Lineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 1 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 21. Oktober.

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1 Lineare Algebra I Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 1 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 21. Oktober Erinnerungen an die Vorlesung: Im Folgenden werden einige Definitionen und Bemerkungen aus der Vorlesung zusammengefaßt. Man kann die meisten Dinge in Büchern oder auf den auf der Hompage angegebenen Wikipedia-Links nachlesen. Der Grundring wird mit R bezeichnet. Allgemein wird R als kommutativer Ring mit Einselement vorausgesetzt, für den Moment sei einfach R R (Körper der reellen Zahlen) oder R C (Körper der komplexen Zahlen). Eine m n-matrix über R (mit Koeffizienten in R) ist ein Tupel a 1,1... a 1,n A (a i,j ) i1,...,m.. j1,...,n a m,1... a m,n Die Menge der m n Matrizen wird bezeichnet mit { } M(m,n,R) (a i,j ) i1,...,m a i,j R j1,...,n Dabei wird die Angabe des Grundringes oft weggelassen und man schreibt M(m, n) M(m,n,R). Für quadratische Matrizen (m n) schreibt man auch M n (R) M(n,R) M(n,n,R) Für eine Matrix A bezeichnet A ij die entsprechende Komponente, man hat also A (A ij ). Matrizen können mit einem Skalar multipliziert werden: (ba) ij ba ij (A M(m,n,R), b R) Matrizen gleicher Dimensionen können addiert werden: (A+B) ij A ij +B ij (A,B M(m,n,R)) Allgemeiner kann man Linearkombinationen der Form r b r A r M(m,n,R) (A k M(m,n,R), bk R) k1

2 2 bilden, wobei natürlich ( r ) b r A r k1 Die transponierte Matrix i,j r b r (A r ) i,j k1 A t A T M(n,m,R) (A M(m,n,R)) entsteht durch Vertauschung der Zeilen und Spalten: Offensichtlich gilt (A t ) i,j A j,i (A t ) t A Zwei Matrizen mit passender Dimension können multipliziert werden: Man hat Produkte M(m,n,R) M(n,p,R) M(m,p,R) (A,B) AB wobei hier jeweils die Produktsumme der i-ten Zeile von A mit der gleichlangen k-ten Spalte von B die (i, k)-te Komponente des Produktes ergeben: (AB) i,k A i,j B j,k j1 Eine einfache Anwendung ist die Matrizen-Schreibweise eines linearen Gleichungssytems: a11 a 12 x b1 a 21 a 22 y b 2 bedeutet ja gerade a 11 x+a 12 y b 1 a 21 x+a 22 y b 2 Für die Transposition eines Produktes gilt: für A M(m,n), B M(n,p). (AB) t B t A t Dies soll hier als Beispiel bewiesen werden. Es ist zu zeigen, daß für alle i, j die (i,j)-te Komponente von (AB) t mit der (i,j)-ten Komponente von B t A t

3 3 übereinstimmt. Dies folgt z. B. so: (AB) t (AB) i,j j,i A j,h B h,i h1 B h,i A j,h h1 B t i,h A t ( B t A t) h,j i,j h1 Eine spezielle quadratische Matrix ist die Einheits-Matriz oder Identität: E n 1 n mit (E n ) i,j { 1 für i j 0 für i j Es gilt E m A A AE n für A M(m,n). Die quadratischen Matrizen spielen eine Sonderrolle. Das Produkt von Matrizen A, B M n (R) liegt wieder in M n. Damit wird M n (R) zu einem assoziativen Ring mit Einselement E n (der für n > 1 nicht kommutativ ist). Eine (quadratische) Matrix A M n (R) heißt invertierbar, wenn es eine Matrix B M n (R) gibt mit AB BA E n Die Matrix B heißt die Inverse von A und wird mit A 1 bezeichnet. Die Inverse einer Matrix ist eindeutig bestimmt: Sind B, C invers zu A, so folgt: C C E C (A B) (C A) B E B B Eine wichtige Invariante von quadratischen Matrizen ist die Spur. Sie ist das Element des Grundringes gegeben durch die Summe der Diagonalelemente: spur(a) für A M n (R). Eine weitere wichtige Invariante ist die Determinante, die für n > 2 erst später im Verlauf der Vorlesung eingeführt wird. i1 A i,i

4 4 Spezielles zu M 2 (R) Wir betrachten 2 2-Matrizen. Es sei Die Spur von A ist A a b c d spur(a) a+d Die Determinante von A ist definiert als Die Adjunkte von A ist definiert als det(a) ad bc A d b c a (Vorsicht: Ich hatte in der Vorlesung den Namen Adjungierte benutzt, der nicht völlig ungebräuchlich dafür ist, aber zumeist für die konjugiert-transponierte Matrix einer Matrix über C steht. Um Verwechslungen vorzubeugen, werde ich in Zukunft den Name Adjunkte verwenden). Es sei und E V Im Folgenden seien einige Bemerkungen aus der Vorlesung aufgelistet, ohne Gewichtung der Schwierigkeit. Satz. (A ) A A+A spur(a)e AA A A det(a)e V 2 E V 1 V A VA t V 1 (AB) B A det(ab) det(a) det(b) Bitte schauen Sie sich die Beweise nochmal an.

5 5 Nachtragen möchte ich hier: Lemma. Für A M 2 (R) gilt: A 2 spur(a)a+det(a)e 0 Beweis. det(a)e AA A(A spur(a)e) A 2 spur(a)a Lemma. A M 2 (R) ist invertierbar genau dann wenn det(a) invertierbar ist. (Ist R ein Körper, so ist die Invertierbarkeit von det(a) gleichbedeutend mit det(a) 0). Beweis. Ist det(a) invertierbar, so ist A 1 1 det(a) A die Inverse von A. Umgekehrt, ist B M 2 (R) eine Inverse, so ist AB E, also Daher ist det(a) invertierbar. 1 det(e) det(ab) det(a)det(b)

6 6 Aufgabe 1. Man schreibe jedes der folgenden Gleichungssysteme in Matrizenform ( x A W y) Sodann bestimme man für die Matrix A die Determinante, die Inverse A 1 und das Quadrat A 2 A A. Schließlich gebe man die Lösung des jeweiligen Gleichungssystems an. (1) (2) 4x+5y 1 3x+4y 2 4x+5y 1 3x 4y 2 Aufgabe 2. (1) Man zeige: spur(ab) spur(ba) für A M(m,n), B M(n,m). (2) Man zeige die Assoziativiät des Matrizenproduktes, d. h. (AB)C A(BC) für A M(m,n), B M(n,p), C M(p,q). Aufgabe 3. Es sei A eine 2 2-Matrix über einem Körper (R oder C). Man zeige: Es gilt det(a) 0 genau dann, wenn A das Produkt eines Spaltenvektors mit einem Zeilenvektor ist, d. h. u (s ) A t (u,v,s,t R) v Hinweis. Eine Schwierigkeit ist vielleicht, das u, v, s, t nicht eindeutig bestimmt sind. Ist A ( a b c d), so empfiehlt es sich, eine Fallunterscheidung a 0, a 0 zu machen.

7 7 Aufgabe 4. Wir betrachten folgende Matrizen aus M 2 (C): ( 1 0 i X 0 E, X 0 1 1, X 0 i (1) Für a, b, c, d C finde man z 0, z 1, z 2, z 3 C mit a b z c d 0 X 0 +z 1 X 1 +z 2 X 2 +z 3 X 3 (2) Für x 0, x 1, x 2, x 3 R (nicht C!) bestimme man det(x 0 X 0 +x 1 X 1 +x 2 X 2 +x 3 X 3 ) ), X 3 0 i i 0 Anmerkung. Die Aufgabe ist im Wesentlichen eine Übung zum Rechnen mit komplexen Zahlen. Die betrachteten speziellen Matrizen haben besondere Eigenschaften, wie X 2 1 X 2 2 X 2 3 E X i X j X j X i (1 i,j 3, i j) X 1 X 2 X 3 X 2 X 3 X 1 X 3 X 1 X 2 X 1 X 2 X 3 E Die Menge H RX 0 +RX 1 +RX 2 +RX 3 der reellen Linearkombinationen der X i ist als Quaternionen-Algebra bekannt.