Der Tangentialraum im Einselement

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1 Technische Universität Dortmund Fakultät für Mathematik - Lehrstuhl VII Seminarvortrag Der Tangentialraum im Einselement Seminar Geometrie für Lehramt/Dierentialgeometrie I Dozent Prof. Dr. Lorenz Schwachhöfer Semester Sommersemester 2011 Referentin Ruth Böll Feldherrnstr Dortmund Ruthboell@web.de Matrikelnummer Studiengang Master Lehramt Gymnasium Mathematik (Komplementfach, 10. Fachsemester) Musik (Kernfach, 8. Fachsemester) 30. Juni 2011

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Kurven in GL(n, K) Denition Satz Der Tangentialraum im Einselement 4 4 Beispiele Der Tangentialraum an GL(n, R) bzw. GL(n, C) Bemerkung Der Tangentialraum an SL(n, R) bzw. SL(n, C) Bemerkung Der Tangentialraum an O(n) Der Tangentialraum an SO(n) Bemerkung Der Tangentialraum an U(n) Der Tangentialraum an SU(n) Bemerkung Der Tangentialraum an der Heisenberggruppe Bemerkung Fazit 11 6 Literatur 11 1

3 1 Einleitung In der folgenden Ausarbeitung wird der Tangentialraum im Einselemt an einer Untergruppe der Gruppe der allgemeinen linearen (n, n)-matrizen deniert und Beispiele dazu betrachtet. Um diesen Untervektorraum denieren zu können, werden zunächst Kurven in der allgemeinen linearen Gruppe deniert und Eigenschaften dieser Kurven aufgezeigt und bewiesen, wie die Produktregel und die Kettenregel. Anschlieÿend wird bewiesen, dass es sich bei dem Tangentialraum im Einselemt tatsächlich um einen Untervektorraum handelt. Im darauolgenden Abschnitt werden die Tangentialräume zu den folgenden Untergruppen bestimmt: SL(n, R) und SL(n, R), O(n) und SO(n), U(n) und SU(n) sowie zu der Heisenberggruppe H(3, R). 2

4 2 Kurven in GL(n, K) 2.1 Denition Kurve Eine Kurve in GL(n, K) ist eine dierenzierbare Abbildung A : I R M n,n (K),t A(t) a 11 (t) a 12 (t)... a 1n (t) A(t) =..... a n1 (t)... a nn (t) Für die Ableitung dieser Matrix gilt: a 11(t 0 ) a 12(t 0 )... a 1n(t 0 ) A (t 0 ) =..... t 0 K a n1(t 0 )... a nn(t 0 ) 2.2 Satz Für das Dierenzieren zusammengesetzter Kurven gelten die folgenden Ableitungsregeln: 1. Produktregel: (A(t) B(t)) = A (t) B(t) + A(t) B (t) 2. Kettenregel: A(f(t)) = f (t) A (f(t)) Beweis. Produktregel: Seien A(t), B(t) Kurven in GL(n, K). Dann gilt: a 11 (t) a 12 (t)... a 1n (t) b 11 (t) b 12 (t)... b 1n (t) (A(t) B(t)) = a n1 (t)... a nn (t) b n1 (t)... b nn (t) ( n ( n ) = a ik b kj) k=1 i,j=1...n ( n ) ( n ) = a ik b kj + a ik b kj k=1 i,j=1...n = = A (t) B(t) + A(t) B (t) k=1 k=1 a ik b kj + a ik b kj i,j=1...n i,j=1...n Kettenregel: Sei A eine Kurve in GL(n, K) und f : K K eine Funktion. Dann gilt: a 11 (f(t)) a 12 (f(t))... a 1n (f(t)) A(f(t)) =..... a n1 (f(t))... a nn (f(t)) = (a ij (f(t))) i,j=1...n = (f (t) a ij(f(t))) i,j=1...n = f (t) A (f(t)) 3

5 3 Der Tangentialraum im Einselement Denition Sei G eine Untergruppe von GL(n, K), und A : ( ɛ, ɛ) GL(n, K) eine dierenzierbare Kurve mit 1. A(t) G t ( ɛ, ɛ) 2. A(0) = E 3. A (0) = X Dann heiÿt X Tangentialvektor von G in E. Die Menge aller möglichen solchen Tangentialvektoren heiÿt heiÿt Tangentialraum T E G an G im Einselement. Behauptung: T E G ist ein Untervektorraum der Menge aller (n, n)-matrizen M (n,n) (R) Beweis. Die drei Untervektorraumkriterien sind zu zeigen: 1. T E G 2. X 1, X 2 T E G gilt X 1 + X 2 T E G (Abgeschlossenheit bzgl. Addition) 3. X T E G und a K,K Körper gilt ax T E G (Abgeschlossenheit bzgl. skalarer Multiplikation) Zu 1.: Wähle A(t) = E t. Dies ist möglich, da E das neutrale Element der Gruppe GL(n, K) ist und somit auch in jeder Untergruppe enthalten sein muss. Da es sich hierbei um eine konstante Abbildung handelt, gilt A (t) =..... t, insbesonder für t = 0. Daher gilt A (0) = Somit ist die Nullmatrix in T E G enthalten, T E G ist demnach nicht leer. Zu 2.: Wähle X 1, X 2 T E G. Dann existieren Kurven A 1, A 2 in GL(n, K)mit A 1 (t) G t ( ɛ 1, ɛ 1 ), A 1 (t) G t ( ɛ 2, ɛ 2 ), A 1 (0) = A 2 (0) = E und A 1(O) = X 1, A 2(0) = X 2. X 1 + X 2 = A 1(0) + A 2(0) = A 1(0) E + E A 2(0) = A 1(0) A 2 (0) + A 1 (0) A 2(0) = d dt (A 1 (t) A 2 (t)). Also ist die Summe der Tangentialvektoren X 1 + X 2 der Tangentialvektor der Kurve A(t) = A 1 (t) A 2 (t). Nun bleibt noch zu zeigen, dass diese Kurve auch die Eigenschaften 1. und 2 der Denition erfüllt. 4

6 A(t) ist ein Element der Untergruppe G t ( ɛ 3, ɛ 3 ) mit ɛ 3 ɛ 1 und ɛ 3 ɛ 2 da die Untergruppe bzgl. der Multiplikation abgeschlossen ist, also ist 1. erfüllt. 2. ist ebenfalls erfüllt, da A(0) = A 1 (0) A 2 (0) = E E = E Zu 3.: Wähle X T E G. Dann existiert eine Kurve A in GL(n, K) mit A(t) G t ( ɛ, ɛ),a(0) = E und A (0) = X. Sei a K. a X = a A (0) = d dt (A(at)) Also ist die ax der Tangentialvektor der Kurve ˆ A(t) = A(at). Nun bleibt noch zu zeigen, dass diese Kurve auch die Eigenschaften 1. und 2 der Denition erfüllt. A(t) ˆ ist ein Element der Untergruppe G, da die Kurve t ( ɛ, ɛ ) in G liegt. a a 2. ist ebenfalls erfüllt, da ˆ A(0) = A(a0) = A(0) = E 5

7 4 Beispiele 4.1 Der Tangentialraum an GL(n, R) bzw. GL(n, C) Jede reelle bzw. komplexen (n, n)-matrix X, tritt als Ableitung einer Kurve A(t) = E +tx auf. A(t) erfüllt dabei die drei Eigenschaften aus der Denition: A(0) = E + 0X = E,A (0) = X und A(t) GL(n, K) t ( ɛ, ɛ), da det(a(0)) = det(e) = 1 und daher aus der Stetigkeit der Determinantenfunktion folgt, dass es eine Epsilon-Umgebung gibt in der det(a(t)) 0. gl(n, R) = M (n,n) (R). gl(n, C) = M (n,n) (C) Bemerkung gl(n, K) ist zudem abgeschlossen gegen die Matrizenmultiplikation, also auch gegen beliebige Potenzen. Dies ist aber bei dem Tangentialraum an einer Untergruppe im Allgemeinen nicht mahr der Fall. 4.2 Der Tangentialraum an SL(n, R) bzw. SL(n, C) Sei A(t) SL(n, R) mit A(0) = E A(t) SL(n, R) det(a(t)) = 1 t d det(a(t)) = 0 t (1) dt A(0) = E a ij = { 0 für i j 1 für i = j (2) Dann gilt: n k=1 k i 0 (1) = d dt det(a(t)) (Leibniz) = d dt sign(σ)a 1σ(1) (t)... a nσ(n) (t) (P roduktregel) = σ a kσ(k) (0) 0 (2) σ(k) = k k i σ(i) = i σ = id = = σ sign(σ)( n a ii (0) i=1 n k=1 k i n a iσ(i) (0) i=1 a kk (0) } {{ } =1 n a ii (0) = spur(a (0)) i=1 n k=1 k i a kσ(k) (0)) Also ist der Tangentialraum in der Menge aller (n, n)-matrizen X mit spurx = 0 enthalten. Ist aber auch jedes Element aus dieser Menge der Tangentialvektor einer Kurve A(t) SL(n, K)? 6

8 Um das zu überprüfen wählen wir eine Kurve, deren Tangentialvektor in der Menge aller (n, n)- Matrizen X mit spurx = 0 enthalten ist und testen, ob diese Kurve in SL(n, K) liegt. Sei X M (n,n) (R) mit spurx = 0. Wähle als Kurve A(t) = exp(tx).(bietet sich an, da A(t) = exp(tx) eine dierenzierbare Kurve in GL(n, C) mit A(0) = E und d dt A(t) = d exp(tx) = X deniert, also zwei der geforderten Eigenschaften der Denition erfüllt) dt det(a(t)) = det(exp(tx)) = e spur(tx) = e tspurx = e t0 = e 0 = 1 Da für die Kurve det(a(t)) = 1 gilt, ist sie in der Gruppe der speziellen linearen Matrizen enthalten. Die Tangentialräume sehen also wie folgt aus: sl(n, R) = {X gl(n, R) spurx = 0}. sl(n, C) = {X gl(n, C) spurx = 0} Bemerkung sl(n, R) bzw. sl(n, C) ( sind im) Allgemeinen nicht abgeschlossen bzgl. Matrizenmultiplikation. 1 0 Gegenbeispiel: A = sl(2, R) bzw. sl(2, C),A = E / sl(2, R) bzw. sl(2, C) 4.3 Der Tangentialraum an O(n) Sei A(t) O(n) mit A(0) = E A(t) O(n) A(t) (A(t)) T = E t Dann gilt: d dt (A(t) (A(t))T ) = O t, insbesondere t = 0 (3) = d dt (A(t) (A(t)) T ) 0 (3) (P roduktregel) = A (0) A(0) T + A(0) A (0) T (n.v ) = A (0) E T + E A (0) T = A (0) + A (0) T Also ist der Tangentialraum in der Menge aller schiefsymmetrischen (n, n)-matrizen enthalten. Ist aber auch jedes Element aus dieser Menge der Tangentialvektor einer Kurve A(t) O(n)? Um das zu überprüfen wählen wir eine Kurve, deren Tangentialvektor in der Menge aller schiefsymmetrischen (n, n)-matrizen enthalten ist und testen, ob diese Kurve in O(n) liegt. Sei X M (n,n) (R) mit X + X T = 0. Wähle als Kurve A(t) = exp(tx). (s.o). Vorüberlegung: Wenn X schiefsymmetrisch, also X = X T, dann gilt: X X T = X T X T = X T X T = X T X (4) A(t) (A(t)) T = exp(tx) exp(tx) T = exp(tx) exp(tx T ) (4) = exp(tx + tx T ) = exp(t(x + X T )) = exp(0) = E Da für die Kurve A(t) (A(t)) T = E gilt, ist sie in der Gruppe der orthogonalen (n, n)-matrizen enthalten. 7

9 4.4 Der Tangentialraum an SO(n) Nach Denition ist SO(n) = O(n) SL(n, R). Daraus folgt, dass der Tangentialraum von SO(n) die Eigenschaften der Tangentialräume von O(n) und SL(n, R) aufweisen muss, also Schiefsymmetrie und spurx = 0.Es ist jedoch leicht zu zeigen, dass aus Schiefsymmetrie spurx = O folgt: schiefsymmetrisch x ij = x ji, x ii = x ii 2x ii = 0 x ii = 0 i = 1,... n n spurx = x ii = = 0 i=1 Also haben O(n) und SO(n) den selben Tangentialraum. so(n) = {X gl(n, R) X + X t = 0} Bemerkung so(n) ist im Allgemeinen ( nicht ) abgeschlossen bzgl. Matrizenmultiplikation. 0 1 Gegenbeispiel: A = so(2, ),A = E / so(2, ). 4.5 Der Tangentialraum an U(n) Sei A(t) U(n) mit A(0) = E A(t) U(n) A(t) (A(t)) T = E t Dann gilt: d dt (A(t) (A(t))T ) = O t, insbesondere t = 0 (5) = d dt (A(t) (A(t)) T ) 0 (5) (P roduktregel) = A (0) A(0) T + A(0) A (0) T (n.v ) = A (0) E T + E A (0) T = A (0) + A (0) T Also ist der Tangentialraum in der Menge aller hermiteschen (n, n)-matrizen enthalten. Ist aber auch jedes Element aus dieser Menge der Tangentialvektor einer Kurve A(t) U(n)? Um das zu überprüfen wählen wir eine Kurve, deren Tangentialvektor in der Menge aller hermiteschen (n, n)-matrizen enthalten ist und testen, ob diese Kurve in U(n) liegt. Sei X M (n,n) (R) mit X + X T = 0. Wähle als Kurve A(t) = exp(tx). (s.o). Vorüberlegung: Wenn X hermitesch ist, also X = X T, dann gilt: X X T = X T X T = X T X T = X T X (6) 8

10 A(t) (A(t)) T = exp(tx) exp(tx) T = exp(tx) exp(tx T ) (6) = exp(tx + tx T ) = exp(t(x + X T )) = exp(0) = E Da für die Kurve A(t) (A(t)) T = E gilt, ist sie in der Gruppe der unitären Matrizen enthalten. Der Tangentialraum sieht also wie folgt aus: u(n) = {X gl(n, C) X + X T = 0}. 4.6 Der Tangentialraum an SU(n) Nach Denition ist SU(n) = U(n) SL(n, C). Daraus folgt, dass der Tangentialraum von SU(n) die Eigenschaften der Tangentialräume von O(n) und SL(n, R) aufweisen muss, also aus hermiteschen Matrizen X mit spurx = 0 besteht. Anders als im reellen Fall, wo aus X schiefsymmetrisch direkt spurx = 0 folgt, folgt im Allgemeinen aus X hermitesch nicht spurx = 0: hermitesch x ij = x ji, x ii = x ii a + b i = (a b i) da x ii C a + b i = a + b i b i = b i für a = 0 Demnach können bei hermiteschen Matrizen auch komplexe Einträge 0 auf der Diagonalen vorkommen, die spurx ist also nicht automatisch 0. Also sieht der Tangentialraum wie folgt aus: su(n) = {X gl(n, C) X + X T = 0, spurx = 0} Bemerkung u(n) und su(n) sind im Allgemeinen nicht abgeschlossen bzgl. Matrizenmultiplikation. Gegenbeispiel: siehe Bemerkung zu so(n). 9

11 4.7 Der Tangentialraum an der Heisenberggruppe 1 a(t) b(t) A(t) H(3, R) A(t) = 0 1 c(t) a (t) b (t) A (t) = 0 0 c (t) 0 a (0) b (0) A (0) = 0 0 c (0) Also sieht der Tangentialraum wie folgt aus: 0 a b h(3, R) = {X gl(3, R) 0 0 c a, b, c R} Bemerkung h(3, R) ist abgeschlossen bzgl. Matrizenmultiplikation: 0 a 1 b 1 0 a 2 b a 1 c 2 Wähle A 1 = 0 0 c 1 und A 2 = 0 0 c 2 h(3, R). A 1 A 2 = h(3, R) 10

12 5 Fazit Der Tangentialraum an einer Untergruppe der allgemeinen linearen Matrizen im Einselement ist ein Untervektorraum. Analog zu dem Tangentialraum an einer Fläche aus dem R 3 in einem Punkt p besteht er aus den Tangentialvektoren von Kurven, die in einer ɛ -Umgebung in der Untergruppe enthalten sind. Es lässt sich festhalten, dass sich die Kurve A(t) = exp(tx) als solch eine Kurve anbietet. In dieser Ausarbeitung wurden die Tangentialräume zu verschiedenen Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe bestimmt. Zusammengefasst kommt man zu folgendem Ergebnis: Gruppe Tangentialraum GL(n, R) gl(n, R) = M (n,n) (R) GL(n, C) gl(n, C) = M (n,n) (C) SL(n, R) sl(n, R) = {X gl(n, R) spurx = 0} SL(n, C) sl(n, C) = {X gl(n, C) spurx = 0} O(n) so(n) = {X gl(n, R) X + X t = 0} SO(n) so(n) U(n) u(n) = {X gl(n, C) X + X T = 0} SU(n) su(n) = {X gl(n, C) X + X T = 0, spurx = 0} 0 a b H(3, R) h(3, R) = {X gl(3, R) 0 0 c a, b, c R} 6 Literatur Kühnel, Wolfgang: Matrizen und Lie-Gruppen. Wiesbaden