Die Perronsche Methode

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1 Die Perronsche Methode Stephanie Seger LMU München Hüttenseminar Stephanie Seger Die Perronsche Methode 1/13

2 Lösung eines speziellen Randwertproblems Existenz von Lösungen des klassischen Randwertproblems in beliebig beschränkten Gebieten u = 0 u = 0 x Ω x Ω wobei g C( Ω) und Ω ein beschränktes Gebiet des und R n u = 2 u x 2 i Stephanie Seger Die Perronsche Methode 2/13

3 Wichtige Anwendungsinformation: Existenzproblem im Inneren und Existenzproblem am Rand werden getrennt betrachtet!!!! Vorwissen : Lösung des Problems in Bällen: Sei g C 0 (B)!h C 2 (B) C 0 (B) so dass h = 0 in B und h = g auf B Starkes Maximumsprinzip: x B : h(x) = max h(y) = max y B h ist konstant Starkes Maximumsprinzip für subharmonsiche Funktionen: Sei x 0 Ω mit u(x 0 ) = sup Ω u(x) u ist konstant y Ω : u(y) max Ω u(y), wenn u C(Ω) Stephanie Seger Die Perronsche Methode 3/13

4 Sub - und Superharmonischen Funktionen Subharmonische Funktionen im C 0 (Ω) : B Ω und h : u h auf B u h in B Superharmonische Funktionen im C 0 (Ω) : B Ω und h : u h auf B u h in B Subharmonische Lösung : - u 0 Superharmonische Lösung: - u 0 Harmonische Lösung: - u = 0 Stephanie Seger Die Perronsche Methode 4/13

5 Harmonische Liftung Sei u subharmonsich in Ω und B ein oener Ball mit Abschluss in Ω { ũ(x) x B Harmonische Liftung von u in B: U(x) = u(x) x Ω B mit U(x) C(Ω) Denition von ũ(x) = r 2 x x 0 2 nω nr B u(y) x y n dy Stephanie Seger Die Perronsche Methode 5/13

6 Beweis Harmonische Liftung ist subharmonisch in Ω und u Uin B : (i) u subharmonisch u U in Ω { ũ(x) x B u(x) U(x) = u(x) x Ω B (ii) u subharmonisch U ist subharmonisch B Ω: Sei h harmonische Funktion in B U h auf B Da u(x) U(x) u h in B U h in B B U h in B B U h in B U subharmonisch in Ω Stephanie Seger Die Perronsche Methode 6/13

7 Die Perronsche Methode u ϕ (x) = sup v(x) mit v S ϕ Perron-Klasse: S ϕ = {v v 0; v ϕ x Ω} zu zeigen: (1) u ϕ ist harmonisch in Ω (2) ϕ C(Ω) und u ϕ = ϕ x Ω Stephanie Seger Die Perronsche Methode 7/13

8 Beweis: Die Funktion uϕ : Ω R ist harmonisch in Ω (i) u ϕ ist wohl deniert: v min Ω ϕ ist subharmonisch S ϕ ist nicht leer (ii) Es gibt x Ω eine Folge {v n } S ϕ mit lim v n (y) = u ϕ (y) - Ersetze v n := max{v 1, v 2,..., v n, inf Ω ϕ} {v n } ist monoton steigend begrenzt von unten - Harmonische { Liftung von v n in B R (y): ṽ n (x) harmonisch in B R (y) V n (x) = v n (x) x Ω B R (y) V n (x) ist monoton steigend mit: lim n V n (y) = u(y) mit V n S ϕ Stephanie Seger Die Perronsche Methode 8/13

9 (iii) Kompaktheitstheorem: Jede beschränkte Folge von harmonischen Funktionen auf Ω enthält eine Teilfolge, die gleichmäÿig gegen eine harmonische Funktion auf einem kompakten Teilgebiet von Ω konvergiert. {V n } enthält eine Teilfolge {V nk }, die in B ρ (x) mit ρ < R gegen eine harmonische Funktion v in B konvergiert (iv) zeige: v = u ϕ in B ρ : - da u ϕ ist Supremum : v u ϕ x B - Sei x B ρ mit u ϕ (x ) > v(x ) u S ϕ subharmonisch mit u(x ) > u(x ) > v(x ) - Setze w k = max{v nk, u} Harmonische Liftung von W k : Teilfolge von {w k } konvergiert gegen harmonische Funktion w inb ρ mit v w u v(y) = w(y) = u (y) v w in B ρ Widerspruch zu u Stephanie Seger Die Perronsche Methode 9/13

10 Beweis:ϕ C( Ω) und uϕ = ϕ x Ω Randeigenschaft der Lösung u ϕ muss Grenzwerteigenschaft erfüllen : Für x Ω ist lim x x0 u(x) = ϕ(x 0 ) mit x 0 Ω ein regulärer Randpunkt Denition: Barrierefunktion und regulärer Randpunkt 1. Eine Funktion w C( Ω) heiÿt Barrierefunktion in einem Punkt x 0 Ω, wenn gilt: (a) w ist superharmonisch in Ω ( w 0) (b) w(x 0 ) = 0 (c) w(x) > 0 in Ω\{x 0 } 2. Ein Punkt x 0 Ω heiÿt regulärer Randpunkt, falls es eine Barrierefunktion im Punkt x 0 gibt. Stephanie Seger Die Perronsche Methode 10/13

11 Vorraussetzungen für den Beweis: ϕ ist stetig in x 0 : ε > 0 : δ > 0 mit x Ω : x x 0 < δ ϕ(x) ϕ(x 0 ) < ε 2 w ist positiv und stetig auf Ω \{x 0 }: m > 0 mit x Ω: x x 0 δ w(x) m Sei M = sup x Ω ϕ(x) und k = 2M m : mit x Ω: x x 0 δ k w(x) 2M Deniere Hilfsfunktionen: v := ϕ(x 0 ) ε 2 kw(x) - Subharmonische Funktion in Ω - v ϕ(x) x Ω v S ϕ v := ϕ(x 0 ) + ε 2 + kw(x) - Superharmonische Funktion in Ω - v ϕ(x) x Ω Stephanie Seger Die Perronsche Methode 11/13

12 Es gilt ϕ(x 0 ) ε 2 kw(x) u(x) ϕ(x 0) + ε + kw(x) in Ω 2 u(x) ϕ(x 0 ) ε 2 + kw(x) Da w(x) 0 wenn x x 0 u (x) ϕ(x 0 ) wenn x x 0 Stephanie Seger Die Perronsche Methode 12/13

13 Danke für eure Aufmerksamkeit!!! Stephanie Seger Die Perronsche Methode 13/13