Allgemeine Punktprozesse

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1 Allgemeine Punktprozesse Michael Auchter 17. Mai 2010

2 Seite 2 Allgemeine Punktprozesse 17. Mai 2010 Inhaltsverzeichnis Definitionen Definition von Punktprozessen Das Intensitätsmaß Stationarität, Isotropie und Bewegungsinvarianz Das Campbellsche Theorem Cox-Prozesse Cluster-Prozesse

3 Seite 3 Allgemeine Punktprozesse 17. Mai 2010 Inhaltsverzeichnis Definitionen Definition von Punktprozessen Das Intensitätsmaß Stationarität, Isotropie und Bewegungsinvarianz Das Campbellsche Theorem Cox-Prozesse Cluster-Prozesse

4 Seite 4 Allgemeine Punktprozesse 17. Mai 2010 Zufällige Zählmaße N := {ϕ : B(R d ) {0, 1,...} { } ϕ ist ein lokal endliches Zählmaß} Sei N die kleinste σ-algebra von Teilmengen von N, so dass ϕ ϕ(b) für jedes B B 0 (R d ) eine (N, B(R))-messbare Abbildung ist. Ein zufälliges Zählmaß N : Ω N ist eine Zufallsvariable über (Ω, A, P) mit Werten in dem messbaren Raum (N, N ).

5 Seite 5 Allgemeine Punktprozesse 17. Mai 2010 Definition von Punktprozessen Sei S 1, S 2,... : Ω R d { } eine beliebige Folge von Zufallsvektoren über (Ω, A, P), so dass f.s. #{n : S n B} < B B 0 (R d ). Dann heißt {S n } ein zufälliger Punktprozess. Falls zusätzlich S i S j i, j 1 mit i j und S i, dann heißt {S n } ein einfacher Punktprozess.

6 Seite 6 Allgemeine Punktprozesse 17. Mai 2010 Definition von Punktprozessen Durch den Ansatz N B := #{n : S n B} B B(R d ). ist ein lokal endliches zufälliges Zählmaß {N B, B B(R d )} gegeben.

7 Seite 7 Allgemeine Punktprozesse 17. Mai 2010 Realisierung eines Poisson-Prozesses

8 Seite 8 Allgemeine Punktprozesse 17. Mai 2010 Inhaltsverzeichnis Definitionen Definition von Punktprozessen Das Intensitätsmaß Stationarität, Isotropie und Bewegungsinvarianz Das Campbellsche Theorem Cox-Prozesse Cluster-Prozesse

9 Seite 9 Allgemeine Punktprozesse 17. Mai 2010 Das Intensitätsmaß Sei {S n } ein beliebiger Punktprozess und {N B } das zugehörige Zählmaß. Dann heißt das Maß µ : B(R d ) [0, ] mit das Intensitätsmaß von {S n }. µ(b) = E N B B B(R d )

10 Seite 10 Allgemeine Punktprozesse 17. Mai 2010 Intensität und Intensitätsfunktion Ist µ proportional zum d-dimensionalen Lebesgue-Maß mit µ(b) = λν d (B) B B(R d ), so heißt λ die Intensität von {S n }. Ist µ absolutstetig bzgl. des d-dimensionalen Lebesgue-Maßes mit µ(b) = λ(x)dx B B(R d ), B so heißt die Borel-messbare Funktion λ : R d [0, ) die Intensitätsfunktion von {S n }.

11 Seite 11 Allgemeine Punktprozesse 17. Mai 2010 Inhaltsverzeichnis Definitionen Definition von Punktprozessen Das Intensitätsmaß Stationarität, Isotropie und Bewegungsinvarianz Das Campbellsche Theorem Cox-Prozesse Cluster-Prozesse

12 Seite 12 Allgemeine Punktprozesse 17. Mai 2010 Stationarität, Isotropie und Bewegungsinvarianz Ein Punktprozess {S n } bzw. das zugehörige Zählmaß {N B } heißt stationär, falls (N B1,..., N Bn ) D = (N B1 +x,..., N Bn+x) für beliebige n 1, B 1,..., B n B(R d ) und x R d. isotrop, falls (N B1,..., N Bn ) D = (N δ(b1 ),..., N δ(bn)) für beliebige n 1, B 1,..., B n B(R d ) und jede Drehung δ : R d R d um den Ursprung. bewegungsinvariant, falls er bzw. es stationär und isotrop ist.

13 Seite 13 Allgemeine Punktprozesse 17. Mai 2010 Verschiebung und Drehung von homogenen Poisson-Prozessen Sei {S n } ein homogener Poisson-Prozess. Sei f : R d R d eine Verknüpfung aus einer Verschiebung und einer Drehung um den Ursprung. Dann ist {f (S n )} ist ein homogener Poisson-Prozess

14 Seite 14 Allgemeine Punktprozesse 17. Mai 2010 Eigenschaften stationärer Punktprozesse Sei {N B } ein stationäres zufälliges Zählmaß mit dem lokal endlichen Intensitätsmaß µ : B(R d ) [0, ]. i. Dann gibt es eine Konstante λ <, so dass µ(b) = λν d (B) B B(R d ). ii. Dann gilt P({N R d = } {N R d = 0}) = 1.

15 Seite 15 Allgemeine Punktprozesse 17. Mai 2010 Inhaltsverzeichnis Definitionen Definition von Punktprozessen Das Intensitätsmaß Stationarität, Isotropie und Bewegungsinvarianz Das Campbellsche Theorem Cox-Prozesse Cluster-Prozesse

16 Seite 16 Allgemeine Punktprozesse 17. Mai 2010 Das Campbellsche Theorem Sei {S n } ein Punktprozess mit dem Intensitätsmaß µ : B(R d ) [0, ], und sei f : R d { } [0, ) eine Borel-messbare Funktion mit f ( ) = 0. Dann gilt ( ) E f (S n ) = f (x)µ(dx). R d n=1

17 Seite 17 Allgemeine Punktprozesse 17. Mai 2010 Inhaltsverzeichnis Definitionen Definition von Punktprozessen Das Intensitätsmaß Stationarität, Isotropie und Bewegungsinvarianz Das Campbellsche Theorem Cox-Prozesse Cluster-Prozesse

18 Seite 18 Allgemeine Punktprozesse 17. Mai 2010 Definition eines Cox-Prozesses Sei {Λ B } ein beliebiges zufälliges Maß, das f.s. lokal endlich ist. Das zufällige Zählmaß {N B } wird Cox-Prozess mit dem zufälligen Intensitätsmaß Λ genannt, falls P( n i=1 {N B i = k i }) = E ( n i=1 Λ k ) i B i k i! exp( Λ B i ) für beliebige n 1, k 1,..., k n 0 und paarweise disjunkte B 1,..., B n B(R d ).

19 Seite 19 Allgemeine Punktprozesse 17. Mai 2010 Das Intensitätsmaß eines Cox-Prozesses Das Intensitätsmaß eines Cox-Prozesses {N B } ist gegeben durch µ(b) = E Λ B B B(R d ). {N B } ist genau dann stationär, wenn {Λ B } stationär ist, und dann ist die Intensität λ gegeben durch λ = E Λ [0,1] d.

20 Seite 20 Allgemeine Punktprozesse 17. Mai 2010 Inhaltsverzeichnis Definitionen Definition von Punktprozessen Das Intensitätsmaß Stationarität, Isotropie und Bewegungsinvarianz Das Campbellsche Theorem Cox-Prozesse Cluster-Prozesse

21 Seite 21 Allgemeine Punktprozesse 17. Mai 2010 Definition eines Cluster-Prozesses Sei {S n } ein Punktprozess mit dem lokal endlichen und diffusen Intensitätsmaß {µ (0) (B), B B(R d )}. Sei Z = {n : S n R d }. Sei {N (1) B }, {N(2) B },... eine Folge von iid Punktprozessen, die von {S n } unabhängig sind und deren Intensitätsmaß {µ (1) (B), B B(R d )} endlich ist.

22 Seite 22 Allgemeine Punktprozesse 17. Mai 2010 Definition eines Cluster-Prozesses {N B, B B(R d )}, gegeben durch N B = n Z N (n) B S n B B(R d ) ist f.s. lokal endlich und heißt Cluster-Prozess, falls R d µ (1) (B x)µ (0) (dx) < B B 0 (R d ).

23 Seite 23 Allgemeine Punktprozesse 17. Mai 2010 Realisierung eines Matern-Cluster-Prozesses

24 Seite 24 Allgemeine Punktprozesse 17. Mai 2010 Das Intensitätsmaß eines Cluster-Prozesses Das Intensitätsmaß {µ(b), B B(R d )} eines Cluster-Prozesses ist gegeben durch R d µ (1) (B x)µ (0) (dx) B B(R d ). Falls {S n } stationär mit der Intensität λ 0 ist, dann ist {N B } stationär, und die Intensität λ ist gegeben durch λ = λ 0 µ (1) (R d ).

25 Seite 25 Allgemeine Punktprozesse 17. Mai 2010 Literatur V. Schmidt, Räumliche Statistik. Vorlesungsskript(2008). J.F.C. Kingman, Poisson Processes. Oxford Science Publications(1993). Bilder V. Schmidt, Räumliche Statistik. Vorlesungsskript(2008). Seiten 8 und 43

26 Seite 26 Allgemeine Punktprozesse 17. Mai 2010 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!