T2 Quantenmechanik Lösungen 3

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1 T2 Quantenmechanik Lösungen LMU München, WS 1/18.1. Wellenfunktion und Wahrscheinlichkeit Prof. D. Lüst / Dr. A. Schmidt-May version: Es seien x 1, x 2, N drei reelle Konstanten und x 2 > x 1 >. Ein Teilchen sei zum Zeitpunkt t charakterisiert durch die folgende eindimensionale Wellenfunktion N x x 1 für x x 1 ψx, ) N x 2 x x 2 x 1 für x 1 x x 2.1) sonst a) Bestimmen Sie N, sodass die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Interval, ] zu finden, zur Zeit t eins beträgt. Gilt diese Normalisierung dann auch für t >? Und somit 1 x 2 1 x 1 x 1 x 2 dx ψx, ) 2 + dx x x 2 x 1 ) N x2 x 1 x 2 dy y 2 Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist erhalten, also gilt die Normalisierung weiterhin. b) Fertigen Sie eine Skizze der Wellenfunktion zur Zeit t an. x 2.S1) x 1 dx x 2 x) 2.S2).S).S4).S5).S6) Lösung: c) An welchem Ort befindet sich das Teilchen mit der größten Wahrscheinlichkeit zur Zeit t? Lösung: Offensichtlich aus der Skizze: bei x x 1. d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man das Teilchen links von x 1? Kontrollieren Sie das Resultat für die Grenzfälle x 2 x 1 und x 2 2x 1..1

2 Lösung: Wir integrieren die Wahrscheinlichkeitsdichte von bis x 1 P x < x 1 ) dx ψx, ) 2 x 2 1 dx x 2 x 1 x 1 x 2.S) Für x 2 x 1 ergibt das P x < x 1 ) P x < x 2 ) 1 und für x 2 2x 1 haben wir P x < x 1 ) 1/2, was auch mit der Skizze aus Symmetriegründen folgt. e) Bestimmen Sie den Erwartungswert von x. Lösung: x dx x ψx, ) 2 x 2 1 x x dx x + x2 x2 x 1 dx xx 2 x) 2.S8) x 1 dx x 2 2x 2x 2 x 2 + x ).S9) + x 2 2x 2 2 x 2 1) 2 2 x 2 x 2 x 1) + x 4 2 x 4 1) 4.S1) x 2 x 12 2 x 2 1x 2 + 2x ) 1.S11) x 2 x 2 1x 2 + 2x 1 4.S12) 2x 1 + x 2 4.S1).2. Unschärferelation Ein Teilchen sei zur Zeit t beschrieben durch die folgende eindimensionale Wellenfunktion { Na 2 x 2 ) für a x a ψx, ).2) sonst Hierbei ist a eine positive Konstante und die Normalisierung ist N a) Bestimmen Sie die Erwartungswerte x und p für t a 5 x dx x ψx, ) 2 dx xa 2 x 2 ) 2.S14) denn die Funktion ist ungerade über einem symmetrischen Intervall. Für p benutzen wir p i erhalten p dx ψx, ) p ψx, ) dx a 2 x 2 ) d i dx a2 x 2 ) dx a 2 x 2 ) i 2x d dx und.s15).s16).s1).s18).2

3 aus dem gleichen Grund wie oben. b) Bestimmen Sie die Erwartungswerte x 2 und p 2 für t. Und x 2 dx x 2 a 2 x 2 ) 2 2 dx x 6 2a 2 x 4 + a 4 x 2 ) x 16a 5 2a2 x 5 + a4 x ] a 5 a2 p dx a 2 x 2 ) 4 2 dx a 2 x 2 ) a a 2 dx a 2 x 2 ) d2 dx 2 a2 x 2 ) a 2 x x ] a.s19).s2).s21).s22).s2).s24).s25).s26).s2) c) Bestimmen Sie die Unschärfen x x 2 x 2 und p p 2 p 2. Verifizieren Sie, dass das Ergebnis im Einklang mit der Unschärferelation x p > 2 ist. Lösung: Mit den obigen Ergebnissen finden wir x x 2 x 2 a.s28) p p 2 p 2 5.S29) 2 a.s) Diese erfüllen x p und sind somit konsistent mit der Unschärferelation. 1 2 > 2.S1).. Der freie Propagator In der Vorlesung haben Sie die freie Schrödinger-Gleichung kennengelernt i t 2 ψt, x) ψt, x).) 2m.

4 Mit der Anfangsbedingung ψ, x) ψ x) besitzt diese Gleichung die folgende Lösung ψt, x) d y K t, x y)ψ y).4) R worin K t, x y) der Integralkern oder auch Propagator ist. Ziel dieser Aufgabe ist es, den Ausdruck für den Propagator K t, x y) des kräftefreien Teilchens herzuleiten: K t, x y) m ) /2 imx y) 2 e.5) 2πi t a) Der Integralkern K t, x y) ist die Lösung der Schrödinger-Gleichung für die spezielle Anfangsbedingung ψ x) δx y).6) Um den gesuchten Ausdruck zu erhalten, bestimmen Sie zunächst die Fouriertransformierte ψ, p) von ψ x). Lösung: mit κ 2π ) /2. ψ, p) κ d x ψ x)e ip x/ κ R d x δx y)e ip x/ κe ip y/ R.S2) b) Wie lautet die zugehörige zeitabhängige Wellenfunktion ψt, p) im Impulsraum? Lösung: Mit E p 2 /2m haben wir p 2 ) ψt, p) e iet/ ψ, p) κe iet/ e ip y/ κe i t 2m +p y /.S) c) Benutzen Sie den Ausdruck für ψt, p) um zu zeigen, dass die zugehörige zeitabhängige Wellenfunktion K t, x) im Ortsraum von der folgenden Form ist K t, x y) κ 2 p 2 d p e i t R 2m +p y x) ) /.) Lösung: Erneute Fouriertransformation gibt p 2 ) K t, x y) κ d p ψt, p)e ip x κ 2 d p e i t 2m +p y x) / R R.S4) d) Bringen Sie den obigen Ausdruck für K t, x y) auf die Form K t, x y) κ 2 e imx y)2 itq 2 d q e 2m.8) R Lösung: Wir führen eine quadratische Ergänzung im Exponenten durch p 2 t p x y) t p m ) 2 2m 2m t x y) m x y)2.s5) 2t.4

5 und substituieren q p m t dq dp x y).s6).s) Einsetzen in.) gibt sofort den gesuchten Ausdruck.8). e) Das verbleibende Integral konvergiert nicht. Warum nicht?) Ersetzen Sie deshalb q 1 iɛ)s mit ɛ > im Exponenten, lösen das Integral und betrachten den Grenzwert ɛ. Bringen Sie das Ergebnis in die Form.5). Lösung: Die Exponentialfunktion oszilliert und fällt nicht ab im Unendlichen. Mit q 1 iɛ)s erhalten wir K t, x y) lim κ 2 e imx y) 2 d s e ɛ R it1 iɛ) 2 s 2 2m.S8).S9) Nun enthält der Integrand einen Faktor e 2ɛts2 2m und verschwindet somit im Unendlichen für jedes ɛ >. Wir können deshalb das Gauß-Integral lösen. Mit ds e λs2 ds 1 e λs2 1 ds 2 e λs2 2 ds e λs 1 π ) /2 λ.s4) und λ it1 iɛ)2 2m erhalten wir also Dies ist der gesuchte Ausdruck.5). K t, x y) lim κ 2 e imx y) 2 d s e ɛ R κ 2 e imx y)2 κ 2 e imx y)2 m 2πi t ) /2 2m π lim ɛ it1 iɛ) 2 2m π it ) /2 e imx y) 2 it1 iɛ) 2 s 2 2m.S41).S42) ) /2.S4).S44) f) Verifizieren Sie durch explizite Rechnung, dass K t, x y) in.5) die freie Schrödinger- Gleichung löst. und i m ) /2 t K imx y) 2 t, x y) i e 2πi 2 2m K t, x y) 2 m 2m 2πi t m 2 2m i Vergleich der beiden Ausdrücke zeigt, dass ) /2 imx y) t 2πi t ) /2 imx y) 2 e m 2πi ) /2 e imx y) 2 2 t 5/2 + imx y)2 2 t /2].S45) e imx y) 2 ] ] im t + im)2 x y) 2 t ) 2.S46).S4) 2 t 5/2 + imx y)2 2 t /2].S48) i t K t, x y) 2 2m K t, x y) 2 2m K t, x y).s49).5

6 q.e.d. g) Zeigen Sie, dass der Ausdruck.4) nun die freie Schrödinger-Gleichung mit beliebiger Randbedingung ψ x) löst. Lösung: Aus.) folgt, dass lim K t, x y) κ 2 lim t t R d p e i p 2 t 2m +p y x) ) /.S5) κ 2 R d p e ip x y)/.s51) δx y).s52) Deshalb gilt lim t ψt, x) lim d y K t, x y)ψ y).s5) t R d y δx y)ψ y).s54) R ψ x).s55) Die Funktion ψt, x) erfüllt also die Randbedingung. Bleibt zu zeigen, dass sie die freie Schrödinger-Gleichung löst. Dies folgt direkt aus der Tatsache, dass K t, x y) die Gleichung löst und der Ausdruck.4) somit eine lineare Überlagerung von Lösungen ist. Da die Schrödinger-Gleichung linear ist, ist auch eine Linearkombination von Lösungen wieder eine Lösung. q.e.d. h) Lesen Sie den Abschnitt Allgemeine Lösung der freien Schrödinger-Gleichung beginnend auf Seite 4 im Buch. Was ist die physikalische Interpretation des Propagators? Lösung: Der freie Propagator K t, x y) ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür, dass das Teilchen in der Zeit t von y nach x propagiert. i) Beweisen Sie die Konvolutionseigenschaft des Propagators in einer Raumdimension, K t + t, x y) dz K t, x z)k t, z y).9) Was bedeutet diese Eigenschaft und warum ist sie wichtig? R Lösung: Siehe Aufgabe 22. mit Lösung im Buch für die Rechnung. Die Entwicklung von einem Ort x zu einem Ort y in der Zeit t + t kann in zwei Schritten passieren. Da der Propagator der Wahrscheinlichkeitsamplitude für einen Übergang von x nach y entspricht und Wahrscheinlichkeiten multiplikativ sind, muss es möglich sein, die Propagatoren der zwei Schritte miteinander zu multiplizieren und daraus die Gesamtwahrscheinlichkeit zu erhalten. Der Zwischenort z ist hierbei beliebig und deshalb müssen wir über ihn integrieren..6