Nach Bogenlänge parametrisierte Kurven

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1 Nach Bogenlänge parametrisierte Kurven Eine orientierte Kurve ist eine Äquivalenzklasse von regulären parametrisierten Kurven bzgl. der orientierungserhaltenden Umparametrisierung als Äquivalenzrelation. Natürliche Frage: Gegeben eine orientierte Kurve c, kann man einen kanonischen ( besten ) Repräsentanten c auswählen? In anderen Worten, gibt es eine Parametrisierung, die geometrisch ist? Überraschende Antwort: Ja!!! Satz. Es sei c : [a,b] R n regulär mit Länge L := L(c). Dann gibt es genau einen orientierungserhaltenden Diffeomorphismus φ : [0,L] [a,b], sodass für c := c φ : [0,L] R n gilt: c (t) =.

2 Satz. Es sei c[a,b] R n regulär mit Länge L := L(c). Dann gibt es genau einen orientierungserhaltenden Diffeomorphismus φ : [0,L] [a,b], sodass für c := c φ : [0,L] R n gilt: c (t) =. Diskussion der Bedingung c (t) =. Ist c (t) =, so gilt für alle ã t t 2 b: L ( c ) t2 [t,t 2] = t dt = t 2 t. Die Länge des Kurvensegments zwischen t und t 2 ist also gerade die Differenz t 2 t. Umgekehrt sei für alle t 0 s erfüllt: L ( c [t0,s]) = s t0. Dann ist s t 0 c (t) dt = s t 0. Wir betrachen nun die linke und die rechte Seite dieser Formel als Funktionen von s. Wir leiten sie nach s ab. Der Hauptsatz der Integralrechnung liefert uns dann im Punkt s die Bedingung c (s) =. Ergebnis: c (t) = für alle ã t t 2 b gilt L ( c [t,t 2]) = t2 t. Diese Überlegung gibt uns bereits einen Hinweis für die Wahl der Umparametrisierung φ: Sie muss die folgende Bedingung erfüllen: φ (t 2 ) φ (t ) = L ( c [t,t 2]).

3 Beweis von Satz Satz. Es sei c : [a,b] R n regulär mit Länge L := L(c). Dann gibt es genau einen orientierungserhaltenden Diffeomorphismus φ : [0,L] [a,b], so dass c := c φ : [0,L] R n mit c (t) =. Wir betrachten die Bogenlänge für c [a,s], d.h. die Funktion von s [a,b], die gegeben ist durch l(s) = s a c (t) dt. as ist eine glatte (stetig differenzierbare) Funktion. hre Ableitung im Punkt s ist d ds s a c (t) dt = c (s) > 0, ( ) ie Funktion ist also monoton steigend (positive Ableiung). Offensichtlich gilt l(a) = a a c (t) dt = 0 und (b) = a b b a c (t) dt = L(c) = L. Dann existiert nach dem Satz über die Umkehrfunktion (Analysis I) eine glatte Funktion φ : [0,L] [a,b] mit φ l = Id [a,b] und l φ = Id [0,L]. Die Ableitung dieser Funktion ist (Satz über Umkehrfunktion): φ(t) = ( ) l = (φ(t)) c (s). ( ) L

4 Daraus folgt wie gewünscht c (t) = d Kettenregel dtc(φ(t)) = c (φ(t)) φ (t) ( ) = c (s) }{{} c (s) = s Bemerkung. Der Beweis ist zwar konstruktiv, aber dennoch lässt sich in vielen Beispielen die Bogenlängen-Parametrisierung nicht explizit angeben, weil das Integral c (t) dt i.d.r. keine explizite Lösung hat.

5 Krümmung von ebenen Kurven Der Krümmungsbegriff für ebene Kurven soll ein geometrischer Begriff sein, der folgenden Postulaten genügt:. Eine Gerade soll Krümmung 0 haben. Ein Kreis vom Radius r soll die Krümmung ±/r haben, je nach Durchlaufsinn. 2. Eine allgemeine Kurve c soll als Krümmung κ(t) die Krümmung desjenigen Kreises haben, der die Kurve im Punkt c(t) am besten (wird erklärt) approximiert. 3. Die Krümmung ist invariant unter orientierungstreuen Umparametrisierungen, d.h. auf der Klasse c erklärt. Damit meinen wir genauer: Ist c = c φ mit φ > 0; so gilt κ φ = κ (d.h., κ(φ(t)) = κ(t)). Egal wie wir die Kurve Parameterizieren, der Wert der Krümmung in diesem Punkt ist die gleiche Zahl 4. Die Krümmung ist invariant unter (orientierungserhaltenden) Bewegungen von R 2 : Wenn c = F c für eine Bewegung F(X) = OX +B mit det(o) 0, so ist κ = κ. Bemerkung. Die Postulate 3 und 4 bedeuten, dass die Krümmung ein geometrisches Objekt (Grösse) ist.

6 Die orientierte Normale. Wir führen zuerst die orientierte 90-Grad-Drehung ein, also die lineare Abbildung J ( x J : R 2 R 2,J ( x y zu ( x y ( (x ) ( )( = 0 x 0 y JC ) ( ) = y x. ( ) y) hat dieselbe Länge wie x y, ist ) orthogonal, und die (ortho- ) ( ) gonale) Basis y),j x ist positiv. Für eine reguläre Kurve c ist y Jc (t) orthogonal zum (Geschwindigkeitsvektor der) Kurve im Punkt c(t). Wenn c (t) = (bspw. bei nach Bogenlänge parametrisierten Kurven), so ( ist die Basis (c (t),jc) (t)) orthonormal. Die von t abhängige Basis c (t) c (t), c (t) Jc (t) ist bei allen regulären Kurven orthonormal. Def. Die orientierte Normale einer regulären ebenen Kurve c im Punkt t ist definiert durch ν(t) = Jc (t) c (t). C

7 Def. Die orientierte Normale einer regulären ebenen Kurve c im Punkt t ist definiert durch ν(t) = Jc (t) c (t). Die Normale ist invariant unter orientierungstreuer Umparametrisierung, d.h. auf der Klasse c erklärt (und ist deswegen ein geometrisches Objekt). Damit meinen wir genauer: Ist c = c φ mit φ > 0, so gilt ν φ = ν (d.h., ν(φ(t)) = ν(t)). Dies folgt aus der Kettenregel, denn nach der Kettenregel ist c (t) = d dt c(φ(t)) = c (φ(t)) φ (t). Es ist also c (t) proportional zu c (t) mit positivem Koeffizienten. Deswegen sind auch die Vektoren ν(φ(t)) und ν(t) gleich, die durch die unten stehenden Bedienungen definiert sind. Bedingungen. ν(φ(t)) c (φ(t)), ν(φ(t)) =, die Basis (c (φ(t)),ν(φ(t))) ist positiv. Entsprechend: ν(t) c (t), ν(t) =, die Basis ( c (t), ν(t)) ist positiv.

8 Definition der Krümmung Lemma. Bei einer nach Bogenlänge parametrisierten C 2 -glatten (d.h. mind. 2-mal stetig differenzierbaren später verwende ich die Bezeichnung c C 2 (I;R 2 ) aus Analysis I) ebenen Kurve gilt: c (t) c (t) (und deswegen ist c (t) proportional zu ν(t)). Beweis. c (t),c (t) = c (t) 2 =.Wir leiten diese Gleichung nach t ab, rechts becommen wir 0 und links steht c (t),c (t) = 2 c (t),c (t) wie oben erklärt = 0. Also ist c c. Def. (i) Eine nach Bogenlänge parametrisierte ebene Kurve c C 2 (I,R 2 ) hat die Krümmung κ C 0 (I,R) (ist also mind. eine stetige Funktion von t). Die Krümmung ist bestimmt durch die Gleichung κ(t) ν(t) = c (t) (Wohldefiniertheit folgt aus Lemma ). (ii) Für einen beliebigen Repräsentanten c der Klasse c wird die Krümmung durch Umparametrisierung auf Bogenlänge bestimmt: Ist c = c φ mit φ > 0 und c = (Existenz und Eindeutigkeit: Satz ), dann κ = κ(φ) (d.h., κ(t) = κ(φ(t))). Multipliziert man die Gleichung ( ) skalar mit ν, so erhält man die Formel κ(t) = ν(t),c (t).

9 Physikalische Interpretation der Krümmung (bei nach Bogenlänge parametrisierten Kurven) Eine nach Bogenänge parametrisierte ebene Kurve c C 2 (I,R 2 ) hat die Krümmung κ(t), welche durch κ(t) ν(t) = c (t) ( ) bestimmt ist. Bei Parametrisierung nach Bogenlänge C (t0) C (t0+t) st gemäß ( ) die Kippgeschwindigkeit C (t0+t) C (t0) speed /Schnelligkeit nicht velociy vector /Geschwindigkeitsvektor) des angentenvektors. Aus physikalischer Sicht ist der Krümmungsvektor κ(t)ν(t) = c (t) die Beschleunigung eines sich mit Einheitsgeschwindigkeit bewegenden Massenpunktes. Nach dem Newtonschen Gesetz Kraft= Masse Beschleunigung entsteht sie durch eine zu c proportionale Kraft, welche senkrecht zu c wirken muss, damit die Geschwindigkeit c konstant bleibt. Wenn der Massenpunkt die Masse hat, ist dann die Stärke der Kraft gleich dem Betrag der Krümmung. Die Krümmung hat positives Vorzeichen, wenn sich die Kurve in Richtung der Normalen krümmt, d.h. in Linkskurven. Wenn wir die Orientierung wechseln, also statt c die Kurve c(t) := c(l t) betrachten, so wechselt die Krümmung ihr Vorzeichen.

10 Einfachste Beispiele: Krümmung einer Geraden Eine nach Bogenlänge parametrisierte ebene Kurve c C 2 (I,R 2 ) hat die Krümmung κ(t), bestimmt durch κ(t) ν(t) = c (t) ( ). Für einen beliebigen Repräsentanten c der Klasse c wird die Krümmung durch Umparametrisierung auf Bogenlänge bestimmt: Ist c = c φ mit φ > 0 und c =, so gilt κ = κ(φ) Diese Definition enthält bereits ein naives Verfahren wie man die Krümmung berechnet: zuerst die Kurve nach Bogenlänge umparametrisieren, und dann die Formel ( ) benutzen. Bsp. Als Kurve c nehmen wir eine beliebige Gerade c(t) = P +t V. Wenn V ist, parametrisieren wir Sie nach Bogenlänge um: die Funktion φ ist in diesem Fall φ(t) = V t und die Kurve ( ) c(t) = c φ(t) = c V t = P +t V V, der Geschwindigkeitsvektor von c(t) ist c(t) = V V und hat die Länge. Die 2te Ableitung von c(t) ist dann c (t) = 0 und κ = 0 und deswegen auch κ = 0.

11 Einfachste Beispiele: Krümmung der Kreislinie Bsp. Als Kurve c nehmen wir eine Kreislinie vom Radius r: c(t) = ( ) r cos(t) r sin(t). Wie die Gerade ist sie auch nicht nach der Bogenlänge parametrisiert: c (t) = ( ) r sin(t) r cos(t) und c = r 2 sin 2 +r 2 cos 2 = r. Wieder ist die Länge des Geschwindigkeitsvektor konstant (gleich r), aber nicht immer, und wieder kann man sie relativ einfach normalisieren: Wir nehmen eine Umparametrisirung φ vor, sodass φ (t) r ist, also z.b. φ(t) = r t (oder r t +const). Dann ist nach der Kettenregel c (t) = c (φ(t)) φ (t) und c = r ( r =. Wir finden: c(t) = r cos( ) ) r t), c (t) = r cos( r t ) und J c = ( 0 r sin( r t) ) ( ) ( ) sin r t ) 0 cos( r = cos r t ) t sin( r t r sin( r t. Wir sehen, dass κ = r (denn multiplizieren wir die Normale ν mit r, erhalten wir c ).

12 Wir können Postulat überprüfen. Postulat. Eine Gerade soll Krümmung 0 haben. Ein Kreis vom Radius r soll die Krümmung ±/r haben, je nach Durchlaufsinn. Das haben wir gerade rechnerisch nachgeprüft!!!

13 Krümmung bei beliebig parametrisierten Kurven Eine nach Bogenlänge parametrisierte ebene Kurve c C 2 (I,R 2 ) hat die Krümmung κ(t), bestimmt durch κ(t) ν(t) = c (t) ( ). Für einen beliebigen Repräsentanten c der Klasse c wird die Krümmung durch Umparametrisierung auf Bogenlänge bestimmt: Ist c = c φ mit φ > 0 und c = (Exitenz und Eindeutigkeit: Satz ), so gilt κ = κ(φ) Die Definition oben enthält ein naives Verfahren, wie man die Krümmung einer Kurve ausrechnen kann: man muss Sie nach der Bogenlänge umparametrisieren und dann J c und c vergleichen.wir haben dieses Verfahren bei Geraden und Kreislinien erfolgreich angewendet. Viele Kurven lassen sich aber nicht explizit nach Bogenlänge parametrisieren. Daher benötigt man eine Formel für die Krümmung regulärer Kurven. Satz 2. Sei c C 2 (I;R 2 ) eine ebene orientierte Kurve. Dann gilt ( κ(t) = c (t) Jc,c c = 3 c (t) det (t) c (t) ) 3 (t) c 2 (t). ( ) x y Überprüfe noch, dass JX,Y = det : ( x 2 ) y 2 x y JX,Y = x 2 y +x y 2 = det x 2 y 2 c 2

14 Beweis von Satz 2 Beweis. Es sei c := c φ eine Parametrisierung nach Bogenlänge. Rechnen wir c (t) und c (t) mit Hilfe von Ketten- und Produktregel aus. Es gilt: c (t) = d dt c(φ(t)) = c (φ(t)) φ (t) ( ) c (t) = (c (φ(t)) φ (t)) = c (φ(t)) φ (t) 2 +c (φ(t)) φ (t) Wegen J c, c = 0 folgt κ(t) letzte Gleichung auf S. 8 = J c (t), c (t) = φ (t) Jc (φ(t)),c (φ(t)) φ (t) 2 +c (φ(t)) φ (t) = φ (t) 3 Jc φ(t),c φ(t) Aber der Betrag von ( ) liefert = φ (t) c φ(t), so dass φ (t) = c φ(t) und wir insgesamt die Formel κ(φ(t)) = c φ(t) Jc φ(t),c φ(t) erhalten. 3 Für einen beliebigen Repräsentanten c der Klasse c wird die Krümmung durch Umparametrisierung auf Bogenlänge bestimmt: Ist c = c φ mit φ > 0 und c =, so gilt κ = κ(φ) Also ist κ(t) = κ(φ(t)) = c φ(t) 3 Jc φ(t),c φ(t), wie gewünscht.

15 Krümmung von Graphen von Funktionen Sei f : I R eine Funktion ( und ) betrachten wir die Kurve ( Graph t der Funktion ) c(t) =. Mit Hilfe von Satz 2 können wir f(t) die Krümmung der Kurve berechnen: ( ) Ist speziell die Tangente horizontal, so ist die Krümmung die zweite Ableitung: ( )

16 Ist eine positiv orientierte Orthonormalbasis (T, N) und ein Punkt P R 2 gegeben, so kann man Graphen c(t) = P +t T +f(t) N betrachten (das ist der übliche Graph der Funktion F, wenn wir das Koordinatensystem betrachten, dessen Ursprung im Punkt P liegt, und dessen Basisvektoren die Vektoren T und N sind). Im Spezialfall P = ( ( ( ) 0 0), T = 0) und N = 0 bekommen wir P +t T +f(t) N = ( ) t f(t). Eigentlich ist die Kurve c(t) = P +t T +f(t) N gleich der Kurve F c, wobei c(t) = ( ) t f(t) und wo F(X) = OX +P die affine Abbildung ( ) 0 ist, sodass P und sodass die Matrix O die Standardbasis in die 0 ) O ) O Basis (T,N) überführt, also ( ( 0 T und 0 N). Dieses F ist automatisch eine Bewegung von R 2, weil (T,N) orthonormal ist. Folglich ist die zugehörige Krümmung gegeben durch ( ) bzw., falls f (t) = 0, durch ( ) (s. vorherige Seite).

17 Satz 3 (Lokale Normalform). Es sei c C 2 (I,R 2 ) eine reguläre Kurve mit t 0 I. Man betrachte P := c(t 0 ); T := c (t 0) c (t und 0) N := JT := ν(t 0 ). Dann gibt es ein ε > 0 und eine orientierungserhaltende Parametertransformation (d.h. Diffeomorphismus aufs Bild) φ : ( ε,ε) I mit φ(0) = t 0, sodass c := c φ in sogenannter lokaler Normalform vorliegt: c(t) = P +tt + 2 κ(t 0)t 2 N +O(t 2 ) N ( ) für ε < t < ε. O(s) Hier bezeichnet O wieder eine Funktion, sodass lim s 0 s = 0. Oder, O(s was im Wesentlichen dasselbe ist, sodass lim 2 ) s 0 s = 0. 2 Bemerkung. Falls P = ( ( ( ) 0 0), T = 0) und N = 0, dann lautet ( ) c(t) = ( ) t 2 κ(t 0 )t 2 + O(t 2 ) Bemerkung. Die Vektoren T := c (t 0) c (t 0) und N := JT := ν(t 0) aus dem Satz bilden eine orthonormale Basis.

18 Beweis. Wir setzen s(τ) := c(τ) P,T. (Geometrisch bedeutet das: s(τ) ist die (orientierte) Länge der Projektion des Vektors c(τ) P auf die Gerade mit Richtungsvektor T) Wenn c = c φ die Gleichung ( ) erfüllt, ist P s(φ(t)) = c(φ(t)) P,T = c(t) P,T = t. Also suchen wir eine lokale Umparameterisierung φ(t), sodass s(φ(t)) = t. Die Bedingung s(φ(t)) = t ist offensichtlich erfüllt, wenn φ eine Umkehrfunktion von s ist; wir werden zeigen, dass eine Umkehrfunktion von s lokal existiert. Dazu benutzen wir den Satz über die Umkehrfunktion aus Analysis I: Wenn eine glatte Funktion f(x) die Ableitung f (x 0 ) 0 hat, existiert in der Umgebung (f(x 0 ) ε,f(x 0 )+ε) von f(x 0 ) eine Umkehrfunktion φ sodass f φ = Id und φ f = Id. Ferner gilt: φ ist ein lokaler Diffeomorphismus. In unserem Fall spielt s die Rolle von f. Wenn wir also zeigen, dass s (t 0 ) 0, so zeigen wir wegen des Satzes über die Umkehrfunktion die Existenz der gewünschten Umparametrisierung φ. N T

19 Wir haben: s (t 0 ) := c(t) P,T = c (t 0 ),T = T,T = 0. Also existiert eine lokale Umparametrisierung φ, sodass s(φ(t)) = t. Wir betrachten die Abbildung c = c φ : (s(t 0 ) ε,s(t 0 )+ε) R 2. Nach Konstruktion erfüllt sie c(t) P,T = t. Wir definieren nun die C 2 -Funktion f(t) = c(t) P,N. Nach Konstruktion ist c(t) P = t T +f(t) N,( ) (weil für jeden Punkt X gilt: X = P + X P,T T + X P,N N, weil die Basis (T,N) orthonormal ist). Wir müssen also nur zeigen, dass f(t) = 2 κ(t 0)t 2 +O(t) 2. Dazu benutzen wir die Taylor-Entwicklung von f(t). f (0) = c(t) P,N t=0 = φ (0) c (t 0 ),N = φ (0) T,N = 0. Die 2-te Ableitung von f (0) haben wir praktisch auf Seite 6 ausgerechnet: wir haben gezeigt, dass die Krümmung κ(0) = f (0). Die Krümmung ist aber ein geometrisches Objekt, also κ(t 0 ) = κ(0). Dann ist f (0) = κ(t 0 ). Dann lautet die Taylor-Entwicklung für f wie folgt: f(t) = f(0)+f (0)t + 2 f (0)t 2 +O(t 2 ) = 2 f (0)t 2 +O(t 2 ), und die Formel ( ) ist die gewünschte Formel c(t) = P +tt + 2 κ(t 0)t 2 N +O(t 2 ) N ( )

20 Lokale Konvexität von Kurven mit κ 0 Korollar. Sei c C 2 (I,R 2 ) eine reguläre Kurve mit κ(t 0 ) 0. Betrachte die Hyperebenen H + und H gegeben durch H + := {X R 2 X c(t 0 ),ν(t 0 ) > 0} H := {X R 2 X c(t 0 ),ν(t 0 ) < 0}. Dann existiert ε 0, sodass für alle t (t 0 ε,t 0 +ε), t t 0 gilt: Ist κ(t 0 ) > 0, so ist c(t) H +. Ist κ(t 0 ) < 0, so ist c(t) H. H+ Beweis. ObdA ist c bereits in Normalform, also t 0 = 0 und c(t) = c(0) + t T + ( 2 κ(0)t2 +O(t 2 ) ) N (wobei T = c (0) und N = ν(0)). ( Dann ist c(t) c(0),n = 2 κ(0)t2 +O(t 2 ) ). Falls κ(0) > 0, so ist diese Funktion lokal positiv für t 0. Falls κ(0) < 0, so ist sie lokal negativ für t 0.