Multiplikationsoperatoren

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1 Multiplikationsoperatoren Dennis Dyck Einleitung In dem ersten Vortrag des eminars soll es um die Untersuchung von Multiplikationsoperatoren gehen. Es werden grundlegende Eigenschaften hergeleitet und insbesondere das pektrum solcher Operatoren bestimmt. Multiplikationsoperatoren sind insofern wichtig, als dass gezeigt werden kann, dass alle normalen Operatoren als Multiplikationsoperatoren über einem Raum L 2 (Ω, µ), für einen bestimmten Maßraum Ω und ein Maß µ, aufgefasst werden können. Als erster chritt zu diesem Ergebnis soll am chluss noch das Riesz-Markov Darstellungstheorem besprochen werden. Dabei beziehen wir uns in Paragraph 2 und 4 auf Joan Cerdá, Linear functional analysis und in Paragraph 3 auf Richard V. Kadison and John R. Ringrose, Fundamentals of the theory of operator algebras. 2 Grundlagen der Maßtheorie Hier sollen in kurzer Form einige grundlegende Definitionen aus der Maßtheorie, die für die Betrachtung von Multiplikationsoperatoren notwendig sind, wiederholt werden. Wir beginnen mit: Definition (σ-algebra): ei Ω eine nichtleere Menge und Σ eine Menge von Teilmengen von Ω. Dann heißt Σ σ-algebra, wenn Folgendes gilt: 1. Ω Σ 2. Ist (A k ) k N eine Folge von Mengen in Σ, so ist A k Σ 3. Ist A Σ, so ist auch das Komplement A c = Ω\A Σ Aus diesen Eigenschaften folgt unmittelbar, dass = Ω c Σ, dass A k Σ, falls (A k ) k N eine Folge in Σ, sowie dass A\B = A B c Σ, falls A, B Σ. Ist Ω, so ist die Potenzmenge P(Ω) von Ω ein triviales Beispiel für eine σ-algebra. 1

2 Definition (Messbarer Raum, Maß, Maßraum): Ein messbarer Raum besteht aus einer nichtleeren Menge Ω, zusammen mit einer σ-algebra Σ P(Ω). Die Elemente von Σ werden die messbaren Mengen genannt. Funktionen f : Ω R mit der Eigenschaft, dass alle Mengen der Form {f > r} := {ω Ω f(ω) > r}(r R) messbar sind, werden messbare Funktionen genannt. Die messbaren Funktionen bilden mit den üblichen Operationen einen R-Vektorraum. Ein Maß µ auf einem messbaren Raum (Ω, Σ) ist eine Abbildung µ : Σ [0, ], sodass µ( ) = 0 und die folgende σ-additivitäts-eigenschaft erfüllt ist: Ist (A k ) k N eine Folge von disjunkten Mengen in Σ, so gilt ( ) µ A k = µ(a k ). Ein Maß µ auf einem messbaren Raum Ω heißt σ-endlich, wenn gilt: Es existiert eine Folge von Teilmengen (Ω k ) k N von Ω mit µ(ω k ) < und Ω = Ω k. Ein Maßraum ist ein messbarer Raum (Ω, Σ) mit einem ausgezeichneten Maß µ : Σ [0, ]. Definition (Borelmengen, Borelsche σ-algebra, Borelmaß): ei Ω ein lokalkompakter metrischer Raum, z.b. eine offene oder abgeschlossene Teilmenge von R n. Dann heißt B Ω := {Σ Σ ist σ-algebra, U Σ für alle U Ω offen} Borelsche σ-algebra. B Ω wird also von den offenen Teilmengen von Ω erzeugt. Die Elemente von B Ω heißen Borelmengen. Ein Borelmaß auf R n ist ein Maß µ auf der Borelschen σ-algebra, mit µ(k) < für kompakte Mengen K. Das für uns wichtigste Beispiel für ein Borelmaß ist das Lebesgue-Maß. Es ist das einzige Borelmaß auf R n, das translationsinvariant ist und bezüglich welchem der Einheitswürfel [0, 1] n Maß 1 hat. Konstruktion des Lebesgue-Maßes: Eine einfache Funktion ist eine Funktion der Form N s = λ m χ Am m=1 (A m Σ, λ m R), wobei wir voraussetzen, dass die messbaren Mengen A m disjunkt sind. Einfache Funktionen sind messbar und jede messbare Funktion f ist punktweiser 2

3 Limes einer Folge von einfachen Funktionen s n, sodass s n (s) f(x) (x Ω). Diese Folge kann folgendermaßen konstruiert werden: ei f 0. Definiere dann s n = χ {f n} + n2 n k 1 2 n χ { k 1 2 n f< k 2 n }. n Ist f beschränkt, so konvergiert s n auf Ω gleichmäßig gegen f, s n f. Das Lebesgue-Integral f dλ (oder Ω f(x) dx) ist dann folgendermaßen definiert: Ist f 0, so gilt f dλ := sup N α j λ(a j ) [0, ], n=1 wobei das upremum über alle einfachen Funktionen s gebildet wird mit: N s = α j χ Aj j=1 (N N, A j = s 1 (α j ) Σ), sodass 0 s f. ei nun f = f + f (dabei sind f + (x) = max(f(x), 0) und f (x) = max( f(x), 0)). Dann ist das Integral f dλ := f + dλ f dλ definiert, wenn mindestens eines der Integrale f ± dλ endlich ist. ind beide Intergrale endlich, so schreiben wir f L 1 (λ) und dann gilt f dλ = f + dλ + f dλ <. Wir sagen dann f ist integrierbar oder absolut integrierbar. L 1 (λ) wird mit den üblichen Operationen zu einem R-Vektorraum. Für das Lebesgue-Integral gilt: f dλ 0, wenn f 0. Außerdem ist das Integral linear, es ist also eine positive Linearform. Weiterhin ist das Lebesgue- Integral monoton und invariant unter Rotationen, Translationen und ymmetrien. 3 Multiplikationsoperatoren 3.1 Definition und grundlegende Eigenschaften ei eine beliebige Menge. eien weiterhin µ ein σ-endliches Maß auf einer σ-algebra Σ P() und g L (, Σ, µ) mit g = k. Dann definiert jedes x H := L 2 (, Σ, µ) eine messbare Funktion M g x auf, via (M g x)(s) = g(s)x(s). (s ) (1) 3

4 Es gilt M g x H und M g x l k x, denn: (M g x)(s) 2 dµ(s) kx(s) 2 dµ(s) = k 2 x(s) 2 dµ(s). Da M g x offensichtlich linear von x abhängt folgt hieraus, dass M g ein beschränkter linearer Operator auf H mit M g k ist. Es gilt aber weiterhin: ei 0 < a < k beliebig. Dann ist die Menge {s : g(s) > a} messbar und hat positives Maß. Daher existiert auch eine messbare Teilmenge Y {s : g(s) > a}, sodass 0 < µ(y ) <, denn µ ist σ-endlich. Die charakteristische Funktion y von Y ist daher ein von Null verschiedener Vektor in H. Es gilt dann (M g y)(s) a y(s) für alle s, daraus folgt M g y a y und damit M g a. Da a beliebig war, folgt M g k und damit insgesamt: M g = k = g. (2) Desweiteren ist M g ein normaler Operator, denn: Definiere g durch g(s) = g(s) für s, dann ist g L und es gilt: M g x, y = (M g x)(s)y(s) dµ(s) = g(s)x(s)y(s) dµ(s) = x(s)(m g y)(s) dµ(s) = x, M g y (x, y H ), also Kurze Rechnungen zeigen, dass außerdem M g = M g. (3) M af+bg = am f + bm g, M fg = M f M g (f, g L, a, b C) gilt, daraus folgt unmittelbar, dass M f und M g für alle f und g aus L kommutieren, insbesondere kommutiert M g also mit seinem Adjungierten M g. M g ist daher normal. Außerdem ist M g selbstadjungiert genau dann, wenn g(s) für fast alle s reell ist, denn: M g Mg = M g g = ess sup g(s) g(s) = g g. s M g ist positiv genau dann, wenn g(s) 0 für fast alle s, denn: M g x, x = g(s) x(s) 2 dµ(s) (x H ) ei u L definiert durch u(s) = 1 (s ), dann ist M u = id und id M g Mg = id Mg M g = M u gg = ess sup 1 g(s) 2 = u gg. s Daraus folgt, dass M g genau dann unitär ist, wenn g(s) = 1 für fast alle s. 4

5 3.2 Das pektrum von Multiplikationsoperatoren In diesem Abschnitt wollen wir das pektrum von Multiplikationsoperatoren untersuchen. Zuerst stellen wir fest, dass Multiplikationsoperatoren im Allgemeinen keine Eigenwerte zu haben brauchen. Denn die Gleichung M g x = cx (mit g L, 0 x H = L 2 und c C) impliziert, dass gilt: g(s) = c fast überall auf der messbaren Menge {s x(s) 0}, welche positives Maß hat. Der Operator M g kann folglich keine Eigenwerte haben, falls g jeden seiner Werte nur auf einer Nullmenge annimmt. Beispiel: ei λ das Lebesgue-Maß auf den Borelmengen B [0,1] von = [0, 1] und seien f(s) = s, g(s) = exp(is) (s ). Dann ist M f positiv, M g unitär, aber weder M f noch M g hat einen Eigenwert. Allerdings lassen sich durchaus Aussagen über das pektrum von Multiplikationsoperatoren treffen. Wir bestimmen zunächst das pektrum eines einfachen Multiplikationsoperators: Beispiel: ei H = L 2 ([0, 1], B [0,1], λ) und sei A die Multiplikation mit der Identität auf [0, 1] (also (Af)(x) = xf(x)). A hat keine Eigenwerte, denn falls Af = λf gilt, so muss f schon auf allen von λ verschiedenen Punkten von [0,1] gleich 0 sein. Daraus folgt, dass f fast überall 0 ist und damit ist f das Nullelement in H. Wie im obigen Beispiel erwähnt, hat A also keine Eigenwerte. Trotzdem gilt für das pektrum von A σ(a)=[0,1]: Beweis. ei nun y n die charakteristische Funktion des Intervalls [λ 1/2n, λ + 1/2n] bzw. von [0, 1/n], falls λ = 0 und von [1 1/n, 1], falls λ = 1. ei x n = n 1/2 y n. Dann hat die Folge (x n ) n N für λ (0, 1) ein erstes Element x n0, sodass [λ 1/2n, λ+1/2n] [0, 1] für alle n 0 n (für λ {0, 1} ist das offensichtlich immer der Fall). Eine einfache Rechnung zeigt, dass jedes der x n ein Einheitsvektor ist und dass (A λ id)x n = 3/6n. Die Folge (x n ) n N kann also als eine Folge von approximativen Eigenvektoren zum Eigenwert λ aufgefasst werden. Angenommen B wäre ein Linksinverses zu (A λ id). Dann gilt 1 = x n = B(A λ id)x n B (A λ id)x n = B 3 6n, also 2n 3 B für alle alle n N. Daher ist B nicht beschränkt und damit hat (A λ id) kein beidseitiges Inverses. Daraus folgt, dass [0, 1] σ(a). ei nun λ / [0, 1]. Dann ist f mit f(x) = (x λ) 1 stetig auf [0,1]. Multiplikation mit f auf H ist ein beschränkter Operator und beidseitig 5

6 invers zu (A λ id). Also gilt λ / sp(a) und damit schließlich σ(a) = [0, 1]. Die Beobachtungen im vorhergenden Beispiel führen zu folgendem Lemma: Lemma: ei H ein Hilbert-Raum und A ein normaler Operator in B(H ). Dann gilt λ σ(a) genau dann, wenn eine Folge (x n ) n N von Einheitsvektoren in H existiert, sodass (A λ id)x n n 0. Beweis. Existiert eine Folge (x n ) n N von Einheitsvektoren in H, sodass (A λ id)x n n 0, so kann völlig analog zum obigen Beispiel argumentiert werden, dass λ σ(a) gilt. Wir zeigen die andere Richtung der Aussage durch Kontraposition: Es gelte also, dass keine Folge (x n ) n N von Einheitsvektoren existiert mit (A λ id)x n n 0. Daraus folgt, dass inf{ (A λ id)x : x = 1} > 0 ist, (A λ id) ist also injektiv. Damit ist (A λ id) eine bijektive Abbildung auf ihr Bild Im(A λ id). Angenommen, Im(A λ id) H. Dann existiert ein Einheitsvektor x in Im(A λ id). Da A normal ist, ist auch A λ id ein normaler Operator in B(H ). Es gilt dann also: 0 = x, (A λ id)(a λ id) x = x, (A λ id) (A λ id)x = (A λ id)x, (A λ id)x = (A λ id)x 2 >0 Widerspruch! Also ist (A λ id) bijektiv und damit schließlich λ / σ(a). Nun wollen wir schließlich das pektrum von allgemeineren Multiplikationsoperatoren bestimmen. ei dazu (X, µ) ein σ-endlicher Maßraum und sei f L (X, µ). Dann definiert M f (g) = fg einen beschränkten Operator M f L 2 (X, µ). Das wesentliche Bild σ(f) von f ist die Menge von komplexen Zahlen λ, sodass µ(f 1 (O)) > 0 für jede offene Teilmenge O von C, die λ enthält. ei nun λ σ(f). Für alle n N sei y n die charakteristische Funktion einer messbaren Teilmenge von f 1 (O n ) von endlichem µ-maß a n, wobei O n die offene cheibe in C mit Mittelpunkt λ und Radius n 1 ist. etze dann x n = a 1/2 n y n. Dann ist (x n ) n N eine Folge von Einheitsvektoren und (M f λ id)x n 2 = f(p) λ 2 a 1 n y n (p) dµ(p) 1 n 2. f 1 (O n) Also gilt (M f λ id)x n n 0 und λ σ(m f ). ei andersherum λ / σ(f). Dann exisitiert eine cheibe O n mit Radius n 1 und Mittelpunkt λ, sodass µ(f 1 (O n )) = 0 ist. Dann ist g := 1/(f λ) eine messbare Funktion, die fast überall durch n beschränkt ist und M g ist beidseitig invers zu (M f λ id). Folglich ist λ / σ(m f ) und schließlich folgt σ(m f ) = σ(f). 6

7 4 Riesz-Markov Darstellungstheorem Riesz-Markov Darstellungstheorem: ei X lokalkompakter Raum. ei J eine positive Linearform auf C c (X). Dann existiert genau ein Borelmaß µ auf X, sodass J(g) = g dµ (g C c (X)) (4) gilt. Dieses Maß ist von innen regulär für offene Mengen, d.h.: µ(g) = sup{µ(k) K G, K kompakt} (G offen). Außerdem ist dieses Borelmaß von außen regulär: µ(b) = inf{µ(g) G B, G offen}. Beweisskizze. Wir beginnen damit µ auf offenen Mengen durch µ (G) = sup{j(g) g G} zu definieren. Die chreibweise g G soll dabei bedeuten, dass g C c (G) und 0 g 1. Dabei setzen wir µ ( ) = 0. Diese Mengenfunktion hat die folgenden Eigenschaften: 1. µ (G 1 ) µ (G 2 ), wenn G 1 G 2, denn C c (G 1 ) C c (G 2 ). 2. µ (G 1 G 2 ) µ (G 1 ) + µ (G 2 ), denn: Ist K der Träger von g (G 1 G 2 ), so können wir ϕ j C c (G j ), j = 1, 2, finden, sodass 0 ϕ j 1 und 2 j=1 ϕ j(x) = 1 für alle x K. Mit dieser Partition der Eins gilt g = gϕ 1 +gϕ 2, J(g) = J(gϕ 1 )+J(gϕ 2 ) µ (G 1 )+µ (G 2 ) und damit folgt µ ( G k) µ (G k ), denn der Träger K von jedem g G k ist in einer endlichen Vereinigung N G k enthalten, sodass, nach 2., und 3. folgt. ( N ) J(g) µ G k N µ (G k ) µ (G k ), Nun erweitern wir µ und für jede Menge A definieren wir µ (A) := inf{µ (G) G A}. Diese Mengenfunktion hat alle Eigenschaft eines äußeren Maßes: 1. µ ( ) = 0 7

8 2. µ (A) µ (B), falls A B, sodass µ eine Erweiterung von µ, wie vorher für offene Mengen definiert, ist. 3. µ ( A k) µ (A k ) (σ-ubadditivität). Beweis von 3.: ei ε > 0 und wähle A k G k mit µ (G k ) µ (A k )+ε/2 k. Mit 2. und der σ-ubadditivität auf offenen Mengen folgt: ( ) ( ) µ 2. A k µ σ ubadd. G k µ (G k ) µ (A k ) + ε. Da ε > 0 beliebig war folgt 3. Wir nennen eine Menge E nun messbar, wenn sie die Carathéodory- Bedingung µ (A) µ (A E) + µ (A\E) erfüllt. ei µ die Einschränkung des äußeren Maßes µ auf messbare Mengen. Die so definierten messbaren Mengen bilden eine σ-algebra und µ ist ein Maß. Es kann gezeigt werden, dass die Borelmengen bezüglich µ messbar sind und dass das Borelmaß µ die weiteren geforderten Eigenschaften erfüllt. 8