Seminar zur Vorlesung Geometrie für Lehramt Sommersemester 2011:

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1 Technische Universität Dortmund Fakultät für Mathematik Lehrstuhl VII:Dierentialgeometrie Seminar zur Vorlesung Geometrie für Lehramt Sommersemester 2011: Prof. Lorenz Schwachhöfer Matrizengruppe über R, C und H Vortrag 1 am : gehalten von Nora Fuÿ

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 4 2 Matrizengruppen über R und C Die allgemeine lineare Gruppe mit Untergruppen Denition: allgemeine lineare Gruppe Folgerung Beweis der Folgerung Bemerkung Weitere Beispiele stetig dierenzierbarer GL(n, K) Denition: Kurven und Ableitungen im Raum aller Matrizen Denition: lineare Gruppe Denition und Lemma: Wichtige Untergruppen von GL(n, K) Denition: lokale Gruppe Denition: lokal isomorph Beispiel Komplexe Zahlen als reelle Matrizen 12 4 Die Quaternionen H Denition: Die Quaternionen Darstellung Darstellung Literatur 16

3 Einige Vorbereitungen Denition: Gruppen Eine Gruppe ist eine Menge G zusammen mit einer Verknüpfung auf G, so dass folgende drei Axiome gelten: (G1) Die Verknüpfung ist assoziativ: Für alle Gruppenelemente a, b und c gilt: (a b) c = a (b c). (G2) Es gibt ein neutrales Element e G. Für das gilt a e = e a = a für alle a G. (G3) Zu jedem Gruppenelement a G gibt es ein inverses a 1 G mit a a 1 = a 1 a = e. Eine Gruppe (G, ) heiÿt abelsch oder kommutativ, wenn für alle Gruppenelemente a und b gilt a b = b a. (Vgl. Skript Lineare Algebra I von Rudolf Scharlau.) Denition: Untergruppe Es sei (G, ) eine Gruppe und H G eine Teilmenge von G. Dann heiÿt (H, ) Untergruppe von (G, ), falls die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind: (UG1) Für alle x, y H gilt x y H, (UG2) e H, (UG3) Für alle x H gilt x 1 H. Denition: Isomorphismus Ein Gruppenisomorphismus (G, ) auf eine Gruppe (H, ) ist eine Abbildung f : G H mit folgenden beiden Eigenschaften: 1. f ist bijektiv, 2. f ist verknüpfungstreu, d.h. für alle x, y G gilt f(x y) = f(x) f(y). Eine verknüpfungtreue Abbildung wird auch als Homomorphismus bezeichnet. Eine Gruppe (G, ) heiÿt isomorph zu einer Gruppe (H, ), falls ein Isomorphismus von (G, ) auf (H, ) existiert. Gibt es einen Isomorphismus zwischen zwei Strukturen, dann heiÿen die beiden Strukturen zueinander isomorph. Die Aussage G und H sind isomorph wird üblicherweise als G = H geschrieben. 3

4 Denition: Körper Ein Körper ist eine Menge K zusammen mit zwei Verknüpfungen + und, für die folgendes gilt: (K1) (K, +) ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 0 (K2) (K0, ) ist eine Gruppe (es gibt inverses für alle Elemente die von 0 verschieden sind) (K3) Distributivgesetze: a (x + y) = a x + a y rechts distributiv, (a + b) x = a x + b x, a, b, x, y K links distributiv. 1 Einleitung Das Seminar Geometrie für Lehramt befasst sich mit dem Buch Matrizen und Lie-Gruppen von W. Kühnel. Die Bezeichnung Matrix wurde 1850 von James Joseph Sylvester (* London; London) eingeführt. Matrizen sind uns hauptsächlich aus der linearen Algebra bekannt, werden aber in allen Gebieten der Mathematik benutzt. Mit Hilfe von Matrizen kann man lineare Abbildungen darstellen und lineare Gleichungssysteme beschreiben. Die Lie-Gruppen sind benannt nach Marius Sophus Lie (* Nordfjordeid; Oslo) der ein norwegischer Mathematiker war. Eine Lie-Gruppe ist eine mathematische Struktur, die zur Beschreibung von kontinuierlichen Symmetrien verwendet wird. In meinem Seminarvortrag wird es eine Einführung in die Theorie von Transformationsgruppen und Lie-Gruppen geben. In diesem Vortrag werden Matrizengruppen über R und C vorgestellt, wobei diese Matrizen alle quadratisch sind, also die Form n n haben. In Kapitel 3 geht es darum, dass man komplexe Zahlen auch als reelle Matrizen schreiben kann. Zum Abschluss werden die Quaternionen kurz vorgestellt, auf die im darauolgenden Seminarvortrag 2 (gehalten von Tabea Ledoux) noch näher eingegangen wird. 2 Matrizengruppen über R und C Jede quadratische (n, n)- Matrix hat die Form A = (a ij ) i,j mit a ij R oder C mit i, j = 1,..., n (i = Zeileneintrag, j = Spalteintrag) diese können mit einem reellen bzw. komplexen Spaltenvektor x = (x i ) i durch die Matrixmultiplikation multipliziert werden. Dann entsteht die bekannte Formel a 11 a 1n A x =..... a n1 a nn x 1. x n = j a 1jx j. j a njx j Diese beschreibt eine lineare und bijektive Transformation x A x des R n bzw. C n. Wenn wir verschiedene solche Transformationen betrachten, dann liefert die Matrizenmultiplikation. 4

5 (A, B) A B die Regel A (B x) = (A B) x Matrizenmultiplikationsgruppe:(A, B) (A B) Assoziativität: A (B C) = (A B) C Neutrales Element: Inverse: A E = E A = A E =..... = 1 Einheitsmatrix A A 1 = A 1 A = E Eine Gruppe von solchen Matrizen heiÿt eine Transformationsgruppe des R n bzw. C n, nach den Ausführungen von Sophus Lie und weil jede einzelne Transformation linear ist, spricht man in diesem Fall von einer linearen T ransf ormationsgruppe oder einfach von einer linearen Gruppe. Die gewöhnliche Dierentialrechnung für Matrizen in solchen linearen Gruppen oenbart bereits gewisse Grundzüge der Theorie der Lie- Gruppen. In diesem Vortrag geht es um Dierentialgleichungen von einer linearen Transformationsgruppe. Gruppen von nichtlinearen Transformationen werden in einem späteren Seminarvortrag besprochen. (/2/ Kapitel 4) 2.1 Die allgemeine lineare Gruppe mit Untergruppen Eine quadratische (n, n)- Matrix A mit reellen oder komplexen Einträgen heiÿt invertierbar, wenn es eine inverse Matrix dazu gibt, geschrieben als A 1, die das Gruppenaxiom (G3) erfüllt, A A 1 = E = A 1 A wobei E wieder die Einheitsmatrix bezeichnet. Das Produkt zweier invertierbarer Matrizen ist wieder invertierbar, es gilt (A B) 1 = B 1 A 1, =E { }} { denn A B B 1 A 1 = A (B B 1 ) A 1 = A A 1 = E Die Matrizenmultiplikation ist im allgemeinen nicht kommutativ, da A B A 1 B 1 nicht vertauschen kann. Weil die Multiplikation von Matrizen, wie oben gezeigt wurde, assoziativ ist, bildet die Menge aller invertierbarer (n, n)- Matrizen eine Gruppe. Die Menge aller (n, n)- Matrizen über R oder C wird auch mit M n n (R) bzw. M n n (C) bezeichnet. 5

6 2.2 Denition: allgemeine lineare Gruppe Die reelle allgemeine lineare Gruppe GL(n, R) ist deniert als die Menge der reellen (n, n)- Matrizen, die invertierbar sind. Analog ist die komplexe allgemeine lineare Gruppe GL(n, C) deniert als die Menge der komplexen (n, n)- Matrizen, die invertierbar sind. Wir schreiben auch GL(n, K) für die allgemeine lineare Gruppe über K, wobei K entweder für R oder für C steht. Die Gruppenstruktur ist durch das Matrizenprodukt (A, B) A B gegeben mit der Inversen A A 1 und der Einheitsmatrix E als dem neutralen Element. GL(n, K) ist eine Gruppe, da die Matrizen assoziativ sind, sie das Neutralelement enthält, es zu jeder Matrix Inverse gibt und es gilt det(a B)=detA detb Folgerung Wenn man die Menge aller (n, n)- Matrizen über R als den R- Vektorraum R n2 auasst, dann ist GL(n, R) eine oene Teilmenge des R n2. Analog können wir komplexe (n, n)- Matrizen als Element des C n2 = (R 2 ) n2 = R 2n 2 auassen (da wir aus der Linearen Algebra und Analysis wissen: C m = R 2m ) und entsprechend ist GL(n, C) eine oene Teilmenge des C n2 = R 2n 2. Der Raum aller (n, n)- Matrizen trägt die topologische Struktur, die auch dem R m für beliebiges m zukommt, nämlich die durch die eine Abstandsmetrik denierte, mit der man Konvergenz und Stetigkeit und dann auch Dierenzierbarkeit erklären kann. 2.4 Beweis der Folgerung Es genügt zu zeigen, dass es zu jeder invertierbaren Matrix A eine oene Umgebung im Raum aller Matrizen (bzw. im umgebenden R n2 oder R 2n2 )gibt, die nur aus invertierbaren Matrizen besteht. Hier gilt wenn M n n (K) und K gegeben, dann ist eine Funktion f von M n n (K) nach K genau dann stetig, falls jedes Urbild einer oenen Teilmenge von K oen in M n n (K) ist. Nun zeigt man, dass die Determinantenfunktion stetig ist, damit folgt, dass GL(n, R) eine oene Teilmenge ist: det:m n n (K) K deta = det((a ij ) i,j ) = σ S n (sign(σ) n a i,σi ) = i=1 σ S n sign(σ)a 1σ1... a nσn, wobei σ S n alle Permutationen von n Elementen durchläuft. Der auf der rechten Seite stehende Leibnizformel Ausdruck von Gottfried Wilhelm Leibniz 6

7 (* in Leipzig; in Hannover) ist stetig und stetig dierenzierbar, da sich die Determinante nur aus Produkten und Summen zusammen setzt. Aus Lineare Algebra 1, 2 ist bekannt, dass eine quadratische Matrix A genau dann invertierbar ist, wenn ihre Determinante ungleich null ist. Diese Bedingung deta 0 überträgt sich daher von A auf eine gewisse oene Umgebung. 2.5 Bemerkung Als Teilmenge von R n2 ist GL(n, R) nicht zusammenhängend, da die Determinatenfunktion positive und negative Werte annimmt, aber nicht den Wert null, da Matrizen aus GL(n, R) invertierbar sind und es gilt deta 0. Dies würde dem Zwischenwertsatz widersprechen und somit ist GL(n, R) nicht zusammenhängend. Siehe Beipiel: A : [0, 1] GL(n, K) sei stetig, deta 0 > 0, deta 1 < 0 und f(t) = det(a t ). Allerdings ist GL(n, C) als Teilmenge von C n2 zusammenhängend: Es ist auch C \ P für jede endliche Teilmenge P C zusammenhängend. Das diese als Polynome P aufgeschrieben werden können folgt aus der Determinatenfunktion. Man kann zu je zwei A, B GL(n, C) die komplexe Linearkombination C z = za + (1 z)b mit z C betrachten. Dabei kann es durchaus sein, dass det(c z ) = 0 gilt, also C z / GL(n, C). Aber det(c z ) ist für festes A, B ein Polynom n- ten Grades in der komplexen Variabeln z, hat also nur endlich viele Nullstellen. Damit kann man im Komplement dieser Nullstellenmenge die beiden Matrizen A und B durch einen stetigen Weg C z(t) mit einer reellen Variablen t miteinander verbinden (man muss nur um die endliche vielen Nullstellen herumlaufen). 2.6 Weitere Beispiele stetig dierenzierbarer GL(n, K) Die Determinatenfunktionen det : M n n (R) R und det : M n n (C) C sind stetig dierenzierbar, weitere Beispiele sind die Multiplikation als Abbildung von M n n (K) M n n (K) M n n (K) wegen der Gleichung: A B = (a ij ) i,j (b jk ) j,k = ( j a ij b jk ) i,k Ein letztes Beispiel ist A A 1 als Abbildung von GL(n, K) GL(n, K) wegen der Cramerschen Regel A 1 = 1 deta (( 1)i+j det(a i j)) j,i, wobei A i j aus A durch Streichen der i- ten Zeile und der j- ten Spalte entsteht. 7

8 Beispiel für Cramersche Regel: Ax = b mit A = ( ) 1 2 und b = 4 5 Nach der Cramerschen Regel folgt dann die Lösung: ( ) 3 2 det 1 x 1 = det(a) ( 1)det(A 6 5 1) = ( ) = 1 2 det 4 5 x 2 = ( 1) 2 det(a 2) det(a) = ( ) = 3 3 = 1 ( ) 1 3 det 4 6 ( ) = = 2 det 4 5 Beweis: Beispiele stetig dierenzierbarer Funktionen des GL(n, K): Bei der Matrixmultiplikation gehen nur die Multiplikation mit reellen oder komplexen Zahlen ein und diese sind stetig und stetig dierenzierbar. Bei der Abbildung GL(n, K) GL(n, K); A A 1 gibt es ebenfalls nur Multiplikationen und der Nenner deta ist in GL(n, K) 0 und somit ist es wieder stetig und stetig dierenzierbar. Da auf oenen Teilmengen eines R m die übliche Dierentialrechnungen genau so erklärt ist wie im R m selbst. 2.7 Denition: Kurven und Ableitungen im Raum aller Matrizen So wie eine dierenzierbare Kurve c : I R n der Klasse C k, deniert auf einem Teilintervall I R, durch ihre Ableitungen mit der Taylor- Entwicklung beschrieben werden kann c(t) = c(0) + tc (0) + t2 2 c (0) +, so gilt dies auch für Kurven im Raum aller Matrizen, etwa A : I M n n (C). Dies heiÿt einfach, dass A(t) für jedes t I eine (n, n)- Matrix ist und dass diese Zuordnung C k - dierenzierbar von dem Parameter t abhängt. Die Ableitung erfolgt durch die Formel A (t 0 ) = da(t) dt analog hat man die Produktregel 1 = lim t=t0 t 0 t (A(t 0 + t) A(t 0 )), (A B) = A B + A B, 8

9 die Kettenregel und eine Taylor- Entwicklung A(f(t)) = A (f(t)) f (t) A(t) = A(0) + ta (0) + t2 2 A (0) + sowie die Taylorsche Formel mit einem Restglied und ebenso die Taylorsche Reihe. 2.8 Denition: lineare Gruppe Wenn eine spezielle Eigenschaft von invertierbaren Matrizen sich von A und B stets aus das Produkt AB und die Inverse A 1 überträgt, deniert sie eine Untergruppe von GL(n, C). Dies gilt besonders für bestimmte algebraische oder geometrische Bedingungen, z.b. die Bedingung an eine Matrix, orthogonal zu sein. Jede Untergruppe von GL(n, C) heiÿt eine lineare Gruppe, weil sie als eine Gruppe von linearen Transformationen (jede durch eine Matrix beschrieben) aufgefasst werden kann. 2.9 Denition und Lemma: Wichtige Untergruppen von GL(n, K) GL + (n, R) = {A GL(n, R) deta > 0} (1) SL(n, R) = {A GL(n, R) deta = 1} spezielle lineare Gruppe (2) O(n) = {A GL(n, R) AA T = E} orthogonale Gruppe (3) SO(n) = {A O(n) deta = 1} = O(n) SL(n, R) = O(n) GL + (n, R) (4) Drehgruppe, spezielle orthogonale Gruppe 1 a b H(3, R) = 0 1 c a, b, c R 3-dimensionale Heisenberg-Gruppe (5) SL(n, C) = {A GL(n, C) deta = 1} spezielle komplexe lineare Gruppe (6) U(n) = {A GL(n, C) AA T = E} unitäre Gruppe (7) SU(n) = {A U(n) deta = 1} = U(n) SL(n, C) spezielle unitäre Gruppe (8) Es gibt noch die Gruppe der invertierbaren quaternionalen Matrizen GL(n, H), auf die im Kapitel 4 näher eingegangen wird. Alle genannten Untergruppen (auÿer GL + (n, R)) sind abgeschlossene Teilmengen des R n2 bzw. C n2 = R 2n2 bzw. H n2 = R 4n2, weil sie durch Gleichungen 9

10 deniert sind. Die orthogonale Gruppe und die unitäre Gruppe sind darüber hinaus kompakt. Dies liegt daran, dass die Spalten einer orthogonalen bzw. unitären Gruppe paarweise zueinander orthogonale Einheitsvektoren sind. Daher ist ihre Operator- Norm im Raum aller Matrizen gleich 1. Eine orthogonale bzw. unitäre Matrix liegt somit in der Einheits-Sphäre im R n2 bzw. im R 2n2. Die Untergruppe O(n), SO(n), U(n), SU(n) sind also abgeschlossene und beschränkte Teilmengen davon, also auch kompakt. Ebenso kann man die allgemeine lineare Gruppe GL(n, F) über jedem Körper F betrachten (oder Untergruppen davon), also z.b. auch über endlichen Körpern F p k mit p k Elementen und der Charakteristik p (das ist notwendigerweise eine Primzahl). Speziell ist GL(1, F p ) = F p \{0} eine (multiplikative) zyklische Gruppe der Ordnung p 1. Beweis Denition und Lemma Um zu zeigen, dass die oben genannte Teilmengen tatsächlich Untergruppen (vgl. Denition Untergruppe) sind, genügt es, die folgenden Tatsachen zu zeigen: Zu (1) (UG1) deta > 0 und detb > 0 für alle A, B GL + (n, R), dann gilt det(ab) = deta detb > 0 GL + (n, R) (UG2) E GL + (n, R), da dete = 1 < 0 (UG3) det A 1 > 0 GL(n, R) für alle A GL + (n, R). Zu (2) =1 =1 { }} { { }} { (UG1) deta = 1, detb = 1 für alle A, B SL(n, R) gilt det(ab) = det(a) det(b) = 1 SL(n, R). (UG2) E SL(n, R), da dete = 1 (UG3) deta 1 = 1 SL(n, R) für alle A SL(n, R), da gilt deta 1 = 1. =1 { }} { deta deta 1 = =1 { }} { dete folgt Zu (3) { }} { (UG1) A, B orthogonal, also AA T = BB T = E dann gilt AB(AB) T = A BB T A T = AEA 1 = AA 1 = E, also ist auch AB orthogonal und somit O(n) (UG2) E O(n), da EE T = E (UG3) Es gilt A 1 = A T, also auch A 1 (A 1 ) T = A T (A T ) T = A T A = E, somit ist A 1 orthogonal O(n). =E 10

11 Zu (4) (UG1) A, B orthogonal, also AA T = BB T = E dann gilt AB(AB) T = ABB T A T = E, also ist auch AB orthogonal s.o., es gilt deta = 1, detb = 1 und somit detab = deta detb = 1 O(n) (UG2) E O(n), da EE T = E und dete = 1 (UG3) Es gilt A 1 = A T, also auch A 1 (A 1 ) T = E, womit ist A 1 orthogonal und deta 1 = deta T = det(a) = 1 O(n). Zu (5) (UG1) Für Elemente der Heisenberg-Gruppe gilt 1 a b 1 α β 1 a + α b + β + aγ 0 1 c 0 1 γ = 0 1 c + γ somit H(3, R). (UG2) E H(3, R) mit a, b, c = 0 (UG3) 1 a b 0 1 c a ac b = 0 1 c H(3, R) Zu (7) (UG1) A, B unitär, also AA T = BB T = E und es gilt ABAB T = ABB T A T = E SO(n) (UG2) E SO(n), da EE T = E (UG3) A 1 = A T, also gilt auch A 1 A 1T = E SO(n). Zu (6), (8) analog Denition: lokale Gruppe Unter einer lokalen Gruppe von Matrizen versteht man eine zusammenhängende Teilmenge L GL(n, K) mit E L derart, dass es eine oene Umgebung U von E in GL(n, K) gibt mit der Eigenschaft: Für je zwei Elemente A, B L U liegt das Produkt AB 1 wieder in L. Jede lokale Gruppe L erzeugt eine kleinste zusammenhängende Untergruppe G GL(n, K) mit L G Denition: lokal isomorph Zwei Gruppen G, G von Matrizen heiÿen lokal isomorph, wenn die zugehörigen Einsumgebungen U, U so gewählt werden können, dass zwischen beiden eine bijektive Abbildung f : U U existiert mit f(g 1 g 2 ) = f(g 1 )f(g 2 ) und f(g 1 ) = (f(g)) 1. 11

12 2.12 Beispiel Als Beispiel einer lokalen Gruppe kann man einfach den Durchschnitt L = O(n) V nehmen, wobei V eine oene Einsumgebung in GL(n, C) oder GL(n, R) ist. Innerhalb von V ndet man dann eine zusammenhängende oene Einsumgebung U V, so dass U die Eigenschaft hat, die für eine lokale Gruppe verlangt wird. Die von L erzeugte Gruppe ist dann SO(n) als zusammenhängende Untergruppe. Daher sind O(n) und SO(n) zwar nicht isomorph, aber lokal isomorph. Gegenbeispiel Auch zwei zusammenhängende Untergruppen von GL(n, C) müssen im allgemeinen nicht isomorph sein, wenn sie lokal isomorph sind. Die Gruppe aller (2, 2)- Matrizen ( ) e t 0 GL(n, R) 0 1 mit t R ist lokal (aber nicht global) isomorph zur Gruppe aller (2, 2)- Matrizen ( ) cos t sin t sin t cos t mit t R. Man muss für einen lokalen Isomorphismus nur f(e t ) = e it setzen und dann e it = cos t + i sin t schreiben. Diese Abbildung ist nur in einer Umgebung vom Einselement bijektiv. Wenn man t = 0 setzt ergibt sich für beide Matrizen die Einheitsmatrix. Wenn man t = 2π setzt ergibt sich für die Matrix ( ) cos t sin t sin t cos t Es gilt die Abbildungsvorschrift: ( ) e (t+s) ( cos(t + s) ) sin(t + s) sin(t + s) cos(t + s) und es gilt ( ) ( ) cos t sin t cos s sin s = sin t cos t sin s cos s ( cos(t + s) ) sin(t + s) sin(t + s) cos(t + s) ergibt sich ebenfalls die Einheitsmatrix, für die andere Matrix allerdings ergibt sich ( ) e 2π somit folgt, dass die Abbildung ein lokaler Isomorphismus, aber kein globaler Isomorphismus ist. 12

13 3 Komplexe Zahlen als reelle Matrizen Eine C- lineare Abbildung kann auch als eine R- lineare Abbildung aufgefasst werden. Wenn man eine komplexe Zahl z = a + ib als reellen Vektor mit den Komponenten a und b auasst, dann stellt sich die Frage, wie die Gruppe GL(1, C) = C \ {0} als Untergruppe von GL(2, R) gedeutet werden kann. Es gilt aber zw = (a + ib)(c + id) = (ac bd) + i(ad + bc), und diese Wirkung wird durch die folgende reelle Matrix realisiert: ( ) ( ) ( ) a b c ac bd = b a d ad + bc Alternativ ist dieses Produkt durch die Matrizenmultiplikation ( ) ( ) ( ) a b c d ac bd (ad + bc) = b a d c ad + bc ac bd realisiert. Also entspricht die Multiplikation mit einer ( komplexen ) Zahl z = a + ib gerade a b der Multiplikation mit der reellen Matrix A z =. Dies deniert einen injektiven b a Gruppenhomomorphismus GL(1, C) GL(2, R). ( ) a b Zu zeigen Linearität und Additivität von f : C R 2 ; z : b a Additivität:f(z + w) = f(z) + f(w), ( ) a + c (b + d) f(z + w) = f(a + ib + c + id) = f(a + c + i(b + d)) =, b + d a + c } {{ } ( ) ( ) ( ) a b c d a + c (b + d) f(z) + f(w) = f(a + ib) + f(c + id) = + = b a d c b + d a + c Homogenität: ( ) ( ) ca cb a b f(cz) = f(c(a + ib)) = f(ca + cib) = = c = cf(z) cb ca b a Injektivität: ( ) a b f = b a ( ) 0 0 daraus folgt a = b = Entsprechendes gilt für höhere Dimensionen, wo man eine Einbettung GL(n, C) GL(2n, R) hat. Dann gilt insbesondere ( SO(2) ) = U(1), wobei die komplexe Zahl e it = cos t + i sin t durch cos t sin t die Drehmatrix repräsentiert wird, also eine Drehung um den Winkel t nach sin t cos t links. Man könnte generell die obige (2, 2)- Matrix durch ihre Transponierte ersetzen, aber dann entspräche e it einer Drehung um den Winkel t nach rechts. 13

14 4 Die Quaternionen H 4.1 Denition: Die Quaternionen Darstellung 1 Die Quaternionen H sind als Menge der 4- dimensionale reelle Vektorraum: H = {a + bi + cj + dk a, b, c, d R}, Dieser wird von der Basis {1, i, j, k} aufgespannt. Ein Quaternion q = a+bi+cj+dk zusammen mit der Multiplikation (Hamilton Regel) ij = ji = k, jk = kj = i, i 2 = j 2 = k 2 = 1 der Basiselemente derart, dass für die Summen a + bi + cj + dk die Assoziativität und die Distributivität erfüllt sind. Die Quaternionen bilden mit der üblichen Addition und mit dieser Multiplikation einen Schiefkörper, in dem alle Gesetze gelten wie in einem Körper, auÿer dass die Multiplikation nicht mehr kommutativ ist. Insbesondere ist die Multiplikation assoziativ, und es gibt zu jedem Quaternion q = a + bi + cj + dk 0 ein eindeutiges multiplikatives Inverses q 1 = q 2 q wobei q = a bi cj dk und q 2 = qq = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 gesetzt wird. Beweis: z.z: 1. Assoziativität: q 1 + (q 2 + q 3 ) = (q 1 + q 2 ) + q 3 und q 1 (q 2 q 3 ) = (q 1 q 2 ) q 3 2. Kommutativität bzgl. der Addition: q 1 + q 2 = q 2 + q 1, 3. Es existiert ein neutrales Element bezüglich der Addition bzw. Multiplikation: q 1 + e = q 1 mit e = 0 q 1 q 1 e = q 1 mit e = 1 q 1 4. Es existiert ein inverses Element bezüglich der Addition: q 1 + ( q 1 ) = 0 für alle q 1 5. Es existiert ein eindeutiges multiplikatives Inverses q 1 = q 2 q für alle q 0 6. Distributivität: q 1 (q 2 + q 3 ) = q 1 q 2 + q 1 q 3 und (q 1 + q 2 ) q 3 = q 1 q 3 + q 2 q 3 Beweis Der Nachweis für die Axiome 1, 2, 3, 4, 6 geschieht durch einfaches Nachrechnen unter Berücksichtigung der Hamilton-Regeln. Es muss noch Axiom 5 nachgewiesen werden: Zu 5) 14

15 Der Nachweis geschieht analog zum Nachweis des Inversen zur komplexen Zahl: 1 z = z = a + bi und z = a bi. Das komplex konjugierte Quaternion ist folgendermaÿen deniert: q = a bi cj dk. Der Realteil bleibt also unverändert. Nur der Imaginärteil wird mit 1 multipliziert. i 2 =j 2 =k 2 = 1 Es gilt: q 2 {}}{ = qq = (a + bi + cj + dk) (a bi cj dk) = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 R + 0. Somit ergibt sich durch äquivalente Umformung für alle q 0 das eindeutig multiplikative Inverse: q 1 = 1 q = q 2 q z z 2 mit Bemerkung Die Multiplikation ist nicht Kommutativität: q 1 q 2 q 2 q 1 Folgendes Gegenbeispiel zeigt dies: Sei q 1 = i und q 2 = j. Dann gilt wegen der Hamilton-Regel ij = ji: ij = ji = ji ji = 0 dies ist ein Widerspruch zu k = e }{{} 4. =k Es gilt dann die Rechenregel: q 1 q 2 = q 2 q 1 Weiterhin gilt: q 1 q 2 2 = (q 1 q 2 ) (q 1 q 2 ) = q 1 q 2 q 1 q 2 = q 1 q 2 2 q 1 = q 2 2 q 1 q 1 = q 2 2 q Darstellung 2 Durch a a + 0 i C mit a R können die reellen Zahlen R als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst werden. Mit a + b i C a + b i + 0 j + 0 k H sind die komplexe Zahlen C Teilmenge der Quaternionen. Somit gilt: Man kann schreiben: R C H H = {z + wj z, w C} Die komplexen Zahlen wurden aus den reellen Zahlen gewonnen: a + bi mit a, b R und i 2 = 1. Ebenso können die Quaternionen aus den komplexen Zahlen gewonnen werden durch Hinzunahme eines Elementes j mit j 2 = 1: q = a + bi + cj + dk = (a + bi) + (c + di) j. } {{ } } {{ } z C w C 15

16 =z =z Dabei gilt die Rechenregel: j (a + bi) = ja + bji = aj bij = (a bi) j, also jz = zj. Somit ergeben sich weitere Darstel- } {{ } } {{ } lungsformen eines Quaternion in H: Auf diese Weise kann man es identizieren mit dem reellen Vektor q = (a, b, c, d) T R 4 oder dem komplexen Vektoren (a + bi, c + di) C 2 Beachte: Die Multiplikation innerhalb des Imaginärteils, der von i, j, k aufgespannt wird, stimmt mit dem Vektorprodukt im R 3 überein (siehe Ausarbeitung Vortrag 2). 5 Literatur /1/ Brockhaus-Enzyklopädie, 19. Auage , 21 Band SR-TEO, Mannheim: Brockhaus; /2/ W. Kühnel, Matrizen und Lie-Gruppen Eine geometrische Einführung (Vieweg + teubner Verlag) 1. Auage 2011 Kapitel 3 Seite