4. Wurzelsystem und Längenfunktion 17. Definiere A := { v W v 1 w W s,t und l(v)+l s,t (v 1 w)=l(w) }.

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1 4. Wurzelsyste und Längenfunktion 17 Definiere A := { v W v 1 w W s,t und l(v)+l s,t (v 1 w)=l(w). Wir stellen zuerst fest, dass A, daw A. Nun wählen wir v A ein Eleent kleinster Länge, also l(v) l(v )für alle v A, und setzen v 0 := v 1 w W s,t. Es gilt dann also Behauptung: wt A. (wt) 1 w = t W s,t l(wt)+l s,t (t) =l(w) 1+1=l(w) Nach der Wahl von v A ist also w = vv 0 und l(v)+l s,t (v 0 )=l(w). (#) l(v) l(wt) =l(w) 1, d. h. l(v) <l(w). Wir wollen die Induktionsvoraussetzung auf v und s anwenden und üssen dazu noch überprüfen, dass l(vs) = l(v) + 1 gilt. Behauptung: l(vs) =l(v) +1. Wenn nicht, so wäre l(vs) =l(v) 1 und (wir verwenden hier die Eigenschaft (4) aus Proposition 4.3) l(w) (4) l(vs)+l ( (vs) 1 w ) = l(vs)+l( sv {{ 1 w ) W s,t l(vs)+l s,t (sv 1 w) l(v) 1+1+l {{ s,t (v 1 {{ w ) (#) = v (4) 0 1+l s,t (v 1 w) In obiger Kette von Ungleichungen ( gilt also überall die Gleichheit. Insbesondere: l(w) =l(vs)+l s,t (vs) 1 w ),alsovs A. Aber l(vs) =l(v) 1 widerspricht der Minialität von l(v). Soit ist l(vs) =l(v) + 1 gezeigt. Und it l(v) <l(w) erhalten wir aus der Induktionsvoraussetzung ( ) das Resultat vα s Φ +. Ganz analog: Behauptung: l(vt) = l(v)+ 1. Wenn nicht, so wäre l(vt) =l(v) 1 und l(w) (4) l(vt)+l ( (vt) 1 w ) = l(vt)+l( tv {{ 1 w ) W s,t l(vt)+l s,t (tv 1 w) l(v) 1+1+l s,t (v {{ 1 {{ w ) (#) = v (4) 0 1+l s,t (v 1 w) Also überall Gleichheit. Insbesondere: l(w) =l(vt)+l s,t ( (vt) 1 w ),alsovt A. Aber l(vt) =l(v) 1 widerspricht der Minialität von l(v). Dait haben wir gezeigt: l(vt) = l(v) + 1 und l(v) <l(w). Mit der Induktionsvoraussetzung ( ) folgt also vα t Φ +.

2 18 Spiegelungsgruppen Schliesslich wα s = vv 0 α s {{ Rα s Rα t da v 0 W s,t schreibe v 0 α s =: xα s + yα t = xvα {{ s + yvα t. {{ Φ + Φ + Wenn wir zeigen können, dass x 0 und y 0 gelten, so ist der Satz bewiesen. Dait haben wir alles auf eine Rechnung in der Diedergruppe W s,t reduziert. Behauptung: l s,t (v 0 s) l s,t (v 0 ). Wenn nicht, so wäre l(ws) =l(vv 0 s) l(v)+l(v 0 s) l(v)+l s,t (v 0 s) Annahe < l(v)+l s,t (v 0 ) (#) Widerspruch zu l(ws) =l(w)+1. Es folgt: eine reduzierte Zerlegung von v 0 W s,t kann nicht it s enden. Falls st =, so entnehen wir der Seite 12 für v 0 =(st) n für v 0 = t(st) n v 0 α s =(2n +1)α s +2nα t v 0 α s =(2n +1)α s +(2n +2)α t d. h. alle Koeffizienten sind 0für n 0. Falls st =, ussl s,t (v 0 ) <gelten, da das Eleent der Länge in W s,t = Dih eine reduzierte Zerlegung hat, die it s endet,...sts {{ =...tst {{.Es bleiben also noch folgende Möglichkeiten: Länge Länge (1) v 0 =(st) n it l s,t (v 0 )=2n<,also0 n 1 2, (2) v 0 = t(st) n it l s,t (v 0 )=2n +1<,also0 n 2 2. Das Gruppeneleent st dreht α s u den Winkel 2 in Richtung der Wurzel α t. α t 2 2 (1) 0 ( ) α s, (st) n α s 2 ( 1) = = (α 2 s,α t ) α s (2) 0 ( ) α s, (st) n α s 2 ( 2) = 2 = 0 ( ) α 2 s,t(st) n α s 2 In allen Fällen haben wir v 0 α s R 0 α s + R 0 α t.

3 4. Wurzelsyste und Längenfunktion 19 Als nächstes zeigen wir, dass die einfache Spiegelung s S die von α s verschiedenen positiven Wurzeln perutiert. Proposition 4.8 Für s S gilt s ( Φ + {α s ) =Φ + {α s. Beweis. Sei ϕ Φ + {α s, sagen wir ϕ = c t α t (c t 0). t S Wegen B(α s,α s )=1istΦ + Rα s = {α s, und da ϕ α s gibt es indestens einen strikt positiven Koeffizienten c t > 0für ein t s. Die Wurzel sϕ = ϕ 2B(α s,ϕ)α s unterscheidet sich von ϕ nur in ihre α s -Koeffizienten, hat also denselben α t -Koeffizienten c t > 0wieϕ. Soit gilt auch sϕ Φ +. (Hier verwenden wir die Tatsache, dass jede Wurzel positiv oder negativ ist!) Auch klar ist, dass sϕ α s (denn sϕ = α s ϕ = sα s = α s ). Soit haben wir s ( Φ + {α s ) Φ + {α s. Und wenn wir noch it s darauf wirken, erhalten wir Φ + {α s = s 2( Φ + {α s ) s ( Φ + {α s ), zusaen also die gesuchte Gleichheit. Die obige Proposition liefert ein einfaches, aber effizientes Mittel, u Wurzeln als einfache Wurzeln zu erkennen. Korollar 4.9 Für ϕ Φ + und s S gilt: sϕ Φ ϕ = α s. Wir hatten bereits die Menge aller Spiegelungen T := { wsw 1 s S, w W definiert und festgestellt, dass wsw 1 in der standard geoetrischen Darstellung als Spiegelung längs ϕ = wα s an der Hyperebene H ϕ := { λ V B(ϕ, λ) =0 wirkt. Da die standard geoetrische Darstellung treu ist, erhalten wir zu jeder Wurzel ϕ Φ eine wohlbestite Spiegelung s ϕ W (it anderen Worten: ϕ = wα s = vα t wsw 1 = vtv 1 =: s ϕ ), und es gilt natürlich s ϕ = s ϕ. Auf diese Weise erhalten wir eine Bijektion zwischen der Menge der Spiegelungen und der Menge der positiven Wurzeln. Speziell für die Wurzel α s haben wir natürlich s αs = s, und allgeein gilt s wϕ = ws ϕ w 1. Übung 4.4 Seien ϕ = wα s und ψ = vα t zwei Wurzeln (w, v W, s, t S). Gesucht ist ein Kriteriu dafür, dass x W existiert it xϕ = ψ. Wir können nun den Satz 4.5 verallgeeinern. Satz 4.10 Sei (W, S) ein Coxetersyste. Für w W und ϕ Φ + gilt l(ws ϕ ) >l(w) wϕ Φ +, l(ws ϕ ) <l(w) wϕ Φ. Beweis. Wie bei Beweis von Satz 4.5 genügt es, l(ws ϕ ) >l(w) = wϕ Φ +

4 20 Spiegelungsgruppen zu zeigen. [Da s ϕ eine Spiegelung ist, ist l(ws ϕ ) l(w) ungerade und soit l(ws ϕ ) l(w).] Induktion nach l(w). l(w) =0 w =1 wϕ = ϕ Φ + Sei l(w) > 0, w = s 1...s n eine reduzierte Zerlegung (it s 1,...,s n S). Für s := s 1 gilt l(sw) = l(w) 1. Wir haben (unter Verwendung der Eigenschaft (5) in Proposition 4.3) l(sws ϕ ) (5) 1+l(ws ϕ ) > 1+l(w) =l(sw) Induktion = swϕ Φ +. Behauptung: wϕ Φ +. Korollar 4.9 Falls nicht, also s(swϕ) =wϕ Φ = swϕ = α s. Betrachten wir die zugehörige Spiegelung s swϕ = s αs = s {{ = ws ϕ = sw. = sws ϕ (sw) 1 Aber l(ws ϕ ) >l(w) >l(sw) =l(ws ϕ ), ein Widerspruch. 5 Austauschbedingung Satz 5.1 (Starke Austauschbedingung) Seien (W, S) ein Coxetersyste und T W die Menge aller Spiegelungen in W. Seien w = s 1...s n (s 1,...,s n S) undt T it l(wt) <l(w). Dann gibt es einen Index i so, dass wt = s 1...s i 1 s i+1...s n =: s 1...ŝ i...s n. weglassen Zusatz: Falls l(w) =n, so ist der Index i eindeutig. Wird anstelle einer beliebigen Spiegelung t bloss eine einfache Spiegelung t S zugelassen, heisst dieser Spezialfall des Satzes Austauschbedingung. Korollar 5.2 (Austauschbedingung) Sei (W, S) ein Coxetersyste. Seien w = s 1...s n (s 1,...,s n S) undt S it l(wt) <l(w). Dann gibt es einen Index i so, dass wt = s 1...s i 1 s i+1...s n =: s 1...ŝ i...s n. weglassen Zusatz: Falls l(w) =n, so ist der Index i eindeutig. Beweis. (Satz 5.1) Schreibe t = s ϕ für ein ϕ Φ +.Wirhaben l(ws ϕ )=l(wt) <l(w) Satz 4.10 = wϕ Φ.

5 5. Austauschbedingung 21 ϕ Φ + s n ϕ wähle i so, dass s n 1 s n ϕ s i+1...s n ϕ Φ + Korollar 4.9. s i (s i+1...s n ϕ) Φ = s i+1...s n ϕ = α si wϕ = s 1...s n ϕ Φ Für die Spiegelung längs dieser Wurzel α si erhalten wir soit s i = s αsi = s si+1...s nϕ = s i+1...s n s ϕ (s i+1...s n ) 1 d. h. und schliesslich Zu Zusatz: Ist it i<j,sohabenwir und soit s i s i+1...s n = s i+1...s n t wt = s 1...s n t = s 1...s i s i...s n = s 1...ŝ i...s n. wt = s 1...ŝ i...s j...s n = s 1...s i...ŝ j...s n s i+1...s j = s i...s j 1 w = s 1...s n = s 1...s i s i+1...s j {{ s i...s j 1 s j+1...s n = s 1...ŝ i...ŝ j...s n. In diese Fall gilt also l(w) n 2. Durch Betrachten der Inversen lassen sich in der starken Austauschbedingung bzw. in der Austauschbedingung links und rechts vertauschen, was zu folgender Forulierung führt. Satz 5.3 (Starke Austauschbedingung bzw. Austauschbedingung) Seien (W, S) ein Coxetersyste und T W die Menge aller Spiegelungen in W. Seien w = s 1...s n (s 1,...,s n S) undu T bzw. u S it l(uw) <l(w). Dann gibt es einen Index j so, dass uw = s 1...s j 1 s j+1...s n =: s 1...ŝ j...s n. Zusatz: Falls l(w) =n, so ist der Index j eindeutig. Korollar 5.4 ( Deletion condition ) Sei (W, S) ein Coxetersyste. Sei w = s 1...s n (s 1,...,s n S) itl(w) <n. Dann gibt es i und j (1 i<jn) so, dass w = s 1...ŝ i...ŝ j...s n. Beweis. Wegen l(w) <ngibt es einen Index j it l(s 1...s j ) <l(s 1...s j 1 ). Geäss Austauschbedingung existiert ein Index i it s 1...s j = s 1...ŝ i...s j 1, also w = s 1...s n = s 1...ŝ i...ŝ j...s n.