Geometrie. Vorbereitung für die mündliche Examensprüfung. von Frank Reinhold im Frühjahr 2012 geprüft von Prof. Bernd Ammann. Inhaltsverzeichnis

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1 Vorbereitung für die mündliche Examensprüfung Geometrie von Frank Reinhold im Frühjahr 2012 geprüft von Prof. Bernd Ammann Inhaltsverzeichnis Bezeichnungen 2 1 Euklidische Geometrie Der axiomatische Zugang Das kartesische Modell Kurventheorie Kurven in R n Ebene Kurven Raumkurven Klassische Flächentheorie Reguläre Flächen Die Tangentialebene Die erste Fundamentalform Normalenfelder und Orientierbarkeit Die zweite Fundamentalform Krümmung Flächeninhalt und Integration auf Flächen Einige Klassen von Flächen Regelflächen Minimalflächen Drehflächen Röhrenflächen Innere Geometrie von Flächen Isometrien Vektorfelder und kovariante Ableitung Krümmungstensor und Theorema Egregium Riemannsche Metriken Geodätische Exponentialabbildung Parallelverschiebung Jacobi-Felder Sphärische und hyperbolische Geometrie Der Divergenzsatz Variation der Metrik Literaturverzeichnis 29 Abbildungsverzeichnis 29 1

2 Bezeichnungen Die Anzahl der Elemente von A bezeichnen wir mit A, die Differenz zweier Mengen mit A \ B = {x A : x / B}. (0.1) Mit R n bezeichnen wir den Vektorraum aller Spaltenvektoren mit n reellen Einträgen x 1. x n = (x 1,..., x n ) t R n. (0.2) Die Einträge tragen dabei ihre Indizes in der Regel oben. Ā bezeichnet den Abschluss einer Menge, da ihren Rand und Å das Innere. Das euklidische Skalarprodukt auf R n wird geschrieben als (x 1,..., x n ) t, (y 1,..., y n ) t = Für einen Untervektorraum V R n ist n x i y j. (0.3) j=1 V = {x R n : x, y = 0 für alle y V } (0.4) das orthogonale Komplement. Das Vektorprodukt auf R 3 ist gegeben durch x1 x 2 y1 y 2 = x2 y 3 x 3 y 2 x 1 y 3 + x 3 y 1. (0.5) x 2 y 3 x 1 y 2 x 2 y 1 Der Realteil einer komplexen Zahl z ist R(z) und ln(z) ist der natürliche Logarithmus einer positiven reellen Zahl. Eine glatte Abbildung bezeichnet eine unendlich oft differenzierbare. Für ihr Differential oder ihre Jacobi-Matrix in einem Punkt p schreiben wir df 1 dx 1 (p) D pf =. df m dx 1 (p) df 1 dx n (p)., (0.6) df m dx n (p) wobei F = (F 1,..., F m ) t : R n R m. Speziell für die Funktion f : R n R ist der Gradient. ( ) df grad f = Df = dx 1,..., df t dx n (0.7) Die Gruppe der invertierbaren reellen n-mal-n-matrizen wird mit GL(n) bezeichnet, die Untergruppe der orthogonalen Matrizen O(n), O(n) = {A GL(n) : A A = Id}, (0.8) und die Untergruppe der speziell-orthogonalen Matrizen mit SO(n), SO(n) = {A O(n) : det(a) = 1}. (0.9) 1 Euklidische Geometrie 1.1 Der axiomatische Zugang Inzidenzaxiome Sei P eine Menge, deren Elemente wir Punkte nennen und G eine Menge, deren Elemente wir Geraden nennen. Die Aussage p P ist enthalten in L G, notiert als p L ist entweder wahr oder falsch. - Axiom I 1 : Durch je zwei Punkte geht eine Gerade, p, q P L G : p L q L. (1.1) - Axiom I 2 : Durch je zwei verschiedene Punkte geht höchstens eine Gerade, p, q P, p q L, M G, p L, q L, p M, q M : L = M. (1.2) Gemäß I 1 und I 2 geht durch zwei verschiedenen Punkte p, q genau eine Gerade, die wir fortan mit L(p, q) bezeichnen wollen. - Axiom I 3 : Jede Gerade enthält mindestens zwei verschiedene Punkte, L G p, q P, p q : p L q L. (1.3) - Axiom I 4 : Es gibt drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, p, q, r P : L G : p L, q L, r L. (1.4) Dieses Axiom bringt zum Ausdruck, dass unsere Geometrie wenigstens zwei Dimensionen hat. Anordnungsaxiome Zu jedem Tripel (p, q, r) von Punkten soll die Aussage q liegt zwischen p und r entweder wahr oder falsch sein. - Axiom A 1 : Falls q zwischen p und r liegt, so sind p, q und r drei paarweise verschiedenen Punkte auf einer Geraden. - Axiom A 2 : Liegt q zwischen p und r, so liegt q auch zwischen r und p. Zu je zwei Punkten p und q nenne wir die Menge aller Punkte, die zwischen p und q liegt, die Strecke von p nach q und schreiben dafür pq, d. h. pq = qp. - Axiom A 3 : Zu je zwei verschiedenen Punkten p und q gibt es einen Punkt r, sodass q zwischen p und r liegt. - Axiom A 4 : Unter je drei verschiedenen Punkten liegt höchstens einer zwischen den beiden anderen. Haben zwei Geraden L und M einen Punkte p gemein, so sagen wir auch, dass sich L und M schneiden, in Symbolen L M. Wir sagen, dass sich eine Strecke pr und eine Gerade L schneiden, falls es einen Punkt q zwischen p und r gibt mit q L. - Axiom A 5 : Seien p, q und r drei Punkte, dich nicht auf einer Geraden liegen, sei L eine Gerade, die keinen dieser drei Punkte enthält. Schneidet L die Strecke pq, so schneidet L auch genau eine der Strecken pr oder qr. Dies besagt, dass eine Gerade, die in ein Dreieck eintritt, durch eine der beiden anderen Seiten wieder heraustritt. Das sagt anschaulich auch, dass unsere Geometrie nicht mehr als zwei Dimensionen hat. Satz Zu je zwei verschiedenen Punkten p und q gibt es einen Punkt r, der zwischen p und q liegt, d. h. die Strecke pq ist nicht leer. Beweis. Ein Beweis, der die bisherigen Axiome benutzt, findet sich in [Bär, Seite 4f]. 2

3 Definition Sei L eine Gerade, p L. Seien q, r zwei Punkte auf L, beide ungleich p. Wir sagen q und r liegen auf der selben Seite des Punktes p, falls p nicht zwischen q und r liegt. Sei L eine Gerade und p, q zwei Punkte, die nicht auf L liegen. Wir sagen p und q liegen auf derselben Seite der Geraden L, falls die Strecke pq die Gerade L nicht schneidet. Damit lassen sich zwei Äquivalenzrelationen definieren. Definition (Winkel). Ein Winkel ist eine Äquivalenzklasse von Tripeln von Punkten p, q, r, die nicht auf einer Geraden liegen, wobei zwei Tripel (p, q, r) und (p 1, q 1, r 1 ) äquivalent sind, falls 1. q = q 1 2. L(p, q) = L(p 1, q) und p und p 1 liegen auf derselben Seite von q 3. L(r, q) = L(r 1, q) und r und r 1 liegen auf derselben Seite von q. Der Punkt q heißt Scheitel des Winkels. Für die Äquivalenzklasse von (p, q, r) schreiben wir (p, q, r). Kongruenzaxiome Für jedes Paar von Strecken (pq, p 1 q 1 ) ist die Aussagen pq ist zu p 1 q 1 kongruent ist entweder wahr oder falsch. Für je zwei Winkel gilt die ähnliche Aussage. - Axiom K 1 (Streckenabtragung): Sei pq eine Strecke, sei L 1 eine Gerade, seien p 1, r 1 L 1 mit r 1 p 1. Dann gibt es einen Punkt q 1 L, auf derselben Seite von p 1 wie r 1, sodass pq zu p 1 q 1 kongruent ist. Abbildung 3: Winkelabtragung - Axiom K 6 : Seien (p, q, r) und (p 1, q 1, r 1 ) zwei Tripel von Punkten, die jeweils nicht auf einer Geraden liegen. Gilt pq p 1 q 1, pr p 1 r 1 und (q, p, r) (q 1, p 1, r 1 ), so gilt auch (p, q, r) (p 1, q 1, r 1 ). Lemma Die Kongruenz von Strecken bildet eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Strecken. Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 9]. Satz Seien (p, q, r) und (p 1, q 1, r 1 ) zwei Tripel von Punkten, die jeweils nicht auf einer Geraden liegen. Gilt pq p 1 q 1, pr p 1 r 1 und (q, p, r) (q 1, p 1, r 1 ), so gilt auch (p, q, r) (p 1, q 1, r 1 ), (p, r, q) (p 1, r 1, q 1 ), qr q 1 r 1. (1.5) Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 10f]. Abbildung 4: Beweisskizze Abbildung 1: Streckenabtragung - Axiom K 2 : Sind die Strecken p 1 q 1 und p 2 q 2 beide zur Strecke pq kongruent, so ist auch p 1 q 1 zu p 2 q 2 kongruent. - Axiom K 3 (Addierbarkeit von Strecken): Seien L und L 1 Geraden, seien p, q, r L und p 1, q 1, r 1 L 1 jeweils drei paarweise verschiedene Punkte auf diesen Geraden. Die Strecke pq und qr mögen keine gemeinsamen Punkte haben, pq qr =. Analog sei p 1 q 1 q 1 r 1 =. Sind dann pq p 1 q 1 und qr q 1 r 1, so ist auch pr p 1 r 1. Satz (Kongruenz der Nebenwinkel). Es mögen die paarweise verschiedenen Punkte p, q, s auf einer Geraden L liegen, dagegen r / L. Analog seien p 1, q 1, s 1 L 1 paarweise verschieden und r 1 / L 1. Sind (p, q, r) und (p 1, q 1, r 1 ) kongruent, so sind auch (s, q, r) und (s 1, q 1, r 1 ) kongruent. Der Winkel (s, q, r) wird auch als Nebenwinkel bezeichnet. Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 11f]. Abbildung 5: Beweisskizze: Kongruenz der Nebenwinkel Abbildung 2: Addierbarkeit von Strecken - Axiom K 4 : Die Kongruenz von Winkeln bildet eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Winkel. - Axiom K 5 (Winkelabtragung): Seien p, q, r Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, und seien p 1, q 1, s 1 ebenfalls Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen. Dann gibt es einen Punkt r 1 auf derselben Seite von L(p 1, q 1 ) wie s 1, sodass der Winkel (p 1, q 1, r 1 ) kongruent ist zu dem WInkel (p, q, r). Ist ferner r 2 ein weiterer Punkt mit denselben Eigenschaften wie r 1, d. h. liegt r 2 ebenfalls auf derselben Seite von L(p 1, q 1 ) wie s 1 und (p 1, q 1, r 2 ) (p, q, r), so ist (p 1, q 1, r 1 ) (p 1, q 1, r 2 ). Satz (Kongruenz der Gegenwinkel). Seien L und M verschiedene Geraden, die sich in p schneiden. Seien r, q L auf zwei verschiedenen Seiten von p, und seien s, t M ebenfalls auf zwei verschiedenen Seiten von p. Dann ist (q, p, s) (r, p, t). Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 11]. Satz (Existenz einer Parallelen). Sei L eine Gerade, p ein Punkt, p / L. Dann gibt es eine Gerade M, die p enthält und die L nicht schneidet. Wir sagen dann, M ist eine Parallele zu L durch p. Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 13f]. 3

4 wobei p, v R 2, v 0 fixiert sind. Die Menge der Geraden ist dann G := { L p,v : p, v R 2, v 0 }. (1.8) Abbildung 6: Beweisskizze: Kongruenz der Gegenwinkel Wir sagen, ein Punkt p ist enthalten in einer Geraden L, wenn p L im Mengentheoretischen Sinn gilt. Ein Punkt q R 2 liegt zwischen p und r R 2, p r, falls es ein t (0, 1) gibt, sodass q = tp + (1 t)q gilt. Definition (Euklidische Bewegung). Sei A O(n) eine orthogonale Matrix, d. h. sie erfüllt AA t = Id, wobei A t die zu A transponierte Matrix ist. Sei b R n. Dann nennt man die Abbildung F A,b : R n R n, F A,b (x) = Ax + b, (1.9) eine euklidische Bewegung. Der Vektor b wird auch als Translationsanteil bezeichnet. Für eine fixierte Dimension n heißt die Menge aller euklidischen Bewegungen Abbildung 7: Beweisskizze: Existenz einer Parallen Parallelenaxiom - Axiom P (Parallelenaxiom): Sei L eine Gerade, p ein Punkt, p / L. Dann gibt es höchstens eine Gerade, die p enthält und die L nicht schneidet. Vollständigkeitsaxiome Die Daten die wir zur axiomatischen Formulierung der euklidischen Geometrie benötigen, sind: eine Menge P, deren Elemente Punkte heißen; eine Menge G, deren Elemente Geraden heißen; eine Relation zwischen P und G; eine dreistellige Realation zwischen auf P; eine Relation 1 auf der Menge der Strecken; eine Relation 2 auf der Menge der Winkel. Unter einer Erweiterung unserer Geometrie verstehen wir ein weiteres 6-Tupel (P, G,, zwischen, 1, 2 ), sodass P P, G G und die Relationen des neuen 6-Tupels stimmen nach Einschränkung auf P und G mit den entsprechenden Relationen überein. - Axiom V 1 (Archimedisches Axiom): Seien pq und rs Strecken. Dann existiert eine natürliche Zahl n, sodass die Strecke r 1 s n, die durch n-maliges Abtragen der Strecke rs auf der Geraden L(p, q) entsteht, ausgehend von p in Richtung q die Strecke pq enthält. E(n) := { F A,b : A O(n), b R n} (1.10) euklidische Bewegungsgruppe. Definition (Kongruenz). Zwei Strecken pq und rs heißen kongruent, falls es eine euklidische Bewegung F E(2) gibt, sodass F (p)f (q) = rs. (1.11) Analog nennen wir den Winkel (p, q, r) kongruent zu (p 1, q 1, r 1 ), falls es ein F E(2) gibt, sodass (F (p), F (q), F (r)) = (p 1, q 1, r 1 ). (1.12) Satz Die Axiome der ebenen euklidischen Geometrie sind für das kartesische Modell gültig. Satz (Kosinussatz der euklidischen Geometrie). Seien p, q, r R 2. Seien a = p q, b = p r und c = q r die Seitenlängen des Dreiecks mit den Ecken p, q, r. Sei γ der Innenwinkel in der Ecke p, dann gilt c 2 = a 2 + b 2 2ab cos(γ). (1.13) Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 20]. Abbildung 8: Archimedisches Axiom Abbildung 9: Beweisskizze: Kosinussatz - Axiom V 2 (Vollständigkeit): Sei (P, G,, zwischen, 1, 2 ) eine Erweiterung unserer Geometrie. Dann ist P = P und G = G. 1.2 Das kartesische Modell Im axiomatischen Ansatz macht sich seine Schwerfälligkeit störend bemerkbar. Wir charakterisieren deshalb nun Punkte durch Koordinaten, die die Lage der Punkte in einer Ebene beschreiben. Dies ermöglicht es, Methoden aus der Algebra und der Infinitesimalrechnung auch in der Geometrie zu verwenden. Wir machen also die Definition P := R 2. (1.6) Geraden werden definiert als Punktmengen der Form L := L p,v = { x R 2 : x = p + tv, t R }, (1.7) Korollar (Satz von Pythagoras). Sind die Bezeichnungen wie in Satz und ist der Winkel ein rechter, γ = π/2, so gilt a 2 + b 2 = c 2. (1.14) Satz (Sinussatz der euklidischen Geometrie). Bezeichnen wir den Winkel in der Ecke q mit β und in der Ecke r mit α, so gilt a b = sin α sin β. (1.15) Beweis. Ein Beweis verwendet den Kosinussatz und findet sich in [Bär, Seite 21]. 4

5 Abbildung 10: Beweisskizze: Sinussatz Satz (Winkelsumme im euklidischen Dreieck). Für die Winkelsumme im euklidischen Dreieck gilt α + β + γ = π. (1.16) Beweis. Ein Beweis, der zunächst den rechtwinkligen Fall und anschließend den allgemeinen Fall betrachtet, findet sich in [Bär, Seite 22f]. Abbildung 11: Beweisskizze: Winkelsumme 5

6 2 Kurventheorie 2.1 Kurven in R n Wir wollen nun die Werkzeuge der Differential- und Integralrechnung benutzen, um Kurven im n-dimensionalen Raum zu beschreiben. Unter einer Kurve stellen wir uns anschaulich ein, in der Regel verbogenes, in den Raum gelegtes Geradenstück vor. Definition (Parametrisierte Kurve). Sei I R ein Intervall. Eine parametrisierte Kurve ist eine unendlich oft differenzierbare Abbildung c : I R n. Eine parametrisierte Kurve heißt regulär, falls ihr Geschwindigkeitsvektor nirgends verschwindet, ċ(t) 0 für alle t I. Beispiel (Parametrisierte Kurven). - Gerade: Eine Gerade können wir folgendermaßen als reguläre parametrisierte Kurve schreiben: c : R R n, c(t) = c 0 + t v, (2.1) wobei c 0 R n und v R n \ {0}. - Kreislinie: Eine Kreislinie in der Ebene um den Mittelpunkt (0, 0) mit Radius r > 0 sieht folgendermaßen aus ( ) c : R R n r cos t, c(t) =. (2.2) r sin t - Schraubenlinie: Eine Schraubenlinie im 3-dimensionalen Raum kann so parametrisiert werden c : R R 3, c(t) = r sin t r cos t, (2.3) h t wobei r > 0 und h > 0. - Traktrix: Die folgende reguläre parametrisierte Kurve wird als Traktrix oder Schleppkurve bezeichnet ( ) c : (0, π/2) R 2 sin t, c(t) =. (2.4) cos t + ln tan (t/2) Definition (Parametertransformation). Sei c : I R n eine parametrisierte Kurve. Eine Parametertransformation von c ist eine bijektive Abbildung ϕ : J I, wobei J R ein weiteres Intervall ist, sodass sowohl ϕ, als auch ϕ 1 : I J unendlich oft differenzierbar sind. Die parametrisierte Kurve c = c ϕ : J R n heißt Umparametrisierung von c. Definition (Orientierungserhaltung). Eine Parametertransformation ϕ heißt orientierungserhaltend, falls ϕ(t) > 0 für alle t. Die Parametertransformation ϕ heißt orientierungsumkehrend, falls ϕ(t) < 0 für alle t. Definition (Kurve). Eine Kurve ist eine Äquivalenzklasse von regulären parametrisierten Kurven, wobei diese als äquivalent angesehen werden, wenn sie Umparametrisierungen voneinander sind. Definition (Spur). Wird eine Kurve durch eine reguläre parametrisierte Kurve c : I R n repräsentiert, dann nennt man das Bild c(i) auch die Spur der Kurve. Definition (Orientierte Kurve). Eine orientierte Kurve ist eine Äquivalenzklasse von parametrisierten Kurven, wobei diese als äquivalent angesehen werden, wenn sie durch orientierungserhaltende Parametertransformationen auseinander hervorgehen. Jede Kurve besitzt genau zwei Orientierungen. Definition (Nach Bogenlänge parametrisiert). Eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve ist eine reguläre parametrisierte Kurve c : I R n, mit ċ(t) = 1 für alle t I. Eine proportional zur Bogenlänge parametrisierte Kurve ist eine reguläre parametrisierte Kurve c : I R n, für die ċ konstant, aber nicht unbedingt gleich 1, ist. Proposition Zu jeder regulären parametrisierten Kurve c gibt es eine orientierungserhaltende Parametertransformation ϕ, sodass die Umparametrisierung c ϕ nach Bogenlänge parametrisiert ist. Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 31f]. Lemma Sind c 1 : I 1 R n und c 2 : I 2 R n Parametrisierungen nach der Bogenlänge derselben Kurve, so ist die zugehörige Parametertransformation ϕ : I 1 I 2 mit c 1 = c 2 ϕ von der Form ϕ(t) = ±t + t 0 für ein t 0 R, falls c 1 und c 2 gleich (bzw. entgegengesetzt) orientiert sind. Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 32]. Definition (Länge). Sei c : [a, b] R n eine parametrisierte Kurve. Dann heißt b L[c] := ċ(t) dt, (2.5) a Länge von c. Lemma Die Länge parametrisierter Kurven ändert sich beim Umparametrisieren nicht. Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 33]. Korollar Eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve ist gerade so lang, wie das Parameterintervall L [ ] s c [a,s] = 1 dt = s a. (2.6) a Definition (Periode). Eine parametrisierte Kurve c : R R n heißt periodisch mit Periode L, falls für alle t R gilt c(t+l) = c(t), L > 0, und es kein 0 < L < L gibt, sodass ebenfalls c(t + L ) = c(t) für alle t R. Eine Kurve heißt geschlossen, falls sie eine periodische reguläre Parametrisierung besitzt. Definition (Einfach geschlossen). Eine geschlossene Kurve heißt einfach geschlossen, falls sie eine periodische reguläre Parametrisierung c mit Periode L hat, sodass c [0,L] injektiv ist. 2.2 Ebene Kurven Definition (Ebene Kurve). Eine parametrisierte Kurve c : I R 2 heißt ebene parametrisierte Kurve. Analog sind ebene reguläre parametrisierte Kurven, ebene Kurven und ebene orientierte Kurven definiert. Definition (Normalenvektor, Krümmung). Sei c : I R 2 eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Wir definieren das Normalenfeld durch n(t) := ( ) ċ(t). (2.7) Abbildung 12: Normalenvektor einer Kurve Die Definition ist so gemacht, dass (ċ(t), n(t)) stets eine positiv orientierte Orthonormalbasis von R 2 bilden. Da c nach 6

7 Bogenlänge parametrisiert ist, gilt ċ, ċ = 1 und nach Differentiation dieser Gleichung 0 c, ċ + ċ, c = 2 c, ċ. (2.8) Also stehen ċ(t) und c(t) senkrecht aufeinander. Somit ist c(t) ein Vielfaches des Normalenvektors n(t) c(t) = κ(t) n(t). (2.9) Die Funktion κ : I R heißt Krümmung von c. Sie ist ein Maß dafür, wie stark eine Kurve von einer Geraden abweicht. Ist c nach Bogenlänge parametrisiert, so ist c genau dann eine Gerade, wenn κ 0. Die Krümmung ist positiv, wenn sich die Kurve in Richtung ihres Normalenvektors krümmt, d. h. in Durchlaufrichtung nach links und negativ, wenn sie sich nach rechts krümmt. Lemma Sei c eine ebene parametrisierte Kurve. Die Krümmung lässt sich auch berechnen durch die Formel für alle x X. Die Abbildung θ ist durch die Vorgabe θ(x 0 ) = θ 0 eindeutig bestimmt. Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 48f]. Satz (Umlaufsatz). Eine einfach geschlossene orientierte ebene Kurve hat Umlaufzahl ±1. Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 50ff]. Definition (konvex). Eine ebene Kurve heißt konvex, falls für jeden ihrer Punkte gilt: Die Kurve liegt ganz auf einer Seite ihrer Tangente durch diesen Punkt. κ(t) = det(ċ(t), c(t)) ċ(t) 3. (2.10) Proposition (Frenet-Gleichung). Sei c : I R 2 eine ebene nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Wir setzen v := ċ. Sei κ die Krümmung von c, und sei n der Normalenvektor. Dann gilt ( ) 0 κ(t) ( v(t), ṅ(t)) = (v(t), n(t)). (2.11) κ(t) 0 Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 42]. Definition (Umlaufzahl). Sei c : R R 2 eine ebene nach Bogenlänge parametrisierte Kurve, periodisch mit Periode L. Sei θ : R R ( ) cos(θ(t)) ċ(t) =. (2.12) sin(θ(t)) Dann heißt Umlaufzahl von c. n c := 1 (θ(l) θ(0)) (2.13) 2π Lemma Seien c 1, c 2 : R R 2 zwei ebene nach Bogenlänge parametrisierte Kurven, periodisch mit Periode L. Entsteht c 2 aus c 1 durch eine orientierungserhaltende (orientierungsumkehrende) Parametertransformation, so gilt n c1 = ±n c2. (2.14) Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 45f]. Satz Sei c : R R 2 eine nach Bogenlänge parametrisierte periodische ebene Kurve mit Periode L. Sei κ : R R die Krümmung von c. Dann gilt n c = 1 2π L κ(t) dt. (2.15) 0 Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 46f]. Definition (Sternförmig). Sei X R n und x 0 X. Dann heißt X sternförmig bezüglich x 0, falls für jeden Punkt x X auch die ganze Strecke zwischen x und x 0 ganz in X enthalten ist, d. h. für alle t [0, 1] gilt tx + (1 t)x 0 X. (2.16) Lemma (Liftungslemma). Sei X R n sternförmig bzgl. x 0. Sei e : X S 1 R 2 eine stetige Abbildung. Dann existiert eine stetige Abbildung θ : X R, sodass ( ) cos(θ(x)) e(x) =, (2.17) sin(θ(x)) Abbildung 13: Konvexe Kurve Satz Sei c : R R 2 eine Parametrisierung nach der Bogenlänge einer einfach geschlossenen ebenen Kurve. Sei κ : R R die Krümmung. Die Kurve ist genau dann konvex, wenn κ(t) 0 für alle t R oder κ(t) 0 für alle t R. Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 53ff]. Definition (Scheitel). Sei c : I R 2 eine nach Bogenlänge parametrisierte ebene Kurve. Wir sagen c hat einen Scheitel in t 0 I, falls κ(t 0 ) = 0. Lemma Schneidet eine einfach geschlossene ebene konvexe Kurve eine Gerade in mehr als zwei Punkten, so enthält die Kurve ein ganzes Segment dieser Gerade und hat damit insbesondere unendlich viele Schnittpunkte mit der Geraden. Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 57ff]. Lemma Schneidet eine einfache geschlossene ebene konvexe Kurve eine Gerade in mehr als einem Punkt tangential, so enthält die Kurve ein ganzes Geradensegment. Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 59]. Satz (Vierscheitelsatz). Ist c : R R 2 eine periodische nach Bogenlänge parametrisierte konvexe ebene Kurve mit Periode L, dann hat c mindestens vier Scheitel in [0, L]. Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 59ff]. Lemma (Flächeninhalt). Sei G R 2 ein beschränktes Gebiet, berandet von der einfach geschlossenen ebenen Kurve c. Sei c(t) = (x(t), y(t)) t eine periodische Parametrisierung von c mit Periode L, die das Gebiet im mathematisch positiven Sinn umläuft, d. h. mit Umlaufzahl +1. Dann gilt L L A[G] = ẋ(t)y(t) dt = x(t)ẏ(t) dt = 0 0 = 1 L (x(t)ẏ(t) ẋ(t)y(t)) dt. (2.18) 2 0 Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 62]. 7

8 Satz (Isoperimetrische Ungleichung). Sei G R 2 ein beschränktes Gebiet, berandet von der einfach geschlossenen ebenen Kurve c. Sei A[G] der Flächeninhalt des Gebietes. Dann gilt 4πA[G] L[c] 2. (2.19) Gleichheit gilt genau dann, wenn c ein Kreis ist. Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 62ff]. Beispiel (Ebene Kurven). - Ellipse: Betrachten wir die Ellipse, parametrisiert durch ( ) c : R R 2 a cos(t), c(t) =, (2.20) b sin(t) mit 0 < a < b. Sie hat genau vier Scheitel in t {0, π/2, π, 3π/2}. - Neilsche Parabel: Die Menge P = { (x, y) t R 2 : y 2 = x 3, y > 0 } (2.21) beschreibt den oberen Zweig der Neilschen Parabel. Ihre Krümmung nimmt bei richtiger Wahl der Orientierung alle Werte aus (0, ) an. - Klothoide: Die Klothoide ist gegeben durch die reguläre Parametrisierung c(t) = ( π t 0 cos( ) πτ 2 /2)dτ π t 0 sin( πτ 2. (2.22) /2)dτ Die Krümmung in jedem Kurvenpunkt stimmt bis auf das Vorzeichen stets mit der Länge des Kurvenstücks von diesem Punkt zum Ursprung überein. existiert eine nach Bogenlänge parametrisierte ebene Kurve c : I R 2 mit Krümmung κ. Diese ebene Kurve ist bis auf Dahinterschaltung von orientierungserhaltenden euklidischen Bewegungen eindeutig. 2.3 Raumkurven Definition (Raumkurve). Eine parametrisierte Kurve c : I R 3 heißt parametrisierte Raumkurve. Analog sind reguläre parametrisierte Raumkurve, Raumkurven und orientierte Raumkurven definiert. Definition (Krümmung (einer Raumkurve)). Sei c : I R 3 eine nach Bogenlänge parametrisierte Raumkurve. Die Funktion κ : I R, κ(t) := c(t) heißt Krümmung von c. Definition (Normalenvektor (einer Raumkurve)). Sei c : I R 3 eine nach Bogenlänge parametrisierte Raumkurve. Sei t 0 I und κ(t 0 ) 0. Dann heißt n(t 0 ) := c(t 0) κ(t 0 ) = c(t 0) c(t 0 ) der Normalenvektor von c in t 0. (2.24) Definition (Binormalenvektor). Sei c : I R 3 eine nach Bogenlänge parametrisierte Raumkurve. Sei t 0 I und κ(t 0 ) 0. Dann heißt der Binormalenvektor von c in t 0. b(t 0 ) := ċ(t 0 ) n(t 0 ) (2.25) Definition (Begleitendes Dreibein). Die Orthonormalbasis (ċ(t 0 ), n(t 0 ), b(t 0 )) heißt begleitendes Dreibein von c in t 0. Abbildung 15: Begleitendes Dreibein (a) Neilsche Parabel (b) Klothoide Definition (Torsion). Sei c : I R 3 eine nach Bogenlänge parametrisierte Raumkurve. Sei t 0 I mit κ(t 0 ) 0, sei (ċ(t 0 ), n(t 0 ), b(t 0 )) das begleitende Dreibein von c in t 0. Dann heißt τ(t 0 ) := ṅ(t 0 ), b(t 0 ) (2.26) (c) Ellipsen Abbildung 14: Skizzen zu den Beispielen ebener Kurven Definition (Krümmungskreis, Evolute). Sei c : I R 2 eine nach Bogenlänge parametrisierte ebene Kurve. Sei t 0 I mit κ(t 0 ) 0. Der Krümmungskreis an c in t 0 ist der Kreis mit Mittelpunkt M(t 0 ) und Radius R(t 0 ) M(t 0 ) = c(t 0 ) + 1 κ(t 0 ) n(t 0), R(t 0 ) = 1 κ(t 0 ). (2.23) Die Menge der Krümmungsmittelpunkte einer Kurve c nennet man die Evolute von c. Satz (Hauptsatz der ebenen Kurventheorie). Sei I R ein Intervall, seien κ : I R eine glatte Funktionen. Dann die Torsion (oder auch Windung) von c in t 0. Proposition (Frenet-Gleichungen). Sei c : I R 3 eine nach Bogenlänge parametrisierte Raumkurve mit positiver Krümmung, κ(t) > 0 für alle t I. Sei (v, n, b) das begleitende Dreibein von c, sei τ die Torsion. Dann gilt ( v(t), ṅ(t), ḃ(t)) = (v(t), n(t), b(t)) 0 κ(t) 0 κ(t) 0 τ(t). 0 τ(t) 0 (2.27) Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 68]. Beispiel (Schraubenlinie). Betrachten wir die Schraubenlinie, parametrisiert durch c : R R 3, c(t) = cos( t/ 2) sin(t/ 2). (2.28) t/ 2 Sie hat konstante Krümmung κ = 1/2 und konstante Torsion τ = 1/2. 8

9 Satz (Hauptsatz der Raumkurventheorie). Sei I R ein Intervall, seien κ, τ : I R glatte Funktionen, κ > 0. Dann existiert eine nach Bogenlänge parametrisierte Raumkurve c : I R 3 mit Krümmung κ und Windung τ. Diese Raumkurve ist bis auf Dahinterschaltung von orientierungserhaltenden euklidischen Bewegungen eindeutig. Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 70ff]. Definition (Totalkrümmung). Wir definieren für eine periodische nach Bogenlänge parametrisierte Raumkurve c mit Periode L die Totalkrümmung durch L κ(c) := κ(t) dt. (2.29) 0 Satz (Fenchel). Sei c eine einfach geschlossene Raumkurve. Dann gilt κ(c) 2π, (2.30) und Gleichheit gilt genau dann, wenn c eine konvexe ebene Kurve ist. Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 86f]. Definition (Isotopie). Eine Isotopie des R 3 ist eine stetige Abbildung Φ : [0, 1] R 3 R 3, sodass für jedes feste t [0, 1] die Abbildung Φ(t, ) : R 3 R 3 ein Homöomorphismus ist. Zwei einfach geschlossene Raumkurven c 0 und c 1 heißen ambient isotop, falls es eine Isotopie Φ des R 3 gibt mit Φ(0, x) = x für alle x R 3 und Φ(1, Spur(c 0 )) = Spur(c 1 ). Anschaulich interpretieren wir t [0, 1] als Deformationsparameter. Die Kurve c 0 wird mittels Φ in die Kurve c 1 verbogen. Das Wort ambient deutet an, dass nicht nur die Kurven abgebildet werden, sondern dass der Homöomorphismus Φ(t, ) stets den ganzen umgebenden R 3 verbiegt. Definition (Knoten). Eine ambiente Isotopieklasse von einfach geschlossenen Raumkurven heißt Knoten. Eine einfach geschlossene Raumkurve heißt unverknotet, falls sie ambient isotop zu einer ebenen Kreislinie ist. Ansonsten heißt sie verknotet. Satz (Fary, Milnor). Sei c eine verknotete einfach geschlossene Raumkurve. Dann gilt κ(c) 4π. (2.31) Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 88ff]. 9

10 3 Klassische Flächentheorie 3.1 Reguläre Flächen Flächen im dreidimensionalen Raum sind zweidimensionale Objekte, d. h. die Punkte auf einer Fläche können durch zwei unabhängige reelle Parameter beschrieben werden. Im Gegensatz zu Kurven, die wir stets als Ganzes parametrisiert haben, verlangen wir bei Flächen nur, dass man jeweils kleine Stücke der Fläche durch eine Parametrisierung beschreiben kann. Definition (Reguläre Fläche). Sei S R 3 eine Teilmenge. Wir nennen S eine reguläre Fläche, falls es zu jedem Punkt p S eine offene Umgebung V von p im R 3 gibt, sowie eine offene Teilmenge U R 2 und eine glatte Abbildung F : U R 3, derart dass gilt 1. F (U) = S V und F : U S V ist ein Homöomorphismus. 2. Die Jacobiematrix D uf hat für jeden Punkt u U den Rang 2. Bedingung 1 besagt, dass die Punkte auf der Fläche S, die nahe bei p liegen, nämlich die, die auch in V sind, über die Abbildung F gerade durch die zwei Parameter beschrieben werden, nämlich die Koordinaten der Punkte aus U R 2. Bedingung 2 sorgt dafür, dass diese beiden Parameter auch wirklich unabhängig voneinander sind. - Sphäre: Wir betrachten S = S 2 = { (x, y, z) t R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1 }. (3.4) Die sog. stereographischen Projektionen bieten uns eine Möglichkeit, die Sphäre mit nur zwei Koordinatenumgebungen vollständig zu parametrisieren. Sei N = (0, 0, 1) t der Nordpol und sei M = S 2 \N. Die Ebene z = 0 verläuft durch die Mitte der Sphäre, der Äquator ist der Schnitt der Sphäre mit dieser Ebene. Für alle Punkte p M gibt es eine eindeutige Gerade durch N und P, und diese Gerade schneidet z = 0 in genau einem Punkt P. Wir definieren die stereographische Projektion durch genau diesen Punkt P in der Ebene und erhalten in kartesischen Koordinaten (x, y, z) auf der Sphäre und (X, Y ) in der Ebene die Projektion und ihre Umkehrabbildung durch: ( x (X, Y ) = ( (x, y, z) = 1 z, y 1 z ), (3.5) 2X 1 + X 2 + Y 2, 2Y 1 + X 2 + Y 2, 1 + X2 + Y X 2 + Y 2 (3.6) Ein analoges Vorgehen für M = S 2 \ { (0, 0, 1) t} liefert die stereographische Projektion durch den Südpol und tatsächlich überdecken M und M die Sphäre vollständig M M = S 2. ). (a) Bedingung 1 (a) Sphäre (b) Ellipsoid (b) Bedingung 2 Abbildung 16: Skizze zur Definition regulärer Flächen Definition (Lokale Parametrisierung). Die Abbildung F : U S V aus Definition 3.1 oder auch das Tripel (U, F, V ) heißt lokale Parametrisierung von S um p. Die Menge S V heißt Koordinatenumgebung von p. Die Komponenten u 1 und u 2 von u = (u 1, u 2 ) t heißen dann auch Koordinaten des Punktes F (u) S bzgl. der Parametrisierung F. Beispiel (Koordinatenumgebungen). - Affine Ebene: Die affine Ebene durch den Punkt p R 3, aufgespannt durch die linear unabhängigen Vektoren X, Y R 3, ist die Menge S = { p + u 1 X + u 2 Y : u 1, u 2 R 3}. (3.1) Wir kommen mit einer einzigen Parametrisierung aus. Wir setzen V := R 3, U := R 2 und F : U R 3, F (u 1, u 2 ) := p + u 1 X + u 2 Y. - Funktionsgraphen: Sei U R 2 offen, f : U R eine glatte Funktion. Wir betrachten den Graphen von f S = { (x, y, z) t R 3 : (x, y) t U, z = f(x, y) }. (3.2) Auch in diesem Fall kommen wir mit einer einzigen Koordinatenumgebung aus. Wir setzen wieder V := R 3 und F : U R 3, F (x, y) := (x, y, f(x, y)) t. (3.3) (c) Stereographische Projektion Abbildung 17: Einige reguläre Flächen Proposition Sei V 0 R 3 offen, sei f : V 0 R 3 eine glatte Funktion. Wir setzen S := { (x, y, z) t R 3 : f(x, y, z) = 0 }. Falls für alle p S gilt dann ist S eine reguläre Fläche. grad f(p) (0, 0, 0) t, (3.7) Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 96]. Beispiel (Ellipsoid als reguläre Fläche). Betrachten wir für nicht verschwindende Konstanten a, b, c R S := { (x, y, z) t R 3 : x 2 /a 2 + y 2 /b 2 + z 2 /c 2 = 1 }. (3.8) 10

11 Wenn wir V 0 := R 3 und f : R 3 R, f(x, y, z) := x 2 /a 2 + y 2 /b 2 + z 2 /c 2 1 setzen, so ist S = { (x, y, z) t R 3 : f(x, y, z) = 0 }. (3.9) Nun müssen wir überprüfen, dass der Gradient von f für kein p S verschwindet. grad f(x, y, z) = (2x/a 2, 2y/b 2, 2z/c 2 ) t (3.10) verschwindet nur für p 0 = (0, 0, 0) t. Aber p 0 / S und damit ist S eine reguläre Fläche. Bemerkung. Das Nichtverschwinden von grad f längs S ist lediglich eine hinreichende Bedingung dafür, dass S eine reguläre Fläche ist, aber keine notwendige! Proposition Sei S R 3 eine reguläre Fläche. Sei (U, F, V ) eine lokale Parametrisierung von S. Sei W R n eine offene Menge und ϕ : W R 3 eine Abbildung mit ϕ(w ) S V. Dann ist ϕ als Abbildung von W nach R 3 glatt genau dann, wenn F 1 ϕ : W U R 2 glatt ist. Für Differenzierbarkeitsfragen einer Abbildung mit Werten in einer regulären Fläche S spielt es also keine Rolle, ob wir diese Abbildung als eine Abbildung mit Werten in R 3 ansehen, oder aber mittels Koordinaten als eine Abbildung mit Werten in R 2. Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 100f]. Eine Abbildung f zwischen zwei Flächen wird also glatt genannt, falls sie, ausgedrückt in geeigneten Koordinaten glatt ist. Da Parametertransformationen stets glatt sind (vgl. Proposition 3.1.4), ist eine glatte Abbildung auch bezüglich jeder anderen Parametrisierung glatt. Definition (Diffeomorphismus). Seien S 1, S 2 R 3 reguläre Flächen. Eine Abbildung f : S 1 S 2 heißt Diffeomorphismus, falls f bijektiv ist und sowohl f als auch f 1 glatt sind. Exisitiert ein solcher Diffeomorphismus f : S 1 S 2, dann heißen die Flächen S 1 S 2 diffeomorph. Beispiel (Diffeomorphie von Ellipsoid und Sphäre). Sei S 1 das bereits angesprochene Ellipsoid und S 2 = S 2 die Sphäre. Dann sind S 1 und S 2 diffeomorph. Als Diffeomorphismus nehmen wir z. B. f : S 1 S 2, f(x, y, z) = (x/a, y/b, z/c) t. (3.13) 3.2 Die Tangentialebene Die einfachsten regulären Flächen sind Ebenen, so wie auch Geraden die einfachsten Kurven darstellen. Wir wollen nun möglicherweise sehr komplizierte Flächen durch Ebenen annähern. Dieses Konzept ist dem des Differentials einer glatten Abbildung sehr ähnlich. Definition (Tangentialebene). Sei S R 3 eine reguläre Fläche, sei p S. Dann heißt { } es gibt ein ε > 0 und eine glatte parametrisierte Kurve c : ( ε, ε) S T ps = X R 3 : mit c(0) = p und ċ(0) = X (3.14) die Tangentialebene von S in p. Die Elemente der Tangentialebene heißen Tangentialvektoren. Abbildung 18: Beweisskizze zur Differenzierbarkeit einer Abbildung mit Werten in einer regulären Fläche Korollar Sei S eine reguläre Fläche, seien (U 1, F 1, V 1 ) und (U 2, F 2, V 2 ) lokale Parametrisierungen. Dann ist glatt. F 1 2 F 1 : F 1 1 (V 1 V 2 ) F 1 2 (V 1 V 2 ) (3.11) Proposition Sei S R 3 eine reguläre Fläche, p S und f : S R n eine Abbildung. Dann sind äquivalent: 1. Es gibt eine offene Umgebung V von p in R 3 und eine Fortsetzung f von F S V auf V, die um p glatt ist. 2. Es gibt eine lokale Parametrisierung (U, F, V ) mit p V, sodass f F : U R n um F 1 (p) glatt ist. 3. Für alle lokalen Parametrisierungen (U, F, V ) mit p V ist f F : U R n glatt um F 1 (p). Gelten diese äquivalenten Bedingungen, so nennen wir f glatt nahe p. Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 103]. Definition (glatt nahe). Seien S 1, S 2 R 3 reguläre Flächen. Sei p S 1 und f : S 1 S 2 eine Abbildung. Wir nennen f glatt nahe p, falls es eine lokale Parametrisierung (U 1, F 1, V 1 ) von S 1 um p gibt und eine lokale Parametrisierung (U 2, F 2, V 2 ) von S 2 um f(p) derart, dass F 1 2 f F 1 : F 1 1 (f 1 (V 2 ) V 1 ) U 2 (3.12) nahe p glatt ist. Abbildung 19: Die Tangentialebene Proposition Sei S R 3 eine reguläre Fläche, sei p S. Sei ferner (U, F, V ) eine lokale Parametrisierung von S um p. Wir setzen u 0 := F 1 (p) U. Dann gilt T ps = Bild(D u0 F ) = D u0 F (R 2 ). (3.15) Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 107]. Korollar Da D u0 F maximalen Rang 2 hat, bildet T ps R 3 einen zweidimensionalen Untervektorraum. Proposition Sei V R 3 offen, sei f : V R eine glatte Funktion, sei S = f 1 (0) R 3. Es gelte grad f(p) 0 für alle p S. Dann steht für p S der Gradient von f senkrecht auf der Tantentialebene T ps = grad f(p). (3.16) Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 108]. Beispiel (Tangentialebene der Sphäre). Die Sphäre wird beschrieben durch S 2 = f 1 (0), wobei f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 1. Wir berechnen grad f(x, y, z) = 2(x, y, z). (3.17) Die Tangentialebene T ps 2 ist also gerade das orthogonale Komplement des Fußpunktvektors p. 11

12 Beispiel (Erste Fundamentalform des Zylinders). Betrachten wir die Zylinderfläche S = { (x, y, z) t R 3 : x 2 + y 2 = 1 }. (3.24) Wir benutzen die lokale Parametrisierung F : (0, 2π) R R 3, F (ϕ, h) = cos ϕ sin ϕ. (3.25) h Abbildung 20: Tangentialebene der Sphäre Definition (Differential). Seien S 1, S 2 R 3 reguläre Flächen, sei f : S 1 S 2 eine glatte Abbildung, und sei p S 1. Das Differential von f in p ist die Abbildung d pf : T ps 1 T f(p) S 2, (3.18) die gegeben ist durch folgende Vorschrift: Zu X T ps 1 wähle eine glatte parametrisierte Kurve c : ( ε, ε) S 1 mit c(0) = p und ċ(0) = X und setze d pf(x) := d dt (f c) t=0 T f(p) S 2. (3.19) Proposition Das Differential d pf ist wohldefiniert, d. h. d pf(x) hängt nur von X ab, nicht aber von der speziellen Wahl der Kurve c. Ferner ist d pf linear. Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 109]. 3.3 Die erste Fundamentalform Um Geometrie auf einer regulären Fläche S R 3 treiben zu können, muss man z. B. Längen von Kurven messen können, die in S verlaufen, oder auch Winkel zwischen zwei Tangentialvektoren an die Fläche. Definition (Erste Fundamentalform). Da für jeden Punkt p S die Tangentialebene ein 2-dimensionaler Untervektorraum von R 3 ist, können wir das Standardskalarprodukt, des R 3 einfach auf T ps einschränken und wir erhalten ein euklidisches Skalarprodukt auf T ps. Die Abbildung, die jedem Punkt p S diese Einschränkung g p :=, TpS T ps (3.20) zuordnet, wird erste Fundamentalform von S genannt. Häufig schreiben wir für die erste Fundamentalform auch wobei X, Y T ps. I p(x, Y ) = g p(x, Y ) = X, Y, (3.21) Eine Basis von T ps verschafft man sich in der Regel durch eine lokale Parametrisierung (U, F, V ) von S um p. Sind e 1, e 2 die Standardbasisvektoren von R 2, so bilden Für die erste Fundamentalform ergibt sich bzgl. der Koordinaten (u 1, u 2 ) = (ϕ, h). F F g 11 (ϕ, h) = (ϕ, h), (ϕ, h) = ϕ ϕ = sin ϕ cos ϕ, sin ϕ cos ϕ = 0 0 = sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1, (3.26) F F g 12 (ϕ, h) = (ϕ, h), (ϕ, h) = ϕ h = sin ϕ cos ϕ, 0 0 = 0 = g 21 (ϕ, h), (3.27) 0 1 F F g 22 (ϕ, h) = (ϕ, h), (ϕ, h) = h h = 0 0, = 1. (3.28) (3.29) Wir stellen fest, dass die erste Fundamentalform der Zylinderfläche in den von uns gewählten Koordinaten dieselbe Gestalt hat, wie die der Ebene in kartesischen Koordinaten, nämlich ( ) 1 0 (g ij ) ij =. (3.30) 0 1 Dies deutet auf gewisse Gemeinsamkeiten zwischen diesen beiden Flächen hin, auf die wir später noch zurück kommen werden. 3.4 Normalenfelder und Orientierbarkeit Definition (Normalenfeld). Sei S R 3 eine reguläre Fläche. Ein Normalenfeld auf S ist eine Abbildung N : S R 3, (3.31) sodass N(p) T ps für alle p S. Ein Normalenfeld auf S heißt Einheitsnormalenfeld, falls zusätzlich N(p) = 1 gilt für alle p S. Beispiel (Einheitsnormalenfeld des Zylinders). Sei S = S 1 R die Zylinderfläche. Dann ist durch N(x, y, z) = (x, y, 0) t ein Einheitsnormalenfeld definiert. D uf (e 1 ) = F u 1 (u), DuF (e 2) = F u 2 (u), u = F 1 (p) (3.22) eine Basis von T ps. Bezüglich dieser Basis ist die Matrixdarstellung von g p dann gegeben durch F F g ij (u) := g p(d uf (e i ), D uf (e j )) = (u), ui u j (u). (3.23) Die 2 2-Matrix (g ij (u)) i,j=1,2 ist also symmetrisch und positiv definit. Ferner sieht man an obiger Formel unmittelbar, dass die Matrixeinträge g ij glatt von u abhängen, d. h. g ij : U R ist für jedes i und j eine glatte Funktion. Abbildung 21: Einheitsnormalenfeld der Zylinderfläche Definition (Orientierbarkeit). Eine reguläre Fläche 12

13 S R 3 heißt orientierbar, falls es ein glattes Einheitsnormalenfeld auf S gibt. Beispiel (Nichtorientierbarkeit des Möbiusbandes). Sei S das Möbiusband. Man erhält es, indem man einen Papierstreifen an seinem linken und rechten Ende verklebt, dabei aber, um nicht die Zylinderfläche zu erhalten, das Band vorher einmal verdrillt. Das Möbiusband besitzt kein stetiges Einheitsnormalenfeld und ist deshalb nicht orientierbar. Das heißt auch, dass das Möbiusband nur eine Seite hat. Es gibt keine Innen- oder Außenfläche. ċ(0) = ( sin t 0, cos t 0, 0) t = ( y, x, 0) t. Somit ist W p y x = d pn y x = d 0 0 dt N cos(t + t 0) sin(t + t 0 ) t=0 = z = d cos(t + t 0) sin(t + t 0 ) t=0 = sin t 0 cos t 0 = dt 0 0 = y x. (3.36) 0 In der Basis ( y, x, 0) t und (0, 0, 1) t hat W p also die Matrixdarstellung ( ) (3.37) Abbildung 22: Das Möbiusband als eine nicht-orientierbare Fläche Proposition Sei S R 3 eine orientierbare reguläre Fläche mit Weingartenabbildung W p : T ps T ps, p S. Dann ist W p selbstadjungiert bzgl. der ersten Fundamentalform. Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 120f]. Satz Eine reguläre Fläche S R 3 ist genau dann orientierbar, wenn S derart durch lokale Parametrisierungen überdeckt werden kann, dass für alle Parametertransformationen ϕ gilt det(dϕ) > 0. (3.32) 3.5 Die zweite Fundamentalform Definition (Gauß-Abbildung). Sei S R 3 eine orientierbare reguläre Fläche mit glattem Einheitsnormalenfeld N. Aufgefasst als Abbildung zwischen Flächen, nämlich N : S S 2, heißt N auch Gauß-Abbildung. Sei p S. Wir betrachten das Differential von N in p, d pn : T ps T N(p) S 2. (3.33) Nun ist T N(p) S 2 = N(p) = T ps. Also ist d pn ein Endomorphismus von T ps. Definition (Weingarten-Abbildung). Sei S R 3 eine reguläre Fläche mit Orientierung gegeben durch das Einheitsnormalenfeld N. Der Endomorphismus W p : T ps T ps, W p(x) = d pn(x) (3.34) heißt Weingarten-Abbildung. Beispiel (Weingartenabbildung des Zylinders). Sei S = S 1 R der Zylinder, N(x, y, z) = (x, y, 0) t. In einem Punkt p = (x, y, z) t S wird die Tangentialebene T ps aufgespannt durch die Basisvektoren ( y, x, 0) t und (0, 0, 1) t. Wir berechnen W p 0 0 = d pn 0 0 = d 1 1 dt N x y t=0 = z + t = d x y t=0 = 0 0. (3.35) dt 0 0 Um das Bild von ( y, x, 0) unter W p zu bestimmen, wählen wir t 0 R, sodass (cos t 0, sin t 0 ) = (x, y). Dann gilt für c(t) := (cos(t + t 0 ), sin(t + t 0 ), z) t, dass c(0) = (x, y, z) t = p und Definition (Zweite Fundamentalform). Die zur Weingarten-Abbildung W p gehörige Bilinearform heißt zweite Fundamentalform der Fläche S im Punkt p: II p(x, Y ) = I p(w p(x), Y ), X, Y T ps. (3.38) Korollar (Zweite Fundamentalform in lokalen Koordinaten). Sei S R 3 eine reguläre Fläche, p S. Sei (U, F, V ) eine lokale Parametrisierung von S um p. Wir setzen u := F 1 (p). Wir erhalten jetzt h ij (u) = II p(d uf (e i ), D uf (e j )) = = (I p(w p(d uf (e i )), D uf (e j ))) = 2 F = u j (u), N(p). (3.39) ui Dann ist (h ij (u)) i,j=1,2 die symmetrische Matrix, die die zweite Fundamentalform in der oben angegebenen Basis beschreibt. 3.6 Krümmung Wir werden verschiedene Konzepte von Krümmung von Flächen kennenlernen und beginnen mit der Normalkrümmung. Normalkrümmung Sei S R 3 eine orientierbare reguläre Fläche mit glattem Einheitsnormalenfeld N, p S. Sei c : ( ε, ε) S eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve mit c(0) = p. Aufgefasst als Raumkurve in R 3 hat c in 0 die Krümmung κ(0), die im Fall κ(0) 0 durch c(0) = κ(0) n(0) (3.40) gegeben ist, wobei n der Normalenvektor an c ist. Wir wollen diese Krümmung jetzt aufspalten in einen Teil, der daher kommt, dass sich c innerhalb von S krümmt, und einen Teil der die Krümmung von S in R 3 widerpsiegelt. Dazu zerlegen wir n(0) in den Teil tangential an S und denjenigen senkrecht zu S: n(0) = n(0) + n(0), (3.41) wobei n(0) = n(0), N(p) N(p). Entsprechend erhalten wir c(0) = κ(0) n(0) = κ(0) n(0) + κ(0) n(0), N(p) N(p). (3.42) 13

14 Der tangentiale Anteil, der angibt, wie sich c innerhalb von S krümmt, führt zur geodätischen Krümmung von c in S, auf die wir später zurückkommen werden. Im Moment interessiert uns die Krümmung von S in R 3, und daher machen die die Definition { κ(0) n(0), N(p), falls κ(0) 0 κ nor := c(0), N(p) = 0, falls κ(0) = 0. (3.43) Wir nennen κ nor die Normalkrümmung von S im Punkt p in Richtung ċ(0). Bezeichnet, im Fall κ(0) 0, θ den Winkel zwischen N(p) und n(0), so gilt also κ nor = κ(0) cos θ. (3.44) Satz (Meusnier). Sei S R 3 eine orientierbare reguläre Fläche mit Einheitsnormalenfeld N und zweiter Fundamentalform II. Sei p S. Sei c : ( ε, ε) S eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve mit c(0) = p. Dann gilt für die Normalkrümmung κ nor von c: κ nor = II(ċ(0), ċ(0)). (3.45) X alle Richtungen durchläuft, d. h. für alle Einheitsvektoren X T ps. Beispiel (Hauptkrümmungen des Zylinders). Sei S = S 1 R der Zylinder, p = (x, y, z) t. Wie wir gesehen haben, hat die Weingarten-Abbildung W p bzgl. des inneren Einheitsnormalenfelds und der Basis X 1 = ( y, x, 0) t und X 2 = (0, 0, 1) t die Matrixdarstellung ( ) 1 0. (3.49) 0 0 Das heißt gerade, dass X 1 und X 2 die Hauptkrümmungsrichtungen zu den Hauptkrümmungen κ 1 = 1 und κ 2 = 0 sind. Definition (Krümmungslinie). Sei S R 3 eine reguläre Fläche, sei c : I S eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Falls ċ(t) für alle t I eine Hauptkrümmungsrichtung ist, so heißt c Krümmungslinie. Beispiel (Krümungslinien des Zylinders). Auf dem Zylinder S = S 1 R sind die Krümmungslinien horizontale Kreislinien oder vertikale Geraden (oder Stücke davon). Insbesondere haben alle nach Bogenlänge parametrisierten Kurven in S durch p mit demselben Tangentialvektor dieselbe Normalkrümmung. Die Normalkrümmung hängt also neben S und p nur von ċ(0) ab, nicht aber von der speziellen Wahl der Kurve c. Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 124]. Beispiel (Normalkrümmung des Zylinders). Sei S = S 1 R der Zylinder. Sei p S. Der Durchschnitt von S mit der Normalenebene im Punkt p ist entweder ein Kreis, eine Ellipse oder eine Gerade. Die Normalenkrümmung schwankt dementsprechend je nach Richtung zwischen 1 und 0. Abbildung 24: Krümmungslinien des Zylinders Satz (Rodriguez). Sei S R 3 eine orientierbare reguläre Fläche, sei N : S S 2 die Gauß-Abbildung. Sei c : I S eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Dann ist c Krümmungslinie auf S genau dann, wenn es eine Funktion λ : I R gibt mit d N(x(t)) = λ(t) ċ(t), dt t I. (3.50) In diesem Fall ist λ(t) die entsprechende Hauptkrümmung. Gauß-Krümmung und Mittlere Krümmung Abbildung 23: Normalenkrümmung des Zylinders Die Weingartenabbildung W p : T ps T ps ist stets selbstadjungiert. Daher können wir eine Orthonormalbasis X 1, X 2 von T ps finden, die aus Eigenvektoren von W p besteht, W p(x i ) = κ i X i, i = 1, 2. (3.46) Definition (Hauptkrümmungen). Die Eigenwerte κ 1, κ 2 heißen Hauptkrümmungen von S im Punkt p. Die zugehörigen Eigenvektoren ±X 1 und ±X 2 heißen Hauptkrümmungsrichtungen. Bemerkung (Euler-Formel für die Normalkrümmung). Einen beliebigen Einheitsvektor X T ps können wir in der Basis X 1, X 2 ausdrücken druch X = X 1 cos ϕ +X 2 sin ϕ. (3.47) für ein geeignetes ϕ R. Durch Einsetzen in die zweite Fundamentalform erhält man die Euler-Formel für die Normalkrümmung in Richtung X: II(X, X) = κ 1 cos 2 ϕ + κ 2 sin 2 ϕ. (3.48) Insbesondere sehen wir, dass κ 1 und κ 2 Minimum und Maximum aller Normalkrümmungswerte von S in p sind, wenn Definition (Gauß-Krümmung, mittlere Krümmung). Sei S R 3 eine orientierbare reguläre Fläche, sei p S ein Punkt. Seien κ 1 und κ 2 die Hauptkrümmungen von S in p. Dann ist K(p) := κ 1 κ 2 = det(w p) = det(g ij h ij ) (3.51) die Gauß-Krümmung von S in p. Ferner heißt H(p) := κ 1 + κ 2 2 die mittlere Krümmung von S in p. = 1 2 Spur(Wp) = 1 2 Spur(gij h ij ) (3.52) Definition (Klassifikation von Punkten regulärer Flächen). Sei S R 3 eine orientierbare reguläre Fläche, sei p S. Man nennt p - elliptisch, falls K(p) > 0, - hyperbolisch, falls K(p) < 0, - parabolisch, falls K(p) = 0, aber W p 0, d. h. falls eine der beiden Hauptkrümmungen verschwindet, die andere aber nicht, - Flachpunkt, falls W p = 0, d. h. κ 1 = κ 2 = 0. Beispiel (Gauß- und mittlere Krümung des Zylinders). Für den Zylinder S = S 1 R mit der durch das innere Einheitsnormalenfeld gegebenen Orientierung haben wir berechnet: κ 1 = 0, κ 2 = 1. Also gilt K 0 wie für die Ebene und H 1/2. Alle Punkte sind parabolisch. 14

15 Satz Sei S R 3 eine reguläre Fläche, sei p S, und sei X 1, X 2 eine Orthonormalbasis von T ps. Sei N ein glattes Einheitsnromalenfeld auf S, definiert in einer Umgebung des Punktes p, sodass (X 1, X 2, N(p)) eine positiv orientierte Orthonormalbasis von R 3 bilden. Dann gibt es eine lokale Parametrisierung (U, F, V ) von S um p, sodass 1. (0, 0) t U und F (0, 0) = p, 2. g ij (0, 0) = δ ij, i, j = 1, 2, 3. g ij uk (0, 0) = 0, i, j, k = 1, 2, 4. F (u) p = u 1 X 1 +u 2 X i,j=1 h ij(0, 0)u i u j N(p)+ O( u 3 ). Dabei sind (g ij ) und (h ij ) die lokalen Darstellungen der ersten bzw. zweiten Fundamentalform bzgl. der lokalen Parametrisierung (U, F, V ). Das Symbol O( u k ) bezeichnet, wie in der Analysis üblich, eine Funktion ϕ mit der Eigenschaft, dass ϕ(u) u in einer Umgebung von (0, k 0)t beschränkt ist. Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 131ff]. Korollar Jede reguläre Fläche kann lokal als Graph über ihrer Tangentialebene dargestellt werden. Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 134f]. Bemerkung (Geometrische Interpretation der Gauß Krümmung). Wenn wir Terme dritter Ordnung vernachlässigen, können wir die reguläre Fläche S in der Nähe eines Punktes p S über die Tangentialebene T ps als Graph der Funktion angenähert darstellen. (u 1, u 2 ) t 1 2 h ij (0, 0)u i u j (3.53) 2 i,j=1 1. Sei K(p) > 0. Dann ist (h ij (0, 0)) ij positiv oder negativ definit und somit wird S durch einen Paraboloiden angenähert. 2. Sei K(p) < 0. Dann ist (h ij (0, 0)) ij indefinit, aber nicht ausgeartet. Somit wird S nahe p durch eine Sattelfläche approximiert. 3. p ist parabolisch. Dann ist (h ij (0, 0)) ij ausgeartet, aber nicht 0. Nahe p sieht S wie die Zylinderfläche über einer Parabel aus. 4. p ist Flachpunkt. Dann ist (h ij (0, 0)) = 0 für alle i, j = 1, 2 und somit stimmt die Fläche S bis auf Terme dritter Ordnung mit ihrer Tangentialebene überein. Satz Sei S R 3 eine kompakte nicht leere reguläre Fläche. Dann besitzt S einen Punkt mit K(p) > 0. Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 137ff]. Das bedeutet, dass es kompakte Flächen mit K 0 in einem noch zu präzisierenden abstrakten Sinne zwar durchaus gibt, dass man sie aber nicht in den R 3 legen kann, ohne sie so zu verbiegen, dass die Gauß-Krümmung irgendwo positiv wird. Korollar Sei S eine kompakte reguläre Fläche, sei q R 3, sei p S ein Punkt auf S mit minimalem Abstand von q. Dann steht q p senkrecht auf T ps. 3.7 Flächeninhalt und Integration auf Flächen Definition ((Lebesgue-) Integrierbar). Eine Funktion f : S R mit f S\V 0 heißt (Lebesgue-) integrierbar, falls die Funktion U R, (u 1, u 2 ) t f(f (u 1, u 2 )) det(g ij (u 1, u 2 )), (3.54) (lebesgue-) integrierbar ist. Der Wert des Integrals ist f da := f(f (u 1, u 2 )) det(g ij (u 1, u 2 )) du 1 du 2. S U (3.55) Man nennt den formalen Ausdruck da = det(g ij ) du 1 du 2 (3.56) das Flächenelement. Lemma Sei S R 3 eine reguläre Fläche, seien (U, F, V ) und (Ũ, F, Ṽ ) lokale Parametrisierungen von S. Sei f : S R eine Funktion mit f S\(V Ṽ ) 0. Es ist (f F ) det(g ij ) : U R (3.57) integrierbar genau dann, wenn (f F ) det( g ij ) : Ũ R (3.58) integrierbar ist und ist in diesem Falle gilt (f F ) det(g ij ) du 1 du 2 = (f F ) det( g ij ) dũ 1 dũ 2. U Ũ (3.59) Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 141]. Definition (Integrierbar). Sei S R 3 eine reguläre Fläche. Eine Funktion f : S R heißt integrierbar, falls sich f schreiben lässt als endliche Summe f = f f k, (3.60) (a) 1. Fall: K(p) > 0 (b) 2. Fall: K(p) < 0 (c) 3. Fall: p parabolisch Abbildung 25: Geometrische Interpretation der Gauß- Krümmung wobei die f i : S R integrierbare Funktionen sind, die jeweils außerhalb einer Koordinatenumgebung verschwinden. In diesem Fall setzen wir ferner k f da := f i da. (3.61) S i=1 S Definition (Nullmenge). Eine Teilmenge N S einer regulären Fläche heißt Nullmenge, falls für jede lokale Parametrisierung (U, F, V ) von S die Menge eine Nullmenge in U R 2 ist. F 1 (V N) (3.62) 15

16 Definition (Flächeninhalt). Sei S R 3 eine reguläre Fläche. Ist die konstante Funktion f 1 integrierbar, so nennen wir A[S] := da (3.63) S den Flächeninhalt von S. Beispiel (Flächeninhalt des Zylinders). Sei I R ein offenes Intervall, c : I R 2 eine ebene parametrisierte reguläre Kurve. Sei h > 0. Wir betrachten den verallgemeinerten Zylinder über c: S = {c(t) + se 3 : t I, 0 < s < h}. (3.64) Wir erhalten mit der Parametrisierung U = I (0, h) R 2, V = R 3, F (t, s) = c(t) + se 3 : da = g 11 g 22 g 12 g 21 = ċ(t) dt ds. (3.65) Für den Flächeninhalt erhalten wir h A[S] = ċ(t) ds dt = h L[c]. (3.66) I 0 4. Rotationshyperboloid, einschaliges Hyperboloid: Das Rotationshyperboloid S = { (x, y, z) t R 3 : 1 = z 2 = x 2 + y 2} (3.71) bildet eine Regelfläche, denn die Regelfläche, die durch c(t) = (cos t, sin t, 0) t, (3.72) v(t) = ċ(t) + e 3 = ( sin t, cos t, 1) t, (3.73) gegeben ist, stimmt mit S überein. Es gilt K < Hyperbolisches Paraboloid: Das hyperbolische Paraboloid S = { (x, y, z) t R 3 : z = xy } (3.74) ist eine Regelfläche. Dies wird realisiert durch und es gilt K < 0. c(t) = (t, 0, 0) t, (3.75) v(t) = t 2 (0, 1, t)t, (3.76) 3.8 Einige Klassen von Flächen Regelflächen Definition (Regelfläche). Sei I R ein offenes Intervall, und sei c : I R 3 eine parametrisierte Raumkurve. Wir wollen nun an jeden Punkt dieser Kurve eine Gerade anheften, um so eine Fläche zu erhalten. Sei dazu v : I R 3 eine glatte Abbildung mit v(t) (0, 0, 0) t für alle t I. Sei J R ein weiteres offenes Intervall. Wir setzen F : I J R 3, F (t, s) = c(t) + sv(t). (3.67) Eine reguläre Fläche S R 3, die durch eine Parametrisierung der Form (3.67) darstellbar ist, heißt Regelfläche. (a) 1. Bsp.: (Verallgemeinerter) Zylinder (b) 2. Bsp.: (Verallgemeinerter) Kegel Beispiel (Einige Regelflächen). 1. Verallgemeinerter Zylinder: Ist c : I R 3 eine ebene parametrisierte Kurve ohne Selbstdurchschnitte, c(t) = (c 1 (t), c 2 (t), 0) und v(t) = (0, 0, 1), so heißt die zugehörige Regelfläche F (t, s) = c 1(t) c 2 (t) (3.68) s verallgemeinerter Zylinder über c. Als Definitionsbereich können wir U = I R nehmen. Für ihn gilt K Verallgemeinerter Kegel: Betrachten wir wieder eine ebene parametrisierte Kurve c : I R 3 ohne Selbstdurchschnitte, c(t) = (c 1 (t), c 2 (t), 0). Zu einem festen Punkt p R 3 \ (R 2 {0}) setzen wir v(t) = p c(t). Dann ist F : I (, 1) R 3, F (t, s) = (1 s)c(t) + sp (3.69) der verallgemeinerte Kegel über c mit Kegelspitze p. Für ihn gilt K Möbiusband: Auch das Möbiusband ist eine Regelfläche. Dazu betrachten wir F : R ( 1, 1) R 3, F (t, s) = cos t + s cos t cos t/2 sin t + s sin t cos t/2. s sin t/2 (3.70) Es gilt K < 0. (c) 3. Bsp.: Möbiusband (d) 4. Bsp.: Rotationshyperboloid, einschaliges Hyperboloid (e) 5. Bsp.: hyperbolisches Paraboloid Abbildung 26: Regelflächen Satz Sei S R 3 eine Regelfläche. Dann gilt für die Gauß-Krümmung K 0. (3.77) Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 148] Minimalflächen Definition (Mittleres Krümmungsfeld). Um eine Version der mittleren Krümmung zu erhalten, die sich bei Orientierungswechsel nicht ändert und auch auf nichtorientierbaren 16

17 Flächen definiert ist, betrachtet man statt der reellwertigen Funktion H häufig das mittlere Krümmungsfeld H, das durch definiert ist. H := H N (3.78) Satz (Variation des Flächeninhalts). Sei S eine reguläre Fläche mit endlichem Flächeninhalt. Sei H das mittlere Krümmungsfeld. Sei Φ : S R 3 ein glattes Normalenfeld auf S mit kompaktem Träger. Dann ist für t hinreichend klein die Menge S t := {p + tφ(p) : p S} eine reguläre Fläche mit endlichem Flächeninhalt und es gilt d dt A[St] t=0 = 2 Φ, H da. (3.79) S 4. Helikoid: Die Wendelfläche oder das Helikoid ist gegeben durch die Parametrisierung F (u 1, u 2 ) = u1 sin(u 2 ) u 1 cos(u 2 ). (3.85) u 2 5. Scherksche Fläche: Der Graph der Funktion ϕ : ( π/2, π/2) ( π/2, π/2) R, ϕ(x, y) = ln(cos(y)) ln(cos(x)) (3.86) heißt Scherksche Fläche und ist eine Minimalfläche. Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 150f]. Korollar Sei S R 3 eine reguläre Fläche mit kompaktem Abschluss S. Wir nehmen an, dass S minimalen Flächeninhalt hat unter allem regulären Flächen S mit demselben Rand S = S. Dann gilt für das mittlere Krümmungsfeld von S H (0, 0, 0) t. (3.80) (a) 2. Bsp.: Enneper-Fläche (b) 3. Bsp.: Katenoid, Kettenfläche Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 152]. Definition (Minimalfläche). Eine reguläre Fläche S R 3 heißt Minimalfläche, falls H (0, 0, 0) t. (3.81) Man beachte, dass Minimalflächen nicht unbedingt flächenminimierend sein müssen. Es handelt sich bei H = (0, 0, 0) t nur um eine notwendige Bedingung. Man kann Minimalflächen konkret erzeugen, indem man einen geschlossenen Draht (unsere geschlossene Raumkurve) in Seifenlauge hält. Die entstandene Seifenhaut ist dann eine Minimalfläche. Bemerkung. Ist die Fläche S orientierbar, so gibt es ein glattes Einheitsnormalenfeld N auf S und wir können das mittlere Krümmungsfeld in der Form H = H N schreiben. Die Minimalflächenbedingung lautet dann Beispiel (Minimalflächen). H 0. (3.82) 1. Affine Ebene: Für eine affine Ebene gilt offensichtlich K H Enneper-Fläche: Die Enneper-Fläche kann durch eine einzige Parametrisierung beschrieben werden F : R 2 R 3, F (u 1, u 2 u1 (u1) 3 + u 3 1 (u 2 ) 2 ) = u 2 (u2 ) 3 + u 3 2 (u 1 ) 2. (u 1 ) 2 (u 2 ) 2 (3.83) 3. Katenoid: Die Kettenfläche oder das Katenoid ist gegeben durch die Parametrisierung F (u 1, u 2 ) = cosh(u1 ) cos(u 2 ) cosh(u 1 ) sin(u 2 ). (3.84) u 1 Das Katenoid ist ein Beispiel für eine Drehfläche. Sie ist im wesentlichen die einzige Drehfläche, die gleichzeitig eine Minimalfläche ist. (c) 4. Bsp.: Helikoid, Wendelfläche (d) 5. Bsp.: Scherksche Fläche Abbildung 27: Minimalflächen Satz Für jede reguläre Fläche gilt K H 2. (3.87) Insbesondere gilt für die Gauß-Krümmung von Minimalflächen K 0. (3.88) Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 154] Drehflächen Definition (Drehfläche). Drehflächen entstehen, wenn man eine ebene Kurve, die in der x-z-ebene liegt, um die z- Achse rotiert. Ist besagte ebene Kurve durch die Parametrisierung t (r(t), t) t, t I gegeben, so erhalten wir eine lokale Parametrisierung der zugehörigen Drehfläche durch r(t) cos(ϕ) F (t, ϕ) = r(t) sin(ϕ), t I, ϕ (ϕ 0, ϕ 0 + 2π). (3.89) t Beispiel (Drehflächen). 1. Rotationsparaboloid: Das Rotationsparaboloid S = { (x, y, z) t R 3 : z = x 2 + y 2} ist eine Drehfläche mit der Funktion r(t) = t, t > 0. Es gilt K = 4 (1 + 4t) 2, H = 2 + 4t. (3.90) 3/2 (1 + 4t) 17

18 2. Katenoid: Eine Drehfläche mit r(t) = c 1 cosh(t+c 2/c 1 ), c 1 > 0, c 2 R ist eine Kettenfläche. 3. Pseudosphäre: Sei S die Drehfläche einer Traktrix. Eine Parametrisierung ist dann gegeben durch F : (0, 2π) (ϕ 0, ϕ 0 + 2π) R 3, F (t, ϕ) = sin t sin ϕ sin t cos ϕ. (3.91) cos t + ln tan t/2 Diese Fläche hat konstante Gauß-Krümmung K 1. Man nennt sie Pseuodesphäre. (a) 1. Bsp.: Rotationsparaboloid (b) 3. Bsp.: Pseudosphäre Abbildung 28: Drehflächen Röhrenflächen Definition (Röhrenfläche). Sei c : I R 3 eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve mit nicht verschwindender Krümmung, κ(t) 0 für alle t I. Dann sind die Torsion τ und das Frenet-Freibein (ċ, n, b) definiert. Sei r > 0. Wir betrachten F : I R R 3, F (t, ϕ) = c(t) + r (cos ϕ n(t) + sin ϕ b(t)). (3.92) Eine so parametrisierte reguläre Fläche heißt Röhrenfläche. Beispiel (Eine Röhrenfläche). 1. Drehtorus: Wir betrachten den Drehtorus, der als die Röhrenfläche um die Kreislinie c(t) = (cos t, sin t, 0) t mit Dichte 2r < 2 definiert ist. Dann gilt κ(t) 1, τ 0. (3.93) (a) 1. Bsp.: Drehtorus Abbildung 29: Röhrenflächen 18