Nun zeigen wir: wie kann man durch eine Liftung eine neue Unterlösung konstruieren.

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1 56 SS2016 Definition 6.17 (Unterlösung,Oberlösung). Ω R n seieingebietleinelliptischeroperator wie in Bedingung 6.1. Seien a i j, b i c stetig mit c 0 in Ω. Sei f stetig in Ω. Eine Funktion u C(Ω) heißt Unterlösung, bzw. Oberlösung, in Ω falls gilt: Für alle Kugel B Ω alle Lösung w von Lw = f in B gilt: v w auf B = v w in B, bzw. v w auf B = v w in B. Wir betonen, dass in der Definition nur die Stetigkeit von v verlangt wird. Für solche Unterlösung gilt auch das Maximumprinzip. Lemma 6.18 (Maximumprinzip). Sei Ω ein Gebiet in R n L einer Operator gegeben wie in Bedingung 6.1. Seien a ij, b i c C α -Funktionen in Ω für ein α (0,1), c 0 in Ω. Seien v,u C(Ω) f C α (Ω). Ist u eine Unterlösung in Ω v eine Unterlösung in Ω mit u v auf Ω, dann gilt u v in Ω. Beweis. Setze M = max Ω (u v) D := {x Ω u(x) v(x) = M} Ω. Wir brauchen nur den Fall M 0 zu untersuchen. Nach der Stetigkeit von u v ist D relativ abgeschlossen.wirwollennun zeigen,dassd offen ist.für jedes x 0 D nemhen wirr < dist(x 0, Ω). Seien ū, v C(b) C 2,α (B) die Lösungen von Lū = f, in B r (x 0 ) ū = u auf B r (x 0 ), L v = f, in B r (x 0 ) v = v auf B r (x 0 ). Die Existenz von ū v folgt aus Thereom Nach Definition 6.17 gilt Es folgt Aus Definition von ū v erhalten wir u ū, v v in B r (x 0 ). ū v u v in B r (x 0 ). L(ū v) = 0, in B r (x 0 ) ū v = u v auf B r (x 0 ). Da u v M auf B r (x 0 ), gilt naxh Maximumprinzip ū v M in B r (x 0 ). Insbesondere, gilt M (ū v)(x 0 ) (u v)(x 0 ) = M. Also (ū v)(x 0 ) = M ū v nimmt ihres Maximum in einem inneren Punkt x 0. Das starke Maximumprinzip impliziert ū v = 0 in B r (x 0 ). Also u v = M auf B r (x 0 ), zwar das gilt für alle r < dist(x 0, Ω). Es folgt, dass u v = M in B r (x 0 ) D offen ist. Also entweder D =, oder D = Ω. In anderen Worten, nimmt u v kein nichtnegatives Maximum in Ω, oder u v konstant in Ω ist. Bemerkung Der Beweis liefert auch das starke Maximumprinzip: Entweder u < v in Ω oder u v in Ω konstant ist. Nun zeigen wir: wie kann man durch eine Liftung eine neue Unterlösung konstruieren.

2 PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 57 Lemma 6.20 (Liftung). Sei Ω ein Gebiet in R n L einer Operator gegeben wie in Bedingung 6.1. Seien a ij, b i c C α -Funktionen in Ω für ein α (0,1), c 0 in Ω. Seien f C α (Ω), v C( Ω) eine Unterlösung in Ω B eine Kugel in Ω mit B Ω. Ist w C(B) definiert durch w = v in Ω\B Lw = f in B. Dann ist w auch eine Unterlösung in Ω v w in Ω. Die Funktion w heißt die Liftung von v bzgl. dem Operator L. Beweis. Theorem 6.15 impliziert die Existenz von w C(B) C 2,α (B). Nach Definition 6.17 gilt v w in B. Sei B eine bliebige Kugel in Ω betrachte h C(B ) C 2,α (B ) mit Lh = f in B w h auf B. Wir sollen w h in B zeigen. Wir zeigen dies in zwei disjunkten Teilmengen B \B B B. Da v w auf B, gilt v h B. Da v eine Unterlösung h eine Lösung auf B v h B, folgt v h in B. Es folgt: w = v h in B \B. Wir haben Lw = Lv in B B w h auf (B B). Das Maximumprinzip liefert w h in B B. Also w h in B w ist eine Unterlösung. Lemma Sei Ω ein Gebiet in R n L einer Operator gegeben wie in Bedingung 6.1. Seien a ij, b i c C α -Funktionen in Ω für ein α (0,1), c 0 in Ω. Seien f L (Ω) C α (Ω) ϕ C( Ω). Wir definieren u ϕ (x) := sup{v(x) v C(Ω) ist eine Unterlösung in Ω v ϕ auf Ω}. Dann gilt u C 2,α (Ω) Lu = f in Ω. Beweis. Wir setzen S = S ϕ = {v v C(Ω) ist eine Unterlösung in Ω v ϕ auf Ω}. u ϕ (x) = sup{v(x) v S ϕ }. Schritt 1. u ϕ ist wohl-definiert. OBdA nehmen wir an, dass Ω {0 < x 1 < d} für ein d > 0, setzen Definiere Wir behauten dass gelten F = sup Ω f, Φ = sup ϕ. Ω v ± = ±{Φ+(e γd e γx1 )F}. Lv + f, in B r (x 0 ) v + ϕ auf B r (x 0 ) Lv f, in B r (x 0 ) v ϕ auf B r (x 0 ) für hinreichend groß γ. Eine direkte Berechnung liefert Wir wählen γ hinreichend groß, so dass lv + = (a 11 γ 2 +b 1 γ)fe γx1 cv +. a 11 γ 2 +b 1 γ 1.

3 58 SS2016 Da e γx1 1, c 0 unf v + 0 in Ω, haben wir Lv + F f in Ω. Die Randbedingung v + ϕ ist offenbar. Analog gilt die Behauptung für v. Nach der Definition der S, gilt v S, d.h., S. Beim Maximumprinzip, Lemma 6.18, gilt Daher folgt, dass u ϕ wohldefiniert ist v v + in Ω, v S. u ϕ in Ω. Schritt 2. Sind v 1,v 2,v k in S ϕ, ist auch. (Übung) v = max{v 1,v 2,,v k } Schritt 3. Für alle B r (x 0 ) Ω, wir zeigen, dass u ϕ C 2,α (B r (x 0 )) Lu ϕ = f in B r (x 0 ). Zuerst, nach Definition von u ϕ, existiert eine Folge {v i } S mit lim v i(x 0 ) = u ϕ (x 0 ). i Wir betonen, dass die folge von x 0 abhängt. Wir können v i durch ṽ i S mit ṽ i v i ersetzen, denn gilt v i (x 0 ) ṽ i (x 0 ) u ϕ (x 0 ). Beim Ersetzen, wann nötig, v i durch max{v,v i } S, können wir annehmen, dass gilt v v i u ϕ in Ω. Für die feste Kugel B r (x 0 ) jede v i, sei w i die Liftung von v i in B r (x 0 ). Nach Lemma 6.20 gilt w i S mit v i w i in Ω. Daher gilt lim w i(x 0 ) = u ϕ (x 0 ), i v w i u ϕ (x 0 ). Insbesondere ist {w i } beschränkt erfüllt Lw i = f. Nach deim Kompaktheitsatz, Korollar 6.9,, existiert eine Teilefolge, wir bezeichnen sie dennoch mit {w i }, die gegen w in jeder kompakten Teilmenge von B r (x 0 ) konvergiert, wobei Lw = f in Ω gilt. Es ist leich zu nachprüfen, dass w u ϕ in B r (x 0 ), w(x 0 ) = u ϕ (x 0 ). Wirbehaupten, dassu ϕ = w in B r (x 0 ). Angenommen,dassy B r (x 0 ) mit w(y) < u ϕ (y). Nachdef Definition von u ϕ existiert V S mit w(y) < V(y) < u ϕ (y). Wir betrachten V i = max{w i,v} S wieobendieliftungw i vonv i inb r (x 0 ).WirerhaltendieGrenzwertW vonw i LW = f in B r (x 0 ). Es ist leicht to sehen, dass w(x 0 ) = W(x 0 ) = u ϕ (x 0 ), w(y) < V(y) W(y) u ϕ (y) w W in B r (x 0 ). Ein Widerspruch zum Maximumprinzip. Lemma Sei Ω ein Gebiet in R n L einer Operator gegeben wie in Bedingung 6.1. Seien a ij, b i c C α -Funktionen in Ω für ein α (0,1), c 0 in Ω. Seien f L (Ω) C α (Ω), ϕ C( Ω) u ϕ die in Lemma 6.21 definierte Funktion. Für einen Punkt x 0 Ω existiere w x0 C(Ω) C 2 (Ω) eine Barriere-Funktion, d.h., die erfüllt. Dann gilt Lw x0 1 in Ω, w x0 (x 0 ) = 0, w x0 (x) > 0, x Ω\{x 0 }, lim u ϕ (x) = ϕ(x 0 ). x x 0 Beweis. Der Beweis ist ähnlich wie den Beweis für Theorem (Übung.)

4 PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 59 Lemma 6.21, Lemma 6.22 Lemma 5.17 impliziert Theorem Sei Ω ein Gebiet in R n mit einer äußeren Kugelbedingung in jedem Randpunkt von Ω L einer Operator gegeben wie in Bedingung 6.1. Seien a ij, b i c beschränkte C α - Funktionen in Ω für ein α (0,1), c 0 in Ω. Dann für f L (Ω) C α (Ω) ϕ C( Ω) existiert eine (eindeutige) Lösung u C(Ω) C 2,α (Ω) von dem Dirichletproblem 6.4. Innere Regulärität. u = ϕ, auf Ω. Lemma Sei Ω ein Gebiet in R n L einer Operator gegeben wie in Bedingung 6.1. Seien a ij, b i c C α -Funktionen in Ω mit beschränkter C α -Norm. Sei u C 2 (Ω) eine Lösung Lu = f in Ω. Ist f C α (Ω), so gilt u C 2,α (Ω). Weiter, für alle Ω Ω gilt u C 2,α (Ω ) C{ u L (Ω)+ f C α (Ω)}, wobei C > 0 nur von n,α, λ,λ, die C α -Normen von a ij,b i c, Ω dist(ω, Ω) abhängig ist. Beweis. Für jede Kugel B Ω zeigen wir u C 2,α (B). Betrachte das Dirichletrandproblem L 0 v = ( i,j a ij ij v + i b iv i ) = f +cu in Ω, v = u, auf Ω. Nach der Voraussetzung u C 2 (B), gilt f+cu C α (B). Nach Theorem 6.15 existiert eine Lösung v C(B) C 2,α (B). Beim der Eindeutigkeit gilt u = v in B, als u C 2,α (B). Die Abschätzung folgt aus Theorem 6.8. Definition 6.25 (Differenzquotient). Seien Ω R n u : Ω R. Für den Einheitsvektor e l längs die x l -Richtung definieren wir den Diffenzquotient von u in der Richtung e l durch für alle h < dist(x, Ω). h j u(x) = 1 h( u(x+hel ) u) ), Lemma Es seien k eine positive Ganzzahl, u stetige Funktion in Ω Ω Ω. (1) Falls u C k,α (Ω), dann h l u Ck 1,α (Ω ) h l u C k 1,α (Ω ) C u C k,α (Ω) für alle h < dist(ω, Ω), wobei C > 0 nur von n,k α abhängig ist. (2) Es gelte h l u Ck 1,α (Ω ) mit h l u C k 1,α (Ω ) M für alle h < dist(ω, Ω) l = 1,2,n. Dann u C k,α (Ω ) mit u C k,α (Ω ) CM, wobei C > 0 nur von n,k α abhängig ist. Theorem Sei Ω ein Gebiet in R n L einer Operator gegeben wie in Bedingung 6.1. Seien a ij, b i c C k,α -Funktionen in Ω mit beschränkter C α -Normen, für ein k Z (k 0) α (0,1). Sei u C 2 (Ω) eine Lösung Lu = f in Ω. Ist f C k,α (Ω), so gilt u C k+2,α (Ω). Weiter, für alle Ω Ω gilt u C k+2,α (Ω ) C{ u L (Ω)+ f Cα (Ω)}, wobei C > 0 nur von n,k,α, λ,λ, die C α -Normen von a ij,b i c, Ω dist(ω, Ω) abhängig ist. Falls a ij,b i, c f glatt sind, ist u auch glatt.

5 60 SS2016 Beweis. k = 0. Es folgt aus dem obigen Satz. Wir betrachten k = 1. Wir nehmen bliebige Ω 0 Ω 1 Ω e l (l = 1,,n) betrachten das Quotient von der Gleichung Lu = f L( h l u) = { i,j a ij ij h l u+ i b i i h l u+c h l u} = F l in Ω, für h < dist(ω 0, Ω 1 ), wobei F l := i,j h l a ij ij ū+ i h l b i i ū+ k l cū, mit ū(x) = u(x+he l ). (Da gilt h l (f g)(x) = f(x) h l g(x)+ h l f(x)ḡ(x) mit ḡ(x) = g(x+he l). Übung) Nach Lemma 6.26 (1) rehalten wir F Cα (Ω 0) C{ f C 1,α (Ω 1) +Λ 1 u C 2,α (Ω 1)}, wobei Für jede Ω Ω 0 gilt nach Thereom 6.8 Λ 1 = a ij C 1,α (Ω 1) + b i C 1,α (Ω 1) + c C 1,α (Ω 1). h l u C 2,α (Ω ) C{ f C 1,α (Ω 1) +Λ 1 u C 2,α (Ω 1)}, für jede h < dist(ω 0, Ω 1 ). Nach Lemma 6.26 (2) haben wir u C 3,α (Ω ). Da Ω bliebig ist, gilt u C 3,α (Ω). Für allgemeinene k benutzt man die Induktion. Angenommen, sind die Koeffizienten von L f in C k,α (Ω) u C k+1,α (Ω), nach der Induktionsannahme. Wir sollen u C k+2,α (Ω) zeigen. Nehme ein Multiindex γ Z n + mit γ = k 1. Wir verwenden γ auf der Gleichung Lu = f erhalten L( γ u) = f γ, wobei f γ = γ f+(lot). Hierbei ist (lot) eine Summe der Terme, die eine Produkte der Ableitungen von der Koeffizienten von Ordnung k 1 der Ableitungen von u von Ordnung k. Daher gilt f γ C 1,α (Ω). Wie wir gerade für k = 1 bewiesen haben, erhalten wir γ u C 3,α (Ω), bzw., u C k+2,α (Ω). Die Aussage für u C (Ω) folgt auch Globale Schauder-Theorie. Zuerst zeigen wir die Schauder-Abschäztung für dem Rand. Seien B + R = {x B R x n > 0} die halbe Kugel Σ R = B R {x n = 0} eine Teile von dem Rand der halben Kugel B + R. Seien k 0 eine Ganzzahl α (0,1). Wir definieren k u = R i i u C k,α (B + R ΣR) L (B + R ΣR) +Rk+α [ k u] C α (B + ΣR). R i=0 Theorem Seien Ω = B + R L wie in Bedingung 6.1. Seien a ij,b i c C α -Funktionen in B + R Σ R für ein α (0,1) mit a ij +R b C α (B i + R ΣR) C α (B + R ΣR) +R2 c Λ, C α (B + R ΣR) für eine Konstante Λ. Ist u L (B + R ) C2,α (B + R Σ R) eine Lösung von mit f C α (B + R ΣR) <. Dann gilt wobei C nur von n,α,λ Λ abhängig ist. Lu = f in B + R, u = 0, auf Σ R, u C 2,α (B + R/2 Σ R/2) { u L (B + R ) +R2 f C α (B + R ΣR) }, Beweis. Der Beweis läuft wie den Beweis für Thereom 6.7. Lemma 6.3, Lemma 6.4, Lemma6.6 Theorem 6.7 gelten, wenn wir ersetzen B R durch B(x 0 ) {x n = 0} für x 0 {x n 0}.

6 PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 61 Theorem Seien Ω beschränkt mit eine C 2,α Randteile Σ Ω L wie in Bedingung 6.1. Seien a ij,b i c C α -Funktionen in Ω Σ für ein α (0,1) mit a ij C α (Ω Σ) + b i C α (Ω Σ) + c C α (Ω Σ) Λ, für eine Konstante Λ. Ist u L (Ω) C 2,α (Ω Σ) eine Lösung von u = ϕ, auf Σ, mit f C α (Ω Σ) < ϕ C 2,α (Ω Σ) <. Dann gilt für Ω Ω mit dist(ω, Ω\Σ) > 0 u C 2,α (Ω ) { u L (Ω) + f C α (Ω Σ) + ϕ C 2,α (Ω Σ)}, ]wobei C nur von n,α,λ, Λ, Ω dist(ω, Ω\Σ) abhängig ist. Beweis. Für ein festes x 0 Σ finden wir eine C 2,α -Abbildung T derart, so dass T((Σ B r (x 0 )) in {x n = 0} enthielt. Dann verwenden wir Theorem Als Folgerung erhalten wir Theorem 6.30 (Gloable Schauder-Abschätzung). Seien Ω beschränkt mit einem C 2,α Rand L wie in Bedingung 6.1. Seien a ij,b i c C α -Funktionen in Ω für ein α (0,1) mit a ij Cα (Ω) + b i Cα (Ω) + c C α (Ω) Λ, für eine Konstante Λ. Ist u C 2,α (Ω) eine Lösung von mit f C α (Ω) < ϕ C 2,α (Ω) <. Dann gilt wobei C nur von n,α,λ, Λ Ω abhängig ist C 2,α -Randwertproblem. u = ϕ, auf Ω, u C 2,α (Ω) { u L (Ω) + f C α (Ω) + ϕ C 2,α (Ω)}, Lemma Seien Ω beschränkt mit einem C 2,α Rand L wie in Bedingung 6.1. Seien a ij,b i c C α -Funktionen in Ω für ein α (0,1) mit c 0 in Ω. Falls das Dirichletrandwertproblem u = f in Ω, u = ϕ, auf Ω, für alle f C α (Ω) ϕ C 2,α (Ω) eine C 2,α (Ω)-Lösung u C 2,α (Ω) besitzt, dann besitzt das Dirichletrandwertproblem u = ϕ, auf Ω, auch eine C 2,α (Ω)-Lösung. Beweis. Der Beweis basiert auf der Kontinuitätsmethode, s. Theorem 6.13 Theorem OBdA können wir annemhen, dass ϕ = 0. Ansonst betrachten wir Lv = f +Lϕ in Ω, v = 0 auf Ω. Wir betrachten die Familie der Gleichungen mit den Operatoren L t : X Y wobei Die Bedingung L t u = f, L t := tlu+(1 t) u, X = {u C 2,α (Ω) u = 0 auf Ω}, Y = C α (Ω). u X C L t u Y

7 62 SS2016 folgt aus Theorem 6.30 mit Lemma 5.19 für Ω. Nach Theorem 6.13 gilt die Aussage. Weil wir Lemma 5.19 nur für Ω = B gezeigt haben, erhalten wir Lemma 6.31 nur für Ω = B. Dies ist genug für den Folgenden Anwendungen. Korollar Sei Ω = B eine Kugel in R n L wie in Bedingung 6.1. Seien a ij,b i c C α -Funktionen in B für ein α (0,1) mit c 0 in B. Dann für alle f C α (B) ϕ C 2,α (B) existiert eine C 2,α (B)-Lösung u vom Dirichletrandwertproblem Lu = f in B, u = ϕ, auf B. Beweis. Die Lösbarkeit vom Dirichletrandwertproblem für die Poissongleichung u = f haben wir schon in Theorem 4.20 bewiesen. Das Korollar gilt auch für eine Randteile. Korollar Seien Ω = B eine Kugel in R n, Σ B eine C 2,α Randteile L wie in Bedingung 6.1. Seien a ij,b i c C α -Funktionen in B für ein α (0,1) mit c 0 in B. Dann für alle f C α (B) ϕ C( B) C 2,α (B Σ) existiert eine C( B) C 2,α (B Σ)-Lösung u vom Dirichletrandwertproblem Lu = f in B, u = ϕ, auf B. Nun können wir die Existenz einer C 2,α (Ω) für allen C 2,α -Gebiete zeigen. Theorem Sei Ω beschränkt C 2,α L wie in Bedingung 6.1. Seien a ij,b i c C α - Funktionen in Ω für ein α (0,1) mit c 0 in Ω. Dann für alle f C α (Ω) ϕ C 2,α (Ω) existiert eine C 2,α (Ω)-Lösung u vom Dirichletrandwertproblem u = ϕ, auf Ω. Beweis. Nach Theorem 6.23 existiert eine Lösung u C(Ω) C 2,α (Ω). Was sollen wir noch zeigen ist u C 2,α (Ω).