PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN I

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1 PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN I OLIVER C. SCHNÜRER Zusammenfassung. Bei diesem Manuskript handelt es sich um Notizen zu Partielle Differentialgleichungen I. Benützt an der Freien Universität Berlin im Wintersemester 24/5, an der ANU Canberra im 2nd term 28, an der Freien Universität Berlin im Sommersemester 29. an der Universität Konstanz im Wintersemester 22/3. Vielen Dank insbesondere an Friederike Dittberner, Anja Grabow, Felix Jachan und Thilo Notz für zahlreiche Korrekturen. Inhaltsverzeichnis. Beispiele 2. Lineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung 4 3. Die Laplacegleichung und Darstellungsformeln 6 4. Perronverfahren Maximumprinzipien Hilbertraummethoden Die Darstellungsformel für die Wärmeleitungsgleichung Die Wellengleichung 42 Anhang A. Divergenzsatz 48 Anhang B. Polarkoordinaten 5 Literatur 53. Beispiele Wir benutzen insbesondere [] aber auch [2, 3, 4, 5]. Notation.. (i) Sei x R n. In Koordinaten schreiben wir x = (x,..., x n ). Sei R n offen, u : R. (ii) Ist u bezüglich x hinreichend oft differenzierbar, so bezeichnen wir mit Du, D 2 u,..., erste, zweite,... Ableitungen. Indices bezeichnen partielle Ableitungen u i = u x i, u ij = 2 u x i x j,.... Date: 7. Oktober Mathematics Subject Classification. 35-, 35J25. Key words and phrases. Laplacegleichung, harmonische Funktionen, Perron, Maximumprinzip, Wärmeleitungsgleichung, Wellengleichung.

2 2 OLIVER C. SCHNÜRER Für u : R R ist t die (n + )-ste Variable, u(x, t), u t = u t oder u = u t. Wir verwenden zu den Koordinatenbezeichnungen in R n analoge Bezeichnungen für vektorwertige Funktionen u : R k, u = (u,..., u k ), oder u : R R k, z. B. u l i = ul x. Vektorwertige Funktionen werden (zunächst) i kaum auftreten. Definition.2. Sei R n offen, u : R k-mal stetig differenzierbar, u C k (), F : R nk R nk... R n R R. Ein Ausdruck der Form F ( D k u(x), D k u(x),..., Du(x), u(x), x ) = heißt Differentialgleichung k-ter Ordnung. F kann auch lediglich auf einer offenen Teilmenge definiert oder vektorwertig sein. Auch wenn u nicht klassisch differenzierbar ist, spricht man von partiellen Differentialgleichungen. Definition.3 (Typeinteilung ) für Differentialgleichungen zweiter Ordnung). Sei F C (R n2 R n R. (i) Eine Differentialgleichung F ( D 2 u, Du, u, ) = zweiter Ordnung mit F = F (r ij, p i, z, u, x) heißt (in x entlang einer Lösung u) elliptisch, falls die Ableitung ( a ij) ( ) F i,j r ij (D 2 u(x), Du(x), u(x), x) symmetrisch und positiv i,j definit ist. Die Zusätze kann man streichen, wenn dies für alle x bzw. u gilt. Der Operator u F ( D 2 u, Du, u, ) heißt in diesem Fall elliptisch. (ii) Sei F elliptisch. Dann heißt die Differentialgleichung u = F ( D 2 u, Du, u, ) parabolisch. (iii) Sei F elliptisch. Dann heißt die Differentialgleichung u tt = F ( D 2 u, Du, u, ) hyperbolisch. Beispiel.4. Eine Differentialgleichung der Form n n a ij u ij + b i u i + du = f i,j= i= heißt elliptisch, falls a ij symmetrisch ist und a ij erfüllt, d. h. positiv definit ist. Beispiele.5. Sei R n offen. a) Laplacegleichung, u : R, u := n u ii = in. i= Diese Differentialgleichung ist elliptisch, da F r ij b) Eigenwertgleichung, u : R, u = λu in, λ R. c) Wärmeleitungsgleichung, u : [, T ) R, T >, u = u. Diese Differentialgleichung ist parabolisch. d) Schrödingergleichung, u : [, T ) C, T >, iu t + u =. = δ ij gilt.

3 PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN I 3 e) Wellengleichung, u : [, T ) R, T >, u tt u =. Diese Differentialgleichung ist hyperbolisch. f) Poissongleichung, u : R, f : R R, u = f(u). g) p-laplace Gleichung, u : R, p >, div ( Du p 2 Du ) =, d. h. n ( D i Du p 2 D i u ) =, i= wobei D i partielle Ableitungen bezeichnet, D i = h) Minimalflächengleichung ( ) Du div + Du 2 x i. =, d. h. u u iju i u j + Du 2 =, wobei u i := δ ij u j. Wir verwenden hier die Einsteinsche Summenkonvention, d. h. wir summieren über gleiche oben und unten stehende Indices von bis zur Dimension n, also n u ij u i u j u ij u i u j. i,j= i) Mittlerer Krümmungsfluss für Graphen (MCF) u = ( ) + Du 2 Du div. + Du 2 j) Monge-Ampère Gleichung det D 2 u = f(x, u, Du), speziell: Gleichung vorgeschriebener Gaußkrümmung für Graphen k) Reaktions-Diffusions Gleichung l) Poröse Medien Gleichung det D 2 u ( + Du 2 ) n+2 2 m) Korteweg-de Vries Gleichung (KdV) = f(x, u). u t u = f(u). u t (u γ ) =, γ >. u t + uu x + u xxx =. n) Riccifluss (H. Poincaré, R. Hamilton, G. Perelman) ġ ij = 2R ij.

4 4 OLIVER C. SCHNÜRER Häufig werden Differentialgleichungen mit Randwerten (oder Anfangswerten) untersucht, z. B. u = in, u = ϕ auf. Bemerkung.6 (Untersuchte Fragestellungen). Existenz von Lösungen, Eindeutigkeit der Lösung, Stetige Abhängigkeit einer Lösung von den Daten (u. a. physikalisch wichtig), Regularität von Lösungen, z. B. Differenzierbarkeit, schwache Lösungen, d. h. Lösungen u einer Differentialgleichung k-ter Ordnung mit u C k. quantitatives oder qualitatives Verhalten im Unendlichen, x, t, in oder nahe Singularitäten, Beschränktheit,.... Klassifikation aller Lösungen, explizite Lösungsformeln..... Die verwendeten Methoden hängen in der Regel stark von der betrachteten Gleichung ab. Wir werden insbesondere Randwertprobleme (RWP) wie u = f in, u = ϕ auf, parabolische Anfangs- und Randwertprobleme wie u = u in [, T ), u = ϕ auf ( [, T )) ( }) oder hyperbolische Cauchyprobleme wie u tt = u in R n [, T ), (u, u t ) = (ϕ, ϕ ) auf R n } untersuchen. In der Vorlesung werden wir lernen, die elliptische und die hyperbolische Gleichung zu lösen und erste Eigenschaften der Lösungen herleiten. 2. Lineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung Wir betrachten ein Transportproblem. Theorem 2.. Sei b: R n [, ) R n in Cloc, f C loc sowie g C loc. Sei u eine Cloc -Lösung der Differentialgleichung u + b, Du = f in R n (, ), u(, ) = g auf R n.

5 PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN I 5 Dann gibt es eine Lösung ϕ: R n [, ) R n des Anfangswertproblems ϕ(x, t) = b(ϕ(x, t), t) für (x, t) R n [, ), ϕ(x, ) = x für x R n und es gilt t (2.) u(ϕ(x, t), t) = g(x) + f(ϕ(x, τ), τ) dτ. Beweis. Die eindeutige Lösbarkeit der gewöhnlichen Differentialgleichung für ϕ ist bekannt. Sei u wie behauptet. Dann erhalten wir d u(ϕ(x, t), t) = Du(ϕ(x, t), t), ϕ(x, t) + u(ϕ(x, t), t) = f(ϕ(x, t), t). dt Integration liefert (2.). Beachte, dass eine Funktion u, die (2.) erfüllt, auch die Randbedingung u(, ) = g erfüllt. In einer Situation, in der ϕ(, t): R n R n explizit invertierbar ist, können wir mit (2.) auf die Lösbarkeit schließen. Theorem 2.2. Unter den Voraussetzungen von Theorem 2. mit f, g C loc existiert im Falle eines konstanten Vektorfeldes b(x, t) = b für alle (x, t) R n [, ) eine eindeutig bestimmte Lösung u, die durch gegeben ist. t u(x, t) = g(x tb) + f(x + (τ t)b, τ) dτ. Beweis. In diesem Fall gilt ϕ(x, t) = x + tb. Wir erhalten also nach Theorem 2. oder t u(x + tb, t) = g(x) + t u(x, t) = g(x tb) + f(x + τb, τ) dτ f(x + (τ t)b, τ) dτ. Jede Lösung muss nach Theorem 2. diese Gestalt haben. Wir erhalten für dieses u u(x, t) + Du(x, t), b t = Dg(x tb), b + f(x, t) + Df(x + (τ t)b, τ), b dτ t + Dg(x, tb), b + Df(x + (τ t)b, τ), b dτ

6 6 OLIVER C. SCHNÜRER = f(x, t). Weiterhin erfüllt u die Anfangsbedingung u(, ) = g. Somit ist u eine Lösung. 3. Die Laplacegleichung und Darstellungsformeln 3.. Die Fundamentallösung. Wir wollen n 2 annehmen. Sonst entspricht das betrachtete Problem einer gewöhnlichen Differentialgleichung. Bemerkung 3. (Motivation). Sei R 3 offen, u C 2 () beschreibe die Temperatur in. Wir nehmen an, dass die Temperatur zeitunabhängig ist, dass Temperatur und lokale Wärmemenge proportional zueinander sind, sowie dass die transportierte Wärmemenge proportional zu Du ist und sich in Richtung Du Du bewegt. Sei U glatt und beschränkt. Die insgesamt durch U transportierte Wärmemenge ist (Rechne bis auf eine Konstante, bezeichne mit ν die äußere Normale an U und benutze, dass u zeitunabhängig ist.) = Du, ν = div Du (Gaußscher Integralsatz) U = u. U Da U beliebig war, folgt u = in. U Definition 3.2. Sei R n offen. Sei u C 2 (). Dann heißt u (in ) harmonisch, falls n = u = in gilt. Bemerkung 3.3 (Rotationssymmetrische Lösungen). Sei u C 2 (B R \ }) eine rotationssymmetrische Lösung von u =, d. h. es gibt v C 2 ((, R)), so dass ( n ) /2 u(x) = v(r), wobei r = x = (x i ) 2. i= Wir leiten zunächst eine gewöhnliche Differentialgleichung für v her: ( n ) /2 u i = v r i = v 2 (x i ) 2 2x i = v x i r, i= u ij = v x i x j r r + ( v δ ij x i x ) j. r r r Also gilt = u = δ ij u ij = v + v n. r Entweder gilt v auf (, R) oder v auf (, R). Im Fall v > ergibt sich i= u ii = v v + n = (log v ) + n, r r log v = (n ) log r + log a, a >,

7 PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN I 7 v = a r n. Ebenso erhalten wir für v <, dass v = a r für ein a <. Durch Integration n erhalten wir im Falle n = 2 aus v = a r, dass v = a log r + b und im Falle n 3 aus v = a r, dass v = a n n+2 r + b, jeweils für ein b R, ist. n 2 Definition 3.4 (Fundamentallösung). Die Funktion 2π log x, n = 2, Φ(x) := n(n 2)ω n x, n 3, n 2 Φ : R n \ } R heißt Fundamentallösung der Laplacegleichung. Hier bezeichnet ω n das Volumen von B () R n, ω n = B (). Bemerkung 3.5. Für x gelten die Abschätzungen DΦ(x) c x n und D 2 Φ(x) c x n mit c = c(n) Darstellungsformel für R n. Sei nun n 2. Wir benutzen die Fundamentallösung zur Konstruktion von Lösungen der Gleichung u = f in R n. Theorem 3.6. Sei f Cc 2 (R n ). Definiere u : R n R durch u(x) = Φ(x y)f(y) dy. Dann gelten u C 2 loc (Rn ) und R n u = f in R n. Beweis. (i) u Cloc 2 (Rn ): Wir transformieren das Integral u(x) = Φ(x y)f(y) dy = Φ(y)f(x y) dy. R n R n Für h und e i = (,...,,,,..., ), an der i-ten Stelle, betrachten wir den Differenzenquotienten [ ] u(x + he i ) u(x) f(x + hei y) f(x y) = Φ(y) dy. h h R n Wir wollen zum Grenzwert h übergehen. Nehme an, dass h < und supp f B R = B R (). Es gilt nun f(x + he i y) f(x y) =, falls x + he i y > R und x y > R. Dies ist für y > R++ x erfüllt, denn dann gelten x+he i y y x + he i y x > R und x y y x > R. Wir dürfen also annehmen, dass der Integrand außerhalb von B ρ, ρ > geeignet, verschwindet. Da f C c (R n ) ist, konvergiert f(x + he i y) f(x y) f i (x y) h für h gleichmäßig in x y R n.

8 8 OLIVER C. SCHNÜRER Es gilt, dass u(x + he i ) u(x) h = Φ(y)f i (x y) dy B ρ + B ρ [ ] f(x + hei y) f(x y) Φ(y) f i (x y) dy h und das zweite Integral konvergiert gegen, falls gilt für n = 2 sowie B ρ Φ(y) dy c B ρ B ρ Φ(y) dy c ρ log y dy c B ρ ρ y 2 n dy c B ρ Φ(y) dy endlich ist. Es log r r dr <, r dr < im Falle n 3. Hierbei ist c eine universelle Konstante, d. h. c kann verschiedene Werte annehmen, ist aber stets beschränkt. Also folgt für n =,..., n u i (x) = Φ(y)f i (x y) dy. Analog erhält man R n u ij (x) = Φ(y)f ij (x y) dy. R n Dieses Integral ist in x stetig, also erhalten wir u Cloc 2 (Rn ). (ii) u = f: Sei ε >. Φ ist singulär. Daher spalten wir die Integration auf u(x) = Φ(y) x f(x y) dy B ε() + Φ(y) x f(x y) dy R n \B ε() I ε + J ε. Für ε erhalten wir I ε : Benutze den Satz von der dominierten Konvergenz. Alternatives Vorgehen: Es gilt I ε c D 2 f C Φ(y) dy B ε() c D 2 f C c D 2 f C ε ε log r r dr c D 2 f C ε sup log z z, n = 2, z (,ε) r 2 n r n dr c D 2 f C ε 2, n 3.

9 PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN I 9 Aufgrund der Kettenregel (doppelt angewandt) gilt x f(x y) = y f(x y) und wir erhalten J ε = Φ(y) y f(x y) dy = R n \B ε() R n \B ε() K ε + L ε. DΦ(y), D y f(x y) dy + B ε() Φ(y) D y f(x y), y y dy Hierbei kommt das Vorzeichen der Normalen von der Tatsache, dass wir über den Außenraum integrieren. Die partielle Integration ist gerechtfertigt, denn für x c hat der Integrand als Funktion von y einen kompakten Träger. Wir schätzen L ε wie folgt ab L ε c Df C B ε() Φ c Df C ε log ε, n = 2, c Df C ε, n 3, Nach nochmaliger partielle Integration erhalten wir K ε = y Φ(y) f(x y) dy = R n \B ε() B ε() D y Φ(y), y y f(x y) dy, B ε() da Φ in R n \ } harmonisch ist, = y n y nω y, y y f(x y) dy n = B ε() B ε() nω n ε n f(x y) dy D y Φ(y), y y } für ε. f(x y) dy und wegen B ε = nω n ε n können wir = f(x) f(x) wie folgt hinzuaddieren = ε n (f(x y) f(x)) dy f(x) nω n }} B ε() für ε }}... sup f(x y) f(x) y Bε() f(x) für ε. Daher folgt u(x) = f(x). Bemerkung 3.7. In der Tat gilt Theorem 3.6 auch noch für f C,α c (R n ), nur ist der Beweis deutlich komplizierter.

10 OLIVER C. SCHNÜRER 3.3. Mittelwerteigenschaft. Theorem 3.8 (Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen). Sei R n offen, u C 2 () sei harmonisch. Dann gilt u(x) = u = u, B r(x) B r(x) falls B r (x). Beweis. (i) Definiere ϕ(r) := u(y) dy. B r(x) Zeige zunächst, dass ϕ konstant ist: Es gilt (mit z = y/r) ϕ(r) = u(y) dy = u(x + y) dy = u(x + y) dy B r B r(x) = r n B ϕ (r) = dϕ dr = B = r n B = B r B r(x) B () B () B r(x) B r() u(x + rz)r n dz = B Du(x + rz), z dz Du(y), y x r u(y) dy =, B r() B () dy = B r B r(x) u(x + rz) dz. Du(y), ν dy wobei ν die äußere Normale an B r (x) ist und wir den Divergenzsatz verwendet haben. Somit ist ϕ =. Also ist ϕ konstant. Da u stetig ist, erhalten wir ϕ(r) = lim ϕ(t) = lim u(y) dy = u(x). t t B t(x) (ii) Es gilt aufgrund der eben erzielten Ergebnisse B r(x) u(y) dy = r B s(x) r u(y) dy ds = u(x) nω n s n ds = ω }} n r n u(x). = B s Theorem 3.9 (Umkehrung der Mittelwerteigenschaft). Sei R n offen, u C 2 (). Falls für jede Kugel B r (x) u(x) = u(y) dy gilt, so ist u harmonisch. B r(x)

11 PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN I Beweis. Benutze die Notation des Beweises von Theorem 3.8. Ist u, so existiert B r (x), so dass (ohne Einschränkung) u > in B r (x) gilt. Dann folgt mit Hilfe der Rechnungen des Beweises von Theorem 3.8 = ϕ (r) = u >. B r Widerspruch. B r(x) Theorem 3.. Sei R n offen, u C 2 (). Gilt für jede Kugel B r (x) u(x) = u(y) dy, B r(x) so ist u in harmonisch. Zeige dies. Beweis. Übungsaufgabe. Theorem 3. (Starkes Maximumprinzip). Sei R n offen und beschränkt, u C 2 () C ( ) sei harmonisch. Dann gilt (i) max u = max u. (ii) Existiert x mit u(x ) = maxu, so ist u auf der Zusammenhangskomponente von x konstant. Beweis. Die erste Aussage folgt direkt aus der zweiten. Daher beweisen wir nur diese. Definiere } A := x : u(x) = u(x ) = max u. A ist relativ abgeschlossen in. Sei B r (x), x A. Es folgt max u = u(x) = u B r(x) (Mittelwerteigenschaft) B r(x) sup u = sup u und Gleichheit gilt genau dann, wenn u Br(x) = sup u ist. Damit ist A relativ offen in. Theorem 3.2 (Eindeutigkeit). Sei R n offen und beschränkt, f C (), g C ( ). Dann besitzt das Randwertproblem u = f in, u = g auf höchstens eine Lösung u C 2 () C ( ).

12 2 OLIVER C. SCHNÜRER Beweis. Seien u und ũ C 2 () C ( ) Lösungen. Dann erfüllt w := u ũ w = in, w = auf. Das Maximumprinzip impliziert nun, dass w = in gilt Regularität und innere Abschätzungen. Theorem 3.3 (Regularität). Sei R n offen, u : R stetig. Erfüllt u die Mittelwerteigenschaft u(x) = ffl u für alle Kugeln B r (x), so ist u C (). B r(x) Wir bemerken, dass es genügt, kleine Kugeln zu betrachten. Beweis. Sei η ein rotationssymmetrischer Friedrichscher Glättungskern ( mollifier ). Definiere in ε := x : dist(x, ) > ε} die Funktionen u ε := η ε u, wobei η ε := ε n η ( ) x ε ist. Es gilt uε C ( ε ). Wir zeigen nun, dass u = u ε in ε gilt. Hieraus folgt u C (). Sei also x ε. Wir benutzen die leicht doppeldeutige Notation η(x) = η( x ). Es gilt u ε (x) = η ε (x y)u(y) dy = ε n B ε(x) = ε ε n η = ε ε n u(x) = u(x) ( ) x y η u(y) dy ε ( r ) ε B ε() B r(x) u dr ( r ) η nω n r n dr ε η ε = u(x). (Mittelwerteigenschaft) Daher werden wir in Zukunft annehmen, dass harmonische Funktionen von der Klasse C sind. Theorem 3.4 (Innere Abschätzungen für harmonische Funktionen). Sei R n und u in harmonisch. Sei B r (x ) und sei α ein Multiindex der Ordnung k, α = k. Dann gilt wobei D α u(x ) c k r n+k u L (B r(x )), c =, ω n ( 2 n+ nk ) k c k = ω n, k N. Beweis. Wir beweisen die Aussage per Induktion nach k.

13 PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN I 3 (i) k = : Aufgrund der Mittelwerteigenschaft gilt u(x ) = ω n r n u ω n r n B r(x ) B r(x ) (ii) k = : Aus u = und der Regularität von u folgt auch u i =. Wir erhalten u i (x ) = u i = ( ω r ) n Du, e i = 2n n ω 2 n r n u ν, e i Br/2 (x ) B r/2 (x ) 2n n ωnnr ω n rn 2 n u L ( B r/2 (x )) = 2n r u(y ) u. B r/2 (x ) für einen geeignet gewählten Punkt y B r/2 (x ). Es gilt B r/2 (y ). Also können wir aufgrund der Induktionsannahme wie folgt abschätzen u i (x ) 2n r ω n ( r 2 ) n u L (B r/2 (y )) 2n+ n ω n r n+ u L (B r(x )). (iii) k 2: Sei α ein Multiindex der Ordnung k, D α w = ( D β) w i für einen Multiindex β der Ordnung k. Wie im Beweis für den Fall k = erhalten wir auf einer Kugel vom Radius r k D α u(x ) nk r D β u = nk L D β u(y ( B r/k (x ) )) r für ein geeignetes y B r/k (x ). Nun gilt B k r(y ) B r (x ) und k daher nach Induktionsvoraussetzung D α u(x ) nk ( 2 n+ n(k ) ) k ( n+k k u L (B r ω n r(k )) k k r(y)) ( 2 n+ nk ) k ω n r n+k u L (B r(x )). Theorem 3.5 (Satz von Liouville). Sei u : R n R harmonisch und beschränkt. Dann ist u konstant. Beweis. Sei x R n und r >. Es gilt Du(x ) c r n+ u L (B r(x )) c r u L (R n ) für r. Es folgt Du(x ) =. Somit ist u konstant. Theorem 3.6 (Darstellungsformel). Sei f C 2 c (R n ), n 3. Dann ist jede beschränkte Lösung u C 2 loc (Rn ) von von der Form u = f in R n u(x) = Φ(x y)f(y) dy + C für eine Konstante C R. R n

14 4 OLIVER C. SCHNÜRER Beweis. Definiere ũ(x) := Φ(x y)f(y) dy. R n Dann ist ũ C 2 loc (Rn ) eine Lösung von u = f in R n. Für x gilt Φ(x) (für n 3). Daher ist ũ beschränkt. (Es würde dazu genügen, dass Φ(x) für x R beschränkt ist.) Sei nun u C 2 loc (Rn ) eine weitere beschränkte Lösung von u = f in R n. Dann ist w := u ũ beschränkt und harmonisch, w =. Nach dem Satz von Liouville, Theorem 3.5, folgt daher w = C für eine Konstante C R. Bemerkung 3.7. Für n = 2 ist Φ(x) = 2π log x für x unbeschränkt. Daher ist ũ i. a. unbeschränkt, nämlich genau dann, wenn f gilt, und dieser Beweis funktioniert nicht Harnackungleichung. Theorem 3.8 (Harnackungleichung). Sei R n offen, u : R harmonisch und u > in. Sei offen und zusammenhängend. Dann gibt es c = c(n,, ), so dass sup u c inf u gilt. Für x, y folgt also u(y) u(x) c u(y), c d. h. die Funktionswerte von u in sind untereinander vergleichbar. Beweis. Definiere r := 4 dist(, ) oder setze r =, falls = R n ist. Seien x, y mit x y r. Wir benutzen die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen und erhalten u(x) = u = ω n 2 n r n u B 2r(x) ω n 2 n r n B r(y) = 2 n u = 2 n u(y). B r(y) B 2r(x) u, da B r (y) B 2r(x) Somit gilt für alle x, y mit x y r 2 n u(y) u(x) 2 n u(y). Da kompakt ist, gibt es endlich viele x i, i N, so dass N B r/2 (x i ) ist. Seien nun x, y beliebig. Modifiziere einen stetigen Weg von x i= nach y, so dass er nur aus Geradenstücken zwischen Punkten aus x, y, x,..., x N } besteht. Jedes x i werde dabei höchstens einmal besucht, z. B. x x... x N y.

15 PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN I 5 Es gilt und hieraus folgt dann u(x) 2 n u(x ), u(x ) 2 n u(x 2),..., u(x) 2 n(n+) u(y) Greensche Funktion und Darstellungsformeln auf Gebieten. Bemerkung 3.9 (Greensche Funktion: Herleitung und Definition). Sei R n offen und beschränkt, C, u, v C ( 2 ). Dann folgt aus dem Divergenztheorem die. Greensche Formel v u + Du, Dv = v Du, ν, wobei wir mit ν die äußere Normale an bezeichnen. Wir vertauschen nun die Rollen von u und v, subtrahieren die entsprechenden Gleichungen voneinander und erhalten die 2. Greensche Formel v u u v = v Du, ν u Dv, ν. }} v ν Sei nun x und ε > so klein, dass B ε (x) ist. Definiere ε := \ B ε (x). Dann folgt u(y) Φ(y x) Φ(y x) u(y) dy Es gilt = ε ε Φ u(y) (y x) Φ(y x) u(y) dy. ν ν (i) Φ(y x) = für x y, (ii) Φ(y x) u ν (y) dy für ε. Dies folgt wie bei der Abschätzung für B ε(x) L ε im Beweis von Theorem 3.6. (iii) Aus der Rechnung für K ε, ebenfalls aus dem Beweis von Theorem 3.6, erhalten wir Φ ν (y) = nω n ε n auf B ε (). Insgesamt erhalten wir also, wobei ν die äußere Normale an R n \ B ε () oder die innere Normale an B ε () bezeichnet, u(y) Φ ν (y x) dy = u(y) dy u(x) für ε. B ε(x) B ε(x)

16 6 OLIVER C. SCHNÜRER Weiterhin gilt ε Φ(y x) u(y) dy Φ(y x) u(y) dy für ε, da Φ in der Nähe der Singularität integrierbar ist. Damit folgt aus dem Grenzübergang ε (3.) u(x) = Φ(y x) u (y) u(y) Φ(y x) dy Φ(y x) u(y) dy ν ν für alle u C ( 2 ) und alle x. Dies liefert eine Darstellungsformel für u, falls wir u in sowie u und u ν auf kennen. Randwertprobleme, bei denen alle diese Daten vorgeschrieben sind, sind aber überbestimmt und i. a. nicht lösbar. Beispiel: Sei u = in, u = auf, u ν = ϕ auf. Aus den ersten beiden Gleichungen und dem Maximumprinzip folgt dass u = gilt. Also muß auch ϕ = gelten. Für ϕ existiert daher keine Lösung u C ( 2 ) oder u C 2 () C ( ). Korrekturfunktion: Sei x fest. Sei ϕ x = ϕ x (y) die Lösung des Randwertproblems ϕ x = in, ϕ x = Φ( x) auf. Bemerkung: Für sehr spezielle Gebiete werden wir ϕ x explizit bestimmen. Das Perronverfahren wird Lösungen für allgemeine Gebiete liefern. Diese sind jedoch erst einmal nur von der Klasse C 2 () C ( ) für genügend glatte Gebiete. Höhere Regularität ist zwar richtig, jedoch technisch deutlich aufwändiger. Nehme nun ϕ x C ( 2 ) an. Dann liefert die 2. Greensche Formel (unter Berücksichtigung des von ϕ x gelösten Randwertproblems) ϕ x (y) u(y) dy = u(y) ϕx ν (y) ϕx (y) u (y) dy ν (3.2) = u(y) ϕx ν (y) Φ(y x) u(y) dy. ν Definiere nun die Greensche Funktion für das Gebiet durch G(x, y) := Φ(y x) ϕ x (y), x y. Wir addieren (3.) und (3.2) und erhalten u(x) = u(y) G (x, y) dy G(x, y) u(y) dy. ν y Nun tauchen auf der rechten Seite nur noch u und u auf. Wir erhalten also

17 PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN I 7 Theorem 3.2. Sei R n offen und beschränkt, C. Sei u C 2 ( ) eine Lösung des Randwertproblems u = f in, u = g auf und G die Greensche Funktion für, so gilt u(x) = g(y) G (x, y) dy + f(y)g(x, y) dy ν y für x. Bemerkung 3.2. Sei x. Betrachte G(x, y) als Funktion von y. Dann gilt im Distributionssinn G = δ x in, G = auf, wobei δ x das Diracmaß zum Punkt x ist. Theorem 3.22 (Symmetrie der Greenschen Funktion). Sei R n offen, beschränkt und sei C. Seien x y. Sei G die zu gehörige Greensche Funktion. Nehme an, dass G C (( 2 ) \ ), := (x, x) : x }, ist. Dann gilt G(y, x) = G(x, y). Beweis. Fixiere x y. Definiere für z Es gilt v(z) := G(x, z) für z x, w(z) := G(y, z) für z y. v(z) = für z x, w(z) = für z y, w = v = auf. ( ) Sei ε >. Definiere ε := \ B ε (x) B ε (y). Für hinreichend kleines ε > (was wir im folgenden annehmen wollen) ist ε C. Nach Annahme gilt v, w C ( ) 2 ε. Die 2. Greensche Formel liefert nun w = v ν w v ν = ε B ε(x) v w ν w v ν + B ε(y) v w ν w v ν, wobei wir mit ν die äußere Normale an ε bezeichnen. Nahe x ist w glatt. Wir erhalten also da ϕ x durch die Randwerte beschränkt ist w ν v dz c v = c G(x, z) B ε(x) B ε(x) B ε(x)

18 8 OLIVER C. SCHNÜRER Es gilt Es gilt also c B ε(x) Φ(z x) dz +c } } I ϕ x (z) }} B ε(x) =beschränkt dz. }} für ε } I c ε n log ε, n = 2, ε 2 n für ε., n 3 = lim ε B ε(x) w v ν + B ε(y) v w ν. Durch Vergleich mit den Rechnungen für K ε aus dem Beweis von Theorem 3.6 sehen wir unter Berücksichtigung der Tatsache, dass w und ϕ x nahe x beschränkt sind und somit unsere inneren Abschätzungen anwendbar sind, lim ε B ε(x) w v ν = lim ε = lim B ε(x) ε B ε(x) = w(x). w(z) ν z (Φ(z x) ϕ x (z)) dz w(z) ν z Φ(z x) dz Wir schließen also, dass w(x) = v(y) ist und somit folgt G(y, x) = G(x, y). Beispiel 3.23 (Greensche Funktion für einen Halbraum). Dies ist zunächst eine formale Rechnung, da ein Halbraum nicht präkompakt ist. Definiere R n + := (x,..., x n ) R n : x n > }. Definiere x als die Reflektion von x an R n +, x := (x,..., x n, x n ). Beobachtung: Für x R n + und y R n + gilt Φ(y x) = Φ(y x). Die Abbildung y Φ(y x) ist in R n + harmonisch und glatt. Wir machen den folgenden Ansatz und erhalten Für y R n + erhalten wir G(x, y) := Φ(y x) Φ(y x) G y n = Φ Φ (y x) (y x) yn yn = y n x n nω n y x n yn + x n } y x n. G (x, y) = G 2xn (x, y) = ν y yn nω n x y n.

19 PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN I 9 Aufgrund der Greenschen Darstellungsformel vermuten wir nun, dass eine Lösung des Randwertproblems u = in R n +, u = g auf R n + für x R n + durch u(x) = 2xn nω n R n + g(y) x y n dy gegeben ist. Eindeutigkeit ist nicht zu erwarten, da für g = alle Funktionen u(x) = αx n, α R Lösungen sind. Theorem 3.24 (Poissonsche Darstellungsformel für einen Halbraum). Sei g C ( R n ) L ( R n ) und betrachte R n vermöge x (x, ) als Teilmenge von R n. Definiere für x R n + Dann gilt u(x) := 2xn nω n R n + g(y) x y n dy. (i) u C ( R n +) L ( R n +), (ii) u = in R n +, (iii) u C ( R n +) und u = g auf R n +. Genauer gilt: Es gibt eine stetige Fortsetzung ũ von u auf R n + mit ũ = g auf R n +. Beweis. a) Definiere den Poissonkern für R n +, x R n +, y R n +, durch K(x, y) := 2xn nω n x y n. Für x y ist y G(x, y) harmonisch. Daher ist aufgrund der Symmetrie auch x G(x, y) für x y harmonisch. Somit ist für x R n + und y R n + auch die Ableitung x K(x, y) = G (x, y) yn harmonisch. b) Für alle x R n + gilt = K(x, y) dy. Wir zeigen nur den einfachsten Fall R 3 + R n + (n = 3) und lassen den Rest als Übungsaufgabe. Es gilt 2x 3 3ω 3 x y 3 dy = 2x 3 dy 3ω 3 ((x 3 ) 2 + y 2 3/2 ) = R 3 + 2x 3 3ω 3 ((x 3 ) 2 + r 2 ) 3/2 2ω 2r dr = 4x3 ω 2 3ω 3 ( (x 3 ) 2 + r 2) /2

20 2 OLIVER C. SCHNÜRER = 4ω 2 = 4 π 3ω π =. c) Da K(x, y) > sowie K = gelten und g beschränkt ist, ist auch u beschränkt, u L ( R+) n. Die Abbildung x K(x, y) ist für x y glatt und alle Ableitungen fallen im Unendlichen schnell genug ab. Somit ist u C ( R+) n (Übungsaufgabe). Insbesondere gilt für x R n + u(x) = x K(x, y)g(y) dy =. R n + (Hieraus folgt auch schon die über C 2 hinausgehende Regularität.) Beweisidee für u C ( R+) n : Vergleiche Ableitung und Differenzenquotienten. Auf Kompakta hat man gleichmäßige Konvergenz der Differenzenquotienten gegen die Ableitung. Die Integralbeiträge von nach Unendlich sind klein. d) Stetigkeit bis zum Rand: Sei x R n + und ε >. Aufgrund der Stetigkeit von g auf R n + gibt es δ >, so dass für alle y R n + mit y x < δ auch g(y) g(x ) < ε gilt. Sei nun x R n + und x x < δ 2. Dann gilt aufgrund der Normierung K(x, y) dy = R n + für alle x R n + u(x) g(x ) = K(x, y)[g(y) g(x )] dy R n + K(x, y) g(y) g(x ) dy R n + B δ(x ) + K(x, y) g(y) g(x ) dy R n + \B δ(x ) I + J. Aufgrund der Stetigkeit von g und der Normierung gilt I ε K(x, y) dy ε K(x, y) dy = ε. R n + B δ(x ) R n + Benutze nun, dass x x δ 2 und y x δ gelten. Hieraus folgt x x 2 y x und y x y x x x y x 2 y x = 2 y x. Damit schätzen wir J ab J 2 g L K(x, y) dy R n + \B δ(x )

21 PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN I 2 2 g L 2xn nω n = 2 n+2 g L nω n für x n. R n + \B δ(x ) x n Es folgt somit u(x) g(x ) für x x. δ 2 n y x n dy (n )ω n r n 2 dr r n } } < Bemerkung 3.25 (Greensche Funktion für eine Kugel). Definiere für x B () die Inversion an der Einheitssphäre durch x x = x x 2. Durch Erraten erhält man, dass die Korrekturfunktion in diesem Falle durch ϕ x (y) := Φ( x (y x)) (für x und stetig fortgesetzt bis zu x = ) und die Greensche Funktion durch G(x, y) = Φ(y x) Φ( x (y x)) gegeben sind. Für y = und x sieht man durch Quadrieren direkt, dass y x = x y x gilt. Für B r () betrachtet man ( ) G(x, y) = Φ(y x) Φ x (y x). r Lemma 3.26 (Poissonsche Darstellungsformel für eine Kugel). Die Poissonsche Darstellungsformel für eine Kugel B r für das Randwertproblem u = in B r, u = g auf B r ist durch (3.3) u(x) = B r K(x, y)g(y) dy für x B r mit K(x, y) = r2 x 2 nω n r x y n für x B r und y B r gegeben. Beweis. Übungsaufgabe: Rechne nach, dass ϕ x (y) := Φ ( r x (y x)), x = r 2 analog zu oben definiert, das Randwertproblem ϕ x = in B r () ϕ x (y) = Φ(y x) für y B r () löst. Theorem Sei g C ( B r ) und u durch (3.3) definiert. Dann gilt (i) u C (B r ), x x, 2

22 22 OLIVER C. SCHNÜRER (ii) u = in B r, (iii) u läßt sich stetig auf B r fortsetzen und erfüllt dort u = g. Beweis. Übungsaufgabe. 4. Perronverfahren Sei R n offen und beschränkt, C 2, g C ( ). Wir wollen eine Funktion u C () C ( ) finden, die das Randwertproblem u = in, u = g auf löst. 4.. Konvergenzsätze. Theorem 4.. Sei R n offen, u l : R eine Folge harmonischer Funktionen, die gleichmäßig gegen u konvergiert, u l u. Dann ist u in harmonisch. Beweis. Die Funktionen u l sind harmonisch und erfüllen daher die Mittelwerteigenschaft u l (x) = B r(x) Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz u l u dürfen wir zum Grenzwert übergehen und erhalten u(x) = ffl u. Somit ist auch u harmonisch. B r(x) Theorem 4.2. Sei R n offen. Sei (u l ) eine Folge harmonischer Funktionen, die auf jeder kompakten Menge K die Abschätzung u l (x) c(k) erfüllen. Dann gibt es eine Teilfolge der (u l ), die in Cloc 2 () konvergiert. Der Grenzwert u ist eine glatte harmonische Funktion. Beweis. Aufgrund der inneren Abschätzungen für harmonische Funktionen, Theorem 3.4, gibt es für jedes K eine Umgebung U mit u l. K U = K ε x : dist(x, K) < ε} K 2ε für ein ε >, so dass u l C k (U) c (k, n, U,, c (K 2ε )) gilt. Nach dem Satz von Arzelà-Ascoli gibt es daher eine in K ε/2 gleichmässig konvergente Teilfolge. Wir nehmen daher ohne Einschränkung an, dass u l in U gleichmässig gegen eine stetige Funktion u konvergiert. Der Limes u ist aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz in K ε/4 harmonisch. Mit Hilfe eines Diagonalfolgenarguments in K folgt die Behauptung. Korollar 4.3. Sei R n offen und beschränkt. Sei u l : R eine Folge von Funktionen u l C ( ), die in harmonisch sind. Gelte u l = ϕ l auf. Konvergieren die Funktionen ϕ l auf gleichmäßig gegen eine Funktion ϕ, so konvergieren die Funktionen u l in gleichmäßig gegen eine Funktion u C () C ( ), die in harmonisch ist. Beweis. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz ϕ n ϕ auf und des Maximumprinzips folgt, dass u l u in gilt. Die Funktion u ist in harmonisch und damit auch glatt.

23 PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN I 23 Theorem 4.4 (Harnacksches Konvergenztheorem). Sei R n offen und zusammenhängend. Sei u l eine monoton wachsende Folge harmonischer Funktionen. Sei y und sei u l (y) gleichmäßig beschränkt. Sei. Dann konvergiert u l auf gegen eine harmonische Funktion. Beweis. Ohne Einschränkung nehmen wir an, dass zusammenhängend ist und y gilt. Sei ε >. Dann existiert ein N, so dass für m l > N u m (y) u l (y) < ε gilt. Aufgrund der Harnackungleichung, Theorem 3.8 folgt sup u m u l c(, ) ε. Somit konvergiert u l auf gegen u. Also ist u in harmonisch. Theorem 4.5. Sei R n offen. Seien u l harmonische Funktionen, die in C loc () gegen eine Funktion u : R konvergieren. Dann konvergiert u l u in C k loc (). Beweis. Auf kompakten Teilmengen von sind die Funktionen u l gleichmäßig beschränkt. Aufgrund der inneren Abschätzungen und nach Arzelà-Ascoli gibt es daher eine Teilfolge, die für beliebiges k N in Cloc k gegen u konvergiert. Falls nicht die gesamte Folge in Cloc k gegen u konvergiert, gibt es und ε >, so dass für eine nicht umbenannte Teilfolge u l u C k ( ) ε gilt. Aufgrund der inneren Abschätzungen und Arzelà-Ascoli konvergiert aber auch eine Teilfolge dieser Gegenbeispielfolge in C k ( ) für beliebiges k N. Wegen der Cloc -Konvergenz ist u auch der Grenzwert dieser Teilfolge. Dies widerspricht aber der Voraussetzung u l u C k ( ) ε. Somit konvergiert bereits die gesamte Folge C -subharmonische Funktionen. Definition 4.6. Sei R n offen. (i) u C 2 () heißt C 2 -harmonisch, falls u =, C 2 -subharmonisch, falls u, C 2 -superharmonisch, falls u. (ii) u C () heißt C -subharmonisch, falls für jede Kugel B r (x) und jede harmonische Funktion h : C 2 (B r (x)) C ( B r (x) ) mit u h auf B r (x) auch u h in B r (x) folgt. C -superharmonisch, falls u subharmonisch ist. C -harmonisch, falls u subharmonisch und superharmonisch ist. (iii) u C () heißt Sphären-subharmonisch, falls u(x) ffl u für alle B r (x) gilt. B r(x) Ball-subharmonisch, falls u(x) ffl für alle B r (x) gilt. B r(x) Die Begriffe Sphären-superharmonisch, Sphären-harmonisch, Ball-superharmonisch und Ball-harmonisch sind analog definiert. Wir werden diese Eigenschaften nur solange unterschiedlich bezeichnen, bis wir einige Äquivalenzen gezeigt haben.

24 24 OLIVER C. SCHNÜRER Bemerkung 4.7. Bei C -subharmonischen Funktionen genügt der Vergleich mit der harmonischen Fortsetzung h der Randwerte, die nach Theorem 3.27 existiert. Sämtliche andere Funktionen H mit H h = u auf B r (x) erfüllen im Inneren nämlich H h. Lemma 4.8. Sei R n offen. Sei u: R n Sphären- oder Ball-subharmonisch. Dann erfüllt u das starke Maximumprinzip, d. h. (i) für jede offene Teilmenge nimmt u sein Maximum auf dem Rand an und (ii) ist zusätzlich zusammenhängend und nimmt u sein Maximum im Inneren von an, so ist u konstant. Beweis. Gehe genau wie im Beweis von Theorem 3. vor. Statt der Mittelwerteigenschaft genügt es dort, dass u Sphären- oder Ball-subharmonisch ist. Korollar 4.9. Sei R n offen, zusammenhängend und beschränkt. Seien u, v C ( ). Sei u eine C -subharmonische Funktion und v eine C -superharmonische Funktion. Gelte u = v auf. Dann gilt entweder u < v in oder u v. Im zweiten Fall sind beide Funktionen harmonisch. Beweis. Übung. Lemma 4.. Sei R n offen. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (i) u ist C -subharmonisch, (ii) u ist Sphären-subharmonisch, (iii) u ist Ball-subharmonisch. Beweis. (i) = (ii) : Sei B r (x). Sei h die harmonische Fortsetzung von u Br(x) nach B r (x) aus Theorem 3.27, d. h. sei h C (B r (x)) C ( B r (x) ) und gelte h = in B r (x), h = u auf B r (x). Nach der Poissonschen Darstellungsformel (3.3) folgt h(x) = ffl h. Da u eine B r(x) C -subharmonische Funktion ist und u = h auf B r (x) gilt, folgt weiterhin u(x) h(x) = h = u. B r(x) Somit ist u Sphären-subharmonisch. (ii) = (iii) : Wir integrieren u(x) dy B r(x) u(y) dy B ρ(x) B ρ(x) von ρ = bis ρ = r und erhalten wegen f(y) dy = r B r(x) B ρ(x) f(y) dy dρ

25 PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN I 25 die Ungleichung u(x) dy u(y) dy. B r(x) Umordnen ergibt die Behauptung. B r(x) (iii) = (i) : Sie h die harmonische Fortsetzung der Randwerte u B r(x). Dann erfüllt u h dieselbe Mittelwerteigenschaft wie u. Wir können also Lemma 4.8 anwenden und erhalten u h in B r (x). Bemerkung 4.. (i) Sei u eine C 2 -subharmonische Funktion. Dann ist u Sphären-subharmonisch. (ii) Eine C -subharmonische Funktion braucht nicht von der Klasse C 2 zu sein. Beweis. (i) In Theorem 3.8 haben wir allgemein für u C 2 gezeigt, dass d dr ϕ(r) d u(y) dy = u(y) dy dr B r B r(x) B r(x) gilt. Für eine subharmonische Funktion ( u ) ist ϕ also monoton wachsend und es gilt lim ϕ(r) = u(x). Die Behauptung folgt. r (ii) Betrachte x x. Eindimensional ist klar, dass dies ein Gegenbeispiel ist. Höherdimensional kann man analog zu Lemma 4.4 argumentieren. Lemma 4.2. Sei R n offen. Sei u in C (). Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (i) u ist C 2 -harmonisch, (ii) u ist C -harmonisch, (iii) u ist Sphären-harmonisch und (iv) u ist Ball-harmonisch. Beweis. (a) C 2 -harmonisch impliziert die drei letzten Bedingungen, die nach Lemma 4. äquivalent zueinander sind. (b) Theorem 3.3 besagt, dass Funktionen, die eine dieser drei Bedingungen erfüllen, glatt sind. Theorem 3.9 impliziert dann, dass u auch C 2 -harmonisch ist. Alternativbeweis. (a) Nach Bemerkung 4. erfüllt eine C 2 -Funktion jede der anderen nach Lemma 4. äquivalenten Definitionen. (b) Sei u eine C -harmonische Funktion. Sei B r (x) und h die harmonische Fortsetzung der Randwerte u Br(x) nach B r (x), vgl. Theorem Dann folgt nach Definition einer C -harmonischen Funktion u = h in B r (x). Somit ist u C 2. Nach Theorem 3.9 erhalten wir u =. (c) Die restlichen Äquivalenzen folgen nach Lemma 4.. Lemma 4.3 (Harmonische Ersetzung). Sei R n offen. Sei u : R subharmonisch und B eine Kugel. Sei u : B R die harmonische Funktion mit u = u auf B.

26 26 OLIVER C. SCHNÜRER Wir definieren die harmonische Ersetzung von u in B durch u(x), x B, U(x) := u(x), x \ B. Dann ist U in (C -)subharmonisch. Beweis. Sei B eine Kugel. Sei h harmonisch in B und U h auf B. Wir wollen nachweisen, dass U h in B gilt. Die Funktion u ist subharmonisch. Somit gilt u U in (und insbesondere in B). Wir benutzen die Annahme U h auf B und erhalten u U h auf B. Da u subharmonisch ist, erhalten wir u h in B. Nach Definition von U folgt also U h in B \ B. Insbesondere gilt daher U h auf B B und somit U h auf (B B ). h und U sind harmonische Funktionen, wir schließen also, dass U h in B B gilt. Insgesamt erhalten wir also U h in B. Also ist U subharmonisch. Lemma 4.4. Sei R n offen. Seien u,..., u N in subharmonisch. Dann ist auch u(x) := maxu (x),..., u N (x)} in subharmonisch. Beweis. Dies folgt direkt aus der Definition von subharmonisch. Definition 4.5. Sei R n offen und beschränkt, ϕ L ( ). Dann heißt u C ( ) eine Subfunktion oder Sublösung (für den Laplaceoperator ), wenn u subharmonisch ist und u ϕ auf gilt. Superfunktionen sind analog definiert. Bemerkung 4.6. Für gegebenes ϕ L ( ) sind Subfunktionen aufgrund des Maximumprinzips kleiner als Superfunktionen. Sei c sup ϕ, dann ist u(x) = c eine Superfunktion. Sei c 2 inf ϕ, dann ist u(x) = c 2 eine Subfunktion Das Perronverfahren. Theorem 4.7. Sei R n offen und beschränkt. Sei ϕ L ( ). Sei Definiere Dann ist u in harmonisch. S ϕ := u C ( ) : u ist Subfunktion bezüglich ϕ }. u(x) := sup v S ϕ v(x). Beweis. Aufgrund des Maximumprinzips erfüllt v S ϕ die Ungleichung v sup ϕ. Nach Lemma 4.4 und Bemerkung 4.6 brauchen wir nur Funktionen v S ϕ mit v inf ϕ zu betrachten, da maxv, inf ϕ} S ϕ gilt. Diese C -Schranken erlauben es später, die inneren Abschätzungen für harmonische Funktionen zu verwenden. Sei y beliebig. Nach Definition von u existiert eine (von y abhängige) Folge v i, v i S ϕ, so dass v i (y) u(y). Sei R >, so dass B = B R (y). Sei V i die harmonische Ersetzung von v i bezüglich B wie in Lemma 4.3. Es gilt V i S ϕ. Die Funktion v i ist subharmonisch. Also gilt v i V i. Nach Definition von u gilt also V i (y) u(y).

27 PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN I 27 Die Funktionen V i sind nun in B harmonisch und aufgrund der inneren Abschätzungen für Ableitungen harmonischer Funktionen konvergiert eine Teilfolge V ik auf jeder Kugel B ρ (y), ρ < R, gleichmäßig gegen eine in B harmonische Funktion v. Vergleiche dazu nochmals Theorem 4.2. Nach Definition von u gilt daher v u. Es gilt auch v(y) = u(y). Wir behaupten nun, dass in B sogar u = v gilt: Angenommen es gibt ein z B mit v(z) < u(z). Dann gibt es u S ϕ, so dass v(z) < u(z). Definiere w k := maxu, V ik }. Es gilt w k S ϕ. Bezeichne mit W k die zugehörigen harmonischen Ersetzungen in B. Dann gilt W k w k V ik v. }} in y Wie oben existiert eine Teilfolge der W k, die in B gegen eine harmonische Funktion w konvergiert. Dann gilt in B die Ungleichung v w u. Andererseits ist v(y) = w(y) = u(y). Da v und w in B harmonische Funktionen sind, gilt aufgrund des Maximumprinzips v = w in B. Dies ist ein Widerspruch, da v(z) < u(z) w k (z) W k (z) w(z) = v(z). Somit gilt u = v in B und u ist in harmonisch. Bemerkung 4.8. Sei R n offen und beschränkt. Existiert eine Lösung u C 2 () C ( ) des Dirichletproblems u = in, u = ϕ auf, so ist u gerade die Perronlösung, die wir in Theorem 4.7 konstruiert haben. I. a. ist nicht klar, ob die Perronlösung die Randbedingung erfüllt. Beweis. Wir beweisen nur, dass u die Perronlösung ist. Es gilt u S ϕ. Sei w S ϕ. Dann folgt aufgrund des Maximumprinzips, dass w u ist. Die Behauptung folgt Barrieren und Randwerte. Mit Hilfe von Barrieren zeigen wir nun, dass die Perronlösung stetige Randwerte auf hinreichend regulären Gebieten tatsächlich annimmt. Definition 4.9 (Barriere). Sei ξ. Eine Funktion w C ( ), w = w ξ, heißt Barriere für ξ relativ zu, falls (i) w in superharmonisch ist, (ii) w(ξ) = und w > in \ ξ} gelten. Bemerkung 4.2. Erfüllt w die Bedingungen von Definition 4.9 in einer Umgebung von ξ, so gibt es eine Barriere für ξ relativ zu. Beweis. Sei Definition 4.9 in B r (ξ), r >, erfüllt. Wir wollen annehmen, dass r > so gewählt ist, dass die Menge, über die wir nun das Infimum nehmen, nichtleer ist. Sei m := w >. Dann ist leicht einzusehen, dass inf (B r(ξ)\b r/2 (ξ)) w(x) := eine Barriere für ξ relativ zu ist. minm, w(x)}, x B r/2 (ξ), m, x \ B r/2 (ξ)

28 28 OLIVER C. SCHNÜRER Die Existenz einer Barriere ist also eine lokale Eigenschaft des Randes. Definiere daher Definition 4.2. Ein Randpunkt heißt regulär (bezüglich des Laplaceoperators), falls es eine Barriere zu diesem Punkt gibt. Lemma Sei R n offen und beschränkt. Sei u eine mittels Perronverfahren konstruierte Lösung, sei ξ ein regulärer Randpunkt von und sei ϕ in ξ stetig. Dann gilt u(x) ϕ(ξ) für x ξ. Beweis. Sei ε >. Definiere M := sup ϕ. Sei w eine Barriere für ξ. Aufgrund der Stetigkeit von ϕ existiert ein δ >, so dass ϕ(x) ϕ(ξ) < ε für x ξ < δ gilt. Fixiere k >, so dass kw(x) 2M für x ξ δ gilt. Nun ist ϕ(ξ) + ε + kw eine Superfunktion und ϕ(ξ) ε kw eine Subfunktion. Nach Definition von u gilt ϕ(ξ) ε kw(x) u(x). Da eine Superfunktion über einer Sublösung liegt, gilt auch u(x) ϕ(ξ) + ε + kw(x). Insgesamt folgt also u(x) ϕ(ξ) ε + kw(x). Für x ξ folgt w(x). Da ε > beliebig war, erhalten wir also u(x) ϕ(ξ) für x ξ. Theorem Sei R n offen und beschränkt. Dann ist das Dirichletproblem u = in, u = ϕ auf für beliebiges ϕ C ( ) genau dann in C 2 () C ( ) lösbar, wenn jeder Randpunkt regulär ist. Beweis. = : Sei jeder Randpunkt regulär. Dann können wir Lemma 4.22 anwenden und erhalten, dass die Perronlösung die Randbedingung erfüllt und bis zum Rand stetig ist. = : Die Lösung zu ϕ(x) = x ξ ist eine Barriere zu ξ. Definition Sei R n offen. Dann erfüllt eine äußere Kugelbedingung, falls für jedes x eine Kugel B existiert, so dass x} = B gilt. erfüllt eine gleichmäßige Kugelbedingung, falls für alle x Kugeln mit gleichem Radius verwendet werden können. Lemma Erfülle in ξ eine äußere Kugelbedingung, ξ} = B R (y). Dann ist R 2 n x y 2 n, n 3, w(x) := log x y R, n = 2 eine Barriere für ξ. Beweis. Klar Existenzsätze. Theorem Sei R n offen und beschränkt, C 2. Sei ϕ C ( ). Dann existiert genau eine Lösung u C 2 () C ( ) zu u = in, u = ϕ auf. Beweis. Sei u die Perronlösung. Die Eindeutigkeit folgt aus dem Maximumprinzip.

29 PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN I 29 Theorem Sei R n offen und beschränkt, C 2. Sei ϕ C ( ), f Cc 2 (R n ). Dann existiert genau eine Lösung u C 2 () C ( ) zu u = f in, (4.) u = ϕ auf. Beweis. Sei v C 2 (R n ) eine Lösung zu v = f in R n. (v ist nicht eindeutig bestimmt, aber das macht nichts.) Sei w C 2 () C ( ) eine Lösung zu w = in, w = ϕ v auf. Dann löst u := w + v das Randwertproblem (4.). Die Eindeutigkeitsaussage folgt direkt aus dem Maximumprinzip. 5. Maximumprinzipien 5.. Maximumprinzipien für elliptische Differentialgleichungen. Bemerkung 5.. Für dieses Kapitel wollen wir die folgenden Generalvoraussetzungen annehmen: Sei R n offen und beschränkt. Sei u C 2 () C ( ). Wir betrachten Differentialoperatoren der Form wobei Lu(x) = a ij u ij + b i u i + du n = a ij (x)u ij (x) + i,j= n b i (x)u i (x) + d(x)u(x), i= (i) a ij symmetrisch ist, d. h. a ij (x) = a ji (x) gilt. (ii) L elliptisch ist: Es existiert λ >, so dass n λ ξ 2 a ij (x)ξ i ξ j i,j= für alle x, ξ R n. (iii) die Koeffizienten gleichmäßig beschränkt sind, d. h. es gibt K >, so dass für alle i, j und alle x. Ein Beispiel hierfür ist Lu = u. a ij (x), b i (x), d(x) K Theorem 5.2. Sei d und erfülle u in die Differentialungleichung Lu, d. h. a ij u ij + b i u i. Dann gilt sup u = max u. Ein analoges Resultat erhält man für Lu und das Infimum durch Betrachten von u.

30 3 OLIVER C. SCHNÜRER Beweis. Nehme zunächst an, dass Lu > gilt. In einem inneren Maximum x gilt u i (x ) = für alle i, u ij (x ) Hieraus folgt (diagonalisiere z. B. u ij (x )) in im Sinne von Matrizen. Lu(x ) = a ij u ij. Widerspruch. Sei nun Lu. Definiere für α > die Funktion v(x) = e αx. Es gilt Lv(x) = ( α 2 a (x) +α b ) (x) v(x). }}}} λ K Für α hinreichend groß erhalten wir Lv >. Sei nun ε >. Dann folgt L(u + εv) >. Somit folgt die Behauptung für u + εv. Wir lassen nun ε und erhalten die Behauptung für u. Korollar 5.3. Seien f C () und ϕ C ( ) sowie d. Dann besitzt das Dirichletproblem Lu = f in, u = ϕ auf höchstens eine Lösung u C 2 () C ( ). Beweis. Wende das Maximumprinzip auf die Differenz zweier Lösungen an. Korollar 5.4. Sei d, Lu in, u + (x) := maxu(x), } Dann gilt sup u + max u+. Beweis. Definiere + := x : u(x) > }. In + gilt a ij u ij + b i u i. Somit folgt sup u max u. Sei ohne Einschränkung +. Wir erhalten + + sup u + = sup u max u max + + u+, da u = auf +, + = ( + ) ( + ). Theorem 5.5 (Starkes Maximumprinzip, E. Hopf). Sei d, Lu. Sei zusammenhängend. Nimmt u sein Maximum im Inneren von an, so ist u konstant. Gilt d und nimmt u sein nichtnegatives Maximum im Inneren von an, so ist u konstant. Der Beweis hiervon benutzt Theorem 5.6 (Hopfsches Randpunktlemma). Sei d, Lu. Sei x und gelte (i) u ist in x stetig, (ii) u(x ) falls d, (iii) u(x ) > u(x) für x,

31 PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN I 3 (iv) es gibt eine Kugel B R (y) mit x B R (y). Dann gilt falls diese Ableitung existiert. Du(x ), x y >, Hier ist klar, dass Du(x ), x y gilt. Beweis von Theorem 5.6. Nehme an, dass B R (y) = x } ist. Sei < ρ < R. Betrachte im Annulus B R (y) \ B ρ (y) die Funktion Es gilt v(x) := e γ x y 2 e γr2 für γ. Lv(x) = 4γ 2 a ij (x i y i )(x j y j ) 2γa ij δ ij 2γb i (x i y i ) + d } e γ x y 2 de γr2. Für fixiertes ρ und γ hinreichend groß erhalten wir Lv in B R (y) \ B ρ (y). Nach Voraussetzung gilt u(x) u(x ) < für x B R (y). Somit existiert ε >, so dass u(x) u(x ) + εv(x) für x B ρ (y). Auf B R (y) gilt v = und somit folgt dort ebenfalls u(x) u(x ) + εv(x). Weiterhin gilt L(u(x) u(x ) + εv(x)) d(x)u(x ). Korollar 5.4, angewandt auf den Annulus, liefert daher u(x) u(x ) + εv(x) für x B R (y) \ B ρ (y). Diese Funktion verschwindet in x. Also folgt in x, falls diese Ableitung existiert, Wir schließen, dass D(u(x) u(x ) + εv(x)), x y in x = x. Du(x ), x y ε Dv(x ), x y = ε ( 2γR 2 e γr2) > gilt. Das Theorem folgt. Beweis von Theorem 5.5. Wir führen einen Widerspruchsbeweis. Sei u nicht konstant, nehme aber in das Maximum m an. Sei m, falls d gilt. Definiere := x : u(x) < m} =. Es ist. Wähle y mit d(y, ) < d(y, ). Sei B R (y) die größte Kugel in mit Mittelpunkt y, die noch in enthalten ist. Dann folgt u(x ) = m für ein x B R (y) und u(x) < u(x ) für x. Wir wenden nun das Hopfsche Randpunktlemma, Theorem 5.6, an und erhalten Du(x ). In x nimmt aber u ein inneres Maximum an. Somit folgt dort Du(x ) =. Wir erhalten einen Widerspruch und das Theorem folgt.

32 32 OLIVER C. SCHNÜRER 5.2. Parabolisches Maximumprinzip. Definition 5.7. Sei R n offen und beschränkt und sei T >. Dann definieren wir den parabolischen Rand von (, T ) durch P( (, T )) := ( } ) ( [, T )). Wir beweisen nur das schwache parabolische Maximumprinzip für zylinderförmige Gebiete. Theorem 5.8. Sei T >. Seien L, wie in Bemerkung 5., jedoch auf (, T ) statt auf definiert. Gelte d. Erfülle die Differentialungleichung Dann gilt u C 2 ( (, T )) C (( (, T )) P( (, T ))) u Lu in (, T ). sup u sup u. (,T ) P( (,T )) Varianten mit d und u Lu f mit f c erhält man daraus als Übung. Beweis. Wir führen einen Widerspruchsbeweis. Ist die Behauptung nicht erfüllt, so gibt es ein ε >, so dass die Behauptung für u ε := u εt ebenfalls verletzt ist. Die Funktion u ε erfüllt die Ungleichung u ε Lu ε = u Lu ε < in (, T ). Da die angegebene Ungleichung für u ε statt u verletzt ist, gibt es (x, t ) (, T ) mit u ε (x, t ) > sup u ε. P( (,T )) Ohne Einschränkung dürfen wir annehmen, dass u ε (x, t ) u ε (x, t) für alle (x, t) (, t ] gilt. Sonst können wir nämlich einen Punkt mit demselben Funktionswert zu einem früheren Zeitpunkt wählen, für den diese Ungleichung gilt. Wir erhalten in (x, t ) nach Wahl dieses Punktes die Ungleichungen u ε, (u ε ) i = und (u ε ) ij. Somit folgt Widerspruch. u ε a ij (u ε ) ij b i (u ε ) i <. 6. Hilbertraummethoden 6.. Die Laplacegleichung Eindeutigkeit. Die Aussage des folgenden Theorems ist nicht neu, sie folgt auch schon aus dem Maximumprinzip. Wir lernen hieran nur eine neue Methode kennen, die Energiemethode. Theorem 6. (Eindeutigkeit). Sei R n offen und beschränkt, C. Dann besitzt das Randwertproblem u = f in, u = g auf höchstens eine Lösung in C 2 ( ).

33 PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN I 33 Beweis. Seien u, ũ C ( 2 ) zwei Lösungen. Definiere w := u ũ. Dann folgt w = in, w = auf. Es folgt = Also gilt Dw = in. Somit ist w konstant. w w = Dw Die Laplacegleichung Schwache Existenz. Wir benutzen Methoden der Funktionalanalysis, um eine schwache Lösung zu konstruieren. Definition 6.2 (Generalvoraussetzungen). Sei R n offen und beschränkt, C, L ein elliptischer Differentialoperator zweiter Ordnung in Divergenzform Wir machen folgende Annahmen gleichmäßige Elliptizität: Lu = ( a ij (x)u i )j + bi (x)u i + d(x)u. a ij ξ i ξ j ϑ ξ 2 für eine Konstante ϑ >. Symmetrie: a ij = a ji. Regularität: a ij, b i, d L (), f L 2 (). Koerzivität: Es gibt β >, so dass a ij ϕ i ϕ j + b i ϕ i ϕ + dϕ 2 β ϕ 2 H () für alle ϕ H () gilt. Beispiel 6.3. Koerzivität kann man beispielsweise wie folgt überprüfen. Es gilt a ij ϕ i ϕ j + b i ϕ i ϕ + dϕ 2 ϑ Dϕ 2 ( 2 ε Dϕ 2 + ) 2 ε b 2 + d ϕ 2. Wähle nun ε, so dass ϑ 2ε > ist. Negative quadratische Terme in ϕ lassen sich (möglicherweise) mit Hilfe der Poincaréungleichung ( u L 2 c Du L 2) in die Dϕ 2 Terme absorbieren. Benutze schließlich die Äquivalenz der Normen u H,2 und Du L 2 auf H,2. Bemerkung 6.4. Im Falle einer glatten Lösung u von Lu = f bei glatten Daten erhalten wir durch partielle Integration a ij u i ϕ j + b i u i ϕ + duϕ = fϕ für alle Testfunktionen ϕ. Gilt dies für alle Testfunktionen, so folgt umgekehrt auch Lu = f. Durch Approximation sehen wir, dass wir dieselbe Gleichheit erhalten, wenn nur ϕ H () gilt. Dies motiviert die folgende Definition einer schwachen Lösung.

34 34 OLIVER C. SCHNÜRER Definition 6.5 (Schwache Lösung). Eine Funktion u H () heißt schwache Lösung des Randwertproblems Lu = f in, u = auf, wenn für alle Funktionen ϕ H () a ij u i ϕ j + b i u i ϕ + duϕ = fϕ gilt. Wir wollen das folgende Theorem aus der Funktionalanalysis benutzen. Es folgt direkt aus dem Rieszschen Darstellungssatz, wenn die Bilinearform symmetrisch ist, denn dann definiert die Bilinearform ein zum Standardskalarprodukt äquivalentes Skalarprodukt (im Sinne von äquivalenten Normen) und wir können hierauf direkt den Rieszschen Darstellungssatz anwenden. Theorem 6.6 (Lax-Milgram). Sei H ein Hilbertraum, B : H H R bilinear, stetig, also B[u, v] α u v, und koerziv, also β u 2 B[u, u], für Konstanten α, β > und alle u, v H. Sei f H. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes u H mit B[u, v] = f(v) für alle v H. Beweis. (i) Sei zunächst u H fest. Die Abbildung v B[u, v] ist eine stetige lineare Abbildung. Nach dem Rieszschen Darstellungssatz gibt es somit ein eindeutig bestimmtes w H, so dass B[u, v] = w, v für alle v H. Wir setzen Au := w. (ii) Wir behaupten, dass der Operator A : H H linear und stetig ist. Die Linearität folgt aus der Bilinearität von B. Aus der Abschätzung Au 2 = Au, Au = B[u, Au] α u Au folgt die Stetigkeit von A. (iii) Der Operator ist injektiv, da B koerziv ist, denn β u 2 B[u, u] = Au, u Au u impliziert β u Au. (iv) Das Bild von A ist ein abgeschlossener linearer Unterraum von H, da aufgrund der Abschätzung β u Au eine Cauchyfolge im Bild von einer Cauchyfolge im Urbild herkommt. (v) A ist surjektiv. Sonst existiert nämlich ein w (Im A), da Im A ein abgeschlossener Unterraum ist und wir erhalten β w 2 B[w, w] = Aw, w =. Somit haben wir nachgewiesen, dass A ein Isomorphismus ist.