V: Vektor-Kalkulus. Euklidischer Raum (ER) = Ursprung + Euklidischer Vektorraum (Raum unserer Wahrnehmung) Punkt im ER:
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- Agnes Flater
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1 V: Vektor-Kalkulus Euklidischer Raum (ER) = Ursprung + Euklidischer Vektorraum (Raum unserer Wahrnehmung) Punkt im ER: Differenzen v. Punkten sind Vektoren: V1 Kurven V1.1 Definition einer Kurve Intervall: wir wählen i.d.regel 'Kurve': = (Bild der Funktion ) [im Sinne v. Seite L1b] Die Funktion liefert eine 'Parametrisierung d. Kurve' Beispiele von Parametrisierungen eine mögliche Parametrisierung: andere mögliche Parametrisierung: weitere mögliche Parametrisierung: eine mögliche Parametrisierung: andere mögliche Parametrisierung: naheliegende Parametrisierung: naheliegende Parametrisierung: Parametrisierung einer Kurve enthält mehr Information als die Kurve selbst: Kurve sagt aus, wie die "Reiseroute" aussieht. Parametrisierung sagt zusätzlich auch aus, wie schnell sie durchlaufen wird.
2 V1.2 Kurvengeschwindigkeit 'Kurvengeschwindigkeit' z.zeit ist definiert durch die lineare Näherung: liegt 'tangential' zur Kurve, denn D.h.: eine kleine Änderung in in -Richtung ändert. bewirkt, dass sich [Vergleiche Mutter aller Ableitungen, C1b.3!] Kompontenschreibweise: Cartesische Basisvektoren sind zeitunabhängig! Beschleunigung: Beispiel: Kreis Parametrisierung 1: konstante Winkelgeschw. Parametrisierung 2: zeitlich periodisch varierende Winkelgeschw. Beide Parametrisierungen (i = 1,2) beschreiben denselben Kreis, denn: Quadrat Vektor: i = 1 oder 2
3 Beispiel: Parametrisierung 1 Hier gilt: Kreisbewegung, mit konstanter Kreisgeschw., und konstanter Zentripetalbeschleunigung [Grund: siehe (e.5)] Analoge Rechnung für Parametrisierung 2 [siehe (b.2)] ergibt: (selber nachrechnen!) Zentripetalbeschl. Änderung v. Kreisgeschw.
4 Ableitungsregeln: Produktregel (PR) PR PR Herleitung: nach Komponenten zerlegen, z.b.: Beispiel: Zeitableitung eines Einheitsvektors Sei Vorüberlegung: Änderung des Einheitsvektors steht immer senkrecht zu ihm! Intuitiver Grund: da Betrag von fest ist (=1), kann sich nur die Richtung ändern! Explizite Rechnung: [Beispiele: (d'.3)] Kettenregel (KR) Änderung des Betrags v. = Projektion der Geschwindigkeit auf -Richtung!
5 Geschwindigkeitsvektor eines Einheitsvektors steht immer senkrecht zu ihm! V1.3 Länge einer Kurve Diskretisierungsparameter: Schätzung der Kurvenlänge: Tatsächliche Kurvenlänge: Beispiel: Umfang eines Kreises:
6 Länge ist unabhängig von der Wahl der Parametrisierung der Kurve t-parametrisierung: Argument v. sei Zielelement einer bijektiven Abbildung: wegen Bijektivität: Konstruiere nun alternative Parametrisierung derselben Kurve: s-parametrisierung: s-geschwindigkeit: Kurvenlänge: falls (C2g.4) Integralsubstitution: Konsistenzcheck erfolgreich: s-parametrisierung liefert dieselbe Länge wie t-parametrisierung! Natürliche Parametrisierung einer Kurve: durch Bogenlänge Kurve sei durch eine Variable u parametrisiert. Bogenlänge nach Zeit t: (auch unabhängig v. Form der Parametrisierung) s wächst monoton mit t: Umkehrfunktion: Zeit t(s), nach der Länge s erreicht ist: Parametrisiere nun Kurve durch Bogenlänge s: 'Natürliche Parametrisierung' Geschw. in nat. Param.: Ist t-geschw. groß, wächst auch Bogenlänge schnell mit t, 'das hebt sich weg' sauber formuliert:
7 Beispiel: Kreisbewegung Bahnkurve: Periode: wenn Geschwindigkeit: Bogenlänge: Kreisumfang: Umkehrfunktion: Natürliche Parametrisierung: s-geschwindigkeit: V1.4 Linienintegral Physikalische Motivation: Arbeit verrichtet durch Kraft entlang eines Weges. Falls Richtung der Kraft entlang geradliniger Verschiebung ist: Falls Richtung der Kraft nicht entlang geradliniger Verschiebung: Nicht-geradliniger Weg, mit ortsabhängige Kraft: Parametrisierung: Diskretisierungsparameter: Arbeit im Intervall i: Verschiebung im Intervall i:
8 Gesamtarbeit entlang der Kurve : mit dieser symbolische Notation ist dies gemeint! 'Linienintegral der Kraft entlant dem Weg ' Definition eines allgemeinen Linienintegrals: (3 Konstruktionsschritte) (i) Definiere Parametrisierung v. : (ii) Bilde die reell-wertige Funktion sei eine vektorwertige Funktion, definiert auf einer Kurve (iii) Integriere über Definitionsbereich des Parameters: wird auf Wegelement projiziert Der Wert des Linienintegrals ist unabhängig von der Parametrisierung (analog zu Seite i) Beispiel: Berechne das Linienintegral für den Weg und das Feld Was heißt das explizit? Wegparametrisierung: Vektorfeld:
9 Zusammenfassung V1: Kurven 'Kurve': wobei Ort entlang Kurve: Kurvengeschwindigkeit: liegt 'tangential' zur Kurve Kurvenlänge: unabhängig von Parametrisierung des Weges Bogenlänge nach Zeit t: Natürliche Parametrisierung durch Bogenlänge: Für Vektorfeld: Linienintegral: unabhängig von Parametrisierung des Weges
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