Vorlesung Lineare Funktionale LINEARE FUNKTIONALE 69

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1 13.1. LINEARE FUNKTIONALE 69 Vorlesung Lineare Funktionale Der Begriff der schwachen Konvergenz wird klarer, wenn man lineare Funktionale betrachtet. Das Skalarprodukt f, g in Hilberträumenkann nämlichfür festes f H(Ω) als lineare Funktionvong betrachtetwerden. Die übliche Terminologie ist lineares Funktional. Vor unserem ersten wichtigen Satz, dem Darstellungssatz von Riesz, jedoch erst einige allgemeine Bemerkungen. Definition. EsseiH ein Hilbertraum. Ein beschränkteslinearesfunktionala ist eineabbildungsvorschrift, die jedem Element f H eine reelle Zahl A(f) zuordnet und folgende Eigenschaften besitzt: 1. A ist additativ, d.h. A(f 1 + f 2 ) = A(f 1 ) + A(f 2 ); 2. A ist homogen, d.h. A(λf) = λa(f) für alle λ R; 3. A ist beschränkt, d.h. es existiert ein M [0, ) derart, dass A(f) M f H für alle f H erfüllt ist. Lineare Funktionale können natürlich auch auf Banachräumen definiert werden. Es kann auch der Wertevorrat R(A) wieder aus einem allgemeinen Banachraum sein. In diesem letzten Fall sprechen wir von (beschränkten) linearen Operatoren. Aus der Definition lesen wir unmittelbar A(0) = A(0 f) = 0 A(f) = 0 sowie A( λ 2 f) = λ 2 A(f) ab. Wir kommen nun zum Begriff eines stetigen linearen Funktionals. Definition. Das lineare Funktional A heißt stetig, falls jede in H konvergente Folge {f k } k=1,2,... in eine konvergent Folge {A(f k )} k=1,2,... abgebildet wird. In unserem Zusammenhang ist folgendes Resultat wichtig. Satz. Ein lineares Funktional ist genau dann stetig, wenn es beschränkt ist. Beweis. (Triebel [18], Beweis zu Satz 6.1) 1. Sei A beschränkt. Betrachte die in H konvergente Folge f k f. Aus der Beschränktheit folgt d.h. A(f k ) A(f) für k. Also ist A stetig. A(f k ) A(f) = A(f k f) M f k f H, 2. Sei A stetig. Angenommen, A ist nicht beschränkt. Dann gibt es Elemente f k H mit f k H = 1, A(f k ) k für k = 1, 2,... Die Folge g k := f k k konvergiert gegen 0, d.h. es gilt auch A(g k ) 0 für k wegen der Stetigkeit. Das ist aber ein Widerspruch zu Damit ist der Satz bewiesen. A(g k ) = 1 k A(f k) 1 für alle k = 1, 2,...

2 70 KAPITEL V. BESCHRÄNKTE LINEARE FUNKTIONALE AUF HILBERTRÄUMEN 13.2 Der Rieszsche Darstellungssatz In Vorlesung 9 hatten wir die Aussage des Rieszschen Darstellungssatzes auf L p vorgestellt. Hier nun wollen wir diesen Darstellungssatz in Hilberträumen kennenlernen und beweisen. Betrachte zur Vorbereitung das spezielle lineare Funktional A(f) = f, g zu fixiertem g H. Nach der Schwarzschen Ungleichung ist A(f) f H g H. Definition. Für die Norm des Operators A setzen wir Im obigen Beispiel gilt also Andererseits ist Insgesamt erhalten wir A H := sup f H\{0} A(f) f H = A H g H. sup A(f). f H, f H=1 g 2 H = g, g = A(g) A H g H, daher g H A H. A H = g H. Dieses spezielle Resultat verallgemeinert sich nun wie folgt: Satz. Jedes beschränkte, lineare Funktional A(f) im Hilbertraum H lässt sich in der Form A(f) = f, g schreiben. Die erzeugende Funktion g H ist durch A eindeutig bestimmt. Es gilt dabei A H = g H. Mit anderen Worten: Jedem linearen und beschränkten Funktional A(f) über dem Hilbertraum H ist eineindeutig ein Hilbertraumelement g zugeordnet. Damit bildet die Menge solcher Funktionale wieder ein Hilbertraum! Warum? Beweis. (Triebel [18], Beweis zu Satz 9.1) 1. Wir setzen voraus, dass A(f) nicht identisch Null ist. Dann ist H 1 = { u : u H, A(u) = 0 } ein echter Unterraum von H. Aus der Stetigkeit des linearen Funktionals A folgt, dass H 1 abgeschlossen ist. Wähle ein v H1 mit v 0. Es ist dann A(v) 0, und wir erhalten v H 1, f A(f) A(v) v H 1, denn wir berechnen Damit ist aber auch bzw. nach Umstellen ( A f A(f) ) A(v) v = A(f) A(f) A(v) = 0. A(v) 0 = v, f A(f) A(v) v = v, f A(f) A(v) v 2 H A(f) = A(v) A(v) v 2 v, f = H v 2 v, f = g, f H mit der Setzung g = A(v) v. Wir sind nun in der eingangs besprochenensituation eines Skalarprodukts! v 2 H

3 13.3. DER SATZ VON LAX UND MILGRAM Die Identität A H = g H haben wir oben bereits nachgewiesen. 3. Es verbleibt, die Eindeutigkeit zu zeigen. Sei dazu mit g g, und für alle f H muss gelten A(f) = f, g = f, g = f, g g = 0. Setze speziell f = g g, so folgt g g, g g = 0, d.h. g = g. Damit ist der Satz bewiesen. Diesen Darstellungssatz (im L 2 ) fanden unabhängig voneinander M. Fréchet und F. Riesz. Er wurde im Jahr 1907 im gleichen Heft der Compes Rendus, Band 144, veröffentlicht. Der Darstellungssatz von Riesz gilt auch für allgemeinere Banachräume. Wir wiederholen dazu aus der neunten Vorlesung den Satz. Sei 1 p <. Zu jedem beschränkten Funktional A auf L p (Ω) gibt es genau eine Funktion g L q (Ω) mit 1 p + 1 q = 1, so dass A(f) = fg dx für alle f L p (Ω). Ω Das Integral auf der rechten Seite hier kann auch als Skalarprodukt gedeutet werden, allerdings sind die beiden Faktoren aus i.a. verschiedenen Räumen. Die Koeffizienten p und q heissen zueinander konjugiert. Auch für den Fall nichtnegativer, linearer Funktionale A: C 0 (R n ) R gibt es einen solchen Darstellungssatz: Zu jedem solchen A existiert nämlich ein Radon-Maß µ auf R n mit der Eigenschaft A(f) = f(x)dµ(x). R n Schließlich ist es möglich, den R n durch einen sogenannten lokalkompakten Raum Hausdorff-Raum X zu ersetzen, welcher dadurch gekennzeichnet ist, dass jeder Punkt eine kompakte Umgebung besitzt. Für ein detailliertes Studium verweisen wir auf die Literatur zur Maßtheorie Der Satz von Lax und Milgram Der Rieszsche Darstellungssatz stellt uns ein für die Funktionalanalysis und insbesondere für die Theorie der partiellen Differentialgleichungen äußerst wichtiges Hilfsmittel zur Verfügung: Satz. Sei a: H H R eine Sesquilinearform, d.h. es gilt Ferner gebe es reelle Zahlen 0 < c 0, c 1 <, so dass (i) a(f, g) c 1 f H g H, d.h. a ist beschränkt; (ii) a(f, f) c 0 f 2 H, d.h. a ist koerziv a(λf 1 + µf 2, g) = λa(f 1, g) + µa(f 2, g). für alle f, g H. Dann existiert genau ein linearer Operator B: H H mit a(f, g) = f, B(g) für alle f, g H. Ferner ist B invertierbar, d.h. es existiert ein linearer Operator B 1 mit den Eigenschaften B B 1 = B 1 B = id und der identischen Abbildung h id(h) = h, und es gelten B(g) H c 1 g H, B 1 (g) H 1 c 0 g H für alle g H.

4 72 KAPITEL V. BESCHRÄNKTE LINEARE FUNKTIONALE AUF HILBERTRÄUMEN Der Satz von Lax und Milgram stellt eine Verallgemeinerung des Rieszschen Darstellungssatzes auf Bilinearformen dar. In Numerik und Theorie der partiellen Differentialgleichungen wird der Satz von Lax und Milgram in verschiedenen allgemeineren Formen diskutiert. Beweis. (Dobrowolski [20], Beweis zu Satz 2.29) Sei g H fest gewählt. Dann ist A g (f) = a(f, g) ein lineares Funktional, wobei die Linearität aus A g (λf 1 + µf 2 ) = a(λf 1 + µf 2, g) = a(λf 1, g) + a(µf 2, g) = λa(f 1, g) + µa(f 2, g) = λa g (f 1 ) + µa g (f 2 ) folgt. In den folgenden Punkten wollen wir alle im Satz behaupteten Eigenschaften von A g im Detail herausarbeiten. A g ist beschränkt, also auch stetig, denn wir berechnen A g H = sup A g (f) = sup a(f, g) c 1 g H, f H, f H=1 f H, f H=1 weshalb A g beschränkt ist. Nach dem Satz aus Abschnitt 13.1 ist damit A g auch stetig. Nach dem Rieszschen Darstellungssatz können wir die Wirkung von A g als Skalarprodukt darstellen A g (f) = f, h für alle f H mit einer eindeutig festgelegten erzeugenden Funktion h H. Mit anderen Worten finden wir für zu jedem fest gewählten g H ein eindeutig bestimmtes h H mit der Eigenschaft A g (f) = f, h für alle f H. Demnach läßt sich h als Bild einer Abbildung B: H H schreiben: was bedeutet h = B(g), A g (f) = a(f, g) = f, B(g) für alle f H. Das ist schon die gesuchte Darstellung. Allerdings müssen wir uns noch davon überzeugen, dass B auch wirklich eine wie im Satz behauptete geeignete lineare Abbildung ist. Zunächst ist B linear, denn unter Benutzung der Bilinearität der Form a: H H R berechnen wir f, B(λg 1 + µg 2 ) = a(f, λg 1 + µg 2 ) = λa(f, g 1 ) + µa(f, g 2 ) = λ f, B(g 1 ) + µ f, B(g 2 ) = f, λb(g 1 ) + f, µb(g 2 ) = f, λb(g 1 ) + µb(g 2 ) für alle f H. Daraus folgt die Linearität der Abbildung B. Ferner ist B beschränkt und stetig als Abbildung von H in H in folgendem Sinne: nach Voraussetzung (i) des Satzes, d.h. B(g) 2 H = B(g), B(g) = a(b(g), g) c 1 B(g) H g H B(g) H c 1 g H für alle g H. Damit ist B beschränkt, wenn wir - analog zum Fall linearer Funktionale - die Beschränktheit von Operatoren definieren. Genauso ersehen wir, dass B stetig ist, wenn wir die bekannte Stetigkeitsdefinition für lineare Funktionale ausdehnen: Eine im Mittel konvergente Folge {g k } k=1,2,... H mit g k g H 0 für k wird in eine konvergente Folge {B(g k )} k=1,2,... H abgebildet, denn B(g k ) B(g) H = B(g k g) H c 1 g k g H.

5 13.3. DER SATZ VON LAX UND MILGRAM 73 DerKern der Abbildung B ist trivialim folgenden Sinne: Die Schwarzsche Ungleichung liefert zunächst c 0 f 2 H a(f, f) = f, B(f) B(f) H f H bzw. B(f) H c 0 f H für alle f H. Dieses bedeutet aber N(B) := { f H : B(f) = 0 } besteht nur aus der Nullabbildung: N(B) = {0}. Das wiederum impliziert, dass B injektiv ist: Sind nämlich g 1 g 2 zwei Elemente aus H mit B(g 1 ) = h und B(g 2 ) = h, so ermitteln wir 0 = B(g 1 ) B(g 2 ) = B(g 1 g 2 ), also g 1 = g 2 in H. Es folgt, dass der Wertevorrat R(B) abgeschlossen ist. Dabei ist erst einmal R(B) = { h H : h = B(f) für ein f H }. Wähle nun eine Folge {f k } k=1,2,... H. Gilt nun g k = B(f k ) g H (und das ist unsere Ausgangsfolge für diesen Beweispunkt), so folgt auch c 1 1 f k f l H B(f k f l ) H. Da nun {B(f k )} k=1,2,... konvergiert und somit in H eine Cauchy-Folge ist, wissen wir nun, dass auch {f k } k=1,2,... eine Cauchy-Folge ist, und es konvergiert f k f in H. Unter Ausnutzung der Stetigkeit von B erhalten wir B(f k ) B(f) = g, d.h. g ist Bild von f unter B, und R(B) ist abgeschlossen. Schließlich zeigen wir, dass B bijektiv ist. Sei dazu ein f 0 H gewählt mit f 0 R(B) H. Wegen folgt f 0, B(f) = 0 für alle f H 0 = f 0, B(f 0 ) = a(f 0, f 0 ) c 0 f 0 2 H, und daher muss f 0 = 0 sein. Also besteht der zu R(B) orthogonale Raum nur aus dem Nullelement. Da aber andererseits R(B) H abgeschlossen ist, schließen wir nach den Resultaten aus Abschnitt 12.2 R(B) = H. Daher ist B bijektiv, und es existiert die Inverse B 1 mit B B 1 = B 1 B = id. Ersetzen wir schließlich in f H c 1 0 B(f) H die Funktion f durch B 1 (g), so folgt auch die im Satz behauptete Normabschätzung für B 1. Es ist alles gezeigt.

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