Übungen zur Quantenmechanik

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1 Übungen zur Quantenmechanik SS11, Peter Lenz, 1. Blatt 13. April 011 Abgabe (Aufgabe ) bis , 1:00 Uhr, Übungskästen RH 6 Aufgabe 1: Gegeben sei ein Wellenpaket der Form Ψ( x, t) = 1 8π 3 Ψ( [ ( )] k) exp i k x ωt d 3 k, (1) wobei ω = ω( k) und Ψ( k) k n 0 für k. a) Beweisen Sie die Identität v s d dt x Ψ = k ω( k) v G, Ψ in der der Erwartungswert definiert ist als A ϕ ϕ ( ξ)a( ξ) ϕ( ξ)d 3 ξ ϕ( ξ) d3 ξ ( ξ = x, k). () b) Berechnen Sie v G speziell in folgenden zwei Fällen i) ω( k) = m k ii) Ψ( k) ist konzentriert um k 0, so daß ω( k) in (1) um k 0 entwickelt werden kann: ω( ( ) k) ω 0 + v k k0 c) Die Wellenfunktion (1) kann sowohl Lösung der Schrödingergleichung als auch der Wellengleichung i t Ψ = m Ψ 1 c t Ψ = Ψ sein. Bestimmen Sie in beiden Fällen die Dispersionsrelation ω = ω( k), die Phasengeschwindigkeit ω/ k und die Gruppengeschwindigkeit v G für ein um k 0 konzentriertes Ψ( k).

2 Aufgabe : Hausaufgabe (6 Punkte) Gegeben sei zur Zeit t = 0 das eindimensionale Wellenpaket ] 1 Ψ(x, 0) = exp [ x α π α + ik 0x a) Bestimmen Sie mit Hilfe der eindimensionalen Variante von Gl. (1) die zeitliche Entwicklung des Wellenpakets, wenn gilt ω(k) = k 0 m + m k 0(k k 0 ) + m (k k 0) = k m. Hinweis: Verwenden (ud beweisen) Sie die Beziehung exp [ ax + bx ] [ ] π b dx = a exp 4a (Re(a) > 0) b) Ausgehend vom Erwartungswert () definiert man die Standardabweichung als A A A. Berechnen Sie für das gegebene Wellenpaket die Erwartungswerte x t, x t, k, k und die Standardabweichungen x, k. Untersuchen Sie die Bedeutung der Größe α und bilden Sie das Unschärfeprodukt x k für Zeiten t 0.

3 Übungen zur Quantenmechanik SS11, Peter Lenz,. Blatt 0. April 011 Abgabe (Aufgabe 5) bis , 1:00 Uhr, Übungskästen RH 6 Aufgabe 3: Gegeben seien die Elemente u und v eines Vektorraums mit Skalarprodukt. Beweisen Sie die Schwarz sche Ungleichung Wann genau gilt das Gleichheitszeichen? u v u u v v. Anleitung: Definieren Sie p u α v mit geeignetem α C und wenden Sie die Definition des Skalarproduktes an. Aufgabe 4: Gegeben seien die hermiteschen Operatoren  und ˆB und ihre Erwartungswerte  bzw. ˆB bezüglich eines Zustandes Ψ. Beweisen Sie für die Standardabweichungen A, B die allgemeine Unschärferelation A B 1 [Â, ˆB] Anleitung: Beweisen Sie zunächst mit Hilfe der Schwarz schen Ungleichung die Beziehung ( A) ( B) 1 4 {ˆα, ˆβ} 1 [ˆα, ˆβ] 4 wobei ˆα  Â, ˆβ ˆB ˆB und [ˆα, ˆβ], {ˆα, ˆβ} Kommutator bzw. Antikommutator von ˆα und ˆβ sind. Aufgabe 5: (6 Punkte) Bei einer Compton-Streuung werden Photonen an einem ursprünglich als ruhend gedachten Elektron (z. B. im Eigensystem des Elektrons) gestreut. a) Zeigen Sie mit Hile des Energie- und Impulssatzes, dass die Wellenlänge λ der gestreuten Photonen um verschoben ist. λ = λ λ = λ c [1 cos θ], mit λ c h m 0 c

4 b) Berechnen Sie die relative Wellenlängenänderung λ/λ bei Strenung unter θ = π/ für sichtbares Licht (λ 600nm), Röntgenstrahlung (λ 50pm) und γ-strahlen (λ 1pm). c) Zeigen Sie, dass ein Photon in einem Stoß mit einem freien Elektron nicht seine gesamte Energie auf das Elektron (relativistisch) übertragen kann.

5 Übungen zur Quantenmechanik SS11, Peter Lenz, 3. Blatt 7. April 011 Abgabe (Aufgaben 8 und 9) bis , 14:15 Uhr, Übungskästen RH 6 Aufgabe 6: Bestimmen Sie alle diejenigen Zustandsfunktionen Ψ(x), für die x p = ist. Hinweis: Erinnern Sie sich an den Lösungsweg von Aufgabe 5. Aufgabe 7: Der lineare Operator A sei auf einem komplexen Hilbertraum H definiert und es gelte u A u = 0 für jedes u H. Beweisen Sie, daß A der Nulloperator in H ist. Aufgabe 8: (8 Punkte) In einem zweidimensionalen Hilbertraum mit der orthonormalen Basis { 1, } sei der Operator A λ λ 1 mit λ 1, λ C gegeben. a) Für welche λ 1, λ ist A hermitesch? Berechnen Sie für diesen Fall die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren von A. Stellen Sie den Operator A in seiner Eigenbasis als Matrix dar ( A-Darstellung ). b) Wie lautet der Operator U (in Dirac-Schreibweise), der die Basis { 1, } in die Eigenbasis von A überführt? Beweisen Sie, daß U unitär ist. Wie hängt die { 1, }- Darstellung von A mit der Eigendarstellung von A zusammen? Geben Sie die Matrix- Darstellungen von U und U + in der { 1, }-Darstellung und in der A-Darstellung an. Aufgabe 9: (8 Punkte) Beweisen Sie die folgenden Eigenschaften des Kommutators der Operatoren A, B, und C: (i) [A, B] = [B, A] (ii) [A, B + C] = [A, B] + [A, C]

6 (iii) [A, BC] = [A, B]C + B[A, C] (iv) [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0 (Jacobi Identität) Berechnen Sie die folgenden Kommutatoren zwischen dem Ortsoperator x und dem Impulsoperator p x = i (v) [x, p x ] (vi) [x, p x ] (vii) [x n, p x ] (viii) [p x, x] : x

7 Übungen zur Quantenmechanik SS11, Peter Lenz, 4. Blatt 4. Mai 011 Abgabe (Aufgabe 1) bis , 14:15 Uhr, Übungskästen RH 6 Aufgabe 10: a) M(m, C) sei die Menge der (m m)-matrizen mit Einträgen aus C. Eine Funktion A : R M(m, C), t A(t) heiße stetig, differenzierbar, integrierbar,..., falls alle Komponentenfunktionen a i,j (t) die jeweilige Eigenschaft besitzen. Beweisen Sie für differenzierbare C(t), D(t) M(m, C) die Produktregel ( ) ( ) d d d dt (CD) = C dt D + dt C D, und berechnen Sie d dt [A(t)]m, m N 0. Wie lautet die letzte Formel im Fall [ d {A(t)}, A(t)] = 0? dt b) Für A M(m, C) sei die Matrix e A definiert durch die Reihe e A := n=0 1 n! An. Beweisen Sie, daß für differenzierbares f C R, gilt: ( ) d d dt ef(t)a = dt f(t) A e f(t)a.

8 Aufgabe 11: a) Seien A, B M(m, C) mit [A, B] = 0. Zeigen Sie, daß dann gilt: e A+B = e A e B = e B e A. Hinweis: Erinnern Sie sich an das Cauchyprodukt von Reihen. Gilt die binomische Formel für A, B? b) Seien A, B M(m, C). Es ist zu zeigen, daß e A Be A = n=0 1 n! [A, B] (n), ] mit [A, B] (0) = B und [A, B] (n+1) = [A, [A, B] (n) n N gilt. Hinweis: Es bezeichne R A (L A ) die Rechts- (Links-)multiplikation einer Matrix mit der Matrix A: L A (B) := AB R A := BA. Wie wirkt [L A, R A ] auf ein B M(m, C) und gilt die binomische Formel für L A, R A? Wie hängt schließlich (L A R A ) mit [A, B] (n) zusammen? c) Beweisen Sie unter der Voraussetzung [A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0 die Beziehung e A+B = e A e B e [A,B]/. Hinweis:Stellen Sie eine Differentialgleichung für H(A, B, x) := e xa e xb auf und verwenden Sie b). Aufgabe 1: (6 Punkte) H 1 und H seien Teilräume eines Hilbertraums H auf die die Projektoren P 1 bzw. P projizieren. Beweisen Sie notwendige und hinreichende Bedingungen dafür, daß folgende Operatoren Projektoren (d.h., daßp = P und P = P gilt) sind: α) 1 P 1, β) P 1 P, γ) P 1 + P Auf welche Teilmengen von H projizieren sie? (Beweis!)

9 Übungen zur Quantenmechanik SS11, Peter Lenz, 5. Blatt 11. Mai 011 Abgabe (Aufgabe 15) bis , 14:15 Uhr, Übungskästen RH 6 Aufgabe 13: Als ein eindimensionales Modell für ein Elektron in einem Festkörper werde eine Kette von L Atomen im Abstand a betrachtet, die sich am Rand periodisch wiederholt. Der normierte Zustand l beschreibe den Zustand, in dem sich das Elektron mit der Energie E 0 am isoliert gedachten Atom l aufhält. Die Randbedingung lautet somit l ± L = l für l = 1,..., L. Das Elektron soll von einem Atom l zu seinen Nachbaratomen l ± 1 tunneln können. Der gesamte Hamiltonoperator lautet also Ĥ = Ĥ0 + ĤW mit L Ĥ 0 = E 0 l l = E 0ˆ1 Ĥ W = A l=1 L l l l l 1 (A > 0). l=1 a) Zeigen Sie, daß Ĥ auf dem durch { l l = 1,.., L} aufgespannten Hilbertraum hermitesch ist. b) Betrachten Sie den Operator L ˆT = n n + 1. n=1 Welchen Vorgang beschreibt er? Bestimmen Sie seine Eigenwerte und seine normierten Eigenvektoren L Ψ n = c n,l l. l=1 Zeigen Sie, daß die Zustände Ψ n eine Orthonormalbasis des Hilbertraums bilden. Anleitung: Untersuchen Sie zunächst die Wirkung von ˆT L auf die Basis { l } und beachten Sie, daß mit c n,l±l = c n,l ist. L L c n,l l = c n,l±l l ± L l=1 l=1

10 c) Berechnen Sie [ Ĥ, ˆT ] und weisen Sie nach, daß die Eigenvektoren von ˆT auch Eigenvektoren von Ĥ sind. Bestimmen Sie die Eigenwerte von Ĥ. Aufgabe 14: Betrachten Sie Elektronen (mit Spin= 1 ) in einem externen Magnetfeld B (in z-richtung). Der Hamiltonian des Systems ist gegeben durch ( ) eb H = S z = ωs z, mc mit ω e B/(mc). Beschreiben Sie die Dynamik eines Systems, das sich zum Zeitpunkt t = 0 im S + x -Zustand befindet. Aufgabe 15: (6 Punkte) (a) Zeigen Sie (b) Zeigen Sie β x α = p x α = i p p α dp Φ β(p )i p Φ α(p ) (c) Was ist die physikalische Bedeutung des folgenden Operators? ( ) ixξ Z = exp, wobei x der Ortsoperator ist und Ξ eine Zahl mit der Dimension eines Impulses. Begründen Sie Ihre Antwort.

11 Übungen zur Quantenmechanik SS11, Peter Lenz, 6. Blatt 18. Mai 011 Abgabe (Aufgabe 18) bis , 14:15 Uhr, Übungskästen RH 6 Aufgabe 16: Berechnen sie mit Hilfe der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren die Erwartungswerte x, p, x, p, xp + px und das Unschärfeprodukt x p in den Energieeigenzuständen n des eindimensionalen harmonischen Oszillators. Aufgabe 17: Gegeben sei der Hamilton-Operator H = p m + V (x). a) Geben Sie die Schrödinger-Gleichung in der Impulsdarstellung an. (Benutzen Sie die Dirac-Schreibweise!) b) Formulieren Sie das Eigenwertproblem von H in der Impulsdarstellung. c) Spezialisieren Sie das Ergebnis von b) für den Fall des eindimensionalen harmonischen Oszillators. Aufgabe 18: (6 Punkte) Die totale zeitliche Ableitung des quantenmechanischen Erwartungswertes eines Operators A ist gegeben durch Der Hamilton-Operator ist d dt ψ A ψ t da dt = 1 i y [A, H] ψ t + ψ A t ψ t. H = p m + V (r) und beschreibe die dreidimensionale Bewegung eines Teilchens im Potential V (r). a) Zeigen Sie, daß die klassische Beziehung p = mṙ für die quantenmechanischen Erwartungswerte gilt, d. h. es gilt p t = m d dt r t 1. Ehrenfestscher Satz.

12 b) Zeigen Sie weiterhin, daß die quantenmechanischen Erwartungswerte die folgende Relation erfüllen m d dt r t = d dt p t = V (r) t. Ehrenfestscher Satz. c) Hat der. Ehrenfestsche Satz exakt die Form der Newtonschen Bewegungsgleichung? Welche Eigenschaft muß die Wellenfunktion ψ(r, t) haben, damit die klassische Mechanik möglichst gut erfüllbar ist?

13 Übungen zur Quantenmechanik SS11, Peter Lenz, 7. Blatt 5. Mai 011 Abgabe (Aufgabe 0 & 1) bis , 14:15 Uhr, Übungskästen RH 6 Aufgabe 19: Betrachten Sie einen 1-dimensionalen Harmonischen Oszillator. Führen Sie die folgenden Rechnungen algebraisch durch (also ohne Verwendung von Wellenfunktionen). a) Konstruieren Sie eine Linearkombination von 0 und 1 mit maximalem x. b) Jetzt sei der Oszillator zum Zeitpunkt t = 0 in dem in a) konstruierten Zustand. Was ist der Zustandsvektor für t > 0 im Schrödingerbild? Berechnen Sie x als Funktion der Zeit für t > 0 im (i) Schrödingerbild und im (ii) Heisenbergbild. Aufgabe 0: (8 Punkte) Ein kohärenter Zustand eines 1-dimensionalen Harmonischen Oszillators ist definiert als Eigenzustand des (Nicht-Hermitischen) Vernichtungsoperators a a λ = λ λ, wobei λ eine komplexe Zahl ist. a) Zeigen Sie, daß λ = e λ / e λa 0, ein normierter kohärenter Zustand ist. b) Untersuchen Sie die Unschärferelation für diesen Zustand. c) Schreiben Sie λ als λ = f(n) n. n=0 Zeigen Sie, daß f(n) einer Poisson-Verteilung genügt. Finden Sie den wahrscheinlichsten Wert für n. d) Zeigen Sie, daß man einen kohärenter Zustand durch Anwendung des Translationsoperators e ipl/ (wobei l die Verschiebungslänge bezeichnet) auf den Grundzustand erhält.

14 Aufgabe 1: (4 Punkte) Seien ϕ(x) und ϕ(p) die Orts- bzw. Impulsdarstellung eines Zustandes ϕ. Berechnen Sie die Ortsdarstellung des Zustandes ϕ a exp [ i a p ] ϕ und die Impulsdarstellung des Zustandes ϕ b exp [ i b x ] ϕ jeweils mit konstantem Vektor a und b.

15 Übungen zur Quantenmechanik SS11, Peter Lenz, 8. Blatt 1. Juni 011 Abgabe (Aufgaben -4) bis , 14:15 Uhr, Übungskästen RH 6 Aufgabe : (1 Punkte) Betrachten Sie das eindimensionale quantenmechanische System mit dem Hamiltonoperator H = p m + V (x) und der potentiellen Energie V (x) = { Aδ(x) für x a für x >a (A 0). a) Bestimmen Sie die normierten Eigenfunktionen von H und diskutieren Sie die zugehörigen Eigenwerte grafisch in Abhängigkeit von A (insbesondere für A = 0 und A ). Skizzieren Sie die Eigenfunktionen für die beiden niedrigsten Eigenwerte für verschiedene A. Anleitung: i) Beweisen Sie zunächst die Sprungbedingung ψ (x = 0 + ) ψ (x = 0 ) = ma Ψ(0) für die Ableitung der Eigenfunktionen an der Stelle x = 0. ii) Lösen Sie die Schrödinger-Gleichung in den Gebieten I (x > 0) und II (x < 0) und konstruieren Sie die Eigenfunktionen von H durch Anpassung an die Randbedingungen bei x = 0 und x = ±a. Nutzen Sie aus, daß die Eigenfunktionen entweder symmetrisch oder antisymmetrisch sind. b) Ein Teilchen im System werde durch die Wellenfunktion ϕ(x) = C sin 3 [ π a x ] beschrieben. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich das Teilchen im n-ten Eigenzustand von H? Aufgabe 3: (4 Punkte) Betrachten Sie erneut das System aus der letzten Aufgabe. Es sei maa und interpretieren Sie für diesen Fall die Zustände ϕ (x) := 1 (χ 1 (x) χ (x)) 1. Skizzieren

16 wobei χ 1, χ die normierten Eigenfunktionen zu den beiden niedrigsten Eigenwerten seien. Diskutieren Sie den zeitlichen Verlauf von ψ(x, t) mit ψ(x, 0) = ϕ + (x) und interpretieren Sie das Ergebnis. Aufgabe 4: (13 Punkte) Ein von negativem x her einfallender Strom von Teilchen der Masse m falle auf die Potentialbarriere mit a, V 0 > 0 konstant. V (x) = { V0 für x < a 0 für x > a a) Berechnen Sie für Einfallsenergien E V 0 den Transmissionskoefizient T. Skizzieren Sie seine Abhängigkeit von ε := E V 0 für C = 10, 1, 1/10 mit C := a mv 0. Geben Sie eine für V 0 E ma gültige Näherungsformel für T an. Hinweis: Benutzen Sie Hyperbelfunktionen. b) Die Potentialbarriere habe eine Breite von a = m und eine Tiefe von V 0 = ev. Berechnen Sie T für Elektronen, die mit der Energie E = 1eV auf die Barriere fallen. Wie lautet das Ergebnis für Protonen? c) Berechnen Sie im Bereich x < a die stationäre Lösung Ψ(x) der Schrödingergleichung für den Fall, daß der einfallende Teilchenstrom die Dichte mit E V m 0 E hat. Skizzieren Sie Ψ(x). Berechnen Sie die Stromdichte im Bereich x < a.

17 Übungen zur Quantenmechanik SS11, Peter Lenz, 9. Blatt 8. Juni 011 Abgabe (Aufgaben 5-7) bis , 14:15 Uhr, Übungskästen RH 6 Aufgabe 5: (13 Punkte) In einer Raumdimension sei ein Potential V (x) gegeben, welches aus n + 1 nicht-überlappenden Anteilen bestehe: V (x) := n v t (x). Dabei gelte v t = 0 auf dem Intervall R\[a t, b t ] mit b t 1 < a t b t < a t+1. In der Region I mit x < a 0 und der Region II mit x > b n gelte jeweils: t=0 Ψ I (II) (x) = A I (II) e ikx + B I (II) e ikx. a) Zeigen Sie, dass gilt: ( ) AII = M(n) B = II mit der Matrix = M(n) = n t=0 = M t, wobei die Matrizen = M t die Streung an v t beschreiben. b) Die v t seien konkret gegeben durch die Deltafunktionen v t (x) = c δ(x ts), mit dem Abstand s > 0 und der Stärke c > 0. ( AI (i) Berechnen Sie = M 0 = = M(0) für n = 0. Benutzen Sie die Sprungbedingung aus Aufgabe. (ii) Verallgemeinern Sie das Ergebnis aus (i) indem Sie = M j angeben für ein beliebiges j {0, 1,..., n}. B I ), Berechnen Sie die Matrizen = M(0) und = M(1) und bringen Sie sie auf die in (iii) angegebene Form. (iii) Beweisen Sie, dass M(n) = gegeben ist durch ( ) 1 + (βun ) =M(n) = e i θn i nφ i(βu n )e i(βu n )e i nφ 1 + (βun ) i, θn e dabei ist β := mc/( k), φ = ks sowie z := cos(φ) + β sin(φ). Die U n (z) sind Chebyshevpolynome zweiter Art, welche die folgende Rekursionsbeziehung erfüllen: U n+ (z) z U n+1 (z) + U n (z) = 0, n N 0.

18 Hierbei ist U 0 (z) = 1 und U 1 (z) = z. Die spezielle Form der θ n ist hier ohne Relevanz. Tipp: - Zeigen Sie zuerst, dass diagonal gegenüberliegende Einträge in M(n) = konjugiertkomplex zueinander sind: M 11 = M und M 1 = M1. (c) Berechnen Sie die Transmissionswahrscheinlichkeit T n für den Fall B II = 0. (i) Betrachten Sie T n als Funktion von φ für die Fälle n {0, 1, 5, 10, 100} mit mcs =. Diskutieren Sie den Verlauf. (ii) Wie verhält sich lim n T n für z > 1 und was bedeutet das physikalisch? Aufgabe 6: (9 Punkte) Betrachten Sie den Hamiltonoperator H 0 eines eindimensionalen harmonischen Oszillators, der durch den Operator gestört werde. V = λ 4m ω 3 x 4 (λ > 0) a) Bestimmen Sie die Energien in erster und die Grundzustandsenergie in zweiter störungstheoretischer Näherung. b) Verwenden Sie als Schar von Variationswellenfunktionen φ(α) = 1 + cos (α) 0 1 cos (α) wobei n die normierten Eigenzustände von H 0 zum n-ten Eigenwert seien. Bestimmen Sie die variationelle Grundzustandsenergie E var (λ) von H = H 0 + V und vergleichen Sie diese graphisch mit dem Ergebnis der Störungstheorie aus a). Prüfen Sie, ob beide Ergebnisse zur Ordnung λ übereinstimmen. c) Sei E(λ) die exakte Grundzustandsenergie von H. Beweisen Sie, daß E(λ) 0. λ Hinweis: Rechnen Sie mit den abstrakten Zuständen n also nicht in der Ortsdarstellung. Aufgabe 7: (8 Punkte) Gegeben sei der Hamilton-Operator des anisotropen harmonischen Oszillators H 0 = p m + m 3 ωk x k, ω k R +. k=1

19 a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und die Ortsdarstellung ψ(x) der Eigenfunktionen von H 0 in kartesischen Koordinaten. Anleitung: Führen Sie das Problem mit dem Ansatz ψ(x) = ψ 1 (x 1 )ψ (x )ψ 3 (x 3 ) auf die Eigenwertaufgabe des eindimensionalen harmonischen Oszillators zurück. b) Bestimmen Sie den Entartungsgrad der drei niedrigsten Eigenwerte für folgende Fälle: α) ω 1 = ω = ω 3, β) ω 1 = ω = 1 3 ω 3 γ) ω 1 ω ω 3, ω i ω k / Q und ω i + ω k / Q für i, k = 1,, 3. c) Bestimmen Sie die Eigenwerte für den Oszillator mit dem Hamilton-Operator H = p m + m ω 0[x 1 + x + 9x 3] + mω 0αx 1 x, α ( 1, 1). Anleitung: Führen Sie zunächst die folgende Transformation aus x 1 = 1 (x 1 x ), x = 1 (x 1 + x ), x 3 = x 3, p 1 = 1 (p 1 p ), p = 1 (p 1 + p ), p 3 = p 3. d) Drücken Sie den Hamiltonoperator H durch Auf- und Absteigeoperatoren a k, a k bezüglich der drei kartesischen Koordinaten k = 1,, 3 aus und diagonalisieren Sie ihn mittels einer geeignete Transformation a k = 3 u k,l c l, a k = l=1 3 u k,l c l l=1 auf neue Auf- und Absteigeoperatoren c l, c l.

20 Übungen zur Quantenmechanik SS11, Peter Lenz, 10. Blatt 15. Juni 011 Abgabe (Aufgaben 8-30) bis , 14:15 Uhr, Übungskästen RH 6 Aufgabe 8: (9 Punkte) Betrachten Sie erneut das eindimensionale System aus Aufgabe und behandeln Sie das Potential V (x) δ(x) als Störung zum Operator H 0 des Teilchens im Potentialkasten. a) Berechnen Sie die Grundzustandsenergie in zweiter und den Grundzustand in erster Ordnung Störungstheorie. b) Entwickeln Sie die gleichen Größen aus den exakten Ergebnissen und prüfen Sie analytisch, ob diese mit den störungstheoretischen Resultaten übereinstimmen. c) Skizzieren Sie den exakten und den störungstheoretischen Grundzustand für verschiedene Werte von maa {0, 0.1, 0.3, 0.9, 1.5}. Lösen Sie hierzu die exakte Eigenwertgleichung numerisch, d.h. mit Hilfe eines Computers. Aufgabe 9: (9 Punkte) Auf einen axialsymmetrischen harmonischen Oszillator mit dem Hamilton-Operator H 0 = p m + m [ ω 0 x 1 + x + 9x3] wirke eine Störung V = mω 0αx 1 x mit α R. a) Berechnen Sie für den Grundzustand die Energie in 1. und. störungstheoretischer Ordnung und die Wellenfunktion in 1. Ordnung. b) Berechnen Sie für die aus dem 1. angeregten Zustand des ungestörten Oszillators hervorgehenden Zustände die Energien in 1. störungstheoretischer Ordnung und die zugehörigen normierten richtigen Linearkombinationen. Zu welchem mit H 0 und V vertauschbarem Operator sind sie Eigenfunktionen? c) Berechnen Sie für den 1. angeregten Zustand die Energien in. störungstheoretischer Ordnung. d) Vergleichen Sie die erhaltenen Energiewerte mit den bekannten exakten Werten.

21 Hinweis: Rechnen Sie nicht in der Ortsdarstellung, sondern führen Sie zunächst Auf- und Absteigeoperatoren a k, a k (k = 1,, 3) bezüglich der drei kartesischen Koordinaten ein. Aufgabe 30: (10 Punkte) Es sei J ein Drehimpulsoperator. Dann bezeichnet man V als Vektoroperator bezüglich J, falls [J j, V k ] = i 3 ε jkl V l für j, k = 1,, 3 und Z als skalaren Operator, falls [J, Z] = 0. l=1 a) Zeigen Sie, daß der Ortsoperator x und der Impulsoperator p Vektoroperatoren bezüglich des Bahndrehimpulsoperators L x p sind. b) A und B seien Vektoroperatoren bezüglich J. Zeigen Sie, daß A B n A nb n ein skalarer Operator bezüglich J ist. c) Sei Z skalarer Operator bezüglich J. Beweisen Sie, daß gilt j m Z jm = jm Z jm δ jj δ mm und zeigen Sie, daß jm Z jm unabhängig von m ist. d) Sei V Vektoroperator bezüglich J. Bestimmen Sie für jede seiner Komponenten einzeln diejenigen m, m, für welche die entsprechenden Matrixelemente j m V k j m, k = 1,, 3 in der Drehimpulsdarstellung für alle möglichen j und j verschwinden. e) Beweisen Sie die Relation [ J, [ J, V ]] = ( V J + J V ) 4 J (J V )