Bezeichnungen und Hilfsmittel aus der Analysis

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1 Finite Elemente I 169 A Bezeichnungen und Hilfsmittel aus der Analysis A Bezeichnungen und Hilfsmittel aus der Analysis TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

2 Finite Elemente I 170 A.1 Normierte Vektorräume Definition A.1 Ein normierter Vektorraum ist ein Vektorraum X auf welchem eine Norm : X R + 0 definiert ist. Definition A.2 Sei X ein normierter linearer Raum über R. Als lineares Funktional oder Linearform bezeichnen wir eine lineare Abbildung von X nach R. Der Raum L (X, R) der stetigen linearen Abbildungen von X nach R wird als Dualraum X bezeichnet. Der Wert einer Funktionals f X an einem Element u X wird mit f, u := f(u) bezeichnet. A.1 Normierte Vektorräume TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

3 Finite Elemente I 171 Satz A.3 (Satz von Hahn-Banach für normierte Vektorräume) Sei U Unterraum eines normierten Vektorraumes X sowie l ein auf U definiertes stetiges lineares Funktional mit l(u) α u für alle u U und festem α 0. Dann besitzt l eine Fortsetzung zu einem stetigen linearen Funktional l X mit l X α. A.1 Normierte Vektorräume TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

4 Finite Elemente I 172 A.2 Banach-Räume Ein Banach-Raum ist ein normierter Vektorraum, welcher bezüglich seiner Norm vollständig ist, d.h. in dem jede Cauchy-Folge konvergiert. Definition A.4 Seien X, U Banach-Räume mit U X. Liegt U dicht in X, so sagt man, U sei in X dicht eingebettet. Ist die (lineare) Abbildung stetig, d.h. gilt ι : U X, u u, u U u X C u U u U, so sagt man U sei in X stetig eingebettet. Ist ι kompakt, so heißt U in X kompakt eingebettet. Schreibweise: U X stetige Einbettung U X kompakte Einbettung A.2 Banach-Räume TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

5 Finite Elemente I 173 Satz A.5 Ist X ein normierter Vektorraum, Y ein Banach-Raum und bezeichnet L (X, Y ) den Raum der stetigen linearen Abbildungen von X nach Y, so ist L (X, Y ) mit der Operatornorm ein Banach-Raum. Satz A.6 (Prinzip der offenen Abbildung) Seien X und Y Banach- Räume sowie A L (X, Y ) eine nichttriviale, surjektive Abbildung. Dann ist A eine offene Abbildung, d.h. die Bilder offener Mengen in X unter A sind offene Mengen in Y. Korollar A.7 (Satz von der stetigen Inversen) Seien X, Y Banach-Räume sowie A L (X, Y ) eine Bijektion. Dann ist die Inverse A 1 stetig. A.2 Banach-Räume TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

6 Finite Elemente I 174 A.2.1 Dualraum Satz A.8 Sei X ein normierter Vektorraum über R. Dann ist der Dualraum X ein Banach-Raum bezüglich der Operatornorm f X := sup f, u. u 1 Es gilt f, u f X u X, f X, u X. A.2 Banach-Räume TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

7 Finite Elemente I 175 A.2.2 Orthogonale Komplemente Definition A.9 Sei X ein normierter Vektorraum und U X. Dann heißt der Unterraum von X gegeben durch U := {x X : x, u = 0 u U} das orthogonale Komplement der Menge U. Zur Unterscheidung vom orthogonalen Komplement in Hilbert-Räumen wird hierfür auch die Bezeichnung Annihilator oder Polare von U verwendet mit der Notation U. Analog für U X (U ) = {x X : u, x = 0 u U }. Klar: Orthogonale Komplemente sind abgeschlossen. A.2 Banach-Räume TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

8 Finite Elemente I 176 Satz A.10 (Trennungssatz von Mazur) Sei X ein normierter Raum und U X ein abgeschlossener Unterraum. Dann existiert zu jedem (von Null verschiedenen) v U ein stetiges lineares Funktional l auf X mit den Eigenschaften (a) l U 0, (b) l(v) = v 0 und (c) l = 1. Ist U X Unterraum von X, so gilt für alle x U definitionsgemäß x, u = 0 u U, d.h. u (U ) u U, oder U (U ). Genauer gilt: Satz A.11 Sei U X Unterraum des normierten Vektorraumes X. Dann gilt U = (U ) U abgeschlossen. A.2 Banach-Räume TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

9 Finite Elemente I 177 A.2.3 Adjungierte Abbildung Definition A.12 Seien X, Y normierte Vektorräume und A L (X, Y ). Dann heißt die Abbildung A : Y X definiert durch y, Ax = A y, x x X, y Y die adjungierte oder duale Abbildung zu A. Satz A.13 A ist eine stetige, lineare Abbildung von Y nach X und es gilt A L (Y,X ) = A L (X,Y ). A.2 Banach-Räume TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

10 Finite Elemente I 178 Weitere Eigenschaften der Adjungierten: Satz A.14 Seien X, Y, Z normierte Vektorräume und X, Y, Z deren Dualräume. Sind A, A 1, A 2 L (X, Y ) und B L (Y, Z ), so gilt 1. (α 1 A 1 + α 2 A 2 ) = α 1 A 1 + α 2 A 2, α 1, α 2 R. 2. (B A) = A B. 3. (id X ) = id X. 4. Existiert A 1 und ist stetig, so besitzt auch A eine stetige Inverse und es gilt (A 1 ) = (A ) 1. A.2 Banach-Räume TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

11 Finite Elemente I 179 Das Closed Range Theorem Klassische Fragestellung der Funktionalanalysis: Gegeben zwei Banach- Räume X, Y, A L (X, Y ), und y Y. Wann ist die Gleichung Ax = y lösbar? Wann ist y R(A)? Nach der Definition der dualen Abbildung gilt y, Ax = A y, x x X, y Y, d.h. also y N (A ) y R(A), N (A ) = R(A). A.2 Banach-Räume TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

12 Finite Elemente I 180 Satz A.15 (Closed Range Theorem) Seien X, Y normierte Vektorräume und A L (X, Y ). Dann sind äquivalent 1. R(A) ist abgeschlossen in Y. 2. R(A) = N (A ). Korollar A.16 Zu A L (X, Y ) sei R(A) Y abgeschlossen. Dann besitzt Ax = y genau dann eine Lösung, wenn y N (A ). Fazit: Kriterien dafür, wann R(A) abgeschlossen ist, sind bei diesen Lösbarkeitsfragen hilfreich. A.2 Banach-Räume TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

13 Finite Elemente I 181 Definition A.17 Seien X, Y normierte Vektorräume; A L (X, Y ) heißt nach unten beschränkt, wenn es eine Konstante c > 0 gibt, sodass Ax Y c x X, x X. Klar: Ein nach unten beschränkter Operator A besitzt auf R(A) stets eine stetige Inverse: A ist injektiv, da aus Ax = 0 folgt x = 0, und A 1 ist stetig, da für x = A 1 y(y R(A)) folgt A 1 y X 1 c y Y. Satz A.18 Seien X, Y Banach-Räume und sei A L (X, Y ) injektiv. Dann ist R(A) genau dann abgeschlossen, wenn A nach unten beschränkt ist. A.2 Banach-Räume TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

14 Finite Elemente I 182 A.3 Hilbert-Räume Ein Innenproduktraum (auch Prä-Hilbert-Raum) ist ein Vektorraum V, auf dem ein Innenprodukt erklärt ist, d.h. eine Abbildung V V C, welche zwei Elementen u, v V eine Zahl (u, v) C zuordnet mit folgenden Eigenschaften: (i) Für alle u V gilt (u, u) 0; aus (u, u) = 0 folgt u = 0. (ii) Für alle u, v, w V und alle α, β C gilt (iii) Für alle u, v V gilt (v, u) = (u, v). (αu + βv, w) = α(u, w) + β(v, w). Lemma A.19 In einem Innenproduktraum gilt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung (u, v) (u, u) 1/2 (v, v) 1/2. (A.1) A.3 Hilbert-Räume TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

15 Finite Elemente I 183 Satz A.20 In einem Innenproduktraum V mit Innenprodukt (, ) ist durch u := (u, u) 1/2 eine Norm definiert (die zum Innenprodukt gehörende Norm). Somit ist jeder Innenproduktraum auch ein normierter Vektorraum. Satz A.21 Sei V ein Innenproduktraum. Dann gilt (i) Das Innenprodukt ist stetig in beiden Argumenten, d.h. aus u n u und v n v in V folgt (u n, v n ) (u, v) in C. (ii) Sei M eine dichte Teilmenge von V. Gilt für ein festes u V so folgt u = 0. (u, m) = 0 für alle m M, A.3 Hilbert-Räume TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

16 Finite Elemente I 184 Satz A.22 In einem Innenproduktraum V gilt die Parallelogrammgleichung: für alle u, v V gilt 2 u v 2 = u + v 2 + u v 2. (A.2) In einem normierten Vektorraum gilt die Parallelogrammgleichung genau dann, wenn die Norm zu einem Innenprodukt gehört. In diesem Fall ist das Innenprodukt eindeutig bestimmt durch die Polarengleichung (u, v) = u + v 2 u v 2 + i u + iv 2 i u iv 2 4. (A.3) Im Fall eines reellen Vektorraumes entfallen die beiden letzten Terme im Zähler. A.3 Hilbert-Räume TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

17 Finite Elemente I 185 Definition A.23 Ein Hilbert-Raum H ist ein Innenproduktraum, welcher bezüglich der zum Innenprodukt gehörenden Norm vollständig ist, d.h. jede Cauchy-Folge bezüglich dieser Norm besitzt einen Grenzwert in H. Beispiele: (1) R bzw. C mit Innenprodukt (x, y) := xy bzw. (z, w) := wz ist ein reeller bzw. komplexer Hilbert-Raum. (2) R n bzw. C n, zusammen mit dem Euklidschen Innenprodukt (x, y) := y H x ist für alle n N ein reeller bzw. komplexer Hilbert-Raum der Dimension n. (3) Ist U ein Unterraum der Hilbert-Raumes H, so ist dessen Abschluss U bezüglich des geerbten Innenprodukts ebenfalls wieder ein Hilbert- Raum. (4) Der Raum der stetigen Funktionen auf einem Intervall [a, b] mit dem L 2 -Innenprodukt (u, v) := b u(x)v(x) dx ist kein Hilbert-Raum. a A.3 Hilbert-Räume TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

18 Finite Elemente I 186 A.3.1 Der Hilbert-Raum L 2 (a, b) Seien a, b reelle Zahlen mit a < b. Mit L 2 (a, b) sei die Menge aller messbaren Funktionen u : (a, b) R (bzw. C) bezeichnet, für welche b a u(x) 2 dx <. Das Integral ist im Lebesguesche Sinne zu verstehen. Satz A.24 L 2 (a, b) ist ein unendlichdimensionaler Hilbert-Raum bezüglich des Innenprodukts (u, v) := b a u(x)v(x) dx, u, v L 2 (a, b). Zwei Funktionen u, v L 2 (a, b) sind gleich als Elemente von L 2 (a, b), wenn ihre Funktionswerte sich auf höchstens einer Nullmenge unterscheiden. A.3 Hilbert-Räume TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

19 Finite Elemente I 187 A.3.2 Der Hilbert-Raum L 2 (Ω) Sei Ω R d, d N, eine nichtleere messbare Menge mit positivem Maß. Mit L 2 (Ω) bezeichnen wir die Menge aller messbaren Funktionen u : Ω R (bzw. C) mit der Eigenschaft u(x) 2 dx <. Ω Satz A.25 L 2 (Ω) ist bezüglich des Innenprodukts (u, v) := u(x)v(x) dx, u, v L 2 (Ω) Ω ein (unendlichdimensionaler) Hilbert-Raum. Funktionen aus L 2 (Ω) werden identifiziert, wenn ihre Funktionswerte bis auf eine Nullmenge übereinstimmen. A.3 Hilbert-Räume TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

20 Finite Elemente I 188 A.3.3 Räume stetiger Funktionen Definition A.26 Sei Ω R d nichtleer und offen. (a) Mit C k (Ω) bezeichnen wir die Menge aller reell oder komplexwertigen auf Ω definierten Funktionen mit stetigen partiellen Ableitungen bis Ordnung einschließlich k (k N 0.) (b) Mit C k (Ω) bezeichnen wir die Funktionen aus C k (Ω), deren partielle Ableitungen bis Ordnung einschließlich k stetig auf den Abschluss Ω von Ω fortgesetzt werden können. (c) Die Menge aller Funktionen, welche für alle k N 0 in C k (Ω) bzw. C k (Ω) liegen, bezeichnen wir mit C (Ω) bzw. C (Ω). (d) Mit C 0 (Ω) bezeichnen wir die Menge aller Funktionen aus C (Ω), die außerhalb einer kompakten Teilmenge K Ω verschwinden. A.3 Hilbert-Räume TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

21 Finite Elemente I 189 Satz A.27 Sei Ω R d nichtleer und offen. Dann gelten: (a) C 0 liegt dicht in L 2 (Ω). (b) C(Ω) liegt dicht in L 2 (Ω). Korollar A.28 L 2 (Ω) ist separabel. Beispiel: C[a, b] zusammen mit dem L 2 -Innenprodukt ist kein Hilbert- Raum. Lemma A.29 (Variationslemma) Sei Ω R d, d 1. Gilt für u L 2 (Ω) uφ dx = 0 φ C0, Ω so folgt u(x) = 0 für fast alle x Ω. Gilt darüberhinaus u C(Ω), so ist u(x) = 0 für alle x Ω. A.3 Hilbert-Räume TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

22 Finite Elemente I 190 A.3.4 Orthogonale Komplemente Definition A.30 Das orthogonale Komplement einer Unterraums U eines Hilbert-Raums H ist der (abgeschlossene) Unterraum von H definiert durch U := {v H : (u, v) = 0 u U } Satz A.31 (Projektionssatz) Sei U ein abgeschlossener Unterraum des Hilbert-Raumes H. Dann gibt es zu jedem f H zwei eindeutige Elemente u U sowie v U sodass f = u + v. A.3 Hilbert-Räume TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

23 Finite Elemente I 191 Ist H ein Hilbert-Raum mit Innenprodukt (, ), so ist mit u H durch l u : H R, v (, u) eine Linearform gegeben, die nach der Cauchy- Schwarz Ungleichung stetig ist. Dies sind sogar genau die stetigen Linearformen auf H. Satz A.32 (Rieszscher Darstellungssatz) Ist H ein Hilbert-Raum und l H ein stetiges lineares Funktional, so gibt es genau ein u l H mit l(v) = (v, u l ) v H. Ferner ist l H = u l H. Der Riesz-Operator R : H H, der einem Element u H sein Funktional l u zuordnet, ist also ein normerhaltender Isomorphismus. Damit kann jeder Hilbert-Raum mit seinem Dual identifiziert werden. Insbesondere kann die Hilbert-Raum Struktur von H auf H, welcher zunächst nur ein Banach-Raum ist, übertragen werden. A.3 Hilbert-Räume TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

24 Finite Elemente I 192 A.4 Differentialrechnung im Mehrdimensionalen A.4.1 Partielle Ableitungen Ω R d offen α = (α 1,..., α d ) N d 0 Multiindex, α := α α d, α! := α 1! α d! v : Ω R, v(x ) = v(x 1,..., x d ), differenzierbare Funktion D α v(x ) := α v(x ) α 1 α d x 1 Weitere Schreibweisen: x d partielle Ableitung vom Index α v x i = v xi = i v, 2 v x i x j = v xi x j = ij v A.4 Differentialrechnung im Mehrdimensionalen TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

25 Finite Elemente I 193 A.4.2 Differential Die Ableitung oder das Differential Dv(x ) einer differenzierbaren Funktion v : Ω R an der Stelle x Ω R d ist eine lineare Abbildung von R d nach R: Dv(x ) : R d R (auch Fréchet-Ableitung genannt). Die Anwendung Dv(x )(ξ) von Dv(x ) auf einen Vektor ξ R d ist die Richtungsableitung von v an der Stelle x längs ξ. Die m-te Ableitung D m v(x ) von v an der Stelle x ist eine m-fach multilineare Abbildung D m v(x ) : R d R }{{ d R } m Stück A.4 Differentialrechnung im Mehrdimensionalen TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

26 Finite Elemente I 194 Durch Anwendung von D m v(x ) auf Kombinationen der Einheitsvektoren {e i } d i=1 des Rd erhält man einzelne partielle Ableitungen: D α v(x ) = D α v(x )(e 1,..., e }{{} 1,..., e d,..., e d ) (A.4) }{{} α 1 Stück α d Stück Die Norm D m v(x ) der m-ten Ableitung von v an der Stelle x (als multilineare Abbildung) ist definiert als a D m v(x ) = sup D m v(x )(ξ 1,..., ξ m ). (A.5) ξ i 1, i=1,...,m Somit gilt für beliebige Vektoren ξ 1,..., ξ m R d die Beziehung D m v(x )(ξ 1,..., ξ m ) D m v(x ) ξ 1 ξ m. a Hierbei bezeichnet ξ eine beliebige Norm auf R d. A.4 Differentialrechnung im Mehrdimensionalen TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

27 Finite Elemente I 195 Aus der Definition (A.5) folgt unmittelbar D α v(x ) D m v(x ) α mit α = m. Ferner zeigt man leicht mit Hilfe der Beziehung (A.4), dass es eine (von m und d abhängige) Konstante C gibt mit D m v(x ) C max α =m Dα v(x ). A.4 Differentialrechnung im Mehrdimensionalen TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

28 Finite Elemente I 196 A.5 Lebesgue-Räume Definition A.33 Für Ω R d offen und p [1, ) bezeichnet a L p (Ω) := {v : Ω R : Ω v(x ) p dx < } den Raum der Lebesgue-Raum der Ordnung p. Für p = definieren wir wobei L (Ω) := {v : Ω R : ess sup x Ω ess sup x Ω := inf µ(n)=0 sup x Ω\N v(x ) < }, v(x ) und µ(n) das Lebesgue-Maß einer Menge N bezeichnet. a Es wird dabei angenommen, dass das Integral im Lebesgueschen Sinne existiert. A.5 Lebesgue-Räume TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

29 Finite Elemente I 197 Die L p -Räume sind Banach-Räume bezüglich der Normen ( ) 1/p v(x ) p dx 1 p <, v Lp (Ω) = Ω ess sup v(x ) p =. x Ω Der Raum L 2 (Ω) ist ein Hilbert-Raum mit dem Innenprodukt (u, v) = u(x )v(x ) dx. Ω Satz A.34 Ist Ω R d offen und zusammenhängend, so liegt C 0 (Ω) dicht in L p (Ω) für 1 p <. Für p = ist die Aussage falsch. A.5 Lebesgue-Räume TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

30 Finite Elemente I 198 A.6 Sobolev-Räume Ω R d beschränkt, offen, zusammenhängend; Rand Lipschitz-stetig. Definition A.35 Für m N 0, 1 p definieren wir den Sobolev-Raum W m,p (Ω) := { v L p (Ω) : D α v L p (Ω) α mit α m }. W m,p (Ω) ist ein Banach-Raum bezüglich der Norm v m,p,ω = ( α m max α m Ω D α v(x ) p dx ) 1/p 1 p <, ( ess sup D α v(x ) x Ω ) p =. A.6 Sobolev-Räume TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

31 Finite Elemente I 199 Halbnormen: v m,p,ω = ( α =m max α =m Ω D α v p dx ) 1/p 1 p <, ( ess sup D α v x Ω ) p =. Äquivalente Definition (1 p < ): Man betrachte alle Funktionen v C m (Ω), für welche v m,p,ω < und bilde den Abschluss dieser Menge bezüglich m,p,ω. [Meyers & Serrin, 1964] A.6 Sobolev-Räume TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

32 Finite Elemente I 200 Die Sobolev-Räume mit Nullrandwerten W m,p 0 (Ω) sind definiert als Abschluss von D(Ω) in W m,p Ω). Beachte: W m,2 (Ω) = H m (Ω), W m,2 0 (Ω) = H m 0 (Ω), m,2,ω = m,ω, m,2,ω = m,ω. A.6 Sobolev-Räume TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

33 Finite Elemente I 201 Stetige Einbettungen Satz A.36 (Sobolev) Für m 0 und p [1, ] gelten die stetigen Einbettungen L p (Ω), 1/p = 1/p m/d, falls m < d/p, L q (Ω) q [1, ), falls m = d/p, W m,p (Ω) C 0,m d/p (Ω), falls d/p < m < d/p + 1, C 0,α (Ω) α (0, 1), falls m = d/p + 1, C 0,1 (Ω), falls d/p + 1 < m. Analoge Einbettungen durch Verschiebung, z.b. W m+r,p (Ω) W r,p (Ω) falls m < d/p. A.6 Sobolev-Räume TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

34 Finite Elemente I 202 Für die FEM ist oft wichtig, ab welcher Ableitungsordnung bei gegebenem d ein Sobolev-Raum stetig in den Raum C s der im klassischen Sinne s-mal stetig-differenzierbaren Funktionen eingebettet ist. Wir betrachten den Fall p = 2, also die Hilbert-Räume H m. Damit D α u, α s, noch stetig ist, muß nach dem Einbettungssatz gelten D α u H m, α s, und m > d/2, also insgesamt u H m+s und m > d/2. Mit k = m + s erhalten wir also: H k ist stetig in C s eingebettet falls k s > d/2. A.6 Sobolev-Räume TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

35 Finite Elemente I 203 Kompakte Einbettungen Satz A.37 (Kondrachov) Für m 0 und p [1, ] gelten die kompakten Einbettungen L q (Ω) q [1, p ), 1/p = 1/p m/d, falls m < d/p, W m,p (Ω) L q (Ω) q [1, ), falls m = d/p, C 0 (Ω), falls d/p < m. Wichtige Dichtheitseigenschaft: für 1 p < gilt C (Ω) m,p,ω = W m,p (Ω). A.6 Sobolev-Räume TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

36 Finite Elemente I 204 Spursatz Für Funktionen aus C (Ω) sind die Randwerte auf Ω, genannt Spur, definiert durch γ 0 (u) = u Ω. (A.6) Satz A.38 (Spursatz) Sei Ω R d ein beschränkes Lipschitz-Gebiet. Dann besitzt, sofern 1/p < m 1, die in (A.6) für Funktionen aus C (Ω) definierte Abbildung eine eindeutige Fortsetzung zu einer stetigen linearen Abbilding von W m,p (Ω) nach W m 1/p,p ( Ω). A.6 Sobolev-Räume TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

37 Finite Elemente I 205 A.7 Ungleichungen A.7.1 Die Poincaré-Friedrichs Ungleichung Satz A.39 Ist Ω R d ein beschränktes Gebiet und Γ Ω von positivem Maß, so existiert eine Konstante C(Ω) mit u 0,Ω C(Ω) u 1,Ω für alle u H 1 Γ (Ω) := {u H1 (Ω) : u Γ = 0}. Insbesondere ist die Halbnorm 1,Ω auf diesem Raum eine Norm. A.7 Ungleichungen TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

38 Finite Elemente I 206 Jensensche Ungleichung Satz A.40 Ist 0 < p < q, so gilt für x 1, x 2,... x n C n x j q 1/q n x j p j=1 j=1 1/p. A.7 Ungleichungen TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

39 Finite Elemente I 207 A.8 Integralsätze Satz A.41 (Divergenzsatz) Sei Ω R 3 ein beschränktes Lipschitz-Gebiet mit Rand Ω und äußerer Einheitsnormalen n. Sei ferner F : R 3 R 3 ein Vektorfeld aus C 1 (Ω) 3. Dann gilt F dx = n F ds. (A.7) Ω Eine analoge Aussage gilt auch für zweidimensionale Lipschitz-Gebiete. Ω A.8 Integralsätze TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

40 Finite Elemente I 208 Korollar A.42 Sei Ω R 3 ein beschränktes Lipschitz-Gebiet mit Rand Ω und äußerer Einheitsnormalen n. Dann gelten: 1. Ist φ C 1 (Ω) und u C 1 (Ω) 3, so gilt φ u dx = u φ dx + Ω Ω Ω φ(n u) ds. (A.8) 2. (Erste Greensche Formel) Sind u C 1 (Ω) und v C 2 (Ω), so gilt u v dx = u v dx + u v n ds. Ω Ω Ω (A.9) 3. (Zweite Greensche Formel) Sind u, v C 2 (Ω), so gilt ( (u v v u) dx = u v n v u ) n Ω Ω ds. (A.10) A.8 Integralsätze TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111

41 Finite Elemente I Sind u, φ C 1 (Ω) 3. Dann gilt φ ( u) dx = u ( φ) dx + Ω Ω Ω (n u) φ ds. (A.11) A.8 Integralsätze TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111