Basissysteme, Ort und Impuls

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1 1 Basissysteme, Ort und Impuls Zweites Projekt zur VO Quantenmechanik Gruppe Fermi Gruppenmitglieder: Arnulf Wurzer, Markus ems, David Tudiwer, Oliver Senekowitsch, Martin Stolterfoht, Paul Pirkner

2 1 BASISSYSTEME UND BASISWECHSEL 2 1 Basissysteme und Basiswechsel 1.1 Basissysteme von Operatoren Ein quantenmechanischer Zustand a werde dargestellt durch einen Vektor aus dem Vektorraum (Hilbertraum). Dieser Vektor kann durch eine Linearkombination von Elementen einer beliebigen Basis ϕ n aufgespannt werden, wobei diese aus einer maximalen Anzahl linear unabhängiger Vektoren besteht und die Anzahl der Basiselemente die Dimension des Vektorraums bestimmt. α = n a n ϕ n (1.1) Ein Operator auf dem Vektorraum, der selbstadjungiert ist, für den  = Ât gilt, hat reelle Eigenwerte und orthogonale Eigenvektoren. Die Eigenvektoren bilden eine orthonormale Basis. Jedes Element des Vektorraumes kann nun in der Basis des Operators dargestellt werden. a n... n-tes Basiselement der Operatoreigenbasis. α = c n a n (1.2) 1.2 Basiswechsel Es ist nun sinnvoll zu fragen, wie man vom Basissystem des einen Operators ins Basissystem eines anderen transformieren kann.

3 1 BASISSYSTEME UND BASISWECHSEL Allgemein Ein Basiswechsel ist ein Isomorphismus - also eine bijektive Abbildung zwischen zwei mathematischen Strukturen - bei der Teile der einen Struktur auf bedeutungsgleiche Teile einer anderen Struktur abgebildet werden. 2 In unserem Fall sind die zwei Basissysteme {a n } und {b n } die mathematischen Strukturen. Bedeutungsgleiche Abbildungen meint, dass die speziellen Eigenschaften - also lineare Unabhängigkeit der neuen Basiselemente sowie Vollständigkeit im Bezug auf den Vektorraum - erhalten bleiben Basiswechsel von Operatoren Der Basiswechsel wird mit Hilfe einer unitären Transformation durchgeführt. mit u = Σ k b k a k b k... k-tes Basiselement des aums B a k... k-tes Basiselement des aums A Beweis: u a k = b i a i u k = b i δ ik = b k i i wie vorher erwähnt ist u eine unitäre Transformation uu t = u t u = 1 b k = u a k (1.3) Beweis: uu t = i b i a i k a k b k = b i a i a k b k = b i δ ik b k = i,k i,k i b i b i = 1 Wir fassen zusammen: Der Operator Û = i in jene der Basis A über und ist unitär. b i a i führt die Basiselemente der Basis B Nun stellt sich die Frage was mit einem Operator passiert, wenn man die Operatoren U und U t auf ihn anwendet.

4 2 VEALLGEMEINEUNG AUF UNENDLICH DIMENSIONALEVEKTOÄUME4 A ik{ai } = a i  a k... i, k tes Element des Operators  im Basissystem von {a i} UÂU t = a i b i A ik{ai } i b k a k = a i b i a i  a k b k a k i,k = a i a i b i  b k a k a k i,k k = i,k b i  b k = A ik {bi }... i, k tes Element des Operators  im Basissystem von {b i} Der Operator in der Basis {a i } wird also in die Basis {b i } transformiert. 2 Verallgemeinerung auf unendlich dimensionalevektorräume Die bisher dargestellten Beziehungen gelten zunächst nur für endlich dimensionale Vektorräume, können aber unter bestimmten Voraussetzungen auf unendlich dimensionale Vektorräume verallgemeinert werden. 1 Zunächst stellt sich die Frage, wie sieht die Basis eines unendlich dimensionalen Vektorraum aus? Für endlich dimensionale Vektorräume war die Basis diskret und bestand aus einer endlichen Anzahl von Basiselementen. Für unendlich dimensionale Vektorräume ist das im Allgemeinen nicht mehr erfüllt. Hier kann die Basis auch kontinuierlich sein. Dies hat Auswirkungen auf die bekannten elationen:

5 3 DE OTSOPEATO X UND DIE DASTELLUNG IN SEINE EIGENBASIS5 Table 2.1: Diskrete und kontinuirliche Basis diskrete Basis kontinuirliche Basis Orthonormalität a i a k = δ ik x x = δ(x x ) Vollständigkeit 1 = a i a i 1 = dx x x i Allgemeiner Zustand α = i a i α a i α = dx x α x Skalarprodukt β α = β a i a i α i = β α = dx β x x α d i c i = g f i 3 Der Ortsoperator X und die Darstellung in seiner Eigenbasis 3.1 Definition und elationen Der Ortsoperator X ist definiert durch die Eigenwertgleichung X x = x x Natürlich ist es auch möglich, wie vorher den aum mit den Eigenfunktionen aufzuspannen. α = dx x α x, wobei das Skalarprodukt x α die Koeffizienten von α bezüglich der Basis x herausprojiziert und das Integral die Summe über die Koeffizienten mal dem Basiselement bildet. Zum Vergleich: α = a n α a n... mit a n... diskrete Basis. n Es kann die Variable x auch aus dem 3 gewählt werden. Daraus folgt für einen allgemeinen Zustand α :

6 3 DE OTSOPEATO X UND DIE DASTELLUNG IN SEINE EIGENBASIS6 α = 3 d 3 x x α x wobei x = x, y, z und zwar derart, dass die Operatoren X, Ŷ, Ẑ angewendet auf den Zustand x, y, z den Eigenwert des Operators mal dem Zustand produzieren. X x, y, z = x x, y, z Ŷ x, y, z = x x, y, z Ẑ x, y, z = z x, y, z Also ist der Zustand x, y, z ein Eigenzustand zu allen drei Operatoren. [ X, Ŷ ] = [Ŷ, Ẑ] = [ X, Ẑ] = 0 Beweis: α = ( XŶ Ŷ X) α α = dx x α x 3 [ X, Ŷ ] α > = 3 dx ( XŶ x α x Ŷ X x α x ) x α ist eine Zahl [ X, Ŷ ] α > = 3 dx x α ( XŶ x Ŷ X x ) = dx x α ( Xy x Ŷ x x ) 3 = dx x α (yx x xy x ) = 0 3 Auf den Beweis der Kommuntatoren [Ŷ, Ẑ], [ X, Ẑ] wird hier verzichtet, da diese analog ablaufen. 3.2 Die Wellenfunktion im Ortsraum Die Wellenfunktion ψ α (x) ist definiert als ψ α (x) x α und für die Wahrscheinlichkeit, dass der Zustand x eine Position in gilt:

7 4 IMPULSOPEATO 7 P α (x ) = dx x α 2 = ψα (x) 2 = 1 Für die Wahrscheinlichkeit einen Zustand α in einem Zustand β zu finden ergibt sich P ( α in β ) = β α = dx β x x α = dx ψ β (x) ψ α (x). Um eine Beziehung zwischen der Wellenfunktion und einem anderen Basissystem zu bekoman, benützt man ψ α (x) = x α = i x a i a i α x a i stellt nun die Wellenfunktion ψ ai (x) des (Basis-)Zustands a i dar und a i α ist der Koeffizient c i des Zustandes α bezüglich des Basiselements a i. ψ α (x) = i c i ψ ai (x) 4 Impulsoperator 4.1 Der Transformationsoperator Der Translationsoperator führt einen Zustand x in einen Zustand x über, wobei x x + dx T x = x + dx und X x + dx = (x + dx) x + dx für einen allgemeinen Zustand α gilt: T (dx) α = dx T (dx) x x α = dx x + dx x α (Nebenrechnung: x = x + dx, dx = dx ) dx x x dx α = dx x ψ (x dx) wobei benutzt wurde, dass x dx α die Wellenfunktion ψ α des Zustandes α bezüglich x dx ist.

8 4 IMPULSOPEATO 8 Das bedeutet also, dass die Wirkung des Translationsoperators auf einen Zustand als Translation (der Koordinaten) der Wellenfunktion und somit der Koeffizienten der Basisfunktion verstanden werden kann. Es gelten folgende elationen: T (dx + dx ) = T (dx) T (dx ) T ( dx) = T (dx) 1 daraus folgt T (dx) T ( dx) = T (dx dx) = T (0) = I mit I=Identitätsoperator T ist unitär: T (dx) t T (dx) = I Es gibt eine Verallgemeinerung auf 3 : T ( dx) = T (dx, dy, dz) 4.2 Impulsoperator als Generator des Translationsoperators Zunächst wollen wir zeigen, dass sich ein unitärer Operator U als Exponentialfunktion eines hermitischen Operators H darstellen lässt. Annahme: U = e ih zu zeigen U t U = 1 U t = (e ih ) T = n (ih) n n! = n ( i) n (H t ) n n! mit H = H t folgt n ( ih) n n! = e ih UU t = e ih e ih = 1 q.e.d. Da T ein unitärer Operator ist, muss er sich durch die Exponentialfunktion eines hermitischen Operators P darstellen lassen. T (dx) = e ic P d x, wobei c eine Konstante ist und festgelegt wird als c 1 ħ. T (dx) = n ( i ħ )n n! ( P d x) n 1 i ħ P d x + O(d x) 2 Da der Exponent dimensionierbar sein muss, folgt für [ P ] :

9 4 IMPULSOPEATO 9 [ P ] [d x] [ħ] = 1 [ P ] = [ħ] [dx] = [E] [t] [s] = [F ] [s] [t] [s] = = [m] [s] [t] [t] 2 = [m] [s] [t] = [m] [v] = [P ] woraus Folgt, dass der Operator P die Dimension eines Impulses hat. 4.3 Eigenschaften des Impulsoperators Als erstes wollen wir die Eigenschaft festhalten, die wir im vorherigen Abschnitt benötigt haben um den Impulsoperator als Generator der Translation zu identifizieren. P ist ein hermitischer Operator P t = P Nun soll eine Kommutatorrelation zwischen dem Ortsoperator X und dem Impulsoperator P hergeleitet werden. Dazu ist es notwendig den Kommutator von X und T(dx) zu berechnen. [X, T (dx)] x = X T (dx) x T (dx) X x = X x + dx T (dx) x x = (x + dx) x + dx x x + dx > = dx x + dx > [X, T (dx)] = dx (4.1) T (dx) = 1 i ħ P xdx [X, T (dx)] = [X, 1 i ħ P xdx] = dx = X(1 i ħ P xdx) (1 i ħ P xdx)x = X i ħ dx X P x X + i ħ dx P x X = i dx[x, P ] = dx ħ [X, P ] = iħ (4.2)

10 4 IMPULSOPEATO 10 Um die Kommutatorrelation zu vervollständigen fehlen uns noch: [X i, P j ] für i j [P i, P j ] [X, T (dy)] x = X T (dy) x T (dy) X x = X x, y + dy, z x T (dy) x = x x, y + dy, z x x, y + dy, z = 0 [X, T (dy)] = 0 [X, P y ] = 0 [X i, P j ] = 0 (4.3) für i j [T (dx), T (dy)] x = T (dx)t (dy) x T (dy)t (dx) x = 0 [P i, P j ] = 0 (4.4) und somit vervollständigt sich der Satz an elationen zu: [X i, P j ] = 0 [P i, P j ] = 0 [X i, P j ] = iħ δ ij (4.5) 4.4 Wirkung des Impulsoperators im Ortsraum Wir betrachten einen Zustand α auf den der Translationsoperator angewendet wird. Um die Wirkung des Impulsoperators herauszuarbeiten, wendet man einmal den Translationsoperator selbst an. Anschließend stellt man ihn durch den Impulsoperator dar und vergleicht die beiden Ergebnisse. T (dx) α = dx T (dx) x x α = dx x ψ α (x dx)

11 4 IMPULSOPEATO 11 nun entwickelt man ψ α bis zur ersten Ordnung in dx. T (dx) α = dx x (ψ α (x) x ψ α(x) dx + O(dx 2 )) (4.6) T (dx) α = (1 i ħ P xdx + O(dx 2 )) α = dx x x (1 i ħ P xdx + O(dx 2 )) α (4.7) Durch Vergleich der beiden Ausdrücke erhält man: Zusammenfassend noch einige nützliche Ergebnisse: X P x α = iħ x α (4.8) x x P x x = iħ x δ(x x ) β P x α = dx Ψ β (x )( iħ x )Ψ α(x ) x Px n α = ( iħ) n n x x α n β Px n α = dx Ψ β (x )( iħ) n n Ψ α (x ) x n (4.9) 4.5 Wellenfunktion im Impulsraum Die Wirkung des Impulsoperators im Impulsraum ist die Eigenwertgleichung P p = p p p sind die Eigenzustände und p die Eigenwerte des Impulsoperators.

12 5 FOUIETANSFOMATION 12 Um die Wellenfunktion im Impulsraum Φ einzuführen gehen wir wieder vom allgemeinen Zustand α aus, der im Impulsraum aufgespannt wird. α = dp p α p = dp Φ α p (4.10) Dies geschieht ähnlich der Aufspannung eines allgemeinen Zustandes im Ortsraum durch die Eigenzustände des Ortsoperators. Die Wellenfunktion des allgemeinen Zustandes soll normiert sein, also das Normquadrat der Wellenfunktion muss 1 sein. Φ 2 = dp p α 2 = 1 (4.11) Die Wellenfunktion im Ortsraum haben wir schon besprochen, als nächsten Schritt müssen wir einen Basiswechsel vom Ortsraum in den Impulsraum durchführen. Dies geschieht durch eine Fouriertransformation (ist eine unitäre Transformation). 5 Fouriertransformation Der Übergang von Ortsraum in den Impulsraum entspricht einer Transformation zwischen zwei VONS (vollständig orthonormiertes System). Der Transformationsoperator U ist: U α (k) = b (k) (5.1) U ik = a i U a k = a i b k (5.2) wobei α (k) und b (k) ein VONS aus dem Hilbertraum darstellt. Für den Basiswechsel schreiben wir U x = p, wir brauchen dafür den Ausdruck für x p >. Wir erhalten x p > durch folgende Gleichungen:

13 5 FOUIETANSFOMATION 13 Die erste ist die Wirkung des Impulsoperators im Impulsraum und wird von links mit x multipliziert. x P p = p x p (5.3) und aus der Formel für die Wirkung des Impulsoperators im Ortsraum erhält man: Gleichsetzen dieser beiden Gleichungen ergibt: x P x p = iħ x p (5.4) x iħ x p = p x p x Das ist eine lineare Differentialgleichung 1.Ordnung für x p. x p x = p x p iħ = p i ħ ln x p = px i ħ + N 0 ln x p = px i ħ + N 0 x p = N exp ( i ħ px) x p hat die Form einer ebenen Welle und entspricht einer Ortswellenfunktion eines allgemeinen Zustands. p = dx x x p = dx N exp( i px) x (5.5) ħ dabei wurde die Vollständigkeitsrelation für unendlichdimensionale Vektorräume verwendet. Der Transformationsoperator für den umgekehrten Fall lautet: U 1 p = x (5.6) mit U 1 = U t U t p = x

14 5 FOUIETANSFOMATION 14 Somit ist x = dp p p x und man sieht, dass der Transformationsoperator für den Basiswechsel vom Impulsraum zum Ortsraum der Komplex-Konjugierte Operator ist. Damit können wir die Normierung berechnen: x x = dp x p p x = dp N 2 exp( i (xp ħ px )) = N 2 dp exp( i ħ p(x x)) mit 2πδ(x x ) = dp exp( i(x x )p) und folgender Variablentransformation für p p ħ = p dp = ħ dp ergibt das Integral: 2πħN 2 δ(x x ) = δ(x x ) und somit N = 1 2πħ Daraus folgt: x p = 1 exp ( i xp) (5.7) 2πħ ħ p x = 1 exp ( i xp) (5.8) 2πħ ħ Damit ist gezeigt, dass der Basiswechsel zwischen Orts & Impulsraum über die Fouriertransformation zusammenhängt. Das Paar der Fouriertransformierten lautet: f(x, t) = Ψ α (x, t) = x α = dp x p p α = dp x p Φ α (p, t) Ψ α (x, t) = 2πħ 1 dp Φ α (p, t) exp ( i xp) (5.9) ħ g(p, t) = Φ α (p, t) = p α = dx p x x α = dx p α Ψ α (x, t) Φ α (p, t) = 2πħ 1 dx Ψ α (x, t) exp ( i xp) (5.10) ħ Für Ψ(x, t) und Φ(p, t) gilt das Parsevalsche Theorem:

15 6 DIE GAUSSSCHE WELLENFUNKTION 15 dp Φ(p, t) 2 = dp Ψ(x, t) 2 = 1 (5.11) Φ(p, t) ist die Amplitude einer Welle mit dem Impuls p. Die Integration von Φ(p, t) 2 über alle Impulse soll den Wert 1 ergeben. D.h. Φ(p, t) 2 dp ist die Wahrscheinlichkeit das Elektron mit einem Impuls zwischen p und p+dp zu finden. 6 Die Gaußsche Wellenfunktion Die Gauß sche Wellenfunktion hat im Ortsraum die allgemeine Form: x α = ψ α (x, t) = 1 4 x2 exp(ikx ) πσ2 2σ 2 Der erste Term des Exponenten bezeichnet dabei eine ebene Welle zur Wellenzahl k, der zweite Term ist die charakteristische Gaußkurve: Um diese Funktion darzustellen plotten wir sie mit Mathematica. Dabei ist, wie wir unten noch sehen werden, ein Maß für die Breite der Wellenfunktion und k proportional zum Impuls in x-ichtung. Für wählen wir 2 und für k 1: Figure 6.1: [ealteil der Gauß-Wellenfunktion]

16 6 DIE GAUSSSCHE WELLENFUNKTION 16 Figure 6.2: [Imaginärteil der Gauß-Wellenfunktion] Figure 6.3: [Absolutbetrag der Gauß-Wellenfunktion] Wenn man nun verkleinert, sieht man dass die Ortsraumdarstellung lokalisierter wird: Für σ = 1, k = 1: Figure 6.4: [Absolutbetrag der Gauß-Wellenfunktion; mit = 1 und k = 1:]

17 6 DIE GAUSSSCHE WELLENFUNKTION 17 Dieses Wellenpaket soll auf 1 normiert sein: ψ (x) 2 = 1 π σ exp ( x2 σ 2 ) dx exp ( x2 ) = π σ σ 2 wenn der ealteil von σ 2 > 0 ist. Zwischen den beiden Darstellungen im Orts und Impulsraum ψ (x,t) bzw φ (p,t) besteht eine Korrelation, die auf die Unschärferelation hindeutet. Ist nämlich ψ (x,t) in einem engen Bereich lokalisiert, so ist die Verteilung von φ (p,t) breit. Um das zu zeigen wollen wir die Funktion im Impulsraum darstellen. Dazu müssen wir die Funktion fouriertransformieren und wählen α = 1 und β = i ( p + k ): 2σ 2 ħ FT (ψ(x)) = πσ 2 2πħ = 1 4 4π 3 σ 2 ħ 2 dx exp (( p ħ dx exp ( i x2 px) exp (ikx ) = ħ 2σ 2 x2 1 + k) ix ) = 2σ 2 4 β2 exp ( ) π 4 π 3 σ 2 ħ2 4α α 1 = 4 p2 exp (( 4 π 3 σ 2 ħ2 ħ 2 2pk ħ k 2 ) σ2 2 ) 2σ 2 π also gilt: p α = φ α (x) = σ 4 σ2 exp ( πħ2 2ħ 2 (p + kħ)) Man sieht das die Funktion im Impulsraum reell ist und um den Wert p = ħk = p zentriert ist. Das Gauß-Wellenpaket im Impulsraum mit Mathematica geplottet ergibt:

18 6 DIE GAUSSSCHE WELLENFUNKTION 18 Figure 6.5: [Gauß-Wellenfunktion im Impulsraum; mit = 2 und k = 1:] Für einen kleineren Wert von ergibt sich: Figure 6.6: [Gauß-Wellenfunktion im Impulsraum; mit = 1 und k = 1:] Die Breite der Funktion im Impulsraum ħ/σ ist also umgekehrt proportional zur Breite im Ortsraum σ, also je lokalisierter das Paket im Ortsraum ist, desto ausgedehnter ist es im Impulsraum. Kurz gesagt: Je schärfer der Impuls ist, desto ausgedehnter ist die Ortsraumverteilung. Für den Fall das σ gegen Unendlich geht ist die Darstellung im Ortsraum eine ebene Welle und im Impulsraum die δ Funktion. Diese entspricht genau der Unschärferelation, die jedoch für das Gauß-Wellenpaket minimal wird. Dazu müssen wir uns jedoch die Erwartungswerte für den Orts und Impulsoperator herleiten: X = 1 π σ x exp [ x2 ] dx = 0 σ 2 weil der Integrand eine ungerade Funktion ist und über ein symetrisches Intervall integriert wird.

19 6 DIE GAUSSSCHE WELLENFUNKTION 19 X 2 α = 1 πσ 2 1 ( 1) d ( π ) = πσ 2 dα α dx exp( ikx x2 ) x exp (ikx 2σ 2 x2 ) = = 1 2σ 2 2σ 2 dx x 2 exp ( x2 ) = σ 2 = 1 πσ πσ 2 ( πσ2 ) = σ2 2 P α = 1 πσ 2 dx exp( ikx x2 ) ( iħ d 2σ 2 dx ) exp(ikx x2 2σ 2 ) = = iħ πσ 2 dx (ik x ) exp ( x2 ) = σ 2 σ 2 iħ (ik) πσ πσ 2 = ħk 2 P 2 α = 1 πσ 2 dx exp( ikx x2 ) ( ħ 2 2σ 2 d2 ) exp (ikx x2 ) = dx 2 2σ 2 = ħ2 πσ 2 dx ( 1 σ 2 k 2 2ikx σ 2 x2 σ 4 ) exp( x2 σ 2 ) = = ħ2 πσ 2 dx ( 1 k 2 + x2 ) exp( x2 ) = σ 2 σ 4 σ 2 = ħ2 πσ 2 ( 1 σ 2 = ħ 2 k 2 + ħ2 σ 2 k 2 ) πσ 2 + ħ2 πσ 2 ( 1 σ 4 ) d dα ( π α ) = ħ2 σ 4 σ 2 2 = ħ2 2 σ 2 + ħ 2 k 2 Daraus folgt die Unschärferelation: (X X ) 2 (P P ) 2 = ( X) 2 ( P ) 2 = ( X 2 X 2 )( P 2 P 2 ) = ħ Darstellung im dreidimensionalen aum Im dreidimensionalen aum muss man bei der Fouriertransformation gleichviele Normierungsfaktoren wie aumrichtungen haben. Ansonsten sind eindimensionaler und dreidimensionaler aum analog. Es werden ein paar Beispiele angeführt. Betrachten wir z.b. die Eigenwertgleichung im eindimensionalen aum:

20 6 DIE GAUSSSCHE WELLENFUNKTION 20 X x = x x analog dazu im dreidimensionalen aum: X x = x x Orthonormalität: Eindimensional: x x = δ (x x ) Dreidimensional: x x = δ 3 ( x x ) Allgemeiner Zustand: Eindimensional: α β = dx ψ β (x) ψ α (x) Dreidimensional: α β = 3 d 3 x ψ β ( x) ψ α ( x) Wirkung des Impulsoperators: Eindimensional: α P β = dx ψ β 3 Dreidimensional: α P β = Fouriertransformation: 3 d 3 x ψ β ( iħ d dx ) ψ α ( iħ )ψ α Eindimensional: x p = 1 2ħπ exp ( i ħ xp) 1 Dreidimensional: x p = (2ħπ) exp( i x p) 3 ħ Man sieht hier bei der Fouriertransformation, dass der Normierungsfaktor für den dreidimensionalen aum unter der 3. Potenz steht, weil es sich um 3 voneinander unabhängige aumrichtungen handelt.

21 7 QUELLENANGABEN 21 7 Quellenangaben Vorlesungsskriptum von Martin Hebenstreit cbl/qm/ Quantenmechanik, 4. Aufl., Torsten Fließbach, ELSEVIE Mathematische Methoden in der Physik, 2. Aufl., Lang/Pucker, ELSEVIE Quantenmechanik, 7. Aufl., Schwabl, Springer Verlag Modern Quantum Mechanics, J.J. Sakurai, Pearson Verlag Vorlesungen über Physik. Bd. 3 Quantenmechanik, Feynman, Oldenbourg Unsch%C3%A4rferelation