Die Perronsche Methode

Transkript

1 Emilia Finsterwald und Peter Schrank

2 Gliederung 1 Oskar Perron

3 Oskar Perron ( ) b7.mai 1880 in Frankenthal - d22.feb in München

4 Lösung eines speziellen s Im Fall von... u = 0 u = g x Ω x Ω wobei Ω ein beschränktes Gebiet des R n und g C( Ω) ( u = n i=1 2 u ) xi 2

5 Harmonische Funktionen Subharmonische Fkt. u 0 Superharmonische Fkt. u 0 Harmonische Fkt. u = 0 für x Ω Abbildung : x 2 y 2 Sattelfunktion

6 Harmonische Funktionen Abbildung : Harmonische Funktion auf einem Kreisring

7 Harmonische Liftung Sei u C(Ω) und B = B r (x 0 ) eine offene Kugel, deren Abschluss in Ω liegt. Die harmonische Liftung von u ist die durch die Formel u B (x) = u(x) r 2 x x 0 2 nω nr B definierte Funktion u B C(Ω). u(y) x y n dy x B x Ω\B

8 Maximumsprinzip und Harnackscher Konvergenzsatz Im Innern eines zusammenhängenden Definitionsgebietes U nimmt eine harmonische Funktion ihr Maximum und ihr Minimum nie an, außer wenn sie konstant ist. (starkes Maximumsprinzip) Es seien u k, k = 1, 2,... in einem Gebiet W R n stetige Funktionen mit den folgenden Eigenschaften: 1. u k ist harmonisch in W für k = 1, 2,...; 2. u k u k+1 für k = 1, 2,...; 3. u k (x) ist nach oben beschränkt für jedes x W. Dann konvergiert (u k ) k=1,2,...; punktweise gegen eine in W harmonische Funktion u und die Konvergenz ist gleichmäßig in jeder abgeschlossenen Kugel B r (x 0 ) W.

9 zur Perronschen Methode Wir benötigen... (i)u C(Ω) ist subharmonisch u u B offenen Kugeln B mit B Ω (ii)seien u C(Ω) subharmonisch Fkt., B offen mit B Ω u B subharmonisch

10 zu (i) u subharmonisch u u B u(x) u(x) r 2 x x 0 2 nω nr B u(y) dy x B (b) x y n x Ω\B

11 u u B u subharmonisch B = B r (x 0 ) also gilt für x = x 0 in (b) u(x 0 ) r nω n B r (x o) u(y) x 0 y n dy = 1 nω n r n 1 u(y)dy = u r (x 0 ) B r (x 0 )

12 u subharmonisch u u B w := u(x) r 2 x x 0 2 nω n r B u(y) x y n dy Maximumsprinzip w 0 auf B u u B

13 zu (ii) u subharmonisch u B subharmonisch Wir zeigen: x Ω gilt: u B (x ) (u B ) ρ (x ) für hinreichend kleine ρ

14 Die Perron-Klasse P g = {u C(Ω) : u subharmonisch in Ω; u(x) g(x) x Ω} Definiere eine Funktion u g : Ω R sup u(x) = u g (x) mit u P g

15 Vorgehensweise Wir zeigen: - u g ist harmonisch in Ω - u g C(Ω) und u g (x) = g(x) x Ω (Teil II) Existenz einer Lösung

16 Beweis: Die Funktion u g : Ω R ist harmonisch in Ω Schritt I Aus der Def. von u g (x 0 ) folgt eine maximierende Folge {u k (x 0 )} mit: u k P g für k = 1, 2,...; u k (x 0 ) u k+1 (x 0 ) für k = 1, 2,...; lim k u k (x 0 ) = u g (x 0 )... Schritt II Betrachte: v k (x) = max {u 1 (x),...u k (x)} mit v k C(Ω) v k liegt in P g, denn v k ist subharmonisch in Ω mit v k g auf Ω v k v k+1 für k = 1, 2,...; lim k v k (x 0 ) = u g (x 0 ), denn v k (x 0 ) = u k (x 0 )...

17 Beweis: Die Funktion u g : Ω R ist harmonisch in Ω Schritt III Es sei w k C(Ω) die harmonische Liftung (v k ) B w k ist harmonisch in B w k w k+1 denn v k v k+1 w k (x 0 ) u g (x 0 ) denn w k liegt in P g : sie ist subharmonisch in Ω und erfüllt w k = v k g auf Ω

18 Beweis: Die Funktion u g : Ω R ist harmonisch in Ω Schritt IV Folgerung aus dem 2. Harnackschen Konvergenzsatz lim k w k (x) := w(x) für x B ist harmonisch Schritt V Wir wissen: w k (x) u g (x) für x B w(x) u g (x) und damit ist w(x) = u g (x) u g ist harmonisch in B. dieses Argument gilt für jede Kugel B Ω u ist in ganz Ω harmonisch

19 Barrierenfunktion und regulärer Randpunkt - Definitionen Def.: Eine Funktion w C(Ω) heisst Barrierenfunktion im Punkt x 0 Ω, falls sie folgende Eigenschaften besitzt: 1. w ist im Mittelwertsinne superharmonisch in Ω - x Ω : w(x) 1 B r B r (x) w(y)dy - w 0 2. w(x 0 ) = 0 3. w(x) > 0 für x Ω\{x 0 } Def.: Ein Punkt x 0 Ω heisst regulärer Randpunkt, falls es eine Barrierenfunktion im Punkt x 0 gibt.

20 Satz: Es sei x 0 Ω ein regulärer Randpunkt. Dann gilt: für y Ω ist lim y x0 u g (y) = g(x 0 )

21 Beweis: Schritt I Vorraussetzung: Barrierenfkt. w in x 0 und Randfunktion g auf Ω - da g in x 0 stetig, existiert δ > 0, so dass x Ω. x x 0 < δ g(x) g(x 0 ) < ɛ 2 - da w positiv und stetig auf Ω\{x 0 }, existiert m > 0, so dass x Ω, x x 0 δ w(x) m - Es sei M = sup x Ω g(x) und K = 2M m, so dass x Ω, x x 0 δ Kw(x) 2M

22 Beweis:

23 Beweis: Schritt II Definiere Hilfsfunktion f 1 C(Ω) f 1 (x) = g(x 0 ) ɛ 2 Kw(x) - f 1 (x) ist subharmonisch in Ω - f 1 (x) g(x) für alle x Ω, so dass f 1 P g ist.

24 Beweis: Schritt III Folgerung aus den Eigenschaften von f 1 - da w stetig im Punkt x 0, existiert ein > 0, so dass x Ω, x x 0 < w(x) w(x 0 ) = w(x) < ɛ 2K (Beachte: Kw(x) < ɛ 2 ) - somit gilt x Ω u g (x) f 1 (x) g(x 0 ) ɛ, nach Definition von f 1 (x)

25 Beweis: Schritt IV Definiere Hilsfunktion f 2 C(Ω) f 2 (x) = v(x) ( g(x 0 ) + ɛ 2 + Kw(x)), v P g - f 2 (x) ist subharmonisch in Ω und nichtpositiv auf Ω (Beachte: v(x) g(x) < g(x 0 ) + ɛ 2 ) - nach dem Maximumsprinzip ist f 2 also nichtpositiv auf Ω

26 Beweis: Schritt V Folgerung aus den Eigenschaften von f 2 nach Def. ist u g (x) = sup v(x) und für x Ω mit x x 0 < gilt: u g (x) g(x 0 ) + ɛ 2 + Kw(x) u g (x) g(x 0 ) + ɛ

27 Beweis: Folgerung für x Ω, x x 0 < gilt: u g (x) g(x 0 ) ɛ und u g (x) g(x 0 ) + ɛ u g (x) g(x 0 ) < ɛ

28 Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!