Jacobifelder und konjugierte Punkte

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1 Jacobifelder und konjugierte Punkte Vortrag Seminar ierentialgeometrie TU ortmund eingereicht bei Prof. r. L. Schwachhöfer vorgelegt von Melanie Voss Sommersemester 211 Vortrag 7, am

2 1 Einleitung/Wiederholung ieser Votrag beschäftigt sich mit Jacobifeldern und gibt eine Einführung zu den konjugierten Punkten. Zunächst wird eine eniton des Jacobifeldes gegeben, um daraufhin nachzuweisen, dass ein Vektorfeld ein Jacobifeld ist. Anschlieÿend wird ein Jacobifeld an Hand eines Beispiel an der Einheitssphäre veranschaulicht, welches auf die eniton eines konjugierten Punktes hinführt. In diesem Vortrag sind wir an dem Verhalten von Geodäten nahe einer gegebenen Geodäte γ interessiert, im Gegensatz zu den vorherigen Vorträgen, wo wir echte Variationen betrachtet haben. er eingänglichste Wege fortzufahren ist, die Variation von γ zu betrachten, welches impliziert, dass die Kurven der Variation selbst Geodäten sind. as Variationsvektorfeld solch einer Variation gibt eine Idee, wie dicht die Geodäten in einer Umgebung von γ verteilt sind. Im Folgenden werden Flächen als vollständig angenommen, sowie die Geodäte γ : [, l] S, als eine nach der Bogenlänge parametrisierte Geodäte auf der vollständigen Fläche S. In den Beweisen benötigen wir folgende Lemmata aus den vorherigen Vorträgen: Lemma 2, Vortrag 4 Sei w(t) ein dierenzierbares Vektorfeld entlang einer param. Kurve c : [a, b] S und sei f : [a, b] R eine dierenzierbare Funktion. ann gilt: Lemma 4, Vortrag 4 (f(t)w(t)) = f(t)w dt dt + df dt w(t). Sei h : [, l] ( ɛ, ɛ) S, h : [, l] ( ɛ, ɛ) R 2 eine dierenzierbare Abbildung. ann gilt: Lemma 6, Vortrag 5 h ds (s, t) = h (s, t). dt s Sei h : [, l] ( ɛ, ɛ) S eine dierenzierbare Abbildung und sei V (s, t), (s, t) [, l] ( ɛ, ɛ) ein dierenzierbares Vektorfeld entlang h. ann gilt: dt ds V ( h V = K(s, t) ds dt s h ) V, wobei K(s, t) die Gauÿkrümmung von S in dem Punkt h(s, t) ist. 1

3 2 Jacobifelder und konjugierte Punkte enition 1 Sei γ : [, l] S eine parametrisierte Geodäte auf S und h : [, l] ( ɛ, ɛ) S eine Variation von γ, so dass für alle t ( ɛ, ɛ) die Kurve h t (s) = h(s, t) für s [, l] eine Geodäte (nicht notwendiger Weise nach Bogenlänge parametrisiert) ist. as Variationsvektorfeld h (s, ) = J(s) wird das Jacobifeld entlang γ genannt. Abbildung 1: Variation einer Geodäten Beispiel Ein einfaches Beispiel eines Jacobifeldes ist durch das Vektorfeld der Tangentialvektoren γ (s), s [, l] der Geodäten γ gegeben. urch setzen von h(s, t) = γ(s + t) erhält man J(s) = h dγ (s, ) = ds. Insbesondere sind wir in diesem Vortrag an dem Verhalten von Geodäten nahe γ : [, l] S, welche in γ() startet, interessiert. aher betrachtet man die Variation h : [, l] ( ɛ, ɛ) S, welche die Eigenschaft erfüllt, dass h(, t) = γ(), für t ( ɛ, ɛ). eswegen erfüllt auch das Jacobifeld die Eigenschaft J() =. Proposition 1 Sei J(s) ein Jacobifeld entlang γ : [, l] S, s [, l]. ann erfüllt J die sogenannte Jacobi-Gleichung. ds ds J(s) + K(s)(γ (s) J(s)) γ (s) =, wobei K(s) die Gauÿkrümmung von S in γ(s) ist. Beweis. Nach der enition von J(s) existiert eine Variation h : [, l] ( ɛ, ɛ) S von γ, so dass h(s, ) = J(s) und h t(s) eine Geodäte, t ( ɛ, ɛ). Aus der Eigenschaft einer Geodäte [ dt c (t) = ] folgt: h (s, t) = ds s h (s, t) =. dt ds s 2

4 Aus dem vorherigen Vortrag ist bekannt: dt ds V ( h V = K(s, t) ds dt s h ) V dt ds V = ( h V + K(s, t) ds dt s h ) V h = ( h h +K(s, t) } dt ds {{ s}} ds dt {{ s} s h ) h s = Für t = : = ds ds h = h ds ds ( h + K(s, t) s h ) h s. = ds ds J(s) + K(s) (γ (s) J(s)) γ (s). Folgerungen aus Proposition 1 In diesem Abschnitt wird die Jacobigleichung in eine geläuge Form umformuliert, um im Anschluss mit dieser äquivalenten Umformulierung eine folgende Proposition zu beweisen. Seien hierfür e 1 () und e 2 () orthogonale Einheitsvektoren im Tangentialraum T γ() S und seien e 1 (s) und e 2 (s) die Parallelverschiebungen von e 1 () und e 2 () entlang γ(s). Weiterhin sei J(s) = a 1 (s)e 1 (s) + a 2 (s)e 2 (s), für Funktionen a 1 = a 1 (s) und a 1 = a 1 (s). Mit Lemma 2 (aus Vortrag 4) erhält man unter Verwendung, dass e 1 (s), e 2 (s) parallele Vektorfelder sind (Im Folgenden wird zur vereinfachenden Schreibweise das s weggelassen) : ds J = a 1e 1 + a 2e 2, ds ds J = a 1e 1 + a 2e 2. Betrachte nun (γ J) γ aus Proposition 1. ieses beschreibt einen Vektor in T γ(s) S, der daher als Linearkombination von e 1 und e 2 dargestellt werden kann: adurch erhält man: (γ J) γ = λ 1 e 1 + λ 2 e 2. λ 1 e 1 + λ 2 e 2 = (γ (a 1 e 1 + a 2 e 2 )) γ = ((γ a 1 e 1 ) + (γ a 2 e 2 )) γ = a 1 (γ e 1 ) γ + a 2 (γ e 2 ) γ. Skalarmultipliziert man diese Gleichung mit e 1 und e 2 und setzt α ij := (γ e i ) γ, e j, i, j = 1, 2, erhält man λ 1 = a 1 α 11 + a 2 α 21, λ 2 = a 1 α 12 + a 2 α 22. 3

5 In die Jacobigleichung einsetzen liefert: a 1e 1 + a 2e 2 + K((a 1 α 11 + a 2 α 21 )e 1 + (a 1 α 12 + a 2 α 22 )e 2 ) =. urch Skalarmultiplikation mit e 1 und e 2 erhält man folgende GL: a 1 + K(α 11 a 1 + α 21 a 2 ) =, a 2 + K(α 12 a 1 + α 22 a 2 ) =, wobei alle Elemente Funktionen abhängig von s sind. ieses System ist eine GL 2. Ordnung. ie Lösung (a 1 (s), a 2 (s)) = J(s) ist deniert für jedes s [, l] und bildet einen Vektorraum. ie Lösung der GL ist bestimmt durch die Anfangsbedingungen (a 1 (), a 2 ()) = J() und (a 1(), a 2()) = J (). er Raum dieser Lösung hat 2 2 = 4 ds imensionen. Man kann zeigen, dass jedes Vektorfeld J(s) entlang einer Geodäten γ : [, l] S, dass die Jacobigleichung erfüllt ein Jacobifeld ist. a wir nur an Jacobifeldern J(s), die die Kondition J() = erfüllen, interessiert sind, zeigen wir die Proposition nur für diesen Spezialfall. Wir benutzen folgende Notation: Sei T p S, p S der Tangentialraum von S in p, und T v (T p S) bezeichne den Tangentialraum in v von T p S als Fläche des R 3. a exp p : T p S S, (d exp p ) v : T v (T p S) T expp (v)s machen wir folgende Annahme. Falls v, w T p S, dann bezeichnet w ebenso den Vektor aus T v (T p S), der aus w durch Verschiebung um v erreicht wird. ies ist äquivalent dazu, dass man die Räume T p S und T v (T p S) durch die Verschiebung um v identiziert. Lemma 1 Sei p S und wähle v, w T p S mit v = l. Sei γ : [, l] S eine Geodäte auf S gegeben durch γ(s) = exp p (sv), s [, l]. ann ist das Vektorfeld J(s) entlang γ gegeben durch J(s) = s(d exp p ) sv (w), s [, l] ein Jacobifeld. esweiteren gilt: J() =, J () = w. ds 4

6 Beweis. Sei t v(t), t ( ɛ, ɛ) eine parametrisierte Kurve in T p S, so dass v() = v und dv () = w. dt eniere h(s, t) = exp p (sv(t)), t ( ɛ, ɛ), s [, l]. Speziell gilt h(s, ) = exp p (sv) = γ(s). ie Abbildung h ist oensichtlich dierenzierbar, und die Kurven s h t (s) = h(s, t) sind Geodäten s exp p (sv(t)). Laut enition ist das Variationsfeld von h ein Jacobifeld entlang γ. Es gilt: J(s) = h (s, ) = (d exp p) sv(t) (sv (t)) (s,) = (d exp p ) sv (sw) = s(d exp p ) sv (w). as Vektorfeld J(s) = s(d exp p ) sv (w) ist daher das Jacobifeld zu der Variation h. Es bleibt zu überprüfen, dass J() =, sowie J() = w. ds J(s) = s(d exp p ) sv (w) J() =. Um die letzte Aussage zu überprüfen berechnet man mit Hilfe von Lemma 2 aus Vortrag 4 die kovariante Ableitung des obigen Ausdrucks: ds s(d exp p) sv (w) = (d exp p ) sv (w) + s ds (d exp p) sv (w). Mit s= folgt: ds J() = (d exp p) (w) = d ds s= exp p (sw) = d ds s=γ w (s) = w. Proposition 2 Sei J(s) ein dierenzierbares Vektorfeld entlang γ : [, l] S, s [, l], das die Jacobi- Gleichung erfüllt mit J() =. ann ist J(s) ein Jacobifeld entlang γ. Beweis. Sei w := J () und v = ds γ () und es gilt v = 1, da γ nach Bogenlänge parametrisiert ist. Nach Lemma 1 existiert ein Jacobifeld s(d exp p ) sv (w) = J(s), s [, l], das J() =, J () = w erfüllt. ds J ist ein dierenzierbares Vektorfeld, das die Jacobigleichung erfüllt, so wie J, welches ein Vektorfeld ist, das die Jacobigleichung erfüllt. Mit der Eindeutigkeit folgt, dass J(s) = J(s), s [, l] und so, dass J ein Jacobifeld ist. Beispiel Sei S 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1} die Einheitssphäre und α(θ, ϕ) = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ), θ (, π), ϕ (, 2π) eine Parametrisierung um p S durch den Breitengrad θ und den Längengrad ϕ. Betrachte den Median zu θ = π (θ fest), für ϕ zwischen ϕ 2 = π und ϕ 2 1 = 3π. iese 2 Strecke ist ein Teil des Äquators. a die Groÿkreise der Sphäre Gedäten sind, ist diese Strecke durch eine Geodäte γ parametrisierbar, welche wir als parametrisiert durch ϕ ϕ = s annehmen. γ(s) hat somit folgende Form: γ(s) = γ(ϕ ϕ ) = α( π, ϕ π) = (cos(ϕ π), sin(ϕ π ), ) = (cos(s), sin(s), ) für s [, π]. Sei w(s) die Parallelverschiebung eines Vektor w() T γ() S entlang γ, mit w() = 1 und w(), γ () =. Es gilt somit auch, dass w(s) = 1 und w(s), γ (s) = für alle s [, π]. Man erhält dadurch w(s) = (,, 1), wenn man w() = (,, 1) wählt, 5

7 da w(s) gerade die Parallelverschiebung des Vektors w() entlang γ ist, und dieser für alle s [, π] senkrecht auf γ steht. So erreicht man mit w(s) = (,, 1) das parallele Vektorfeld entlang γ. eniere J(s) = (sin s)w(s), s [, π]. Wir überprüfen, dass das Vektorfeld J(s) = (sin s)w(s), s [, π] ein Jacobifeld entlang γ ist. Tatsächlich, wenn J() = gilt genügt es zu zeigen, dass J die Jacobigleichung erfüllt (aufgrund von Proposition 2). Unter der Verwendung, dass w ein paralleles Vektorfeld ist erhält man: ds J = ds ((sin s)w(s) = (sin s) ds w(s) +(cos s)w(s) }{{} = = (cos s)w(s) J = ( sin s)w(s). ds ds Berechne das Kreuzprodukt (γ J) γ : sin s sin s cos s sin s sin s cos s sin s cos s = sin 2 s cos s = sin s. urch Einsetzen in die Jacobigleichung, unter der Verwendung, dass K = 1 und w(s) = (,, 1) erhält man: J ds ds + K(γ J) γ = ( sin s)w(s) + (sin s)w(s) =. ies zeigt, dass J ein Jacobifeld ist. Beachte: J(π) =. Abbildung 2: Jacobifeld und paralleles Vektorfeld auf der Einheitssphäre eniton 2 Sei γ : [, l] S eine Geodäte auf S mit γ() = p. Man sagt, dass der Punkt q = γ(s ), s [, l] konjugiert zu p bzgl. der Geodäten γ ist, wenn ein Jacobifeld J(s) existiert, welches nicht identisch Null entlang γ ist mit J() = J(s ) =. 6

8 Quelle ocarmo, Manfredo P ierential Geometry of curves and surfaces. Englewood Clis 7