Maximumprinzip und Minimumprinzip

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Hedwig Beutel
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1 Maximumprinzip und Minimumprinzip Daniela Rottenkolber LMU München Zillertal / Daniela Rottenkolber Maximumprinzip und Minimumprinzip 1/14

2 Übersicht Motivation mit Beispielen Schwaches Maximumprinzip Schwaches Minimumprinzip Starkes Maximumprinzip Starkes Minimumprinzip Daniela Rottenkolber Maximumprinzip und Minimumprinzip 2/14

3 Beispiel im Eindimensionalen f : x x 2 x ] R, R[ für ein R R u (x) = 2 > 0 = kein Maximum im Inneren = max I f = max I f : x x 2 x ] R, R[ für ein R R u (x) = 2 < 0 = kein Minimum im Inneren = min f = min f I I f Daniela Rottenkolber Maximumprinzip und Minimumprinzip 3/14

4 Beispiel im Zweidimensionalen u : (x, y) x 2 y 2 auf B r (M) u = 2u + x 2u = 2 2 = 0 y = kein Maximum und kein Minimum im Inneren = max B = min B u = max B u = min B u u Daniela Rottenkolber Maximumprinzip und Minimumprinzip 4/14

5 Das schwache Maximumprinzip Es soll gelten : (i) ij aij (x) 2 Λ 2 (ii) a ij (x)ξ i ξ j λ ξ 2 x Ω, ξ R n und für das schwache Maximumprinzip: u W 1,2 (Ω) Lu 0 auf Ω sup Ω u sup Ω u + mit Lu = Σ ij xi (a ij (x) xj u) Ω R n Daniela Rottenkolber Maximumprinzip und Minimumprinzip 5/14

6 Beweis Annahme : u ist lipschitz stetig Lu : C 0 R es soll gelten Lu 0, also Lu = Σ ij xi (a ij (x) xj u) 0 Wir multiplizieren Lu nun mit ϕ W 1,2 0 beliebig, L(u, ϕ) = Σ ij xi (a ij (x) xj u)ϕ 0 Σ ij Ω x i(a ij xj u)ϕ dx = Σ ij Ω (a ij xj u) xi ϕ dx 0 ϕ in W 1,2 0 u + δω Setze ϕ = max {u k, 0} und k = sup { i u wenn u > k (ϕ 0) i ϕ = 0 wenn u k (ϕ = 0) Daniela Rottenkolber Maximumprinzip und Minimumprinzip 6/14

7 Beweis Annahme : u ist lipschitz stetig Lu : C 0 R es soll gelten Lu 0, also Lu = Σ ij xi (a ij (x) xj u) 0 Wir multiplizieren Lu nun mit ϕ W 1,2 0 beliebig, L(u, ϕ) = Σ ij xi (a ij (x) xj u)ϕ 0 Σ ij Ω x i(a ij xj u)ϕ dx = Σ ij Ω (a ij xj u) xi ϕ dx 0 ϕ in W 1,2 0 u + δω Setze ϕ = max {u k, 0} und k = sup { i u wenn u > k (ϕ 0) i ϕ = 0 wenn u k (ϕ = 0) Daniela Rottenkolber Maximumprinzip und Minimumprinzip 6/14

8 Beweis Annahme : u ist lipschitz stetig Lu : C 0 R es soll gelten Lu 0, also Lu = Σ ij xi (a ij (x) xj u) 0 Wir multiplizieren Lu nun mit ϕ W 1,2 0 beliebig, L(u, ϕ) = Σ ij xi (a ij (x) xj u)ϕ 0 Σ ij Ω x i(a ij xj u)ϕ dx = Σ ij Ω (a ij xj u) xi ϕ dx 0 ϕ in W 1,2 0 u + δω Setze ϕ = max {u k, 0} und k = sup { i u wenn u > k (ϕ 0) i ϕ = 0 wenn u k (ϕ = 0) Daniela Rottenkolber Maximumprinzip und Minimumprinzip 6/14

9 Beweis Σ ij Ω a ij xj u xi ϕ dx = Σ ij Ω {u>k} a ij xj u xi u dx 0 0 Σ ij Ω {u>k} a ij xj u xi u dx λσ ij {u>k} u 2 0 u = 0 fast überall auf {u > k} kein Supremum auf Ω sup Ω u sup Ω u + Daniela Rottenkolber Maximumprinzip und Minimumprinzip 7/14

10 Beweis Σ ij Ω a ij xj u xi ϕ dx = Σ ij Ω {u>k} a ij xj u xi u dx 0 0 Σ ij Ω {u>k} a ij xj u xi u dx λσ ij {u>k} u 2 0 u = 0 fast überall auf {u > k} kein Supremum auf Ω sup Ω u sup Ω u + Daniela Rottenkolber Maximumprinzip und Minimumprinzip 7/14

11 Beweis Σ ij Ω a ij xj u xi ϕ dx = Σ ij Ω {u>k} a ij xj u xi u dx 0 0 Σ ij Ω {u>k} a ij xj u xi u dx λσ ij {u>k} u 2 0 u = 0 fast überall auf {u > k} kein Supremum auf Ω sup Ω u sup Ω u + Daniela Rottenkolber Maximumprinzip und Minimumprinzip 7/14

12 Beweis Σ ij Ω a ij xj u xi ϕ dx = Σ ij Ω {u>k} a ij xj u xi u dx 0 0 Σ ij Ω {u>k} a ij xj u xi u dx λσ ij {u>k} u 2 0 u = 0 fast überall auf {u > k} kein Supremum auf Ω sup Ω u sup Ω u + Daniela Rottenkolber Maximumprinzip und Minimumprinzip 7/14

13 Das schwache Minimumprinzip Es gelten die gleichen Voraussetzungen (i,ii) wie im schwachen Maximumprinzip. Auÿerdem soll gelten: u W 1,2 (Ω) Lu 0 auf Ω inf u inf Ω Ω u Daniela Rottenkolber Maximumprinzip und Minimumprinzip 8/14

14 Beweis. Wende das schwache Maximumprinzip auf L( u) = Lu 0 an, Wenn Lu 0 sup u sup( u) + Ω Ω inf u inf Ω Ω u inf Ω u inf Ω u Daniela Rottenkolber Maximumprinzip und Minimumprinzip 9/14

15 Korollar der Eindeutigkeit: Sei u W 1,2 0 (Ω) und Lu = 0 auf Ω Dann gilt u = 0 auf Ω Beweis. Lu = 0 sup Ω u = sup u + inf u = inf Ω Ω Ω u Aber da u W 1,2 0 (Ω) sind die Randwerte gleich Null. u = 0 auf Ω Daniela Rottenkolber Maximumprinzip und Minimumprinzip 10/14

16 Das starke Maximumprinzip Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie beim schwachen Maximumprinzip (i,ii) Theorem F ür das starke Maximumprinzip gilt nun : u W 1,2 (Ω) und Lu 0 auf Ω Dann folgt aus : sup u = sup u 0 f ür einen Ball B Ω u muss in Ω konstant sein B Ω Daniela Rottenkolber Maximumprinzip und Minimumprinzip 11/14

17 Beweis. Setze B = B R (y) o.b.d.a. sei B 4R (y) Ω. Sei M = sup u und wende die schwache Harnack Ungleichheit B f ür die Sublösung v = (M u) + an 0 R n (M u) B + dx C inf(m u) = 0 2R B u M auf B R und wir erhalten u M auf Ω Daniela Rottenkolber Maximumprinzip und Minimumprinzip 12/14

18 Das starke Minimumprinzip Es gelten die gleichen Voraussetzungen (i, ii) wie im starken Maximumprinzip. Es sei u W 1,2 (Ω) und Lu 0 auf Ω Dann folgt aus: inf u = inf u 0 f ür einen Ball B Ω B Ω u muss auf Ω konstant sein Daniela Rottenkolber Maximumprinzip und Minimumprinzip 13/14

19 Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit! Daniela Rottenkolber Maximumprinzip und Minimumprinzip 14/14

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