11. Vorlesung. Lineare Algebra und Sphärische Geometrie.

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1 11. Vorlesung. Lineare Algebra und Sphärische Geometrie. In dieser Vorlesung behandeln wir eine geometrische Anwendung der linearen Algebra. Insbesondere betrachten wir orthogonale Abbildungen. 1. Orthogonale Abbildungen. Definition. Eine Matrix A ist eine orthogonale Matrix, wenn A 1 = A t (= Spiegelung von A an der Hauptdiagonale). Definition. Eine linearer Isomorphismus L : R n R n heißt orthogonale Abbildung, wenn L(v) L(w) = v w ( = Skalarprodukt) Satz. L A ist orthogonal A ist orthogonal. Beweis. ohne Beweis. Satz. Orthogonale Abbildungen sind längenerhaltend. Beweis. L(v) 2 = (L(v)) 2 = L(v) L(v) = v v = v 2 L(v) = v Dies beweist den Satz. Bemerkung. Damit sind insbesondere die Einheitssphären S n := { v R n+1 v = 1 } nvariant unter orthogonalen Abbildungen, d.h. L(v) S n, für alle v S n.

2 2. Lineare Algebra (L2/L5) Satz. Alle orthogonalen Abbildungen der R 2 sind gegeben durch die Matrizen [ ] cos α sin α sin α cos α Beweis. Satz. Alle orthogonalen Abbildungen des R 3 sind Produkte der folgenden dreidimensionalen Drehmatrizen: cos α sin α 0 sinα cos α Beweis. siehe [Neiss]., cos α 0 sin α 0 1, 0 sin α 0 cos α cos α sin α 0 sinα cos α Satz. Sei L : $R 3 R 3 ein orthogonaler Isomorphismus. Dann hat L mindestens einen Fixpunkt, d.h. mindestens einen Vektor w k n mit L A (w) = w. Beweis. Das minimale Polynom p A (λ) = det(a λi) hat einen ungeraden Grad. Polynome mit ungeradem Grad haben immer mindestens eine Lösung p A (λ) = 0. Sei λ 0 eine solche Lösung und w ein zugehöriger Eigenvektor. Dann ist Aw = λw = w. Satz. Es gibt orthogonale Abbildungen L : R 4 R 4 die auf der Einheitssphäre S 3 keinen Fixpunkt haben. Bemerkung. Im restlichen Teil wollen wir uns der Konstruktion von fixpunktfreien orthogonalen Abbildungen widmen. Die Aufgabe ist nicht ganz leicht. Wir werden aber sehen, dass uns das Quaternionen-Produkt bei der Lösung eine große Hilfe sein wird. 2. Das Quaternionenprodukt. Eine der großene Entdeckungen des 19. Jahrhundert war die Entdeckung des Quaternionen Produkts durch Sir Hamilton. Dies ist ein Produkt des R 4. Also hat der R 4, neben der Vektor-Addition und dem Produkt mit Skalaren, noch eine weitere Operation, nämlich das Quaternionen Produkt. Bemerkung. Dieses Produkt ist äusserst selten. Nur noch der R 2 hat ein vergleichbares Produkt (und mit ihm entstehen die komplexen Zahlen).

3 Definition. Das Quaternionenprodukt ist gegeben durch die Formeln 11 Sphärische Geometrie. 3 : R 4 R 4 i i = j j = k k = i j k = 1 und i j = j i = k und dem Assoziativ- aund Distributivgesetz bzg. Vektoraddition. Hierbei identifizieren wir jeden Vektor aus R 4 mit a + bi + cj + dk, a,b,c,d R. Bemerkung. Ein Wort zur Warnung. Im folgenden müssen wir immer im Kopf behalten, dass wir nun mit zwei verschiedenen Produkten im R 4 umgehen müssen, nämlich dem Skalarprodukt und dem Quaternionenprodukt. Deswegen müssen wir diese beiden Produkte sorgfältig durch zwei verschiedene Schreibweisen unterscheiden. Wir setzen deshalb fest: v w := inneres Skalarprodukt Aber beachten Sie: v w := Quaternionen Produkt v w ist immer kommutative und eine reelle Zahl, v w ist i.a. nicht kommutativ und immer ein Vektor (aus R 4 ) Nun betrachten wir das Quaternionenprodukt etwas näher. Aus der Definition folgt, dass i k = i (i j) = (i i) j = j und k i = (i j) i = i (j i) = i k = j i k = k i j k = j (j i) = (j j) i = i und k j = (j i) j = j (i j) = j k = i k j = j k. Hieraus machen wir die folgende Tafel: i j k i 1 k j j k 1 i k j i 1

4 4. Lineare Algebra (L2/L5) Bemerkung. (R 4,+, ) ist ein Schiefkörper (= nicht kommutativer Körper). Insbesondere gibt es multiplikative Inversen, d.h. Quaternionen v 1 mit v v 1 = 1. Dies beweisen wir aber nicht. (Siehe [Ebbinghaus et al]). Bemerkung. Mit den obigen Formeln können wir jetzt alle Produkte (v 1 + v 2 i + v 3 j + v 4 k) (w 1 + w 2 i + w 3 j + w 4 k) durch Anwenden von Assoziativ- und Distributivgesetz ausrechnen. Beispiel. Zur Illustration hier eine etwas längliche Rechnung: [v 1,v 2,v 3,v 4 ] [v 1, v 2, v 3, v 4 ] =(v 1 + v 2 i + v 3 j + v 4 k) (v 1 v 2 i v 3 j v 4 k) =((v 1 + v 2 i) + (v 3 j + v 4 k)) ((v 1 v 2 i) (v 3 j + v 4 k)) =(v 1 + v 2 i)(v 1 v 2 i) (v 1 + v 2 i)(v 3 j + v 4 k) + (v 3 j + v 4 k)(v 1 v 2 i) (v 3 j + v 4 k) 2 =(v 2 1 v 1 v 2 i + v 2 v 1 i + v 2 2)+ (v 1 v 3 j + v 1 v 4 k + v 2 v 3 ij + v 2 v 4 ik) + (v 3 v 1 j v 3 v 2 ji + v 4 v 1 k v 4 v 2 ki) ( v v 3 v4jk + v 4 v j kj v 2 4) =v v v v 2 4 Beispiel. Mit einer ähnlichen Rechnung wie zuvor erhlaten wir die folgende Formel für das Quaternionenprodukt in Koordinatenschreibweise: v 1 v 2 v 3 v 4 Definition. Die Abbildung w 1 w 2 w 3 w 4 = v 1 w 1 v 2 w 2 v 3 w 3 v 4 w 4 v 1 w 2 + v 2 w 1 + v 3 w 4 v 4 w 3 v 1 w 3 v 2 w 4 + v 3 w 1 + v 4 w 2 v 1 w 4 + v 2 w 3 v 3 w 2 + v 4 w 1. : Q Q, ae + bi + cj + dk ae bi cj dk heißt Quaternionen Konjugation. Die Abbildung heißt Quaternionen-Norm.. : R 4 R, v v := v v Lemma. v,w R 4 v v = v v = v v. Beweis. siehe obiges Beispiel. Bemerkung. Die Quaternionen-Norm ist also nichts weiter als die gewöhnliche Norm in R 4 (gegeben durch das Skalarprodukt).

5 3. Eine Anwendung des Quaternionenprodukts. 11 Sphärische Geometrie. 5 Nach den Resultaten des vorigen Abschnittes können wir benutzen, dass S 3 := {v R 4 v = 1 } = { h H h = 1 } H. die gewöhnliche Einheitssphäre in R 4. Lemma. v,w R 4 2(v w) = v w + w v. Beweis. (v v + 2v w + w w) = ((v + w) (v + w)) (das Skalarprodukt ist kommutativ) = (v + w) v + w (siehe oben) = (v + w) ( v + w) = v v + v w + w v + w w = (v v) + (w w) + v w + w v Lemma. v,w R 4 v w = w v (man beachte, dass v und w hier vertauscht sind). Beweis. durch Nachrechnen. Satz. v,w R 4 v w 2 = v 2 w 2. Beweis. v w 2 = (v w) (v w) = ( w v) (v w) (wir haben hier vertauscht) = w ( v v) w (das Quaternionenprodukt ist assoziativ) = w (v v) w (siehe oben) = (v v)( w w) = (v v)(w w) = v 2 w 2. Korollar. v,w S 3 v w S 3. Satz. Es gibt eine orthogonale Abbildung L : R 4 R 4 L S 3 : S 3 S 3 fixpunktfrei ist. Beweis. Sei w S 3 mit w 1. Dann wird durch so dass die EinschrÄnkung L(v) := w v eine orthogonale Abbildung L : R 4 R 4 mit L(S 3 ) S 3 definiert (nach obigem Satz).

6 6. Lineare Algebra (L2/L5) Annahme. Es gibt v S 3 R 4 mit L(v) = v. Dann gilt v = L(v) = v w v = v w v 1 v = v 1 v w e = w Aber das widerspricht der Wahl von w. Bemerkung. Man kann weiter zeigen, dass alle orthogonale Abbildungen der S 3 durch Quaternionen gegeben sind, denn es gilt: Satz. Sei L : R 4 R 4 eine orthogonale Abbildung. Dann gibt es u,w S 3 so dass Beweis. siehe [Ebbinghaus et al.] L(v) = u v w Dies nutzt man etwa für Graphische Design Fragen aus, um etwa schnelle Drehungen im Raum zu programmieren. Literature. R. D. Ebbinghaus et al, Numbers, Springer Verlag (1991) F. Neiss, Determinanten und Matrizen, Springer Verlag (1962)