Klausur zur Geometrie

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1 PD Dr. A. Kollross Dr. J. Becker-Bender Klausur zur Geometrie Universität Stuttgart SoSe Juli 213 Lösungen Aufgabe 1 Sei eine ebene Kurve c: (, ) R 2 durch ( ) 3 t c(t) = 2 t 3/2 definiert. a) Begründen Sie, warum es sich um eine regulär parametrisierte Kurve handelt. (1 P) b) Finden Sie eine Umparametrisierung φ, so dass c φ nach Bogenlänge parametrisiert ist. (4 P) c) Berechnen Sie die Krümmung der Kurve. (3 P) Lösung zu Aufgabe 1 a) Es gilt was die Regularität zeigt. b) Wir berechnen t ċ(s) ds = t ċ(t) = ( 3 3 t 1/2 ), t 9 + 9s ds = s ds = = (1 + s)3/2 s=t s= = 2 (1 + t)3/2 2 Wir setzen ψ(t) := 2 (1 + t) 3/2 2. Die Umkehrabbildung φ := ψ 1 erhält man, indem man nach t auflöst: 2(1 + t) 3/2 2 = s φ(s) = ( s ) 2/3 1. Verwendet man φ: (1, ) (, ) als Umparametrisierung, dann ist c φ nach Bogenlänge parametrisiert. c) Wir berechnen ( ) c(t) = 3 2 t 1/2.

2 Mit der Formel für die Krümmung einer nicht notwendig nach Bogenlänge parametrisierten ebenen Kurve erhält man κ(t) = det(ċ(t), c(t)) = t 1/2 3 t 1/2 = ċ(t) (1 + t) 3/2 Aufgabe 2 Sei im R 3 eine Schraubenlinie gegeben durch c: R R 3, c(t) = 1 4 cos(t) 4 sin(t). 3t 1 6 t(1 + t) 3/2. a) Zeigen Sie, dass die Kurve nach Bogenlänge parametrisiert ist. (1 P) b) Bestimmen Sie das begleitende Dreibein (v(t), n(t), b(t)). ( P) c) Berechnen Sie Krümmung κ und Torsion τ. (2 P) Lösung zu Aufgabe 2 a) Es gilt ċ(t) 2 = 1 (16 2 cos(t) sin(t) 2 + 9) = 1. b) Man erhält durch ein- bzw. zweimaliges Ableiten: v(t) = ċ(t) = 1 4 sin(t) 4 cos(t) und c(t) = 1 4 cos(t) 4 sin(t) 3 und damit: n(t) = c(t) c(t) = cos(t) sin(t). Den Binormalenvektor b(t) erhalten wir, indem wir das Kreuzprodukt von v(t) und n(t) bilden: b(t) = v(t) n(t) = 1 3 sin(t) 3 cos(t). 4 c) Wir erhalten κ(t) = c(t) = 4. Um die Torsion zu bestimmen, berechnet man ṅ(t) = sin(t) cos(t) und erhält τ = ṅ, b = 3. Alternativ: Nach der Frenetschen Formel ḃ = τn kann man, nach Ableiten von b(t), an den Ergebnissen der vorangehenden Teilaufgabe τ(t) = 3 ablesen. Aufgabe 3

3 a) Sei c eine nach Bogenlänge parametrisierte Raumkurve mit positiver Krümmungsfunktion. Beweisen Sie: Der Binormalenvektor ist genau dann konstant, wenn c in einer affinen Ebene des R 3 verläuft. (4 P) b) Beweisen Sie: Die Teilmenge { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 = e z} des R 3 ist eine reguläre Fläche. (2 P) Lösung zu Aufgabe 3 a) Dass die Raumkurve c: I R 3 ganz in einer affinen Ebene des R 3 verläuft, ist dazu äquivalent, dass es einen von Null verschiedenen Vektor w R 3 gibt mit w, c(t) = const. Angenommen, das Bild ist ganz in einer affinen Ebene des R 3 enthalten und sei w R 3 gibt mit w, c(t) = const. Dann folgt durch ein- bzw. zweimaliges Ableiten: w, ċ(t) = w, c(t) =, d.h. ċ(t), c(t) w für alle t I. Also gilt für das begleitende Dreibein v(t), n(t) w und es folgt, dass b(t) = ±w/ w. Aus Stetigkeitsgründen folgt nun, dass entweder b(t) +w/ w oder b(t) w/ w gilt und somit b(t) konstant ist. Sei nun b(t) =: w konstant. Dann folgt w ċ(t) für alle t I und somit t w, c(t) = w, ċ(t) =. dt b) Wir berechnen den Gradienten der Funktion f : R 3 R, f(x, y, z) = x 2 + y 2 e z : gradf(x, y, z) = 2x 2y. e z Der Gradient verschwindet nirgends und somit ist insbesondere f 1 ({}) ein reguläres Urbild. Aufgabe 4 Sei durch cos(φ)(4 + cos(ϑ)) F (φ, ϑ) = sin(φ)(4 + cos(ϑ)) sin(ϑ) ein Rotationstorus parametrisiert. a) Bestimmen Sie die Strukturmatrix g ij der ersten Fundamentalform bezüglich F. (3 P) b) Bestimmen Sie die zweite Fundamentalform, d.h. die Funktionen h ij. Hinweis: Sie dürfen ohne Begründung verwenden, dass durch cos(φ) cos(ϑ) N(φ, ϑ) := sin(φ) cos(ϑ) sin(ϑ) ein Einheitsnormalenfeld gegeben ist. (4 P) c) Bestimmen Sie die Gaußsche Krümmung am Punkt F (φ, ϑ). (3 P)

4 Lösung zu Aufgabe 4 a) Wir berechnen sin(φ)(4 + cos(ϑ)) cos(φ) sin(ϑ) F φ = cos(φ)(4 + cos(ϑ)), F ϑ = sin(φ) sin(ϑ). cos(ϑ) Daraus ergibt sich sowie und g φφ = sin(φ) 2 (4 + cos(ϑ)) 2 + cos(φ) 2 (4 + cos(ϑ)) 2 = (4 + cos(ϑ)) 2 g φϑ = g ϑϑ = cos(φ) 2 sin(ϑ) 2 + sin(φ) 2 sin(ϑ) 2 + cos(ϑ) 2 = = (cos(φ) 2 + sin(φ) 2 ) sin(ϑ) 2 + cos(ϑ) 2 = 1. b) Wir berechnen cos(φ)(4 + cos(ϑ)) sin(φ) sin(ϑ) F φφ = sin(φ)(4 + cos(ϑ)), F φϑ = cos(φ) sin(ϑ) und cos(φ) cos(ϑ) F ϑϑ = sin(φ) cos(ϑ). sin(ϑ) Einsetzen ins Skalarprodukt mit dem Einheitsnormalenfeld N(ϑ, φ) ergibt h φφ = (4 + cos(ϑ)) cos(ϑ), h φϑ =, h ϑϑ = 1, c) Aus den obigen Ergebnissen erhalten wir Aufgabe Daraus ergibt sich det(g ij ) = (4 + cos(ϑ)) 2 und det(h ij ) = (4 + cos(ϑ)) cos(ϑ). κ(f (φ, ϑ)) = det(h ij) det(g ij ) = cos(ϑ) 4 + cos(ϑ). a) Was besagt der Umlaufsatz? (2 P) b) Geben Sie (ohne Begründung) die Tangentendrehzahlen der folgenden geschlossenen orientierten ebenen Kurven an. Lösung zu Aufgabe (2 P)

5 a) Eine einfach geschlossene ebene orientierte Kurve hat Tangentendrehzahl +1 oder 1. b) Bei der linken Kurve ist die Tangentendrehzahl gleich 1, bei der rechten gleich 4. Aufgabe 6 Wir betrachten die xy-ebene S = x y x, y R im R 3. a) Begründen Sie zunächst, warum für jede glatte Kurve c: ( ε, ε) S und jedes tangentiale Vektorfeld v längs c gilt: (2 P) dt v(t) = d dt v(t). b) Auf S führen wir nun Polarkoordinaten F : U S, F (r, φ) = (r cos(φ), r sin(φ), ), U = (, ) (, 2π) ein. Berechnen Sie die kovarianten Ableitungen X Y für die Koordinatenvektorfelder X, Y {F r, F φ }. (4 P) Lösung zu Aufgabe 6 a) Für ein tangentiales Vektorfeld v längs einer glatten Kurve c gilt, dass die dritte Komponente von v(t) = v 1(t) v 2 (t) v 3 (t) konstant gleich Null ist und dies gilt dann auch für die Ableitung nach t. Die orthogonale Projektion R 3 T p S ist aber in jedem Punkt durch x y x y z gegeben. Daher stimmt die kovariante Ableitung in diesem Fall mit der gewöhnlichen Ableitung überein.

6 b) Wegen a) gilt im Punkt p = F (r, φ) r F r (p) = F rr =, r F φ (p) = φ F r (p) = F rφ = sin(φ) cos(φ), r cos(φ) φ F φ (p) = F φφ = r sin(φ).