µ( k= U j,k \K j,k ) µ(u j,k \K j,k ) < 2 j ε. µ(u\k j ) < ε.

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1 3.5. LUSIN, TITZE-URYSOHN UND RIESZ Lusin, Titze-Urysohn und Riesz. Theorem 3.5. (Lusin). Sei f : X R messbar. Zu U X offen mit µ(u) < und ε > 0 gibt es ein kompaktes K U, so dass gilt: () f K stetig, () µ(u\k) < ε. Beweis. Setze U j,k = x U : k k + f(x) < } (j N,k Z). j j Es ist klar, dass U j,k meßbar ist. Aus Lemma 4.3 in Analysis III haben wir K j,k U j,k kompakt mit µ(u j,k \K j,k ) < j k. Daraus gilt lim N µ(u\ N k= N K j,k) = µ(u\ k= K j,k) Wähle N(j), so dass mit K j = N(j) k= N(j) K j,k gilt: Setze K := j= K j. Wir haben µ( k= U j,k \K j,k ) µ(u j,k \K j,k ) < j ε. µ(u\k j ) < j ε. µ(u\k) µ( j= U\K j) < µ(u\k j ) < ε. Setze f j (x) = k j für x K j,k. f j ist stetig auf K j, da dist(k j,k,k j,k ) > 0 für k k. Aus Definition haben wir j= f(x) f j (x) j für x K K j. D.h. F j gleichmäßig auf K gegen f konvergiert. Also f ist stetig auf K. Theorem 3.5. (Tietze-Urysohn). Sei K (X,d) abgeschlossen und f : K R stetig. Dann gibt es eine Fortsetzung f C 0 (X), also f K = f, mit sup f(x) = sup f(x). x X x K Beweis. obda nehmen wir, dass sup x K f(x) =. Zu A, B abgeschlossen mit A B = gibt es ϕ C 0 (X,[,]) mit ϕ(a) =, ϕ(b) = ; etwa ϕ(x) = dist(x,a) dist(x,b) dist(x,a)+dist(x,b). Konstruiert induktiv f k C 0 (X), k N 0 mit ( () f k (x) f k (x) ) k 3 für x X, k () f(x) f k (x) ( k 3) für x K, k 0 Start: f 0 = 0. Sei f k schon gefunden für k N. Setze Wähle ϕ k wie oben und setze A k = x K : f k (x) f(x) B k = x K : f k (x) f(x)+ f k = f k + ( ) k ϕ k. 3 ( ) k} ( 3 ) k}. 3

2 8 3. L P -RÄUME () ist offensichtlicht. () ergibt sich mit Fallunterscheidung: x A k 0 f(x) f k (x) ( ) k 3 ( ) k ( ) k ( ) k = x B k 0 f(x) f k (x)+ ( ) k 3 ( ) k + ( ) k ( ) k = x K\(A k B k ) f(x) f k (x) f(x) f k (x) + ( ) k 3 ( ) k + ( ) k ( ) k = Nach (), () strebt f k f gleichmäßig auf X und f K = f. Ferner f(x) f k (x) f k (x) ( ) k = =. 3 3 k= k= 3 Proof of Theorem Theorem folgt aus Theorem 3.5. und Theorem Definition Sei (X, d) σ-kompakter metrischer Raum, d.h., die Abstandskuglen x : d(x,x 0 ) R} sind kompakt. Ein Maß µ auf X heißt Radonmaß, falls (i) µ ist Borelregulär, d.h., alle Borelmenge sind meßbar und zu jeder Menge A X gibt es eine Borelmenge B A mit µ(b) = µ(a). (ii) µ(k) < Kompaktum K X. Beispiel. Beispielsweise ist R n, ausgestattet mit der Standardmetrik, σ-kompakt, denn x : d(x,x 0 ) R} ist kompakt. L n ist ein Radonmaß. Theorem Sei µ = L n oder µ ein Radonmaß auf σ-kompaktem metrischem Raum. Dann ist L p (µ) separabel für p <. Beweis. Es reicht aus, jede Funtion u C 0 c(x) zu approximieren, denn C 0 c(x) ist dicht in L p (µ) für p <. Setze B n = x : d(x,x 0 ) < n} für n N. Überdecke B n durch endlich viele Kugeln B (x n,j), ( j j n n ), mit Mittelpunkten x n,j B n. Definiere nd(x,xn,j ), falls d(x,x ξ n,j (x) := n,j ) < n 0, sonst. und ξ n,0 (x) := dist(x,b n ) η n,j (x) = Es ist leicht nachzuprüfen, dass gilt η n,j C 0 c(x) für j j n. ξ n,j (x) jn k=0 ξ n,k(x).

3 3.5. LUSIN, TITZE-URYSOHN UND RIESZ 9 j n j=0 η n,j(x) = für alle x X (Teilung der Eins). Sei nun u C 0 c(x) mit sptu B n. Setze Daraus haben wir u(x) j n j= α j = u(x n,j ) für j j n. α j η n,j j n j= (u(x) α j )η n,j osc(u, ) 0 mit n. n Also spanη n,j : n N, j j n } ist dicht. Wähle linerakombinationen mit rationalen Koeffizienten. Bemerkung. l und L (Ω) (Ω R n offen) sind nicht separabel. Bemerkung. Wir heben auch gezeigt, dass C 0 (X) separabel ist, falls X kompakt ist. Im folgenden interessieren wir uns den Dualraum vom L p (µ). Betrachte für p,q mit p + q = J : L q (µ) L p (µ), (Jv)u = uvdµ. Lemma J : L q L p (µ) ist isometrisch, d.h., Jv = v L q (µ) für alle v L q (µ). Beweis. Jv iststetig,denn (Jv)u u L p v L q nachderungleichungvonhölder. Es folgt Jv v L q, also Jv ist stetig. J : L q L p (µ) is stetig, denn die Operatornorm J ist kleiner oder gleich. obda nehmen wir an, dass v L q =. Sei zunächst q < (p > ). Setze D q : v L q (µ) : v L q = } u L p (µ) : v L p = } X D q (v) = v q v. Es ist leicht zu zeigen, dass D q (v) L q = ( v p(q ) dµ) p = ( v q dµ) p =, (denn p = q q ) und (Jv)(D q (v)) = v q dµ = = D q (v) L q. Also gilt Jv =. Sei nun q = und p =. Wähle eine Ausschöpfung E E von X, E j messbar, mit µ(e j ) < (z. B., Kugeln von Raduis j) und E j,δ = x E j : v(x) δ}. Es gilt µ(e j,δ ) > 0 für j hinreichend groß, denn v L =. Setze u = (signv)χ Ej,δ L (µ). Wir haben (Jv)u = v dµ ( δ)µ(e j,δ ) = ( δ) u L E j,δ Mit δ ց 0 folgt Jv =.

4 30 3. L P -RÄUME Theorem (Darstellungssatz von Riesz). Sei µ maß auf X, p + q = mit p <. Dann ist J : L q (µ) L p (µ), (Jv)u = uvdµ ein normtreuer Isomorphismus. Für p = muß das mass σ-endlich sein. Beweis. Wir betrachten zunächst den Fall < p <. Sei ϕ L p (µ) gegeben, obda ϕ =. Sei S = u L p (µ) : u L p = }. Wir haben also sup u S ϕ(u) =. Angennomen, wir haben schon v 0 L q (µ) mit Jv 0 = ϕ. Nach Lemma gilt v 0 L q = Jv 0 = ϕ =. Es folgt D q (v 0 ) L p =. Also ϕ S hat in u 0 := D q (v 0 ) S ein Maximum. Ansatz. Bestimme Maximumstelle u 0 S von ϕ S und setze v 0 = D q (u 0) = D p (u 0 ) (Bemerkung: D q und D p sind zueinander invers.) Schritt. Sei u 0 S mit ϕ(u 0 ) = sup u S ϕ(u) = Dann gilt J(D q (u 0 )) = ϕ, d.h., v 0 = D p (u 0 ) ist eine Lösung der Darstellungsaufgabe. Beweis. Sei G : L p (µ) R, G(u) = u p dµ. Sei t < und u L p (µ) beliebig. Wir haben t u 0 +tu p = p u 0 +tu p (u 0 +tu)u und t u 0 +tu p p( u 0 + u ) p p p (( u 0 p + u p ) L. Nach der Parameterdifferentiation gilt d dt u 0 +tu L p t=0 = d dt G(u 0 +tu) p t=0 = p G(u 0) p d u 0 +tu p dµ t=0 dt = u 0 p u 0 udµ = J(D p (u 0 )),u. Aus der Maximaleigenschaft von u 0 folgt 0 = d ( ) dt ϕ u0 +tu = ϕ(u) J(D p (u 0 )),u ϕ(u 0 ), u 0 +tu L p t=0 X = ϕ(u) J(D p (u 0 )),u, u Schritt. Existenz einer Maximalstelle. Sei u k S mit ϕ(u k ) sup u S ϕ(u) =. Wir wollen zeigen, dass u k eine Cauchyfolge ist. Dazu behaupten wir folgende gleichmäßige Konvexitätseigenschaft des Normballs: ε > 0, δ > 0 so dass gilt (3.) u L p = v L p =, u+v L p δ u v L p < ε. Für die Maximalfolge gilt für k,l groß, δ (ϕ(u k)+ϕ(u l )) = ϕ( u k +u l ) u k +u l L p

5 3.5. LUSIN, TITZE-URYSOHN UND RIESZ 3 Aus (3.) gilt u k u l L p ε für k,l groß. Also konvergiert u k } gegen die gesuchte Stelle u 0 S. Beweisende für p >. Lemma (Gleichmäßge Konvexität von L p (µ).). Zu < p < gibt es eine Konstante c = c(p), so dass für alle u,v L p (µ) gilt: ( u p L p + v p L p) u+v p c u v p L L p, p p c( u p L p + v p L p ) u v Lp, < p. Beweis. f(x) = x p ist konvex für x R, genauer Wir behaupten: (3.3) ( u 0 p + x p ) x 0 +x p f (x) = p x p x, f (x) = p(p ) x p > 0 für x 0. c(p) x0 x p, p c(p)( u 0 + x ) p x 0 x, < p. obda nehmen wir an, dass x = und x 0 = x [,]. Setze σ(x) = (+ x p ) ( +x ) p 0 x τ(x) = p, p (+ x ) p ) x, < p. Wir rechnen σ (x) = p x p x ( +x ) p < 0 für x < σ() = 0 = τ(), σ () = 0 = τ (), σ () = p(p+) 4 0, p τ () = p, < p. Wähle µ = µ(p) > 0 mit σ () µτ () > 0. Dann gibt δ = δ(p) > 0 mit Für x δ verwende Es folgt σ(x) µτ(x) 0, für δ x. σ(x) σ( δ) σ( δ) p+ τ(x). σ(x) c(p)τ(x) mit c(p) = minµ, σ( δ) p+ }. (3.3) ist gezeigt. p : Nach der Integration über (3.3) folgt die Behauptung.

6 3 3. L P -RÄUME < p < : Verwendung der Hölder Ungleichung mit p und p liefert u v L p = ( ( Es bleibt die Einbettung zu untersuchen. ) ( u + v ) p ( p) ( u + v ) p (p ) u v p p dµ ) ( p) ( u + v ) p p ( u + v ) p u v dµ ( ) c(p) ( u L p + v L p) p ( u p L p + v p L p) u+v p L p. J : L (µ) L (µ) Beweis von L (µ) = L (µ). Sei ϕ L (µ) gegeben. Für A X meßbar, µ(a) < und p definiere ϕ p : L p (µ) R, ϕ p (u) = ϕ(χ A u). ϕ p ist stetig, denn aus der Hölder Ungleichung gilt ϕ p (u) ϕ χ A u L ϕ µ(a) q u p. Nach Rieszschem Darstellungssatz für < p < existiert v p L q (µ) mit Jv p,u = uv p dµ = ϕ p (u) = ϕ(χ A u), u L p (µ). Daraus folgt J(χ X\A v p ),u = Jv p,χ X\A u = ϕ(0) = 0, u L p (µ). Da J isometrisch ist, gilt v p = 0 f.ü. aud X\A. Sei p < p und u L p (µ). Dann q > q und v p L q (µ) (da v p = 0 f.ü. auf X\A.) Also haben wir uv p dµ = ϕ p (u) Daraus folgt v p = v p =: v fast überall, und = ϕ(χ A χ A u) = χ A uv p dµ (da χ A u L p ) = uv p dµ. v L q = ϕ p ϕ µ(a) q ϕ mit p ց. Also v L sowie uvdµ = ϕ(χ A u) u L p (µ),p > bliebig Da L p dicht in L, ergibt sich die Darstellungsformell auf L. Wähle eine Ausschöpfung X = k A k, A k meßbar und µ(a k ) <. Seien v k L (µ), v k ϕ wie oben konstruiert. Für k < k und u L (µ) gilt

7 3.5. LUSIN, TITZE-URYSOHN UND RIESZ 33 u(χ Ak v k )dµ = (uχ Ak )v k dµ = ϕ(χ Ak uχ Ak )dµ = ϕ(χ Ak u) da A k A k = uv k dµ. Alsov k = v k =: v L aufa k,undv hatdiegewünschtedarstellungseigenschaft. Bemerkung. J : L (µ) L (µ) ist nicht surjektiv.