 reinpassen. 3

4 B=1 (2 Loesungen) 8 6 B=2.5 (3 Loesungen) κ Das ist ein Spezialfall einer allgemeinen Beziehung: in einem anziehenden Potential U(x) < 0, mit einem Minimalwert der 2 asymptotischen Werte U = min (lim x ± U(x)) ist N B = 1 2m(U U(x)) dx. π Integriert wird über die Gebiete wo U(x) < U. Wenn dieses Integral divergiert, ist die Anzahl der gebundenen Zustände unendlich. Die entsprechenden Energien ǫ = ε = κ 2 n 1 bilden eine endliche wachsende Folge, vom Grungzustand ǫ 0 bis zum höchsten gebundenen Zustand ǫ N. φ ist noch nicht fixiert. Die Rechnung zeigt, dass für n ungerade (1,3,...) φ = π/2 und für n gerade φ = 0. Es ist schon aus Symmetriegründen klar, dass die Lösungen ψ 2 (x) für φ = 0 und φ = π/2 die Spiegelsymmetrie des anfänglichen Physikalischen Problems haben. D.h. jeder 4

5 Zustand in einem symmetrischen Potential hat eine wohldefinierte Parität. Die WF ist gerade für ungeraden n und ungerade für gerade n. Der Grundzustand hat keine Nulldurchgänge (Knoten) und ist gerade. Die Funktion b 1 sin(k 2 ξ+φ) = b 1 sin (πbκ n ξ + φ) (und damit die ganze Wellenfunktion, da die exponentiellen Teile ausserhalb der Mulde nicht oszillieren) hat genau n 1 Nulldurchgänge (Knoten), Speziallfall des Oszillationstheorems. 4.2 Die Wronski-Determinante (Wronskian) erlaubt allgemeine Aussagen über die Lsg. der eindimensionalen Schrödinger- Gl. Bei reellem U(x) ist für jede Lsg. des stationären SGl ψ(x) auch die komplex-konjungierte Fkt ψ (x) eine Lsg. So kann man, wegen der Linearität der Gleichung, stets die reelle Kombinationen ψ(x)+ψ (x) und i [ψ(x) ψ (x)] als Lösungen nehmen. Die Ls gen der Schrödinger-Gl. in 1D können immer als reell angesehen werden. Seien φ 1 (x) und φ 2 (x) nun zwei reelle Ls gen der stationären Schrödinger- Gl. zu den Energien E 1 und E 2. Multiplizieren wir die entsprechenge Gl en φ 1(x) + 2m 2 [E 1 U(x)] φ 1 (x) = 0 und φ 2m 2 (x) + [E 2 2 U(x)] φ 2 (x) = 0 mal φ 2 (φ 1 ) und bilden die Differenz: φ 1 (x)φ 2(x) φ 2 (x)φ 1(x) = 2m 2 (E 2 E 1 )φ 1 (x)φ 2 (x). Man integriert die Gl. zwichen und x 2 (x 2 > ), und wendet die partielle Integration an: [φ 1 (x)φ 2(x) φ 2 (x)φ 1(x)] x 2 = 2m x2 (E 2 2 E 1 ) φ 1 (x)φ 2 (x)dx x2 φ 1 (x)φ 2 (x) φ 2 (x)φ 1 }{{ (x) dx } =0 5

6 oder mit W(φ 1, φ 2 ) x 2 = 2m x2 (E 2 2 E 1 ) φ 1 (x)φ 2 (x)dx, (2) W(φ 1, φ 2 ) = φ 1 φ 2 φ 1 φ 2 die Wronski-Determinante (Wronskian). Die Gl.(2) hat viele wichtige Folgen. Für E 1 = E 2 = E ist W(φ 1, φ 2 ) = const. Haben die Lösungen eine gemeinsame Nullstelle, φ 1 (x 0 ) = φ 2 (x 0 ) = 0, so ist W = 0. Daher φ 1 (x) φ 2(x) = φ 1(x) φ 2 (x) = C so dass die Ls gen zueinander proportional sind. Wenn sie als normiert vorausgesetzt sind, so ist C = 1 und C = e iϕ. Die Lösungen sind dann und nur dann auf dem Interval < x < x 2 linear abhängig, wenn das Wronskian dort identisch verschwindet. Seien φ 1 und φ 2 die Ls gen von SGl mit unterschiedlichen Eigenwerten E 1 und E 2 aus diskretem Spektrum (d.h. normierbar). Dann sind die Ls gen φ 1 und φ 2 ortogonal, d.h. φ 1 (x)φ 2 (x)dx = 0. Bew.: Die normierbaren Ls gen sind diejenige mit,2 0 für x ±. Daher gilt W(φ 1, φ 2 ) = 2m 2 (E 2 E 1 ) φ 1 (x)φ 2 (x)dx = 0. Bemerkung: Wenn die Ls gen nicht reell sind, gilt i.a. φ 1 (x)φ 2(x)dx = φ 2 (x)φ 1(x)dx = 0. Die Ls gen der SGl. mit Hermite schen Ĥ bilden ein orthonormiertes System. Diese Aussage gilt auch in höheren Dimensionen. 6

7 Seien φ 1 und φ 2 zwei reelle Eigenfunktionen mit E 1 < E 2. Wir zeigen jetzt, dass zwischen 2 Knoten (Nullstellen) der Funktion φ 1 mindestens ein Knoten der Funktion φ 2 liegt. Seien und x 2 zwei aufeinenderfolgende Nullpunkte von φ 1. Betrachten wir die Wronski-Determinante zwischen diesen Punkten. Es gilt: W(φ 1, φ 2 ) x 2 = φ 1 φ 2 x 2 = 2m 2 (E 2 E 1 ) x2 φ 1 φ 2 dx. Zwischen den Punkten und x 2 ändert die Fkt. φ 1 nicht ihre Vorzeichen, z.b. ist φ 1 > 0. Daher ist φ 1( ) > 0 und φ 1( ) < 0. Nehmen wir an, dass die Funktion φ 2 auf dem Intervall ihre Vorzeichen nicht ändert. Damit ist die linke Seite der Gleichung negativ, und ihre rechte Seite positiv, was zu einem Widerspruch führt. Daher muss φ 2 auf dem Intervall (, x 2 ) ihr Vorzeichen ändern. Man kann die Eigenfunktionen nach Anzahl ihrer Knotenpunkten ordnen und einen folgenden Satz beweisen: Das Oszillationstheorem (der Knotensatz). Besitzt der eindimensionale Hamiltonian ein diskretes Spektrum mit Energien E 0 < E 1 < E 2 <... so hat die Wellefunktion ψ n genau n Nullstellen (Knoten). 7