Krümmungskreise. Dazu brauchen wir selbstverständlich einige Vorarbeit.

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1 Krümmungskreise Postulat 2. Eine allgemeine Kurve c soll als Krümmung κ(t) die Krümmung desjenigen Kreises haben, der die Kurve im Punkt c(t) am besten (wird erklärt) approximiert. Erstes Ziel für heute: zu erklären, wann ein Kreis eine Kurve am besten approximiert und zu zeigen, dass ein solcher Kreis existiert und eindeutig ist. Wir werden auch sehen, dass in der Punkt c(t 0 ) er durch eine einfache Formel (in welcher nur c(t 0 ), ν(t 0 ) und κ(t 0 ) vorkommen) gegeben ist. Dazu brauchen wir selbstverständlich einige Vorarbeit.

2 (Da die Punkte c(a),c(b) in H ± liegen, und c(t 0 ) auf der Grenze von H ±, liegen sie nicht auf einer Gerade.) Lemma 2. Ist c C 2 (I,R 2 ) eine reguläre Kurve mit κ(t 0 ) 0, so existiert ein ε > 0 mit folgender Eigenschaft: Für jedes Tripel a < t 0 < b in (t 0 ε,t 0 +ε) liegen die drei Punkte c(a),c(t 0 ),c(b) auf einem Kreis. Beweis. Aus der Elementargeometrie wissen wir, dass drei verschiedene Punkte, die sich nicht auf einer Gerade befinden, auf einem (eindeutigen) Kreis liegen. Man bestimmt den Mittelpunkt der Kreises mit Hilfe zweier Mittelsenkrechten (zu den Seiten des Dreiecks). Der Mittelpunkt der Kreises ist der Schnittpunkt dieser Mittelsenkrechten (siehe Bild links, das ich aus Wikipedia genommen habe) Also muss man nur zeigen, dass die drei Punkte a,t 0,b, falls a und b hinreichend nah bei t 0 sind, nicht auf einer Gerade liegen. Das folgt aber direkt aus Korollar 1: Korollar 1. Sei c C 2 (I,R 2 ) eine reguläre Kurve mit κ(t 0 ) 0. Betrachte die Hyperebenen H + := {X R 2 X c(t 0 ),ν(t 0 ) > 0} und H := {X R 2 X c(t 0 ),ν(t 0 ) < 0}. Dann existiert ε 0, sodass für alle t (t 0 ε,t 0 + ε), t t 0 gilt: Ist κ(t 0 ) > 0, so ist c(t) H +. Ist κ(t 0 ) < 0, so ist c(t) H. c(a) H+ c(t0) c(b)

3 Konvergenz von Kreisen und Satz über Existenz des Krümmungskreises Mittelpunkt M und Radius r definieren einen Kreis eindeutig. Wir sagen, dass eine Folge K(M i,r i ) von Kreisen gegen einen Kreis K(M,r) i i konvergiert, wenn M i M und ri r, (d.h. dass Mittelpunkte und Radien konvergieren). Satz 3. Es sei c C 2 (I,R 2 ) regulär mit κ(t 0 ) 0. Dann existiert für jede Folge a i < t 0 und i i b i > t 0 mit a i t0 und b i t0 der Kreis K(t 0 ) = lim i K(a i,t 0,b i ). Er hat den Mittelpunkt M(t 0 ) := c(t 0 )+ 1 κ(t ν(t 1 0) 0) und den Radius κ(t. 0) Bemerkung. Aus dem Satz folgt: da der Kreis ist nur von der Kurve und der Wahl des Punktes auf der Kurve abhängig, nicht von der Wahl der Folgen a i, b i, denn er ist durch die explizite Formel M = c(t 0 )+ 1 κ(t ν(t 0) 0), r = 1/ κ(t 0 ) gegeben, die nicht von der Wahl der Folgen a i, b i abhängt. a1 a3 a2 b3 c(t0) b2 b1

4 Direkte rechnerische Beweismethode ( mit der Brechstange ); sie wird noch verfeinert Durch Angabe von 3 Punkten c(b) c(a),c(b),c(t 0 ) kann man die Koordinaten von M(a,t 0,b) berech- c(t0) nen mit Methoden der linearen Algebra. Nach ein bisschen Ar- c(a) beit bekommt man eine algebraische Formel für M(a,t 0,b). Man muss M(a,t0,b) dann den Grenzwert mit Analysis- Methoden ausrechnen. (Die Formel für M(a,t 0,b) ist relativ groß und die Methode vollständig durchzuführen wird rechnerisch aufwändig.) Bild aus WiKipedia Technischer Trick aus der Analysis: Mittelwertsatz der Differentialrechnung: Es sei f : [a,b] R eine Funktion, die auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b] (mit a < b) definiert und stetig ist. Außerdem sei die Funktion f im offenen Intervall (a, b) differenzierbar. Unter diesen Voraussetzungen gibt es mindestens ein x 0 (a,b), so dass f (x 0 ) = f(b) f(a) b a Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung wird in Beweis 2 Mal angewendet, für verschiedene Funktionen f.

5 Beweis von Satz 3 OBdA können wir annehmen, dass c nach Bogenlänge parametrisiert ist, also gilt c = 1, c = κν und und κ = c, sodass zu zeigen ist: 1 M(t 0 ) := c(t 0 )+ c (t 0) c (t 2 0 ). Wir wählen ε wie im Lemma 2, sodass für alle a < t 0 < b (t 0 ε,t 0 +ε). Seien zunächst a,b fest mit t 0 ε < a < t 0 < b < t 0 +ε. Wir betrachten die Funktion Sie erfüllt h(a) = h(t 0 ) = h(b), weil die betreffenden Punkte c(a),c(t 0 ),c(b) auf dem Kreis K(a,t 0,b) liegen und daher gleichen Abstand bis M(a,t 0,b) haben. Daher liefert der Mittelwertsatz der Differentialrechnung die Existenz von ξ 1 (a,t 0 ) und ξ 2 (t 0,b) mit ( )

6 Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung existiert ein ξ 1 (a,t 0 ) und ein ξ 2 (t 0,b) mit ( ) Betrachten wir jetzt die Funktion h (t) = c (t),c(t) M(a,t 0,b). In Punkten ξ 1 < t 0 und ξ 2 > t 0 nimmt die Funktion den Wert 0 an, wie oben bewiesen. Um die 2. Ableitung von h(t) zu bekommen, leiten wir h (t) = c (t),c(t) M(a,t 0,b) nach t in Punkt T = t 0 ab: c (t),c(t) M(a,t 0,b) t=t 0 = c (t 0 ),c(t) M(a,t 0,b) + c (t 0 ),c (t 0 ). Für alle a i, b i mit t 0 ε < a i < t 0 < b i < t 0 +ε gibt es also ξ (a i,b i ) und ein η (a i,b i ), sodass c (ξ),c(ξ) = c (ξ),m(a i,t 0,b i ) und 1 = c (η),c(η) M(a i,t 0,b i )

7 0 = c (ξ),m(a i,t 0,b i ) c(ξ) und 1 = c (η),c(η) M(a i,t 0,b i ) Das ist ein lineares Gleichungssystem auf (Komponenten von) M(a i,t 0,b i ): 2 Gleichungen, 2 Unbekannte, die Koeffizienten im Gleichungssystem sind mind. stetige, explizite Funktionen von c (ξ),c(ξ),c (η),c(η). Das System ist eindeutig lösbar, mindestenz wenn a i,b i nah genug zum t 0 sind, weyl die Koefficientenmatrix des Systems eine Spalte gleich c (ξ) und dei zweite Spalte gleich c (η) hat. Im Punkt t 0 sind die Vektoren c (t 0 ) und c (t 0 ) orthogonal und deswegen nichtproportional, deswegen sind sie nichrpoportional nah zum t 0, und die Matrix ist nichtausgeartet. Wir betonen dass das System für alle ξ,η, die nah genug zum t 0 sind, eindeutig lösbar ist, auch wenn z.b. ξ = ν ist. Bemerkung. Auch aus geometrischen Gründen ist einfach zu sehen, dass das System eindeutig lösbar ist: die erste Gleichung bedeutet, dass c(ξ) M(a i,t 0,b i ) zu c (ξ) orthogonal ist. Die zweite Gleichung gibt uns den Abstand zwischen c(η) und dem Fußpunkt des Lots von M(a i,t 0,b i ) auf c(η). Wenn ε klein ist, sind die Normalen in den Punkten ξ und η nicht orthogonal (sind eigentlich fast parallel) und das Gleichungsystem ist eindeutig lösbar. Aus der Linearen Algebra wissen wir, dass dann die Lösung durch algebraische Formeln in den Koeffizienten gegeben ist ( Cramersche Regel ). Wir brauchen die Formel nicht, wir brauch nur dass sie existiert und dass deswegen die Lösung M mind. stetig von ξ,η abhängt.

8 Punkt M(a i,t 0,b i ) ist als die Lösung der eideutig lösbaren Gleichungssystem 0 = c (ξ),m(a i,t 0,b i ) c(ξ) und 1 = c (η),c(η) M(a i,t 0,b i ) gegeben und deswegen ist eine mind. stedige Funktion von η und ξ. Wenn i, so gilt a i t 0, b i t 0. Daher konvergiert die Folge der M(a i,t 0,b i ) gegen die Lösung M R 2 des Systems 0 = c (t 0 ),M c(t 0 ) und 1 = c (t 0 ),c(t 0 ) M, die wie gewollt erfüllt: M := c(t 0 )+ 1 c (t 0) 2 c (t 0 ), wie man durch Einsetzen direkt nachprüft.

9 Also konvergiert die Folge von Mittelpunkten M i = M(a i,t 0,b i ) 1 gegen M := c(t 0 )+ c (t 0 c (t ) 2 0 ), unabhängig davon, wie wir die Folgen a i ր t 0 und b i ց t 0 wählen. Die Folge der Radien r i = r(a i,t 0,b i ) konvergiert dann gegen den Abstand von M zu c(t 0 ) (weil für jedes i wir r i = Abstand(c(t 0 ),M i )), also gegen 1 c (t 0 c (t ) 2 0 ) = 1 κ(t 0 ).

10 Hauptsatz der 2-dimensionalen Kurventheorie Frage. Gegeben eine Funktion κ : [a,b] R, gibt es eine nach Bogenlänge parametrisierte, C 2 glatte Kurve c(t), deren Krümmungsfunktion gleich κ ist? Wie eindeutig ist diese Kurve? Anwort (siehe Satz 4 unten): Ja, sie existiert! Sie kann aber nicht eindeutig sein, weil für jede solche Kurve c(t) und jede Isometrie F(X) = OX +b mit det(o) = 1 die Komposition F c auch eine solche Kurve ist. Sie ist allerdings eindeutig, wenn wir den Anfangspunkt p = c(a) und den Anfangsgeschwindigkeitsvektor v = c (0) beliebig, aber fest, wählen (selbstverständlich muss v = 1 gelten). Satz 4. Es sei κ C 0 ([a,b],r) und p R 2, v R 2 mit v = 1. Dann gibt es eine nach Bogenlänge parametrisierte ebene Kurve c C 2 ([a,b],r 2 ) mit Krümmung κ und Anfangswerten c(a) = p, c (a) = v. Diese Kurve ist eindeutig bestimmt.

11 Allgemeine (informelle) Fragestellung: Gegeben seien 2 parametrisierte Kurven c und c. Wie kann man entscheiden, ob eine Bewegung F von R n gibt, sodass c F c äquivalent sind? Um zwei Kurven zu vergleichen, muss man sie nach der Bogenlänge umparametrisieren und die Krümmungsfunktionen vergleichen. Beispielsweise sind Geraden und Kreise die einzigen ebenen Kurven konstanter Krümmung.

12 Als Vorbereitung brauchen wir zunächst eine kleine Vorarbeit, die den Ansatz im späteren Beweis erklärt: Für eine nach der Bogenlänge parametrisierte Kurve c(t) gilt c (t) = 1, also (mind. lokal) existiert eine Funktion θ mit ( ) c cos(θ(t)) (t) =. sin(θ(t)) Die Ableitung von c (t) ist dann gegeben durch c (t) = ( ) ( ) cos(θ(t)) = θ sin(θ(t)) (t) = θ (t)ν(t). sin(θ(t)) cos(θ(t)) Also ist θ (t) = κ(t) =Krümmung von c im Punkt t.

13 Beweis von Satz 4 (zuerst nur Existenz; Eindeutigkeit später) Satz 4. Es sei κ C 0 ([a,b],r) und p R 2, v R 2 mit v = 1. Dann gibt es eine nach Bogenlänge parametrisierte ebene Kurve c C 2 ([a,b],r 2 ) mit Krümmung κ und Anfangswerten c(a) = p, c (a) = v. Diese Kurve ist eindeutig bestimmt. Wir betrachten die Gleichung θ = κ aus der letzten Folie und merken, dass sie eine (bis auf Wahl der Konstante θ a ) eindeutige Lösung besitzt: θ(s) := θ a + s a κ(σ)dσ. Als θ a wählen wir die Zahl (Winkel) sodass v = ( ) ( ) v 1 v 2 = cos(θa) sin(θ a). Wenn κ C 0 ([a,b];r), ist θ C 1 ([a,b];r). Wir betrachten dann die C 2 glatte Kurve t c(t) = p + a ( ) cos(θ(s)) ds = sin(θ(s)) t p 1 + cos(θ(s))ds a t p 2 + sin(θ(s))ds a. ( ) Wir behaupten, dass die Kurve c(t) allen Anforderungen entspricht:

14 Die Kurve ( ) ist wie wir uns wünschen Satz 4. Es sei κ C 0 ([a,b];r) und p R 2, v R 2 mit v = 1. Dann gibt es eine nach Bogenlänge parametrisierte ebene Kurve c C 2 ([a,b],r 2 ) mit Krümmung κ und Anfangswerten c(a) = p, c (a) = v. a c(a) = p 1 + cos(θ(s))ds a a = p wie erwünscht p 2 + sin(θ(s))ds c (t) = a ( t ) p 1 + cos(θ(s))ds ( a t ) = p 2 + sin(θ(s))ds a ( ) cos(θ(t)) sin(θ(t)) Wir sehen, dass c (t) = 1, also die Kurve nach Bogenlänge parametrisiert ist, und dass c (a) = ( ) cos(θ a) sin(θ a) = v. Die Normale ν(t) der Kurve ist dann Jc (t) = ( ) sin(θ(t)) cos(θ(t)). Der Krümmungsvektor lautet c (t) = ( cos(θ(t)) ) sin(θ(t)) = θ ) (t) ( sin(θ(t)) cos(θ(t)) = θ (t) ν(t). Da nach Konstruktion θ(s) := θ a + s a κ(σ)dσ θ = κ, ist die Krümmung der Kurve die (in der Konstruktion verwendete) Funktion κ. Somit ist die Existenz bewiesen; die Eindeutigkeit werden wir in Kürze zeigen, gleichzeitig für Dimension 2 und 3.

15 Existenz der globalen Winkelfunktion Korollar 2. Für jede( Kurve c ) C 2 ([a,b];r 2 ) existiert θ C 1 ([a,b];r) 1 cos(θ(t)) sodass c (t) c (t) =. Ferner gilt: die Funktion θ ist sin(θ(t)) eindeutig bestimmt bis auf Addition von Vielfachen von 2π. Beweis (falls Satz 4 gilt). Für die nach Bogenlänge parameterisierte Kurve c(t) haben wir die Existenz im Beweis von Satz 4 bekommen. Es ist: θ(t) := θ a + t a κ(σ)dσ, wobei θ a so gewählt wird, dass gilt: c (a) = ( cos(θ a) sin(θ a) ) (dieses θa ist eindeutig bis zum Addition von n 2π). Da für eine orientatierungserhaltende Umparametrisierung φ(t) wie schon diskutiert c (t) = d dt c(φ(t)) = φ (t) c (φ(t)) ist, gilt 1 c (t) c 1 (t) = φ (t)c (φ(t)) φ (t)c 1 (φ(t)) = c (φ(t)) c (φ(t)). Wenn also φ eine Umparametrisierung nach der Bogenlänge ist (d.h. c (t) = 1), dann gibt es wie oben erklärt eine Funktion θ, sodass ( cos(θ(t)) sin(θ(t)) ) 1 c (t) c 1 (t) =. Da aber c (t) c 1 (t) = c (φ(t)) c (φ(t)) ist, gilt ( ) 1 cos(θ(t)) auch c (φ(t)) c (φ(t)) =. ( sin(θ(t)) ) 1 cos(θ(φ Also ist c (τ) c (τ) = 1 (τ))) sin(θ(φ 1 wie erwünscht. (τ)))

16 Eindeutigkeit der Winkelfunktion Korollar 2. Für jede Kurve c C 2 ([a,b];r 2 ) existiert θ C 1 ([a,b];r) sodass 1 c (t) c (t) = ( ) cos(θ(t)). sin(θ(t)) Ferner gilt: die Funktion θ ist eindeutig bestimmt bis auf Addition von Vielfachen von 2π. Angenommen, es gäbe 2 solche (stetige) ( Funktionen, ) ( θ(t) und ) α(t). 1 cos(θ(t)) cos(α(t)) Aus der Bedingung c (t) c (t) = = folgt, dass sin(θ(t)) sin(α(t)) für jedes t [a,b] gilt: θ(t) = α(t)+2πn(t), wobei n(t) für jedes t eine ganze Zahl ist. Dann ist die Funktion n(t) (1) Stetig, als Summe von stetigen Funktionen: n(t) = 1 2π (θ(t) α(t)). (2) Ganzzahlig (= nimmt nur die ganze Werte an). Daher ist sie eine Konstante nach dem Zwischenwertsatz (wenn sie z.b. die Werte n(t 1 ) = 1 und n(t 2 ) = 2 annimmt, existiert nach Zwischenwertsatz ein Punkt t im Intervall [t 1,t 2 ], sodass n(t) = 1/2, im Widerspruch zu (2)).

17 Ableitung der Krümmung als geometrische Größe Lemma 3. Sei c C 3 (I,R 2 ) eine reguläre Kurve. Dann ist die Funktion D(t) := κ (t) c (t). eine geometrische Größe bzgl. orientierungserhaltenden C 3 -Umparametrisierungen und bezüglich orientierungserhaltenden Isometrien. D.h., für c = F c φ gilt: D(φ(t)) = D(t), wo D = κ c. Beweis. Es ist sofort offensichtlich, dass für c = F c die gewünschte Gleichung D(φ(t)) = D(t) erfüllt ist. Also müssen wir nur zeigen, dass für eine C 3 -Umparametrisierung φ : Ĩ I und die Kurve c = c φ gilt: D(φ(t)) = D(t) Zunächst gilt c (t) = d dt c(φ(t)) = φ (t) c (φ(t)), woraus folgt: φ (t) = c (t) c (φ(t)). ( ) Wir berechnen nun direkt D(t) = κ (t) ( ) c (t) = d dt κ(φ(t)) c (t) = φ (t) κ (φ(t)) ( ) c (t) = κ (φ(t)) c (φ(t)) = D(φ(t)). Anmerkung: ( ) weil die Krümmung eine geometrische Größe ist.

18 Wie entscheidet man effektiv, ob zwei C 3 -glatte Kurven gleich sind? Es seien c : I R 2 und c : Ĩ R2 zwei C 3 -glatte, reguläre Kurven. Allg. Frage. Wie kann man effektiv (und ohne Umparametrisieren nach der Bogenlänge) entscheiden, ob es eine orientierungserhaltende Umparametrisierung φ und eine orientierungserhaltende Bewegung F von R 2 gibt, sodass c = F c φ? Algorithmus. Man berechne die Krümmung, z.b. mit Hilfe der Formel aus Satz 2: κ(t) = 1 c (t) Jc,c. 3 Man berechne D(t) := κ (t) c (t). ) ist eine (vielleicht nur stetige) Kurve. Die Abbildung t ( κ(t) D(t) Offensichtlich. Wenn die Bahnen von Kurven t ( ) κ(t) D(t) und t ( κ(t) D(t)) nicht zusammenfallen, dann sind die Kurven nicht gleich. Ohne Beweis. Wenn D(t) 0 und die Bahnen von Kurven t ( ) κ(t) D(t) und t ( κ(t) D(t)) lokal zusammenfallen, dann sind die Kurven (lokal) gleich.

19 Anwendungsbeispiel: Sind die archimedische Spirale und die logarithmische Spirale (lokal) gleich? Archimedische ( Spirale: ) 1/10 t cos(t) c(t) = 1/10 t sin(t) Logarithmische ( Spirale: ) 1/5 exp(t/6) cos(t)+6 c(t) = 1/5 exp(t/6) sin(t) Für die beide Kurven berechnen wir κ(t), D(t) (mit ilfssoftware, z.b.mit Maple, Mathematica oder Matab geht das ganz schnell) und zeichnen die Bahnen er Kurven t ( ) κ(t) D(t). Wir sehen, dass die Kurven auch lokal) verschieden sind (s. Skizze).