Elemente in Φ werden Wurzeln genannt. Bemerkung 3.2. (a) Zu einem Wurzelsystem können wir immer eine Spiegelungsgruppe definieren

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1 3. Wurzelsysteme Als erstes führen wir den Begriff eines Wurzelsystems ein. Definition 3.1 (Wurzelsystem). Eine endliche Teilmenge Φ V {0} heißt Wurzelsystem falls gilt: (R1) Φ Rα = {±α} für α Φ, (R2) s α Φ = Φ für α Φ. Elemente in Φ werden Wurzeln genannt. Bemerkung 3.2. (a) Zu einem Wurzelsystem können wir immer eine Spiegelungsgruppe definieren W (Φ) = s α α Φ O(V, R). Übung: Dies ist eine endliche reelle Spiegelungsgruppe. (b) Die Begriffe Wurzel und entsprechend Wurzelsystem stammen aus der Lie Theorie. Unsere Definition von Wurzelsystem ist etwas schwächer als die die in der Lie Theorie üblich ist. Dies werden wir später beim Begriff eines kristallographischen Wurzelsystems noch genauer sehen. Beispiel 3.3. Wir haben bereits im letzten Abschnitt ein Beispiel gesehen. ε 2 ε 1 Wie schon in Kapitel 2 seien die beiden blauen Achsen die Hyperebenen H α für die beiden Erzeuger s und t der Diedergruppe D 4. Die Menge von Vektoren Φ = {±ε 1, ±ε 2, ±(ε 1 + ε 2 ), ±(ε 1 ε 2 )} bilden ein Wurzelsystem mit W (Φ) = D 4. Natürlich wollen wir das jede Spiegelungsgruppe als Gruppe assoziiert zu einem Wurzelsystem auftaucht. Dies wird durch folgende Proposition gewährleistet. Proposition 3.4. Sei W eine endliche reelle Spiegelungsgruppe auf V. Dann existiert ein Wurzelsystem Φ in V mit W (Φ) = W. 1

2 2 Beweis. Setze Φ = {α V α = 1 und L α L(W )}. Dies ist eine Teilmenge von Vektoren die die Bedingung (R1) erfüllt. Für α Φ gilt s α W und somit s α L β = L sαβ L(W ) und somit s α β Φ für β Φ. Also ist Φ ein Wurzelsystem. Weiterhin gilt α Φ L α L(W ) s α W W (Φ) W. Sei umgekehrt s W eine Spiegelung, dann existiert ein α mit s = s α. O.B.d.A können wir annehmen α = 1. α Φ s α W (Φ) W W (Φ), wobei die letzte Folgerung von der Tatsache herrührt, dass W von Spiegelungen erzeugt wird. Um Wurzelsysteme weiter zu untersuchen wollen wir spezielle Teilmengen genauer untersuchen. Dies soll zuerst am Beispiel erläutert werden. Beispiel 3.5. Wir betrachten das gleiche Beispiel wie zuvor in Beispiel 3.3. ε 1 + ε 2 ε 2 ε 1 + ε 2 ε 1 + ε 1 ε 1 ε 2 ε 2 ε 1 ε 2 Von den acht Vektoren Φ = {±ε 1, ±ε 2, ±(ε 1 + ε 2 ), ±(ε 1 ε 2 )} wählen wir die aus die auf der rechten Seite der roten gestrichelten Geraden liegen, also Π = {ε 1, ε 2, ε 1 + ε 2, ε 1 ε 2 }. Wenn wir nun gucken welche dieser 4 Vektoren senkrecht auf unseren vorher blau eingezeichneten Hyperebenen stehen, erhalten wir = {ε 2, ε 1 ε 2 }. Die Besonderheit an der Menge ist, das es sich um eine Basis der R 2 handelt und jedes Element von Π eine nicht-negative Linearkombination von Elementen in ist, während natürlich jedes Element in Π eine nichtpositive Linearkombination ist. Wie mit den roten Symbolen + und angegeben wollen wir die Elemente in Π als positive Elemente betrachten während die in so etwas wie einfache Erzeuger sein sollen. Um von positiven und negativen Vektoren reden zu können benötigen wir zuerst den Begriff einer Ordnung.

3 Definition 3.6 (Totale Ordnung). Eine totale Ordnung auf V ist eine transitive Relation < auf V mit folgenden Eigenschaften (1) Für λ, µ V gilt genau eine der drei folgenden Relationen (2) Für λ, µ, ν V mit µ < ν gilt λ < µ λ = µ λ > µ. µ + λ < ν + λ. (3) Für λ, µ V, c R und λ < µ gilt cλ < cµ c > 0, cλ > cµ c < 0. Bemerkung 3.7. Ein λ V heißt positiv falls gilt 0 < λ. Die Menge der positiven Vektoren bezeichnen wir dann als V >0, sie ist abgeschlossen unter Addition und unter Skalarmultiplikation mit positiven Skalaren. Die erste Frage die man sich stellt ist natürlich ob totale Ordnungen eigentlich existieren oder ob man sie überhaupt einfach konstruieren kann. Beispiel 3.8. Sei B = {b 1,..., b n } eine geordnete Basis von V. Man kann V bezüglich dieser Basis mit dem R n identifizieren und auf der Menge der Spaltenvektoren die lexikographische Ordnung wählen. Man sieht leicht, das dies eine totale Ordnung ist. Insbesondere gilt für diese Ordnung, dass B V >0 gilt. Beispiel 3.9. Wenn man im Beispiel 3.5 die Menge Φ bezüglich der lexikographischen Ordnung, die durch die geordnete Basis {ε 1, ε 2 } gegeben ist, anordnet, so erhält man ε 1 ε 2 < ε 1 < ε 1 + ε 2 < ε 2 < 0 < ε 2 < ε 1 ε 2 < ε 1 < ε 1 + ε 2. Man sieht also das unsere Menge Π gerade die Vektoren waren die positiv sind in Φ und waren minimale Elemente bezüglich dieser Ordnung. Dies motiviert die folgende Definition. Definition 3.10 (Einfache und positive Systeme). Sei Φ ein Wurzelsystem in V. (1) Wir nennen eine Teilmenge Π Φ ein positives System, falls eine totale Ordnung < auf V existiert, so dass Π = Φ V >0. Die Teilmenge Π nennen wir dann entsprechend ein negatives System und die Elemente von Π bzw. Π nennen wir positive bzw. negative Wurzeln. (2) Wir nennen eine Teilmenge Φ ein einfaches System, falls eine Basis von Φ R ist und für ein Element α Φ gilt. Wenn α = a γ γ, γ so sind entweder alle a γ 0 oder alle a γ 0. 3

4 4 Bemerkung Da es totale Ordnungen gibt, wie oben in Beispiel 3.8 gesehen, ist es klar, dass positive Systeme existieren. Die Existenz von einfachen Systemen ist nicht sofort klar. Allerdings sind positive und einfache Systeme noch deutlicher enger miteinander verbunden als man auf den ersten Blick annehmen würde. Theorem 3.12 (Existenz und Eindeutigkeit von positiven und einfachen Systemen). (a) Sei Φ ein einfaches System, dann existiert genau ein positives System Π mit Π. (b) Sei Π Φ ein positives System, dann existiert genau ein einfaches System mit Π. Beweis. Wir beginnen mit Teil (a) und der Existenz. Sei ein einfaches System und sei B eine Basis von V die enthält, sowie < die zu dieser Basis gehörende lexikographische Ordnung. Dann gilt Π = Φ V >0 ist per Definition ein positives System und da B V >0 gilt auch Π. Kommen wir nun zur Eindeutigkeit. Sei Π ein positives System mit Π und < eine totale Ordnung mit Π = Φ V >0. Sei weiterhin α Φ beliebig. Dann gilt α = a γ γ, γ da als einfaches System eine Basis vom Spann von Φ ist. Da gilt Π V >0 gilt falls alle a γ 0 sind, so gilt α V >0 und somit α Π. Sind auf der anderen Seite alle a γ 0 so gilt α V >0 und somit α Π. Wenn ein positives System also existiert so ist es eindeutig. In Teil (b) behandeln wir diesmal zuerst die Eindeutigkeit. Seien und zwei einfache Systeme in Π. Angenommen es existiert ein α. Dann folgt es existiert eine nicht-triviale nicht-negative Linearkombination α = γ a γ γ. (3.1) Aber jedes der Elemente γ kann man wiederum in der Basis als nicht-negative Linearkombination ausdrücken α = a γ ( a γ,δ δ) = γ δ δ a γ,δ a γ γ δ. Wobei die rechte Seite eine nicht-negative Linearkombination von Elementen in ist. Da die γ die in der Linearkombination (3.1) für α auftauchen alle keine Vielfachen von α sind kommen in ihrer jeweiligen Linearkombination Elemente von vor die verschieden von α sind. Damit ist die letzte Gleichung aber ein Widerspruch dazu das eine linear unabhängige Teilmenge ist. Da dieses Argument auch andersherum funktioniert gilt somit =. Kommen wir nun noch zum Beweis der Existenz im Teil (b). Sei hierfür Π eine minimale Teilmenge mit der Eigenschaft, dass sich alle Elemente von Π als nicht-negative Linearkombination der Elemente von schreiben

5 lassen. Eine solche Menge existiert da Π selbst die Eigenschaft erfüllt. Wir wollen zeigen, dass eine linear unabhängige Teilmenge ist, ein Erzeugendensystem für Φ ist es nach Konstruktion. Wir nehmen an a α α = 0 α wäre eine nicht-triviale Linearkombination. Da 0 V >0 muss es in der Linearkombination sowohl negative als auch positive Koeffizienten ungleich Null geben. Also können wir umformen und erhalten x = a α α = ( a β )β V >0. α,a α 0 β,a β 0 Wir paaren nun x mit sich selber im Skalarprodukt und erhalten 0 (x, x) = a α α, α,a α 0 β,a β 0 ( a β )β = α,a α 0 β,a β 0 5 a α ( a β )(α, β). Dann folgt aus Lemma 3.13, dass der letzte Term kleiner gleich Null sein muss. Also (x, x) = 0, also x = 0, was ein Widerspruch zu x V >0 darstellt. Also ist eine linear unabhängige Teilmenge und somit ein einfaches System. Wir müssen noch ein technisches Detail aus dem vorhergehenden Beweis nachholen. Lemma Sei Γ Π eine Teilmenge mit der Eigenschaft dass für alle δ Π existieren (a γ ) γ Γ R 0 mit δ = a γ γ γ Γ und sei Γ minimal mit dieser Eigenschaft. Dann gilt für α, β Γ mit α β. (α, β) 0 Beweis. Sei α, β Γ mit α β und nehme an das (α, β) > 0. Dann gilt s α β Φ und somit s α β Π oder s α β Π. Fall s α β Π: Dann gilt nach Voraussetzung an Γ das wir eine nichtnegative Linearkombination finden können mit s α β = a γ γ. γ Γ Wir unterscheiden ob a β grösser oder kleiner als 1 ist. Falls a β < 1 gilt β = (1 a β ) 1 γ Γ {β} a γ γ + (α, α) α. Dann haben wir aber β als nicht-negative Linearkombination von Elementen in Γ geschrieben, dies ist ein Widerspruch zur Minimalität von Γ, da wir β weglassen könnten.

6 6 Falls a β 1 haben wir hingegen 0 = (a β 1)β + (α, α) α + γ Γ {β} a γ γ, wobei die rechte Seite eine nicht-negative Linearkombination ist und der Koeffizient vor α nach Voraussetzung ungleich Null. Somit ist die rechte Seite in V >0 was ein Widerspruch ist, da 0 V >0. Fall s α β Π: Diesmal ergibt sich als Linearkombination s α β = a γ γ γ Γ (α, α) α = β + a γ γ. γ Γ Wir betrachten nun den Koeffizienten a α. Falls a α 2(β,α) (α,α) 0 = β + (a α (α, α) ) α + γ Γ {α} a γ γ. haben wir Wie oben haben wir wieder auf der rechten Seite eine nicht-negative Linearkombination von Elementen in V >0 und somit einen Widerspruch, da der Koeffizient von β z.b. von Null verschieden ist. Falls wiederum a α < 2(β,α) (α,α) so erhalten wir 1 α = ( (α, α) a α) β + a γ γ γ Γ {α} und haben wieder einen Widerspruch zur Minimalität, da wir α aus Γ eliminieren können. Insbesondere erhalten wir eine Aussage über die Skalarproduke zwischen verschiedenen einfachen Wurzeln. Korollar Sei ein einfaches System, dann gilt (α, β) 0 für α, β und α β. Da ein einfaches System als Basis des Vektorraums Φ R natürlich eine feste Größe hat, geben wir dieser noch einen Namen. Definition 3.15 (Rang). Die Kardinalität eines einfachen Systems Φ nennen wir den Rang von Φ bzw. von W (Φ). Wir wissen nun also, dass einfache und positive Systeme existieren und sich gegenseitig bestimmen. Als nächstes wollen wir noch untersuchen was passiert wenn wir mit der Spiegelungsgruppe des Wurzelsystems auf ihnen operieren. Lemma Sei Π Φ ein einfaches bzw. positives System und w W (Φ). Dann ist w( ) w(π) Φ ebenfalls ein einfaches bzw. positives System.

7 Beweis. Klar ist, dass w( ) eine Basis von Φ R ist. Ausserdem lassen sich alle Elemente in w(π) als nicht-negative Linearkombination der Elemente von w( ) darstellen und alle Element in w(π) als nicht-positive. Da Φ = w(π) w(π) gilt, ist somit w( ) per Definition ein einfaches System. Da es sich bei w(π) genau um die Elemente von Φ handelt die man mit nicht-negativen Linearkombinationen des einfachen Systems w( ) schreiben kann, haben wir schon im Beweis von Theorem 3.12 gesehen für welche totale Ordnung w(π) ein positives System ist. Generell wollen wir noch untersuchen wie sich positive Systeme ändern, wenn man Spiegelungen anwendet die zu einfachen Wurzeln gehören. Proposition Sei Π Φ ein einfaches bzw. positives System und α, dann gilt s α (Π {α}) = Π {α}. Beweis. Sei β Π {α}. Dann folgt wir können β schreiben als β = a γ γ γ mit nicht-negativen Koeffizienten. Da β α gilt insbesondere, dass es einen Koeffizienten a δ > 0 gibt für ein δ α in. Wenden wir nun s α auf diese Linearkombination an, erhalten wir 2(α, γ) s α β = a γ s α γ = (a γ γ γ γ (α, α) α). Da der Koeffizient vor δ immer noch echt größer Null ist, folgt s α β Π. Wir müssen noch ausschließen, dass s α β = α, aber s α β = α β = s α s α β = s α α = α. Dies kann nicht sein, da β Π. Also folgt s α β Π {α} und aus Kardinalitätsgründen haben wir Gleichheit der Mengen. Wir wissen nun also zum einen wie sich positive Systeme verändern wenn wir Spiegelungen zu einfachen Wurzeln anwenden und wir wissen das konjugierte von einfachen/positiven Systemen wieder einfache/positive Systeme sind. Wir wollen also noch zeigen das wir so auch alle einfachen und positiven Systeme erhalten. Theorem 3.18 (Konjugiertheit einfacher/positiver Systeme). (1) Je zwei positive Systeme Π, Π in Φ sind konjugiert unter W (Φ). Mit anderen Worten, es existiert ein w W (Φ) mit w(π) = Π. (2) Je zwei einfache Systeme, in Φ sind konjugiert unter W (Φ). Beweis. Nach Theorem 3.12 und Lemma 3.16 reicht es (a) zu zeigen, (b) folgt dann automatisch. Seien also Π und Π positive Systeme. Wir führen Induktion nach r = Π Π. Fall r = 0: Dann gilt Π = Π und wir sind fertig. 7

8 8 Fall r > 0: Sei Π das einfache System. Dann existiert ein α mit α Π, sonst müssten Π und Π nach Theorem 3.12 übereinstimmen. Dann gilt aber α Π. Nun können wir folgende Umformung machen s α Π Π = Π {α} Π + { α} Π. Da wir wissen, dass α Π folgt das der zweite Summand Null ist und der erste r 1. Aber dann können wir Induktion anwenden auf das Paar von positiven Systemen s α Π und Π und wissen, es existiert ein w W (Φ) mit w(s α Π) = Π, bzw. nach umklammern (ws α )Π = Π. Als Abschluss dieses Kapitels wollen wir uns einmal die einfachen und positiven Systeme der Diedergruppe angucken. Beispiel Wir betrachten das gleiche Beispiel wie zuvor in den Beispielen 3.3 und 3.5. ε 1 + ε 2 ε 2 ε 1 + ε 2 ε 1 ε 1 ε 1 ε 2 ε 2 ε 1 ε 2 Wir wählen folgendes Wurzelsystem wie schon vorher im Beispiel 3.5. {ε 2, ε 1 ε 2 } {ε 1, ε 2, ε 1 + ε 2, ε 1 ε 2 } {±ε 1, ±ε 2, ±(ε 1 + ε 2 ), ±(ε 1 ε 2 )}. = = Π = Φ In der folgenden Tabelle ist links jeweils ein Elemente der Diedergruppe angegeben und rechts daneben das einfache und positive System das wir erhalten wenn wir unser fest gewählten mit dem Element konjugieren. Hierbei ist s = s ε1 ε 2 und t = s ε2. 1 = {ε 2, ε 1 ε 2 } Π = {ε 1, ε 2, ε 1 + ε 2, ε 1 ε 2 } s {ε 1, (ε 1 ε 2 )} {ε 1, ε 2, ε 1 + ε 2, (ε 1 ε 2 )} ts {ε 1, (ε 1 + ε 2 )} {ε 1, ε 2, (ε 1 + ε 2 ), ε 1 ε 2 } sts {ε 2, (ε 1 + ε 2 )} { ε 1, ε 2, (ε 1 + ε 2 ), (ε 1 ε 2 )} t { ε 2, ε 1 + ε 2 } {ε 1, ε 2, ε 1 + ε 2, ε 1 ε 2 } st { ε 1, ε 1 + ε 2 } { ε 1, ε 2, ε 1 + ε 2, (ε 1 ε 2 )} tst { ε 2, ε 1 ε 2 } { ε 1, ε 2, (ε 1 + ε 2 ), ε 1 ε 2 } stst { ε 2, (ε 1 ε 2 )} { ε 1, ε 2, (ε 1 + ε 2 ), (ε 1 ε 2 )}

9 Hierbei sollte man beachten, dass die Anzahl der Elemente in jedem positiven System die auch in Π vorkommen immer genau mit der Länge des Ausdrucks am Anfang übereinstimmt. Dies ist ein Zusammenhang der sehr wichtig werden wird. 9