u = 1 in Ω, v = 1 in BR (0), v = 0 auf B R (0). w = v + u = 1 1 = 0 in Ω,

Transkript

1 Aufgabe Es sei Ω R n ein beschränktes Gebiet mit Ω B R (0 für ein R > 0. Zeigen Sie: Ist u C (Ω C(Ω eine Lösung von u = in Ω, u = 0 auf Ω, so gilt die Abschätzung 0 u(x R x n für alle x Ω. Hinweis: Berechnen Sie zunächst R x n. Lösung zur Aufgabe : Wegen u 0, ist die Funktion u superharmonisch in Ω. Das Minimumprinzip für superharmonische Funktionen liefert daher min u = min u = 0, d.h. u 0 in Ω. Ω Ω Sei v C (B R (0 gegeben durch v(x := R x für alle x B R (0. n Die Funktion v C (B R (0 ist die eindeutige Lösung von v = in BR (0, v = 0 auf B R (0. Offentsichlich gilt v(x 0 für alle x Ω B R (0. Die Funktion w := v u C (Ω C(Ω löst folglich w = v + u = = 0 in Ω, w = v u 0 auf Ω. Nach dem Minimumprinzip für harmonische Funktionen gilt daher w = v u 0 in Ω, also u(x v(x = R x n für alle x Ω.

2 Aufgabe Sei u C (R n harmonisch. a Zeigen Sie, dass : R n R für i =,..., n harmonisch ist. b Sei zusätzlich < für i =,..., n. Beweisen Sie: Es existieren a R n, b R so, dass u(x = a x + b für alle x R n. Lösung zur Aufgabe : a Für alle x R n gilt ( (x = n x j= j ( Schwarz (x = n x j= j } } = u(x=0 u(x = 0. Demnach ist : R n R per Definition harmonisch. b Nach Teil a ist : R n R harmonisch für i =,..., n. Zusammen mit der Vorrausset- zung < folgt daher nach dem Satz von Liouville: Es existiert eine Konstante a i R so, dass (x = a i für alle x R n. Mit a := (a,..., a n T R n ergibt sich folglich u(x = a für alle x R n. Für die Funktion v : R n R, v(x := u(x a x, gilt daher v(x = u(x (a x = a a = 0 R n für alle x R n. Da der R n ein Gebiet ist, existiert (z.b. nach Satz 3.9, Analysis, Reichel, SS 03 deshalb eine Konstante b R so, dass Schließlich erhalten wir v b auf R n. u(x = a x + v(x = a x + b für alle x R n.

3 Aufgabe 3 Betrachten Sie für g C(R n L (R n die Lösung u: R n (0, R, x y u(x, t := (4πt n 4t g(y dy R n e der homogenen Wärmeleitungsgleichung. Zeigen Sie: Es existiert eine Konstante C 0 mit u(x, t Ct n 4 für alle (x, t R n (0,. Lösung zur Aufgabe 3: Für alle (x, t R n (0, gilt u(x, t = (4πt n R n (4πt n ( ( CS R n e x y 4t g(y dy e x y 4t g(y dy e x y ( 4t dy R n (4πt n = e x y R n (4πt n (4πt n 4t }} (4πt n 4 R n = t n 4 (4π n 4 g L (R n e x y 4t e x y 4t dy } (4πt n } =(Lemma 3.3 Mithin gilt die Behauptung mit C := (4π n 4 g L (R n. g(y dy R n dy g L (R n g L (R n

4 Aufgabe 4 Seien Ω := (0,, T > 0, u 0 C(Ω mit u 0 0 in Ω sowie sup x Ω u C, (Ω T C(Ω T eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung t u x = 0, in Ω T, u(x, 0 = u 0 (x, x Ω, u(0, t = u(, t = 0, t [0, T ]. Zeigen Sie: Es existiert eine Konstante C 0 so, dass 0 u(x, t C sin(πxe π t für alle (x, t Ω T. ( Hinweis: Berechnen Sie zunächst sin(πxe πt. t x u 0 (x sin(πx <. Ferner sei Lösung zur Aufgabe 4: u 0: Nach Voraussetzung gilt t u x = 0 in Ω T, u 0 auf Γ T. Nach dem Minimumprinzip für die Wärmeleitungsgleichung (Korollar 3.3. gilt demzufolge min u = min u 0. Ω T Γ T u v in Ω T : Sei zunächst C > 0 beliebig. Die Funktion v : Ω T R gegeben durch v(x, t := C sin(πxe π t für alle (x, t Ω T ist Lösung der homogenen WLG v t v x = 0, in Ω T, v(x, 0 = C sin(πx, x Ω, v = 0, auf Ω [0, T ]. Wir wählen nun C := sup x Ω u 0 (x sin(πx < und erhalten damit v(x, 0 = C sin(πx u 0 (x für alle x Ω = (0,. Die Funktion ṽ C, (Ω T C(Ω T, ṽ := v u löst daher ṽ t ṽ x = 0, in Ω T, ṽ(x, 0 = v(x, 0 u 0 (x 0, x Ω, v = v u = 0, auf Ω [0, T ]. Also gilt speziell: ṽ ist Lösung der homogenen Wärmeleitungsgleichung mit ṽ 0 auf Γ T. Nach dem Minimumsprinzip für die WLG gilt daher min ṽ = min ṽ 0. Daraus ergibt sich v u in Ω T Γ T Ω T.

5 Aufgabe 5 Bestimmen Sie mit Hilfe eines Separationsansatzes eine Lösung u C ([0, ] [0, der eindimensionalen Wellengleichung u t u in (0, [0,, x = 0, u(x, 0 = 0, x [0, ], ( π t (x, 0 = sin x, x [0, ], u(0, t = 0, t 0, (, t = 0, x t 0. ( Lösung zur Aufgabe 5: Seien x (0, und t > 0. Aus dem Separationsansatz u(x, t = v(xw(t folgt Folglich existiert eine Konstante λ R mit 0! = u t (x, t u x (x, t = w (tv(x w(tv (x. v (x v(x = w (t w(t λ. Für v, w ergeben sich damit die Differentialgleichungen w (t = λw(t für alle t > 0, ( v (x = λv(x für alle x (0,. (3 λ = 0: Aus (3 folgt v(x = ax+b für Konstanten a, b R. Wegen 0 = u(0, t = v(0w(t ergibt sich b = 0 oder w 0. Mit 0 = (, t = x v (w(t = aw(t erhalten wir a = 0 oder w 0. Somit ist v 0 oder w 0, also u 0. Aber u 0 löst die Wellengleichung ( nicht. λ > 0: Die allgemeine Lösung von (3 ist gegeben durch v(x = Ae λx + Be λx (x (0, mit Konstanten A, B R. Durch die Randbedingungen ergibt sich: (i u(0, t = 0 0 [ λa e ] λx + e λx.! = v(0 = A + B, d.h. v(x = Ae λx Ae λx, v (x = (ii (, t = 0 0 =! v ( = [ λa e λ ] + e λ. Demnach gilt A = 0 und somit v 0 und x u 0. Widerspruch zu u löst (.

6 λ < 0: Die allgemeine Lösung von (3 ist gegeben durch ( λx ( λx v(x = A sin + B cos (x (0, mit Konstanten A, B R. Durch die Randbedingungen ergibt sich: (i u(0, t = 0 0! = v(0 = B. v(x = A sin ( λx, v (x = λa cos ( λx. (ii (, t = 0 0 =! v ( = λa cos ( λ. Um eine nichttriviale Lösung zu erhalten, x muss daher die Bedingung cos ( λ = 0 erfüllt sein, d.h. λ ( } k + π : k N0 bzw. λ ( } k + π : k N 0. Demnach soll w die DGl ( mit λ = ( k + π für ein k N 0 lösen. Die allgemeine Lösung von ( ist gegeben durch ( λt ( λt w(t = C sin + D cos (( = C sin k + (( πt + D cos k + πt (t > 0 mit Konstanten C, D R sowie k N 0. Durch die Randbedingungen ergibt sich: (i u(x, 0 = 0 0! = w(0 = D. Mithin ist w(t = C sin (( k + πt, w (t = C ( k + π cos (( k + πt. (ii sin ( π x! = t (x, 0 = v(xw (0 = Ĉ sin (( k + (( πx cos k + π0 Ĉ sin (( k + πx mit einer Konstanten Ĉ R. Durch die Wahl Ĉ = und k = 0 erhalten wir daher die Lösung u(x, t := ( π ( π π sin x sin t. = Eine Probe zeigt, dass die so definierte Funktion u C ([0, ] [0, tatsächlich eine Lösung von ( ist.

7 Aufgabe 6 Zu g C 3 (R 3, h C (R 3 mit g, h, g L (R 3 sei u: R 3 (0, R die Lösung der homogenen Wellengleichung u u = 0, t in R3 (0,, u(x, 0 = g(x, x R 3, (4 t (x, 0 = h(x, x R3. Zeigen Sie: Es existiert eine Konstante C 0 mit u(x, t C( + t für alle (x, t R 3 (0,. Lösung zur Aufgabe 6: Nach Satz 4.7. ist die eindeutige Lösung von (4 gegeben durch die Kirchhoff-Formel u(x, t = th(y + g(y + g(y (y x dσ 4πt y für alle (x, t R 3 (0,. B t(x Für (x, t R 3 (0, gilt daher u(x, t = 4πt 4πt CS 4πt 4πt [ B t(x B t(x B t(x th(y + g(y + g(y (y x dσ y t h(y + g(y + g(y (y x dσ y t h(y + g(y + g(y y x dσ }} y =t ] t h + g + g t dσ y B t(x = t h + g + g t C( + t mit der Konstanten C := max h + g, g }.