Lorentz-Transformation

Transkript

1 Lorentz-Transformation Aus Sicht von Alice fliegt Bob nach rechts. Aus Sicht von Bob fliegt Alice nach links. Für t = t' = 0 sei also x(0) = x'(0) = Lichtblitz starte bei t = t' = 0 in und erreiche etwas später Punkt P. A sagt: B' sagt: Gesucht: Beziehung zwischen Koordinaten von P laut A und B', die konsistent ist mit (2),(3) Die Beziehung zwischen (x,y,z,t) und (x',y',z',t') muss linear sein, denn ansonsten würden gerade gleichförmig durchlaufene (und damit kräftefreie) Teilchenbahnen in A nicht auf solche in B' abgebildet werden. Laut Skizze muss gelten: Konsequenz für lineare Transformation: denn in A findet sich immer eine zur y-achse (oder z-achse) parallele Achse, die mit der momenten y'-achse (oder z'-achse) in B' in Deckung gebracht werden kann. (3) in (4) eingesetzt zeigt, dass t' linear von t und x (!) abhängt. Ansatz: Aufgabe des Postulats der absoluten Zeit! Bei x=0 gilt einerseits: andrerseits: (7) = (8):

2 (22.3), (22.9) eingesetzt in (21.3): Umgestellt: Aber, es gilt auch (21.2): Koeffizientenvergleich (4), (5): [konsistent mit (7)] In (7,8) wählen wir die positive Wurzel, denn für v = 0 sollte (22.3) die Identität liefern: Zusammengefasst: Transformation für "Lorentz-Boost" lautet Matrix- Notation: mit Im "nicht-relativistischen Limes": reduziert die Lorentz-Transformation zur Galilei-Transformation:

3 Inverse Lorentz- Transformation zu ist: mit Check: denn Ferner gilt: Rapidität Die Identität erinnert an und legt folgende Parametrisierung nahe: mit der Identifikation: Definition: "Rapidität" Bei Geschwindigkeiten v sehr nahe bei c ist eine praktischere Größe als Kann gezeigt werden: Rapiditäten sind unter relativistscher Geschwindigkeitsaddition additiv: Falls (SR28,29) dann gilt

4 Lorentz-Gruppe: "Invariantes Interval": Bei Herleitung der Transformationsgleichungen für Lorentz-Boost haben wir gefordert: Allgemeiner gilt: Lorentz-Gruppe = alle linearen vier-dimensionalen Transformationen, welche invariant lassen alle Lorentz-Boosts für beliebig orientierte Geschwindigkeiten alle räumlichen Drehungen Räumliche Drehungen bilden eine Untergruppe der Lorentz-Gruppe, die invariant lassen. Sie haben die Form: Es gilt: mit Drehung x Drehung = Drehung. Boost x Boost = Boost x Drehung. Boost x Boost = Boost nur falls Relativgeschwindigkeiten beider Boosts gleichgerichtet sind Produkt von gleichgerichteten Boosts: relativ zu A relativ zu B' B' bewegt sich relativ zu A mit Geschwindigkeit. C'' bewegt sich relativ zu B' mit Geschwindigkeit alle gleichgerichtet. C'' bewegt sich relativ zu A mit Geschwindigkeit

5 Es muss gelten: mit etc. Für gilt "Relativistische Geschwindigkeits- Addition" Die größtmögliche Geschwindigkeit ist die Lichtgeschwindigkeit Allgemeine Lorentz-Transformation wird durch 6 Parameter parametrisiert: 3 für Boost, 3 für Rotation (z.b. Euler-Winkel). Jede Lorentz-Transformation lässt sich schreiben als: R1 rotiert das Koordinatensystem von A so, dass der Geschwindigkeitsvektor mit dem sich B' bezüglich A bewegt, in die neue positive x-richtung zeigt. Falls ergibt sich ein reiner Lorentz-Boost, mit der Form: dyadisches Produkt Für reduziert (2) zu (24.1).

6 Minkowski-Raum Index, nicht Exponent! Vierer-Vektor: beschreibt ein "Ereignis" im Raum-Zeit-Kontinuum ( = "Minkowski-Raum") "Weltlinie" = Trajektorie eines Punktteilchens im Minkowski-Raum Raum-Zeit-Diagram oder Minkowski-Diagram: ungleichförmig bewegtes Teilchen ruhendes Teilchen Photon-Bahn hat Steigung = 1 Wir beschränken uns auf die Koordinaten ct und x. Wie liegen die Linien mit ct'=0 und x'=0 im Minkowski-Diagram? Steigung = x'-achse: ct'-achse: Steigung = Winkel von x'-achse relativ zur x-achse: Winkel von ct'-achse relativ zur ct-achse: Wo liegen Einheitsvektoren von B' aus Sicht von A?

7 Invariantes Interval: Laut (27.3) gilt: Folglich sind sich A und B' einig: beschreibt Ausbreitung des Lichtpulses Das Interval in A zwischen zwei Punkten, nämlich ist "raumartig" bzw. "zeitartig", falls ein IS B' besteht, für das es folgende Form annimmt: raumartig: Zukunft Lichtkegel Lichtkegel zeitartig zeitartig: raumartig raumartig raumartig raumartig zeitartig Vergangenheit Längenkontraktion Vergleiche räumliche Abstände zwischen zwei Ereignissen, aus Sicht von A und B': A-Länge: räumlicher Abstand zwischen zwei gleichzeitigen Ereignissen. B'-Länge: räumlicher Abstand zwischen zwei gleichzeitigen Ereignissen. Maßstab habe Ruhelänge ("Eigenlänge") Maßstab ruhe in B': Länge laut A: Maßstab ruhe in A: Länge laut B': "Längenkontraktion": bewegte Maßstäbe schrumpfen! Grund: "gleichzeitig" in A "gleichzeitig" in B'

8 Längenkontraktion aus Sicht von A: IS A und IS B', mit relativer Geschw. enthalten identische Maßstäbe, je mit Ruhelänge L. Wie lang ist B'-Maßstab, laut A? A macht Fotos von Endpunkten des B-Stabs, entlang des A-Stabs, zur selben A-Zeit, z.b. bei A-Stab: linkes Ende bei P: B'-Stab: linkes Ende bei P: rechtes Ende bei Q: rechtes Ende bei R: Laut A, bei t = 0: Bewegte Maßstäbe schrumpfen: obwohl bei P: linkes B'-Ende liegt bei linkem A-Ende gilt bei R: rechtes B'-Ende liegt vor rechtem A-Ende laut A ist B'-Stab kürzer als A-Stab Das ist nicht paradox, denn zwei Ereignesse (P und R) die laut A gleichzeitig sind, sind laut B' nicht gleichzeitig: R1 (hinteres früher): laut A: Bewegte B'-Uhren sind asynchron: R2 (vordere Uhr geht nach): Längenkontraktion aus Sicht von B': IS A und IS B', mit relativer Geschw. enthalten identische Maßstäbe, je mit Ruhelänge L. Wie lang ist A-Maßstab, laut B'? B' macht Fotos von Endpunkten des A-Stabs, entlang des B'-Stabs, zur selben B'-Zeit, z.b. bei B'-Stab: linkes Ende bei P: A-Stab: linkes Ende bei P: rechtes Ende bei S: rechtes Ende bei T: Laut B', bei t = 0: Bewegte Maßstäbe schrumpfen: obwohl bei P: linkes A-Ende liegt bei linkem B-Ende gilt bei T: rechtes A-Ende liegt vor rechtem B'Ende Das ist nicht paradox, denn zwei Ereignesse (P und T) die laut B' gleichzeitig sind, sind laut A nicht gleichzeitig: R1 (hinteres früher): laut B' ist A-Stab kürzer als B'-Stab laut B': Bewegte A-Uhren sind asynchron: R2 (vordere Uhr geht nach):

9 Zeitdilatationkontraktion Vergleiche zeitliche Abstände zwischen zwei Ereignissen, aus Sicht von A und B': A-Zeit: zeitlicher Abstand zwischen zwei gleichortigen Ereignissen. B'-Zeit: zeitlicher Abstand zwischen zwei gleichortigen Ereignissen. Uhr habe Ruhezeit ("Eigenzeit") Uhr ruhe in B': Zeitdauer laut A: Uhr ruhe in A: Zeitdauer laut B': "Zeitdilatation": bewegte Uhren gehen langsamer! Grund: "gleichortig" in A "gleichortig" in B' Zeitdilatation aus Sicht von B': Betrachte ein Reihe von identischen Sanduhren in B', und eine Sanduhr in A, je mit Ruheauslaufzeit ("Eigenzeit"). Was ist A-Auslaufzeit, laut B'? B' macht Fotos von B-Uhren, sowie A-Uhr an festem A-Ort, z.b. A-Uhr voll bei P: A-Uhr leer bei Q: B'-Uhr voll bei P: B'-Uhr leer bei R: laut B', bei x = 0: bewegte Uhren gehen langsamer obwohl bei P gilt: B'-Uhr und A-Uhr, beide voll, starten gleichzeitig gilt ferner: B'-Uhr ist bereits bei R leer, aber A-Uhr wird erst danach, bei Q, leer A-Uhren gehen langsamer als B'-Uhren!

10 Zeitdilatation aus Sicht von A: Betrachte ein Reihe von identischen Sanduhren in A, und eine Sanduhr in B', je mit Ruheauslaufzeit ("Eigenzeit") Was ist B'-Auslaufzeit, laut A? A macht Fotos von A-Uhren, sowie einer B'-Uhr an festem B'-Ort, z.b. B'-Uhr voll bei P: B'-Uhr leer bei S: A-Uhr voll bei P: A-Uhr leer bei T: laut A, bei x' = 0: bewegte Uhren gehen langsamer obwohl bei P gilt: A-Uhr und B'-Uhr, beide voll, starten gleichzeitig gilt ferner: A-Uhr ist bereits bei T leer, aber B'-Uhr wird erst danach, bei S, leer B'-Uhren gehen langsamer als A-Uhren! Zusammenfassung: Längenkontraktion, Zeitdilatation Längenkontraktion: Bewegte Maßstäbe schrumpfen: Zeitdilatation: Bewegte Uhren gehen langsamer