Quantenmechanik I Sommersemester QM Web Page teaching/ss13/qm1.d.html

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1 Quantenmechanik I Sommersemester 2013 QM Web Page teaching/ss13/qm1.d.html

2 Hinweise Am Ende der heutigen Vorlesung (am ) : Vorstellung von Fachschaftsvertretern

3 Hinweise Am Ende der heutigen Vorlesung (am ) : Vorstellung von Fachschaftsvertretern Wegen der Pfingstfeiertage und Fronleichnam in der darauf folgenden Woche wird in diesen zwei Wochen nur ein Übungsblatt behandelt

4 Hinweise Am Ende der heutigen Vorlesung (am ) : Vorstellung von Fachschaftsvertretern Wegen der Pfingstfeiertage und Fronleichnam in der darauf folgenden Woche wird in diesen zwei Wochen nur ein Übungsblatt behandelt Blatt 5 wird also am 22.5., 23.5., 24.5., sowie dem und besprochen. Die Übungen (auch die Zentralübung) am und entfallen

5 Hinweise Am Ende der heutigen Vorlesung (am ) : Vorstellung von Fachschaftsvertretern Wegen der Pfingstfeiertage und Fronleichnam in der darauf folgenden Woche wird in diesen zwei Wochen nur ein Übungsblatt behandelt Blatt 5 wird also am 22.5., 23.5., 24.5., sowie dem und besprochen. Die Übungen (auch die Zentralübung) am und entfallen Ab dem 3.6. wird der Übungsbetrieb mit Blatt 6 fortgesetzt

6 Vektorräume von Funktionen Vektorraum Ä 2 Ä 2 (Ê 3, ) = { ψ : Ê 3 ; } d 3 r ψ( r) 2 <

7 Vektorräume von Funktionen Vektorraum Ä 2 Ä 2 (Ê 3, ) = Es gilt { ψ : Ê 3 ; ψ,ϕ Ä 2 c 1 ψ+c 2 ϕ Ä 2 } d 3 r ψ( r) 2 <

8 Vektorräume von Funktionen Vektorraum Ä 2 Ä 2 (Ê 3, ) = Es gilt { ψ : Ê 3 ; ψ,ϕ Ä 2 c 1 ψ+c 2 ϕ Ä 2 Alternative: Schwartz Raum S S(Ê n ) = } d 3 r ψ( r) 2 < { ψ C (Ê 3 ) ; α,β Æ 3 0 : C>0 : β 1+β 2 +β 3 } ψ rα i i β 1 x β 2y β 3z < C r Ê3

9 Operatoren Allgemeiner Operator A Aψ( r) = φ( r) Ä 2

10 Operatoren Allgemeiner Operator A Aψ( r) = φ( r) Ä 2 Beispiele: (i) Aψ = ψ

11 Operatoren Allgemeiner Operator A Aψ( r) = φ( r) Ä 2 Beispiele: (i) Aψ = ψ ψ (ii) Aψ = 1+ ψ

12 Operatoren Allgemeiner Operator A Aψ( r) = φ( r) Ä 2 Beispiele: (i) Aψ = ψ ψ (ii) Aψ = 1+ ψ Lineare Operatoren A (c 1 ψ 1 +c 2 ψ 2 ) = c 1 Aψ 1 +c 2 Aψ 2 (c i )

13 Operatoren Allgemeiner Operator A Aψ( r) = φ( r) Ä 2 Beispiele: (i) Aψ = ψ ψ (ii) Aψ = 1+ ψ Lineare Operatoren A (c 1 ψ 1 +c 2 ψ 2 ) = c 1 Aψ 1 +c 2 Aψ 2 (c i ) Beispiele: (i) = 2

14 Operatoren Allgemeiner Operator A Aψ( r) = φ( r) Ä 2 Beispiele: (i) Aψ = ψ ψ (ii) Aψ = 1+ ψ Lineare Operatoren A (c 1 ψ 1 +c 2 ψ 2 ) = c 1 Aψ 1 +c 2 Aψ 2 (c i ) Beispiele: (i) = 2 (ii) L = r p= i ( r )

15 Operatoren Allgemeiner Operator A Aψ( r) = φ( r) Ä 2 Beispiele: (i) Aψ = ψ ψ (ii) Aψ = 1+ ψ Lineare Operatoren A (c 1 ψ 1 +c 2 ψ 2 ) = c 1 Aψ 1 +c 2 Aψ 2 (c i ) Beispiele: (i) = 2 (ii) L = r p= i ( r ) (iii) Hamilton Operator H

16 Lineare Operatoren Eigenschaften: (ca)ψ = c (Aψ) für c

17 Lineare Operatoren Eigenschaften: (ca)ψ = c (Aψ) für c ( ) A+B ψ = Aψ+Bψ

18 Lineare Operatoren Eigenschaften: (ca)ψ = c (Aψ) für c ( ) A+B ψ = Aψ+Bψ ( ) A B ψ = A (Bψ)

19 Lineare Operatoren Eigenschaften: (ca)ψ = c (Aψ) für c ( ) A+B ψ = Aψ+Bψ ( ) A B ψ = A (Bψ) Spezielle Operatoren: (i) Identität ½ ψ = 1 ψ = ψ

20 Lineare Operatoren Eigenschaften: (ca)ψ = c (Aψ) für c ( ) A+B ψ = Aψ+Bψ ( ) A B ψ = A (Bψ) Spezielle Operatoren: (i) Identität ½ ψ = 1 ψ = ψ (ii) Null Operator 0 ψ = 0 ψ = 0

21 Skalarprodukt in Ä 2 Definition (ϕ,ψ) := d 3 rϕ ( r)ψ( r)

22 Skalarprodukt in Ä 2 Definition (ϕ,ψ) := d 3 rϕ ( r)ψ( r) Eigenschaften: (i) Konjugationssymmetrie (ϕ,ψ) = (ψ,ϕ)

23 Skalarprodukt in Ä 2 Definition (ϕ,ψ) := d 3 rϕ ( r)ψ( r) Eigenschaften: (i) Konjugationssymmetrie (ϕ,ψ) = (ψ,ϕ) (ii) Linearität im zweiten Argument (ϕ,c 1 ψ 1 +c 2 ψ 2 ) = c 1 (ϕ,ψ 1 )+c 2 (ϕ,ψ 2 )

24 Skalarprodukt in Ä 2 Definition (ϕ,ψ) := d 3 rϕ ( r)ψ( r) Eigenschaften: (i) Konjugationssymmetrie (ϕ,ψ) = (ψ,ϕ) (ii) Linearität im zweiten Argument (ϕ,c 1 ψ 1 +c 2 ψ 2 ) = c 1 (ϕ,ψ 1 )+c 2 (ϕ,ψ 2 ) (iii) (i) + (ii) (c 1 ϕ 1 +c 2 ϕ 2,ψ) = c 1 (ϕ 1,ψ)+c 2 (ϕ 2,ψ)

25 Skalarprodukt in Ä 2 Definition (ϕ,ψ) := d 3 rϕ ( r)ψ( r) Eigenschaften: (i) Konjugationssymmetrie (ϕ,ψ) = (ψ,ϕ) (ii) Linearität im zweiten Argument (ϕ,c 1 ψ 1 +c 2 ψ 2 ) = c 1 (ϕ,ψ 1 )+c 2 (ϕ,ψ 2 ) (iii) (i) + (ii) (c 1 ϕ 1 +c 2 ϕ 2,ψ) = c 1 (ϕ 1,ψ)+c 2 (ϕ 2,ψ) (iv) Positivität (ψ, ψ) = d 3 rψ ( r)ψ( r) = d 3 r ψ( r) 2 0 wobei = nur fallsψ( r) 0.

26 Operatoren im Skalarprodukt Einsetzen der Definition ( ϕ,aψ ) = d 3 rϕ ( r)aψ( r)

27 Operatoren im Skalarprodukt Einsetzen der Definition ( ϕ,aψ ) = d 3 rϕ ( r)aψ( r) Orthogonalität ϕ ψ : (ϕ,ψ) = 0

28 Operatoren im Skalarprodukt Einsetzen der Definition ( ϕ,aψ ) = d 3 rϕ ( r)aψ( r) Orthogonalität ϕ ψ : (ϕ,ψ) = 0 Adjungierter Operator ( ) ϕ,a ψ = ( Aϕ,ψ ) d.h. d 3 rϕ ( r)a ψ( r) = d 3 r ( Aϕ( r) ) ψ( r) für beliebigeϕ,ψ

29 Hermitesche Operatoren Definition A heißt hermitesch : A = A

30 Hermitesche Operatoren Definition A heißt hermitesch : A = A Eigenschaften: (i) Reihenfolge wichtig (AB) = B A

31 Hermitesche Operatoren Definition A heißt hermitesch : A = A Eigenschaften: (i) Reihenfolge wichtig (AB) = B A (ii) Summe wieder hermitesch ( A+B ) = A +B

32 Hermitesche Operatoren Definition A heißt hermitesch : A = A Eigenschaften: (i) Reihenfolge wichtig (AB) = B A (ii) Summe wieder hermitesch ( A+B ) = A +B (iii) Multiplikation mit komplexen Zahlen c ( ca ) = c A

33 Hermitesche Operatoren Definition A heißt hermitesch : A = A Eigenschaften: (i) Reihenfolge wichtig (AB) = B A (ii) Summe wieder hermitesch ( A+B ) = A +B (iii) Multiplikation mit komplexen Zahlen c ( ca ) = c A (iv) A hermitesch A n (n Æ) ebenfalls hermitesch.

34 Hermitesche Operatoren Definition A heißt hermitesch : A = A Eigenschaften: (i) Reihenfolge wichtig (AB) = B A (ii) Summe wieder hermitesch ( A+B ) = A +B (iii) Multiplikation mit komplexen Zahlen c ( ca ) = c A (iv) A hermitesch A n (n Æ) ebenfalls hermitesch. (v) Kommutator zweier hermitescher Operatoren ist anti hermitesch ([ A,B ]) = [ A,B ]

35 Erwartungswerte von Operatoren Definition A = d 3 rψ ( r,t)aψ( r,t)

36 Erwartungswerte von Operatoren Definition A = d 3 rψ ( r,t)aψ( r,t) Theorem: Hermitesche Operatoren A besitzen reelle Erwartungswerte A.

37 Beispiele für hermitesche Operatoren Ortsoperator r ( ) Φ, rψ = d 3 rφ ( r,t) ( rψ( r,t) ) = d 3 r ( rφ( r,t) ) ( ) Ψ( r,t) = rφ,ψ

38 Beispiele für hermitesche Operatoren Ortsoperator r Impulsoperator p ( Φ,px Ψ ) = d 3 rφ ( r,t) ( i ) x Ψ( r,t)

39 Beispiele für hermitesche Operatoren Ortsoperator r Impulsoperator p ( Φ,px Ψ ) ( ) = d 3 rφ ( r,t) i x Ψ( r,t) = ( ) d 3 r i x Φ( r,t) Ψ( r,t) partielle Integration

40 Beispiele für hermitesche Operatoren Ortsoperator r Impulsoperator p ( Φ,px Ψ ) ( ) = d 3 rφ ( r,t) i x Ψ( r,t) = ( ) d 3 r i x Φ( r,t) Ψ( r,t) ( ) = d 3 r i x Φ( r,t) Ψ( r,t) = ( p x Φ,Ψ )

41 Beispiele für hermitesche Operatoren Ortsoperator r Impulsoperator p Hamilton Operator H = p2 2m +V( r)

42 Kommutator Definition [ A,B ] := AB BA

43 Kommutator Definition [ A,B ] := AB BA Beispiele: [ ] (i) x i, x j = δ ij

44 Kommutator Definition [ A,B ] := AB BA Beispiele: [ ] (i) x i, = δ ij x j (ii) [L i,l j ] = i ε ijk L k

45 Kommutator Definition [ A,B ] := AB BA Beispiele: [ ] (i) x i, = δ ij x j (ii) [L i,l j ] = i ε ijk L k Eigenschaften: (i) Antisymmetrie [ A,B ] = [ B,A ]

46 Kommutator Definition [ A,B ] := AB BA Beispiele: [ ] (i) x i, = δ ij x j (ii) [L i,l j ] = i ε ijk L k Eigenschaften: (i) Antisymmetrie [ A,B ] = [ B,A ] (ii) Jacobi Identität [ AB,C ] = A [ B,C ] + [ A,C ] B

47 Postulate der Quantenmechanik (I) Postulat I: Der Zustand eines Teilchens wird durch seine WellenfunktionΨ( r,t) beschrieben. Ψ( r,t) 2 d 3 r gibt die Wahrscheinlichkeit an, das Teilchen am Ort r im Volumenelement d 3 r zu finden. Es gilt die Normierungsbedingung d 3 r Ψ( r,t) 2 = 1 = (Ψ,Ψ)

48 Postulate der Quantenmechanik (I) Postulat I: Der Zustand eines Teilchens wird durch seine WellenfunktionΨ( r,t) beschrieben. Ψ( r,t) 2 d 3 r gibt die Wahrscheinlichkeit an, das Teilchen am Ort r im Volumenelement d 3 r zu finden. Postulat II: Den Messgrößen (Observablen) der klassischen Mechanik entsprechen in der Quantenmechanik hermitesche Operatoren. Der Erwartungswert eines Operators A im durch Ψ( r, t) beschriebenen Zustand ist gegeben durch A = d 3 rψ ( r,t)aψ( r,t) = ( Ψ,AΨ ) Dieser Wert ergibt sich durch Mittelung der Messergebnisse, die man erhält, wenn man das System sehr oft in dem durch Ψ( r, t) beschriebenen Zustand präpariert und die zu A assoziierte Größe misst.

49 Postulate der Quantenmechanik (I) Postulat I: Der Zustand eines Teilchens wird durch seine WellenfunktionΨ( r,t) beschrieben. Ψ( r,t) 2 d 3 r gibt die Wahrscheinlichkeit an, das Teilchen am Ort r im Volumenelement d 3 r zu finden. Postulat II: Den Messgrößen (Observablen) der klassischen Mechanik entsprechen in der Quantenmechanik hermitesche Operatoren. Beispiele : Klassische Größe Ort r QM Operator r= r Impuls p p= i Drehimpuls L= r p ) L= i ( r Kinetische Energie T = p2 2m Potentielle Energie V( r, p) Hamilton Funktion H= p2 2m +V T = p2 2m = 2 2m V( r, i ) H= p2 2m +V= 2 2m +V

50 Postulate der Quantenmechanik (I) Postulat I: Der Zustand eines Teilchens wird durch seine WellenfunktionΨ( r,t) beschrieben. Ψ( r,t) 2 d 3 r gibt die Wahrscheinlichkeit an, das Teilchen am Ort r im Volumenelement d 3 r zu finden. Postulat II: Den Messgrößen (Observablen) der klassischen Mechanik entsprechen in der Quantenmechanik hermitesche Operatoren. Postulat III. Die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion wird durch die Schrödinger Gleichung i Ψ( r,t) = HΨ( r,t) t beschrieben.

51 Ehrenfest sches Theorem Zeitableitung von Erwartungswerten d i [ ] A A = H,A + dt t

52 Ehrenfest sches Theorem Zeitableitung von Erwartungswerten d i [ ] A A = H,A + dt t Kommutator von Hamilton Operator und Ortskoordinate 3 p [H,x i ] = 2 j 2m,x i = i m p i j=1

53 Ehrenfest sches Theorem Zeitableitung von Erwartungswerten d i [ ] A A = H,A + dt t Kommutator von Hamilton Operator und Ortskoordinate 3 p [H,x i ] = 2 j 2m,x i = i m p i j=1 Zeitableitung von r d i [ ] p r = H, r = dt m Analog: Zeitableitung von p d i p = dt [ ] V H, p = r = F

54 Unschärferelation Allgemeine Relation für hermitesche Operatoren ( 1 A ) ( B) [ B,A ] 2

55 Unschärferelation Allgemeine Relation für hermitesche Operatoren ( 1 A ) ( B) [ B,A ] 2 Heisenberg sche Unschärferelation p x 2 x p

56 Unschärferelation Allgemeine Relation für hermitesche Operatoren ( 1 A ) ( B) [ B,A ] 2 Heisenberg sche Unschärferelation p x 2 Energie Zeit Unschärfe E t 2