Kurzskript: Sobolev Räume

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1 Michael Růžička Kurzskript: Sobolev Räume

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3 1.1 Sobolev Räume Sei ein Gebiet und 1 p. Dann definieren wir die Lebesgueräume 1 L p () := {f M() f < }, wobei f p die übliche Norm ist und M() der Raum der lebesgue-messbaren Funktionen ist. Der Raum der lokalintegrierbaren Funktionen ist definiert durch L 1 loc := {f M() f L 1 (K), K }. (1.1) 1.2 Definition. Sei f L 1 loc (). Die Funktionen gi L 1 loc (), i = 1,..., n heißen schwache partielle Ableitungen in Richtung x i von f, falls für alle ϕ C () gilt: i ϕ dx = g i ϕ dx. (1.3) Die schwache Ableitung ist eindeutig. Wir bezeichnen die schwache Ableitung durch und den schwachen Gradienten durch i f = f x i := g i (1.4) f := ( 1 f,..., n f) Es handelt sich hierbei um einen Spezialfall der distributionellen Ableitung. 1.5 Definition. Sei 1 p. Die Funktion f : R gehört zum Sobolevraum W 1,p () genau dann, wenn f L p () und die schwachen Ableitungen i f, i = 1,..., n auch zum Raum L p () gehören. Als Norm auf W 1,p definieren wir u 1,p := ( u p p + n i u p p ) 1 p u 1, := ess sup x ( u + u ), 1 p <, (1.6) oder n u 1,p = u p + i u p. (1.7) 1 Man beachte, dass die Lebesgueräume eigentlich aus Klassen von Funktionen bzgl. der Äquivalenzrelation fast überall gleich bestehen. Wir werden aber nicht zwischen einer Funktion und ihrer Äquivalenzklasse unterscheiden.

4 2 (1.6) und (1.7) sind äquivalente Normen. Für p = 2 definieren wir ein Skalarprodukt auf W 1,2 (): (f, g) W 1,2 := (f, g) L 2 + n ( i f, i g) L 2 (1.8) Die durch dieses Skalarprodukt induzierte Norm ist gerade die Norm in (1.6). Beispiele: (i) Die Funktion f(x) = x ist für = R im Nullpunkt nicht differenzierbar. Allerdings gilt R x ϕ dx = xϕ dx + = xϕ + = R sgn(x)ϕ(x) dx, xϕ dx ϕ dx + xϕ ϕ dx d.h. f = sgn im schwachen Sinne. (ii) Betrachte u(x) = x β, β > auf = B 1 (), x. Als punktweise Ableitungen erhält man für x und somit Also folgt mit der Zwiebelformel i u = β x β 1 x i x, u(x) = β x β 1. 1 u p dx = ω n β p r n 1 r ( β 1)p dr = c(p, n)r n (β+1)p <, falls β < n p p. Als schwache Ableitung erhält man u i ϕ dx = i uϕ dx + uϕν i ds. \B ε() \B ε() B ε() Für das Randintegral ergibt sich

5 B ε() uϕν i ds ϕ B ε() 1.1 Sobolev Räume 3 ε β ds = cε β ε n 1 (ε ), falls β < n 1, aber dies ist schon erfüllt für β < n p p. Der Satz von Lebesgue über dominierte Konvergenz liefert für ε u i ϕ dx = i uϕ dx, d.h. die punktweisen Ableitungen sind schwache Ableitungen und es gilt u W 1,p (B 1 ()) β < n p. p (iii) Betrachte f(x) = sgn(x). Punktweise ist für x (sgn(x)) =. Die schwache Ableitung existiert nicht im Sinne von Definition 1.2. Im distributionellen Sinne ist f = 2δ, wobei δ das Dirac-Maß bezeichnet: sgn(x)ϕ (x) dx = 2ϕ(). R 1.9 Satz. Der Sobolevraum W 1,p (), versehen mit der Norm (1.6), ist ein Banachraum. Er ist reflexiv, wenn 1 < p < und separabel, falls 1 p <. Beweis. (1) Banachraum: Sei (f n ) eine Cauchyfolge in W 1,p (). Dann sind (f n ) und ( f n ) jeweils Cauchyfolgen in L p (). Da L p () vollständig ist, konvergiert (f n ) gegen eine Funktion f in L p () und i f n g i in L p (). Wir müssen zeigen, dass i f = g i ist. Für alle ϕ C () gilt: f i ϕ f n i ϕ = i f n ϕ g i ϕ. Also ist g i = i f, d.h. f W 1,p () und somit f n f in W 1,p ().

6 4 (2) reflexiv: L p () ist reflexiv, also auch (L p ()) n+1. Definiere T : W 1,p () (L p ()) n+1 : f (f, 1 f,..., n f). (1.1) Dann ist T eine Isometrie bezüglich der Norm (1.6), d.h. T (W 1,p ()) ist abgeschlossen in (L p ()) n+1. Aus FA I folgt dann, dass T (W 1,p ()) reflexiv ist und da T eine Isometrie ist, folgt weiter dass W 1,p () reflexiv ist. (3) separabel: Da L p () separabel ist, ist auch (L p ()) n+1 separabel. T (W 1,p ()) (L p ()) n+1 ist ein abgeschlossener Unterraum, also ist nach FA I dann auch T (W 1,p ()) separabel. Da T eine Isometrie ist haben wir gezeigt, dass W 1,p () separabel ist. Dichtheit glatter Funktionen Wir wollen zeigen, dass glatte Funktionen dicht in W 1,p () sind. Für ε definieren wir den Glättungsoperator u ε (x) := (ω ε u)(x) = ω ε (x y)u(y) dy (1.11) mit ω ε (x) = 1 ε n ω( x ε ), ω C ( ), supp(ω) B 1 (), Dann gilt (Ana III) und u ε C ( ). u ε u in L p () ωdx = 1, ω Lemma. Sei ein Gebiet und G. Für u W 1,p (), 1 p <, und alle < ε < dist(, G) gilt u ε W 1,p (G) C ( ). Ferner gilt: u ε u in W 1,p (G) für ε. Beweis. Aus Ana III wissen wir, dass u ε u in L p (). Es gilt i u ε (x) = i x ω ε (x y)u(y) dy = = y i ω ε(x y)u(y) dy ω ε (x y) i u(y) dy = (ω ε i u)(x) = ( i u) ε (x).

7 Da i u L p () ist, folgt auch ( i u) ε = i u ε L p (G) und 1.1 Sobolev Räume 5 i u ε i u in L p (G) Satz. Sei ein beschränktes Gebiet und sei u W 1,p (), 1 p <. Dann gibt es eine Folge (u n ) W 1,p () C () mit u n u in W 1,p (). Beweis. Sei U j := { x dist(, x) < 1 } j und V j := U j+3 \ U j+1 mit V := U 3. Dann sind die V j offen und = V j. j= Wir benutzen eine Zerlegung der Eins, d.h. β j = 1, β j 1 und β j C (V j ). j=1 Betrachte u j = uβ j. Es gilt u j W 1,p (), denn uβ j j ϕ dx = u i (β j ϕ) u( i β j )ϕ dx = i uβ j ϕ u i β j ϕ dx. Also ergibt sich i (uβ j ) = i uβ j + u i β j L p () und supp(uβ j ) V j. Sei δ >, wähle ε j > klein genug und definiere w j := ω ε (uβ j ). Dann ist w j uβ j 1,p 2 (j+1) δ und supp(w j ) V j+4 \ V j. Setze w := w j. j=

8 6 Für x sind nur endlich viele Summanden ungleich Null. Da w j C ( ) ist, ergibt sich w C (). Für Punkte x ist B R (x ) V j für unendlich viele j N. Sei nun K beliebig. Da in den Summen nur endlich viele Summanden unglrich Null sind, erhalten wir w u W 1,p (K) = δ. W w j uβ j 1,p (K) j= j= w j uβ j W 1,p (K) j= w j uβ j W 1,p () j= 2 (j+1) δ j= Wenn wir nun durch eine monoton wachsende Folge K i, i N, ausschöpfen, erhalten wir mit dem Satz von Levi über monotone Konvergenz w u p + w u p ( dx = lim χ Ki w u i p + w u p) dx δ. Da δ > belliebig war, folgt die Behauptung Satz. Sei ein beschränktes Gebiet mit Rand C 1. Sei u W 1,p (), 1 p <. Dann existieren Funktionen u n C () mit u n u in W 1,p (). Beweis. (1) Da einen C 1 -Rand hat, wissen wir aus Ana III, dass es eine Funktion γ C 1 ( 1 ) gibt, so dass sich der Rand von lokal durch γ darstellen lässt, d.h. Dann ergibt sich B r (x ) = graph(γ) B r (x ). B r (x ) = {x B r (x ) xn > γ(x 1,..., x n 1 )}.

9 1.1 Sobolev Räume 7 x n γ(x ) x x Abb. 1 Zur Vereinfachung schreiben wir x = (x 1,..., x n ) =: (x, x n ). Sei V := B r 2 (x ). Da u W 1,p () nur in definiert ist kann man nicht um Randpunkte glätten. Die Idee ist daher, dass wir die Funktion vom Rand weg nach innen verschieben. Dazu definieren wir für x V, ε >, λ > 2 x ε := x + (,...,, λε) = (x, x n + λε). Wähle < ε < r 16 und λ = r 1 4 ε. Dann erhalten wir B ε(x ε ) B r (x ) für alle x B r (x 2 ). Setze u ε (x) := u(x ε ) für alle x V und Dann ist w ε C ( ) und es gilt denn w ε (x) := (ω ε u ε )(x). w ε u in W 1,p (V ), (1.15) w ε u Lp (V ) w ε u ε Lp (V ) + u ε u Lp (V ) =: I ε 1 + I ε 2. Aus Ana III wissen wir, dass Translationen stetig in L p sind, d.h. u ε u L p (V ). Um zu zeigen, dass I ε 1 konvergiert, benutzen wir dass C -Funktionen in L p dicht sind. Es gibt also ein ϕ C () mit ϕ u L p () 1 n. Dann gilt auch für die Translationen ϕ ε, u ε I ε 1 lässt sich schreiben als ϕ ε u ε L p (V ) 1 n.

10 8 w ε u ε L p (V ) = ω ε u ε u ε L p (V ) ω ε u ε ω ε ϕ ε L p (V ) + ω ε ϕ ε ϕ ε L p (V ) + ϕ ε u ε L p (V ). Wiederum aus Ana III wissen wir, dass gilt ω ε g Lp (V ) g Lp (Ṽ ), wobei Ṽ eine entsprechend zu definierende Menge ist. Wähle g = uε ϕ ε, dann erhält man ω ε u ε ω ε ϕ ε Lp (V ) u ε ϕ ε Lp (Ṽ ) 1 n. Da ϕ gleichmäßig stetig auf kompakten Mengen ist, erhalten wir ω ε ϕ ε (x) ϕ ε (x) = ω ε (x y)(ϕ ε (y) ϕ ε (x)) dy x y ε ω ε (x y) ϕ ε (x) ϕ ε (y) dy sup ϕ ε (x) ϕ ε (y) x y ε für ε klein genug. Wir haben also gezeigt, dass sup ϕ(x) ϕ(y) < 1 x y <ε, x,y B r(x ) n ist und insgesamt I ε 1 = w ε u ε L p (V ) < 3 n w ε u Lp (V ) I ε 1 + I ε 2 (ε ). Ein analoges Vorgehen für w ε = (ω ε u ε ) = ω ε ( u ε ) liefert d.h. (1.15) gilt. w ε u ε L p (V ), (2) Da der kompakt ist, gibt es Punkte x i, i = 1,..., N und Mengen V i := B r i 2 (x i ), so dass gilt N B r i 2 (x i ).

11 1.1 Sobolev Räume 9 x B r/2 (x ) Abb. 2 Für δ > gibt es Funktionen w i C () mit w i u W 1,p (V i) δ. Wähle V, so dass sich ergibt N V i. i= Nach Lemma 1.12 gibt es ein w C () mit u w W 1,p (V ) δ. Wählt man eine Zerlegung der Eins λ i, i = 1,..., N, bezüglich der Überdeckung V i, dann ist N w = λ i w i C () i= und man erhält N N u w p = λ i u λ i w i p i= i= N λ i u w i Lp (V i) i= (N + 1)δ sowie

12 1 d.h. ( N u w p = ) ( N λ i u λ i w i) p i= i= N = λ i u w i Lp (V i) + λ i u w i Lp (V i) c i= N u w i W 1,p (V i) i= c(n + 1)δ, u w 1,p cδ. Wir wollen nun noch Kriterien angeben mit denen man entscheiden kann ob einen gegebene L p -Funktion eine Sobolev-Funktion ist Satz. Sei u L p (), 1 < p. Dann sind äquivalent: (i) u W 1,p (). (ii) Es existiert eine Konstante c >, so dass für alle ϕ C () und i = 1,..., n gilt u ϕ dx c ϕ p. x i (iii) Es existiert eine Konstante c >, so dass für alle offenen Mengen K und alle h mit h dist(k, ) gilt: wobei τ h u(x) := u(x + h). τ h u u Lp (K) c h, In (ii) und (iii) kann man c = u p wählen. Beweis. (i) (ii) : u ϕ dx = x i u ϕ dx x i u p ϕ p. Hölder (ii) (i) : Für ϕ C () definieren wir F i (ϕ) := u ϕ dx. x i Offensichtlich ist F i linear und stetig in L p (), denn F i (ϕ) c ϕ p.

13 1.1 Sobolev Räume 11 Da C () dicht in L p () ist, gibt es nach dem Satz von Hahn-Banach eine stetige, lineare Fortsetzung F i (L p ()). Nach dem Repräsentationssatz von Riesz ist (L p ()) = L p (), d.h. es gibt ein g L p () mit F i (ϕ) = gϕ dx ϕ L p (), d.h. g i = u x i nach Definition der schwachen Ableitung, also ist u W 1,p (). (i) (iii) : Sei u C ( ) W 1,p (), h, x, t R und v(t) := u(x + th). Dann ist v (t) = u(x + th)h. Nach dem Mittelwertsatz gilt τ h u(x) u(x) = v(1) v() = = 1 1 v (t) dt u(x + th)h dt. Daraus ergibt sich für h < dist(k, ) mithilfe des Satzes von Fubini und der Transformation y = x + th sowie K + th K τ h u(x) u(x) p dx h p = h p 1 K 1 1 = h p K K+th = h p u p p. u(x + th) p dt dx u(x + th) p dx dt u(y) p dy dt Insgesamt haben wir gezeigt, dass für alle u C ( ) W 1,p () gilt τ h u u L p (K) c h. Sei nun u W 1,p (), dann gibt es nach Satz 1.14 eine Folge (u n ) C ( ) W 1,p () mit u n u W 1,p (), also

14 12 τ h u u p,k τ h u n u n p,k h u n p h u p. Diese Rechnung gilt allerdings nur für p <, weil wir die Hölder-Ungleichung und die p-te Potenz der L p -Norm verwendet haben. Für u W 1, () wähle eine Folge p n. Dann gilt u 1,pn u 1, und τ h u u,k τ h u u pn,k u pn h h u. (iii) (ii) : Sei ϕ C () mit supp(ϕ) K und h < dist(k, ). Aus (iii) erhält man (τ h u u)ϕ dx τ h u u L p (K) ϕ L p () c h ϕ p (1.17) und da (Substitution y = x + h) (u(x + h) u(x))ϕ(x) dx = u(x) ( ϕ(x h) ϕ(x) ) dx folgt mit (1.17) ϕ(x h) ϕ(x) u(x) h dx c ϕ p. Wenn man nun h = te i wählt ergibt sich mit t u(x) ϕ (x) dx c ϕ p. x i Für p = 1 gilt: (i) (ii) (iii). Funktionen, bei denen (ii) (iii) gilt, heißen Funktionen mit beschränkter Variation. Fortsetzungen Wir wollen zeigen, dass man eine Sobolev-Funktion über ein gegebenes Gebiet hinaus als Sobolev-Funktion fortsetzen kann Satz. Sei ein beschränktes Gebiet des mit C 1 und G eine offene Menge mit G. Dann gibt es für alle p [1, ) einen beschränkten, linearen Fortsetzungsoperator so dass für alle u W 1,p () gilt: E : W 1,p () W 1,p ( ),

15 (i) Eu = u fast überall in, (ii) supp Eu G, (iii) Eu W 1,p ( ) c u W 1,p (), wobei c nur von p, und G abhängt. 1.1 Sobolev Räume 13 Beweis. Da einen C 1 -Rand hat, gibt es für alle x ein r >, so dass sich der Rand von in B r (x ) durch eine C 1 -Funktion γ darstellen lässt (vgl. Abb. 1). (a) Wir behandeln zuerst den Fall, dass der Rand flach nahe x ist, d.h. es gibt ein r >, so dass Sei B r (x ) = { (x, x n ) x n = }. B := B r (x ), B + := B {x n }, B := B {x n } \. Wir setzen u C () durch eine gerade Reflektion höherer Ordnung an der Geraden zwischen B + und B lokal fort durch { u(x) x B +, u(x) := 3u(x, x n ) + 4u(x, xn 2 ) x (1.19) B. Um zu beweisen, dass u C 1 (B) bezeichnen wir u := u B u + := u B +. Dann ist u = u + auf {x n = } und auch i u = i u + für i = 1,..., n 1 auf {x n = }. Außerdem gilt n u = 3 n u(x, x n ) + 4 n u(x, x n 2 )( 1 2 ) = nu + auf {x n = }. Insgesamt also u + = u und u + = u auf {x n = }, d.h. u C 1 (B). Weiter gilt u p dx = u p dx + B B + und B u p dx = u p dx + B B + B u p dx c(p) B + B + u p dx u p dx c(p) u p dx,

16 14 d.h. u W 1,p (B) c u W 1,p (B + ). (1.2) (b) Nun kommen wir zum allgemeinen Fall, d.h. der Rand von ist nicht flach nahe x. Sei der Rand nahe x durch γ C 1 ( 1 ) beschrieben. Durch die Transformation x y = Φ(x), wobei Φ i (x) = y i = x i, i = 1,..., n 1, Φ n (x) = y n = x n γ(x ), (1.21) hat das Bild Φ(B r (x ) ) einen flachen Rand nahe y bzgl. der y- Koordinaten (vgl. Plättbarkeitskriterium aus Ana III). Φ W B x y Ψ Abb. 3 Sei x = Ψ(y) die Umkehrabbildung. Wir haben det( x Φ) = det( y Ψ) = 1. Wir setzen u (y) = u(ψ(y)). Da Φ(B r (x )) kein Ball mehr ist, wählen wir uns einen neuen Ball B um y = Φ(x ), der in Φ(B) liegt. Wie in (a) erweitern wir u von B + auf B und nennen die neue Funktion u. Aus (1.2) folgt dann u W 1,p (B) c u W 1,p (B + ). (1.22) Sei W := Ψ(B), also das Urbild des Balles B um y. Für x W definieren wir u(x) = u (Φ(x)) und erhalten durch Transformation u(x) p dx = u (Φ(x)) p dx = u (y) p det y Ψ dy, sowie W Ψ(B) B

17 W 1.1 Sobolev Räume 15 x u(x) p dx = x u (Φ(x)) p dx Ψ(B) = y u (Φ(x)) p x Φ(x) p dx Ψ(B) = y u (y) p x Φ(Ψ(y)) p det( y Ψ(y)) dy B c(γ, p) y u (y) p dy. Mithilfe von (1.22) und einer analogen Rechnung erhalten wir Insgesamt haben wir gezeigt: B u W 1,p (W ) c u W 1,p (B) c u w 1,p (B + ) c u W 1,p (W + ) c u W 1,p (). u W 1,p (W ) c u W 1,p (). (1.23) (c) Da der Rand von kompakt ist, gibt es eine endliche Überdeckung mit Mengen W i, i = 1,..., N, wobei W i G. Sei u i die Fortsetzung von u auf W i. Sei W so dass N W i. Außerdem seien λ i eine Zerlegung der Eins. Setze nun u = i= N λ i u i i= wobei u = u. Dann ergibt sich mit (1.23) u W 1,p ( ) c u W 1,p (). (1.24) (d) Für u C () setze Eu = u. Zu u W 1,p () gibt es nach Satz 1.14 eine Folge u n C () mit Es ist u n u in W 1,p (). Eu k Eu n W 1,p ( ) c u n u k W 1,p (), d.h. (Eu n ) ist Cauchyfolge in W 1,p ( ) und somit Eu n v =: Eu. Der Satz gilt auch für den Fall p =.

18 16 Randwerte L p -Funktionen haben keine wohl-definierten Werte auf den Rand des Gebietes auf dem sie definiert sind. Für Sobolev-Funktionen allerdings kann man Randwerte definieren. Um dies zu zeigen benötigen wir L p -Räume auf dem Rand. Wir setzen L p ( ) := {u : R messbar, u p, < } (1.25) und versehen den Raum mit der Norm ( u p, := u p ds ) 1 p. Oberflaechenmass Sei ein beschränktes Gebiet des mit C 1. Jede Funktion u C 1 () besitzt eine Restriktion Ru auf, die definiert wird durch ( Ru)(z) := u(z), z. (1.26) 1.27 Lemma. Es gibt eine Konstante K, die nur von abhängt so, dass für alle u C 1 () gilt: Ru L p ( ) K u W 1,p () u C 1 (). Beweis. Da C 1 gibt es für jeden Punkt x des Randes einen Ball B r (x ), so dass der Rand lokal durch eine C 1 Funktion γ(x ) beschrieben werden kann (vgl. Abb. 1). Wir benutzen weiterhin die Notation x = (x 1,..., x n 1, x n ) = (x, x n ). (a) Sei x und sei der Rand nahe x flach, d.h. es gibt ein r > so, dass B r (x ) = {(x, x n ) x n = }. Sei τ eine Abschneidefunktion, d.h. τ C (B r (x )) mit τ = 1 in B r/2 (x ). Dann gilt: u p dx u p τ dx ( = xn u p τ ) dx B r/2 (x ) {x n=} = c(r) B + r (x ) B + r (x ) u p xn (τ) + p u p 1 sign(u) xn (u) τ dx u p + u p dx, B + r (x ) wobei wir in der letzten Zeile die Young-Ungleichung benutzt haben. (b) Sei nun der Rand nahe x nicht flach und lokal durch γ C 1 ( 1 ) beschrieben. Wir benutzen wiederum die Transformation x y = Φ(x) aus (1.21). Wie dort gesehen hat das Bild Φ(B r (x ) ) einen flachen Rand

19 1.1 Sobolev Räume 17 nahe y bzgl. der y-koordinaten (vgl. Abb. 3). Für die Umkehrabbildung x = Ψ(y) und die Transformation Φ gilt wieder det( x Φ) = det( y Ψ) = 1. Somit gilt für ũ(y) := u(ψ(y)) unter Berücksichtigung von (a) und γ C 1 u p ds = ũ p 1 + y γ(y ) 2 dy B r/2 (x ) Φ(B r/2 (x ) ) c ũ p + y ũ p dy Φ(B r(x ) ) c u p + x u p y Ψ(Φ(x)) p dx c B r(x ) u p + x u p dx. B r(x ) (c) Da kompakt ist existieren endlich viele Punkte x i, i = 1,..., N so, dass = N B r i /2(x i ), wobei für jedes i = 1,..., N der Rand nahe x i durch eine Funktion γ i (siehe (b)) beschrieben ist. Eine wiederholte Anwendung von (b) liefert u p ds c N u B r i (x i ) N u B r i (x i ) p dx c u p + u p dx, was gerade die Behauptung von Lemma 1.27 ist. p + u p dx 1.28 Satz. Sei ein beschränktes Gebiet des mit C 1. Dann existiert für alle p [1, ) ein beschränkter linearer Operator R R : W 1,p () L p ( ), der für Funktionen aus C 1 () mit dem Restriktionsoperator R aus (1.26) übereinstimmt. R heißt Restriktions- oder Spuroperator. Beweis. Zu u W 1,p () exitieren nach Satz 1.14 Funktionen u n C 1 () mit u n u in W 1,p (). Aus Lemma 1.27 folgt Ru n Ru k L p ( ) K u n u k 1,p

20 18 und somit ist ( Ru n ) n N eine Cauchyfolge. Also existiert ein v L p ( ) mit Ru n v in L p ( ). Man definiert Ru := v und erhält Ru L p ( ) K u 1,p. Somit haben wir gezeigt, dass man R durch Abschliessung auf ganz W 1,p () zu einer beschränkten linearen Abbildung R : W 1,p () L p ( ) fortsetzen lässt. Die Abbildung R wird verwendet, um Elementen aus W 1,p (), die eigentlich Klassen von Funktionen sind, die bis auf Nullmengen erklärt sind, dennoch Werte auf dem Rand, welcher Mass Null hat, zuzuordnen Definition. Sei ein Gebiet und 1 p <. Wir definieren W 1,p () W 1,p () durch den Abschluss von C () in der Norm von W 1,p (), d.h. W 1,p () := C. W 1,p (). (1.3) Per Definition ist W 1,p () ein abgeschlossener Unterraum von W 1,p () und somit ein Banachraum Satz. Sei ein beschränktes Gebiet mit C 1 und 1 p <. Eine Funktion u W 1,p () gehört zu W 1,p () genau dann, wenn für ihre Spur gilt: Ru =. Beweis. Zu u W 1,p () gibt es per definition eine Folge u n C () mit u n u in W 1,p (). Offenbar ist Ru n =, d.h. es gilt auch Ru = in L p ( ). Sei Ru = auf dem Rand von. Wie schon im vorherigen Beweis liefern eine Zerlegung der Eins und das Flach machen des Randes eine Funktion u W 1,p ( +), supp u +, Ru = auf 1 := +. (1.32) Da Ru = ist, liefern Satz 1.14 und Satz 1.28 eine Folge u m C ( +) mit u m u in W 1,p ( +) und Ru m in L p ( 1 ). (1.33) Sei x = (x, x n ), x 1, x n >. Dann ergibt sich x n u m (x, x n ) u m (x, ) + n u m (x, t) dt

21 und somit 1 d.h. u m (x, x n ) p dx c 1 1 c u m (x, ) p dx + c u m (x, ) p dx }{{} u(x, x n ) p dx c x p 1 n 1 x n 1.1 Sobolev Räume c x p 1 n 1 ( xn x n ) p n u m (x, t) dt dx u m (x, t) p dt dx, u(x, t) p dt dx. (1.34) Nun wollen wir u in Richtung x n verschieben. Dazu benutzen wir eine Abschneidefunktion ξ mit ξ 1, ξ = 1 auf [, 1] und ξ = auf R \ [ 1, 2]. Diese skalieren wir durch ξ m (x) := ξ m (x, x n ) = ξ(mx n ), für x + und definieren Dann ist w m (x) := u(x)(1 ξ m (x)). k w m (x) = k u(x)(1 ξ m (x)), k = 1,..., n 1, n w m (x) = n u(x)(1 ξ m (x)) u(x)ξ m(mx n )m, und somit w m u p dx c u(x) p ξ m (x) p dx c m p + =: A m + B m. u(x, x n ) p ξ (mx n ) p dx dx n Da supp(ξ m ) [, 2 m ] sowie ξ 1 sieht man leicht, dass und A m c 2 m 1 u(x) p ξ(mx n ) p dx dx n

22 2 B m (1.34) c m p 2 m c m p 1 (2m) p x p 1 n m x n u(x, t) p dt dx dx n u(x, t) p dx dt. Somit konvergiert w m u und w m u in L p ( +), d.h. und w m u in W 1,p ( +) w m (x, x n ) = für x n (, 1 m ). Wir glätten nun w m mit ω ε, ε < 1 m. Nach Lemma 1.12 ist ω ε w m C ( +) und w m := ω 1 2m w m konvergiert gegen u in W 1,p ( +), d.h. u liegt in W 1,p ( +). Für Funktionen aus W 1,p () kann man die Norm der Funktion durch die Norm des Gradienten abschätzen. Genauer gilt folgendes: 1.35 Satz (Poincaré). Sei ein beschränktes Gebies und 1 p <. Dann gibt es eine Konstante K, die nur von p und dem Durchmesser von abhängt, so dass für alle u W 1,p () gilt u p K u p. (1.36) Somit ist u p eine äquivalente Norm auf W 1,p (), d.h. u p u 1,p (1 + K) u p. (1.37) Beweis. Da C ()-Funktionen dicht sowohl in L p () als auch in W 1,p () sind, reicht es die Behauptung (1.36) für solche Funktionen zu zeigen. Sei also u C (). Es gilt u p p = 1 n = 1 n = 1 n n u p 1 dx n i u p x i dx n Da beschränkt ist, gibt es ein d, so dass p u p 1 u u iu x i dx. {x xi d, i = 1,..., n}.

23 1.1 Sobolev Räume 21 Wenn wir die obige Rechnung fortführen, erhalten wir mithilfe der Hölder Ungleichung also u p p d n n p u p 1 u dx d n p n u p 1 p u p, u p dp u p. Zu u W 1,p () gibt es eine Folge u m C () mit u m u W 1,p () und es folgt u p u m p dp u m p dp u p, d.h. (1.36). Hieraus folgt sofort (1.37), denn u p u 1,p = u p + u p K u p + u p. Die Poincaré Ungleichung ermöglicht es für schwache Lösungen der homogenen Poissongleichung eine apriori Abschätzung zu beweisen. Eine schwache Lösung u W 1,2 () erfüllt u ϕ dx = f ϕ dx. Wenn man nun ϕ = u wählt, dann erhält man mithilfe der Poincaré Ungleichung u 2 2 = u 2 dx fudx f 2 u 2 K u 2 f 2. Kürzen liefert dann die apriori Abschätzung u 2 K f 2. Einbettungen In Anwendungen werden oft sogenannte Sobolew Ungleichungen benötigt. Dies sind Ungleichungen der Form u q c u p, (1.38) wobei die Konstante c und die Zahl q nicht von u abhängen soll. Zuerst überlegen wir uns für welche q dies möglich ist im Falle von Funktionen u C ( ). Sei also u C ( ), u und sei λ >. Wir setzen

24 22 Man rechnet leicht nach u λ q dx = R n u λ p dx = λ p u λ (x) := u(λx), x. u(λx) q dx = 1 λ n Dies eingesetzt in (1.38) liefert d.h. 1 λ n q u(λx) p dx = λp λ n u q c λ λ n p u p, u q λ 1 n p + n q u p. u(y) q dy, u(y) p dy. Wenn 1 n p + n q ist, kann man λ gegen bzw. konvergieren lassen und erhält einen Widerspruch. Somit kann (1.38) nur gelten, wenn 1 q = 1 p 1 n gilt. Dies kann man auch alternativ schreiben als q = np n p. (1.39) 1.4 Satz. Sei 1 p < n. Dann existiert eine Konstante c, die nur von p und n abhängt, so dass für alle u C 1 ( ) gilt. u q c u p, q = np n p, (1.41) Wir benötigen hier wirklich u C(R 1 n ), wie u 1 zeigt. Bemerkenswert ist, dass die Konstante c nicht von der Größe des Trägers von u abhängt. Beweis. (i) Der Fall p = 1. Da u kompakten Träger hat gilt und somit u(x) = u(x) x i D xi u(x 1,..., x i 1, y i, x i+1,..., x n ) dy i u(x 1,..., y i,..., x n ) dy i, i = 1,..., n.

25 1.1 Sobolev Räume 23 Daraus folgt u(x) n n 1 n u(x 1,..., y i,..., x n ) dy 1 n 1. Diese Ungleichung wird bezüglich x 1 über R integriert, was n u n 1 dx 1 = n ( ( ( u dy i ) 1 n 1 dx1 u dy 1 ) 1 n 1 u dy 1 ) 1 n 1 ( n n ( i=2 i=2 u dy i ) 1 n 1 dx1 u dx 1 dy i ) 1 n 1, liefert. In der letzten Ungleichung wurde die verallgemeinerte Hölder-Ungleichung k f i dx k f i pi, k 1 = 1, p i angewendet. Die obige Ungleichung wird nun bzgl. x 2 über R integriert. Wir erhalten wobei n u n 1 dx 1 dx 2 I 1 = ( u dy 1, I i = u dx 1 dx 2 ) 1 n 1 Die verallgemeinerte Hölder-Ungleichung liefert n u n 1 dx 1 dx 2 ( ( n i=3 n 1 n 1 Ii dx 2, i 2 u dx 1 dy i, i = 3,..., n. ) 1 ( n 1 u dx 1 dy 2 u dx 1 dx 2 dy i ) 1 n 1. u dy 1 dx 2 ) 1 n 1

26 24 Weitere Integrationen bzgl. x 3,..., x n liefern dann n u n 1 dx n ( ( = u dx ) n n 1 u dx 1... dy i... dx n ) 1 n 1 (1.42) was (1.41) für p = 1 ist. (ii) Der Fall 1 < p < n. Wir benutzen (1.42) für v = u γ, mit γ > 1 welches später gewählt wird, und erhalten ( u ) γn n n 1 dx n 1 u γ dx = γ u γ 1 u dx ( γ u ) p p 1 (γ 1) p p 1 dx ( ) 1 u p p dx. Wir wählen nun γ derart, dass γn n 1 d.h. γ = p (n 1) n p p = (γ 1) p 1, > 1. Für dieses γ haben wir γn n 1 p = (γ 1) p 1 = was zusammen mit der obigen Rechnung u γ np n p np n p, γ u γ 1 np u p n p liefert. Hieraus folgt sofort die Behauptung Satz. Sei, ein beschränktes Gebiet mit C,1. Dann existiert eine Konstante K = K(n, ), so dass für alle u W 1,p () gilt: u q K u 1,p, q = np n p sofern 1 p < n. Ist u W 1,p (), so gilt (1.44) u q K u p, q = np n p. (1.45) Man schreibt dafür kurz: W 1,p () L np n p () bzw. W 1,p () L np n p ().

27 1.1 Sobolev Räume 25 Beweis. (i) Sei u W 1,p (). Satz 1.18 liefert, dass eine Fortsetzung Eu W 1,p ( ) gibt, die kompakten Träger hat. Somit ist Eu W 1,p ( ) und per Definition existieren Funktionen u m C ( ) mit Satz 1.4 liefert woraus folgt. Satz 1.4 liefert auch u m Eu in W 1,p ( ). (1.46) u m u k pn c (u m u k ) n p p, u m Eu was zusammen mit (1.46) und (1.47) in L pn n p ( ) (1.47) u m L np n p ( ) c u m Lp ( ) Eu L np n p ( ) c (Eu) L p ( ) ergibt. Dies und Satz 1.18 liefern die Behauptung (1.44). (ii) Sei u W 1,p (). Dann existieren Funktionen u m C () mit u m u in W 1,p (). Wir setzen die Funktionen u m durch Null auf ganz fort und erhalten aus Satz 1.4 np u m L np n p ( ) c u m L p ( ) sowie u m u in L n p ( ). Der Grenzübergang m liefert (1.45). Für p = n gibt es zahlreiche Sonderfälle, wie z.b. n = 1 : W 1,1 L n = 2 : W 1,2 L, aber W 2,1 L 1.48 Satz. Sei ein beschränktes Gebiet mit C,1. Dann existiert für alle 1 q < eine Konstante K = K(n, q, ), so dass für alle u W 1,n () gilt: u q K u W 1,n. (1.49) Für u W 1,n () gilt: u q K u n. (1.5) Beweis. Für ein beschränktes Gebiet gilt W 1,n () W 1,p () für beliebige 1 p < n, so dass Satz 1.43 die Behauptung liefert.

28 26 Für p > n gibt es Einbettungen in C,α (), d.h. u ist stetig in und es gilt u(x) u(y) u α := sup c. x y x y Zusammen mit der Norm u C,α := u C () + u α bildet C,α () den Banachraum der Hölderstetigen Funktionen Satz. Sei p > n und sei ein beschränktes Gebiet mit C,1. Dann gilt für alle u W 1,p () u C,α c u 1,p, (1.52) mit α = 1 n p. Man schreibt dafür kurz: W 1,p () C,α () Satz (Rellich). Sei ein beschränktes Gebiet mit C,1. Dann sind die Einbettungen (i) 1 p < n, q [1, np n p ) W 1,p () L q () (ii) p = n, 1 q < W 1,n () L q () (iii) p > n W 1,p () C () kompakt. Insbesondere ist die Einbettung W 1,p () L p () immer kompakt. Für kompakte Einbettungen schreibt man: W 1,p () L q () Beweis. (i) Wir wollen den Satz von Kolmogorov (vgl. FA I) anwenden, der besagt, dass eine beschränkte Menge des L q relativ kompakt ist, wenn sie gleichgradig q-stetig ist. Sei M eine beschränkte Menge im W 1,p () und seien G, G 1 beschränkte Mengen mit G G 1. Der Fortsezungsoperator E aus Satz 1.18 liefert für alle u M Funktionen Eu W 1,p ( ) mit supp Eu G. Mithilfe der Hölder Ungleichung, der Einbettung W 1,p L np n p (vgl. Satz 1.43) und Satz 1.18 folgt für alle 1 q < np n p

29 1.1 Sobolev Räume 27 Eu q L q (G 1) c(g 1) Eu q L n p np (G 1) c(g 1 ) Eu q W 1,p (G 1) c u q W 1,p () K, (1.54) d.h. E(M) ist beschränkt in L q (G 1 ). Wir benutzen die Interpolationsungleichung v L q (G 1) v 1 λ L 1 (G 1) v λ L r (G 1) (1.55) welche für 1 < q < r, v L r (G 1 ) sowie 1 q = 1 λ 1 + λ r gilt. Diese Ungleichung kann mithilfe der Hölder Ungleichung bewiesen werden. Mithilfe von (1.55) und (1.54) ergibt sich für h < dist (G, \ G 1 ) ( G ) 1 ( Eu(x + h) Eu(x) q q dx G ( G ( c G c h 1 λ, Eu(x + h) Eu(x) dx) 1 λ Eu(x + h) Eu(x) np n p dx ) λ np n p ) 1 λ Eu(x + h) Eu(x) dx wobei wir im letzten Schritt Satz 1.16 und die Beschränktheit von E(M) in W 1,1 (G 1 ) benutzt haben. Die Menge E(M) ist also q-gleichgradig stetig und wir können den Satz von Kolmogorov anwenden, d.h. {Eu u M} ist relativ kompakt in L q (G). Da Eu(x) = u(x) für fast alle x ist auch M relativ kompakt in L q (). (ii) Für p = n gilt die Einbettung W 1,n () L r () für alle 1 r <. Deshalb gilt für ein r > q und ähnlichen Argumenten wie im Teil (i) Eu( + h) Eu L q (G) Eu( + h) Eu 1 λ L 1 (G) Eu( + h) Eu λ L r (G) c h 1 λ. Die Behauptung folgt wiederum mit dem Satz von Kolmogorov. (iii) Wir wollen den Satz von Arzela Ascoli benutzen. Nach Satz 1.51 gilt die Einbettung W 1,p () C,α (). Wenn also M W 1,p () beschränkt ist, dann ist M auch in C () beschränkt. Weiterhin gilt aufgrund von (1.52) für alle u M u C,α c u 1,p K. Insbesondere gilt für u M u(x) u(y) sup x y x y α K,

30 28 d.h. für alle x y und u M ist u(x) u(y) K x y α, d.h. M ist gleichgradig stetig und nach dem Satz von Arzela-Ascoli relativ kompakt in C ().

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