Probestudium Sommersemester 2010, Theoriekurs

Transkript

1 Probestudium Sommersemester 2010, Theoriekurs 2 Vorlesungen zur Einführung in die spezielle Relativitätstheorie H. W. Diehl Fakultät für Physik, U. Duisburg-Essen 26. Juni und 3. Juli 2010

2 Einführung Physik: hat zu tun mit Vorgängen in Raum und Zeit Ereignis P: Wo und wann geschieht etwas? Fragen: P (t, x, y, z) = Punkt in 4dim. Raum t = Zeit(koordinate) x, y, z = 3 Ortskoordinaten relle Zahlen 3 reelle Ortskoordinaten {}}{{}}{}{{} R }{{} R 3 Zeitmenge Ortsraum, Punktmenge 1 Wie t, x, y, z einführen? 2 Geometrie: Abstände, Zeitdifferenzen, Abstände (?) d(p, Q)?

3 Einführung von Ortskoordinaten Nehme Maßstab: 1 m Urmeter y x

4 Einführung von Ortskoordinaten Nehme Maßstab: 1 m Urmeter y x

5 Einführung von Ortskoordinaten Nehme Maßstab: 1 m Urmeter y gleiche Länge x

6 Einführung von Ortskoordinaten Nehme Maßstab: 1 m Urmeter y 3 2 Q 1 0 P x euklidischer Abstand: d(p, Q) = (x P x Q ) 2 + (y P y Q ) 2 + (z P z Q ) 2

7 Synchronisation von Uhren

8 Synchronisation von Uhren 6 t = d/c t = 0

9 Synchronisation von Uhren 6 t = d/c t = 0 Uhr starten!

10 Synchronisation von Uhren 6 t = d/c 4 Uhr starten!

11 Raumzeitmodelle I. Aristotelisch-Newtonsche Raumzeit Raum und Zeit = absolut!

12 Raumzeitmodelle I. Aristotelisch-Newtonsche Raumzeit Raum und Zeit = absolut! II. Galilei-Newtonsche Raumzeit Gleichortigkeit relativ! Ruhender und gleichförmig-geradlinig bewegter Beobachter stimmen nicht überein! Galilei-Invarianz

13 Raumzeitmodelle I. Aristotelisch-Newtonsche Raumzeit Raum und Zeit = absolut! II. Galilei-Newtonsche Raumzeit Gleichortigkeit relativ! Ruhender und gleichförmig-geradlinig bewegter Beobachter stimmen nicht überein! Galilei-Invarianz III. Einsteinsche Raumzeit der speziellen RT Gleichortigkeit und Gleichzeitigkeit relativ! Lorentz-Invarianz

14 Raumzeitmodelle I. Aristotelisch-Newtonsche Raumzeit Raum und Zeit = absolut! II. Galilei-Newtonsche Raumzeit Gleichortigkeit relativ! Ruhender und gleichförmig-geradlinig bewegter Beobachter stimmen nicht überein! Galilei-Invarianz III. Einsteinsche Raumzeit der speziellen RT Gleichortigkeit und Gleichzeitigkeit relativ! Lorentz-Invarianz IV. Einsteinsche Raumzeit der allgemeinen RT (wird nicht behandelt) Gravitationsfeld lokal äquivalent zu beschleunigt bewegtem Bezugssystem Space tells matter how to move. Matter tells space how to curve (Misner, Thorne & Wheeler, Gravitation)

15 Aristotelisch-Newtonsche Raumzeit Raum & Zeit sind absolut! Ruhende Systeme ausgezeichnet,

16 Aristotelisch-Newtonsche Raumzeit Raum & Zeit sind absolut! Ruhende Systeme ausgezeichnet, aber räumlicher Ursprung, räumliche Achsenorientierung und Zeitnullpunkt frei wählbar. Alle Systeme K und K, die durch räumliche Verschiebungen und Drehungen sowie zeitliche Verschiebungen t = t τ auseinander hervorgehen, sind gleichberechtigt hinsichtlich der Naturgesetze!

17 Aristotelisch-Newtonsche Raumzeit Raum & Zeit sind absolut! Ruhende Systeme ausgezeichnet, aber räumlicher Ursprung, räumliche Achsenorientierung und Zeitnullpunkt frei wählbar. Alle Systeme K und K, die durch räumliche Verschiebungen und Drehungen sowie zeitliche Verschiebungen t = t τ auseinander hervorgehen, sind gleichberechtigt hinsichtlich der Naturgesetze! Naturgesetze müssen in K und K dieselbe Form haben!

18 Absolutheit von Gleichortigkeit und -zeitigkeit in AN-RZ c t c t gleiche Orte Q ct P P P gleiche Zeiten Q O O x Q x x P und P gleichzeitig für K und K! Q und Q gleichortig für K und K!

19 Forminvarianz der Bewegungsgleichungen (AN-RZ) c t c t Betrachten Federschwingung ct ct O O x 0 x x 0 x x x Kevin (K) misst: (x, t) x(t); Bewegungsgl.: m d2 x = f (x x0) dt2 Kathrin (K ) misst: (x,t ) x (t ); Beweggl.: m d2 x Wer hat Recht? dt 2 = f (x x 0)

20 Forminvarianz der Bewegungsgleichungen (AN-RZ) c t c t Betrachten Federschwingung ct ct O O x 0 x x 0 x x x Kevin (K) misst: (x, t) x(t); Bewegungsgl.: m d2 x = f (x x0) dt2 Kathrin (K ) misst: (x,t ) x (t ); Beweggl.: m d2 x Wer hat Recht? Beide! dt 2 = f (x x 0)

21 Forminvarianz der Bewegungsgleichungen (AN-RZ) Zusammenhang der kinematische Größen: Kraftfunktionen: dx dt = d(x a) dt {z } =dx/dt d 2 x dt 2 = d dt dx dt = d(t + τ) dt {z } =1 d dt dx dt = dx dt «dt dt = d2 x dt 2 Kraftfunktion von Kevin (K): f (x x 0) F(x x 0) Kraftfunktion von Kathrin (K ): f (x x 0) F (x x 0) gleiche Kraftfunktion: F (x) = F(x) F (x x 0) = F [(x a) (x 0 a) ] = F(x x0) {z } F=F x x 0 m d2 x dt 2 = f (x x0) md2 x dt 2 = f (x x 0)

22 Fazit: AN-Raumzeit In AN-RZ: Klasse ruhender Bezugssysteme ausgezeichnet. Alle Bezugssysteme K, die aus einem ruhendem Bezugsystem K durch 1 räumliche Verschiebungen, 2 räumliche Drehungen sowie 3 zeitliche Translationen hervorgehen, sind gleichberechtigt. Bewegungsgleichung haben in allen solchen K dieselbe Form.

23 Fazit: AN-Raumzeit In AN-RZ: Klasse ruhender Bezugssysteme ausgezeichnet. Alle Bezugssysteme K, die aus einem ruhendem Bezugsystem K durch 1 räumliche Verschiebungen, 2 räumliche Drehungen sowie 3 zeitliche Translationen hervorgehen, sind gleichberechtigt. Bewegungsgleichung haben in allen solchen K dieselbe Form. Problem: Wie ruhend feststellen?

24 1. Newtonsches Gesetz (Lex prima) Ein Körper verharrt in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichförmig-geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, seinen Zustand zu ändern. Gesetz postuliert Beharrungsvermögen oder die Trägheit von Körpern. Ergebnis der Fallversuche von Galilei (1636) Zustände der Ruhe und gleichförmig-geradlinigen Bewegung als äquivalent erkannt.

25 Kritik an AN-RZ Newtonsche Gesetze auch für gleichförmig-geradlinig bewegte Beobachter gültig! Kein absolut ruhendes Bezugssystem ausgezeichnet oder physikalisch zu ermitteln. Newtonsche Gesetze gelten in der durch das Lex Prima (Trägheitsgesetz) ausgezeichneten Klasse von Inertialsystemen. Daher: Alle solche Inertialsysteme und damit alle gegeneinander geradlinig-gleichförmig bewegten Beobachter sind für die Formulierung der physikalischen Gesetze (Newtonsche Bewegungsgleichungen) gleichberechtigt!

26 Kritik an AN-RZ Newtonsche Gesetze auch für gleichförmig-geradlinig bewegte Beobachter gültig! Kein absolut ruhendes Bezugssystem ausgezeichnet oder physikalisch zu ermitteln. Newtonsche Gesetze gelten in der durch das Lex Prima (Trägheitsgesetz) ausgezeichneten Klasse von Inertialsystemen. Daher: Alle solche Inertialsysteme und damit alle gegeneinander geradlinig-gleichförmig bewegten Beobachter sind für die Formulierung der physikalischen Gesetze (Newtonsche Bewegungsgleichungen) gleichberechtigt! Forminvarianz bezüglich Galileitransformationen! zusätzliche Transformationen: x = x Vt y = y z = z t = t

27 Galilei-Newtonsche Raumzeit IS K K, dann auch K IS Jetzt: Alle IS für Formulierung der Naturgesetze gleichberechtigt, Forminvarianz der Naturgesetze bzgl. Galilieitransformationen. v = dx dt v = v V = d(x Vt) dt = dx dt V b = d2 x dt 2 = d2 x dt 2 = b

28 Galilei-Newtonsche Raumzeit IS K K, dann auch K IS Jetzt: Alle IS für Formulierung der Naturgesetze gleichberechtigt, Forminvarianz der Naturgesetze bzgl. Galilieitransformationen. v = dx dt v = v V = d(x Vt) dt = dx dt V b = d2 x dt 2 = d2 x dt 2 = b Kraft: F( x x 0 ) = F(x x 0) galileiinvariant! {z } x Vt (x 0 Vt) m d2 x dt = F(x x 0) m d2 x = F(x x0) 2 dt2

29 Galilei-Newtonsche Raumzeit IS K K, dann auch K IS Jetzt: Alle IS für Formulierung der Naturgesetze gleichberechtigt, Forminvarianz der Naturgesetze bzgl. Galilieitransformationen. v = dx dt v = v V = d(x Vt) dt = dx dt V b = d2 x dt 2 = d2 x dt 2 = b Kraft: F( x x 0 ) = F(x x 0) galileiinvariant! {z } x Vt (x 0 Vt) m d2 x dt = F(x x 0) m d2 x = F(x x0) 2 dt2 Konsequenz: Gleichortigkeit wird relativ!

30 Relativität der Gleichortigkeit c t c t c t 1 Gleicher Ort für Beobachter B Gleiche Zeiten für B und B x Q z.z. t1 Gleicher Ort für Beobachter B O x Q x

31 Relativität der Gleichortigkeit c t c t Gleicher Ort für Beobachter B Gleicher Ort für Beobachter B O x Q x

32 Galilei-Invarianz und Addition von Geschwindigkeiten K v V K: Laborsystem Welle in Medium (Gas, Wasser,...), Ausbreitungsgeschwindigkeit: v, Medium ruhe in K (Rakete) Galilei-Invarianz Ausbreitungsgeschwindigkeit in K: Addition der Geschwindigkeiten! v = v + V

33 Galilei-Invarianz und Addition von Geschwindigkeiten K v V K: Laborsystem Welle in Medium (Gas, Wasser,...), Ausbreitungsgeschwindigkeit: v, Medium ruhe in K (Rakete) Galilei-Invarianz Ausbreitungsgeschwindigkeit in K: Addition der Geschwindigkeiten! Für Licht? c v = v + V? = c + V

34 Galilei-Invarianz und Addition von Geschwindigkeiten K v V K: Laborsystem Welle in Medium (Gas, Wasser,...), Ausbreitungsgeschwindigkeit: v, Medium ruhe in K (Rakete) Galilei-Invarianz Ausbreitungsgeschwindigkeit in K: Addition der Geschwindigkeiten! Für Licht? v = v + V c? = c + V Nein!

35 Elektrodynamik, Äther und Invarianz der Vakuumlichtgeschwindigkeit In grundlegenden Gleichungen der Elektrodynamik (Maxwell-Gln): ein Parameter c in welchem Bezugsystem? Wenn in K & Galilei-Invarianz c = c V in K!

36 Elektrodynamik, Äther und Invarianz der Vakuumlichtgeschwindigkeit In grundlegenden Gleichungen der Elektrodynamik (Maxwell-Gln): ein Parameter c in welchem Bezugsystem? Wenn in K & Galilei-Invarianz c = c V in K! denkbare Alternativen: 1 Maxwellgln & daher c nur in ausgezeichnetem System K 0 gültig, indem vermutetes Trägermedium Äther ruht. In K : galileitransformierte Maxwellgln ( c = c V) 2 Maxwellgln in allen Inertialsystemen K gültig: c = c, keine Galilei-Invarianz, Geschwindigkeiten addieren sich nicht einfach!

37 Elektrodynamik, Äther und Invarianz der Vakuumlichtgeschwindigkeit In grundlegenden Gleichungen der Elektrodynamik (Maxwell-Gln): ein Parameter c in welchem Bezugsystem? Wenn in K & Galilei-Invarianz c = c V in K! denkbare Alternativen: 1 Maxwellgln & daher c nur in ausgezeichnetem System K 0 gültig, indem vermutetes Trägermedium Äther ruht. In K : galileitransformierte Maxwellgln ( c = c V) 2 Maxwellgln in allen Inertialsystemen K gültig: c = c, keine Galilei-Invarianz, Geschwindigkeiten addieren sich nicht einfach! Michelson-Morley-Experimente (1881, 1887, s. Skript): Äther nicht nachweisbar! c = c für alle Inertialsysteme!

38 Elektrodynamik, Äther und Invarianz der Vakuumlichtgeschwindigkeit In grundlegenden Gleichungen der Elektrodynamik (Maxwell-Gln): ein Parameter c in welchem Bezugsystem? Wenn in K & Galilei-Invarianz c = c V in K! denkbare Alternativen: 1 Maxwellgln & daher c nur in ausgezeichnetem System K 0 gültig, indem vermutetes Trägermedium Äther ruht. In K : galileitransformierte Maxwellgln ( c = c V) 2 Maxwellgln in allen Inertialsystemen K gültig: c = c, keine Galilei-Invarianz, Geschwindigkeiten addieren sich nicht einfach! Michelson-Morley-Experimente (1881, 1887, s. Skript): Äther nicht nachweisbar! c = c für alle Inertialsysteme! Konsequenzen? Einsteinsche SRT!

39 Einsteins Postulate E1: Raum und Zeit sind homogen. Der Raum ist isotrop. (Kein Ort, Zeitpunkt und Richtung ausgezeichnet.) E2: a) Es ex. ein Inertialsystem (IS) I (indem sich kräftefreie Körper gleichförmig-geradlinig bewegen). b) Jedes Bezugssystem K, welches sich mit v = const bzgl. I bewegt, ist ebenfalls ein IS. c) Die Naturgesetze haben in allen IS dieselbe Form. E3: Die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit hat in allen IS denselben Wert c. E2 wird auch Einsteinsches Relativitätsprinzip genannt.

40 E3 Die Relativität der Gleichzeitigkeit A Lichtblitz l/2 l/2 B Ereignisse P: Licht bei A, Q: Licht bei B. von K und K (Geschwindigkeit v bzgl. K) aus betrachten. c 2 (t P t Q) 2 (x P x Q) 2 = c 2 (t P t Q) 2 (x P x Q) 2 = 0 A c t c t B P Q x

41 E3 Die Relativität der Gleichzeitigkeit A Lichtblitz l/2 l/2 B Ereignisse P: Licht bei A, Q: Licht bei B. von K und K (Geschwindigkeit v bzgl. K) aus betrachten. c 2 (t P t Q) 2 (x P x Q) 2 = c 2 (t P t Q) 2 (x P x Q) 2 = 0 A c t A c t c t B P c t B P Q Q x x t P t Q

42 Konsequenzen aus den Einsteinschen Postulaten E1 Transformation = linear! E1 K und K können durch Drehungen und Verschiebungen in Standarkonfigurationen gebracht werden: y y v = (v, 0, 0) ct = Act + B x x = C ct + D x y = y z = z A, B, C, D = Funkt n(v/c) O O x x z z Beh.: Viererabstandsquadrat s 2 EF c2 (t E t F ) 2 (x E x F ) 2 ist invariant für bel. Ereign. E = (ct E, x E, 0, 0) & F = (ct F, x F, 0, 0)!

43 Konsequenzen aus den Einsteinschen Postulaten E1 Transformation = linear! E1 K und K können durch Drehungen und Verschiebungen in Standarkonfigurationen gebracht werden: y y v = (v, 0, 0) ct = Act + B x x = C ct + D x y = y z = z A, B, C, D = Funkt n(v/c) O O x x z z Beh.: Viererabstandsquadrat s 2 EF c2 (t E t F ) 2 (x E x F ) 2 = c 2 (t E t F )2 (x E x F )2 ist invariant für bel. Ereign. E = (ct E, x E, 0, 0) & F = (ct F, x F, 0, 0)!

44 Beweis der Invarianz von s 2 EF Notation t t E t F, x x E x F s 2 = c 2 t 2 x 2 = (Act + Bx) 2 (Cct + Dx) 2 = (A 2 C 2 )(ct) 2 + 2(AB CD)ct x + (B 2 D 2 )x 2 = (A 2 C 2 ) s 2 + 2(AB CD) ct x + (A {z } {z } g 1 g 2 2 C 2 + B 2 D 2 ) {z } g 3 2 x

45 Beweis der Invarianz von s 2 EF Notation t t E t F, x x E x F s 2 = c 2 t 2 x 2 = (Act + Bx) 2 (Cct + Dx) 2 = (A 2 C 2 ) s 2 + 2(AB CD) ct x + (A {z } {z } g 1 g 2 2 C 2 + B 2 D 2 ) {z } g 3 2 x Wissen: s 2 = s 2 = 0 für E = P, F = Q, also ct = ±x. 2g 2ct x + g 3x 2 = 0 für bel. ct = ±x ct = x (2g 2 + g 3)x 2 = 0 ct = x ( 2g 2 + g 3)x 2 = 0 Addition: 2g 3 = 0 Subtraktion: 4g 2 = 0

46 Beweis der Invarianz von s 2 EF Notation t t E t F, x x E x F s 2 = c 2 t 2 x 2 = (Act + Bx) 2 (Cct + Dx) 2 = (A 2 C 2 ) s 2 + 2(AB CD) ct x + (A {z } {z } g 1 g 2 2 C 2 + B 2 D 2 ) {z } g 3 2 x Wissen: s 2 = s 2 = 0 für E = P, F = Q, also ct = ±x. 2g 2ct x + g 3x 2 = 0 für bel. ct = ±x ct = x (2g 2 + g 3)x 2 = 0 ct = x ( 2g 2 + g 3)x 2 = 0 Addition: 2g 3 = 0 Subtraktion: 4g 2 = 0 s 2 = g 1(V/c) s 2 ; wegen E2 s 2 = g 1( V/c) s 2

47 Beweis der Invarianz von s 2 EF Notation t t E t F, x x E x F s 2 = c 2 t 2 x 2 = (Act + Bx) 2 (Cct + Dx) 2 = (A 2 C 2 ) s 2 + 2(AB CD) ct x + (A {z } {z } g 1 g 2 2 C 2 + B 2 D 2 ) {z } g 3 2 x Wissen: s 2 = s 2 = 0 für E = P, F = Q, also ct = ±x. 2g 2ct x + g 3x 2 = 0 für bel. ct = ±x ct = x (2g 2 + g 3)x 2 = 0 ct = x ( 2g 2 + g 3)x 2 = 0 Addition: 2g 3 = 0 Subtraktion: 4g 2 = 0 s 2 = g 1(V/c) s 2 ; wegen E2 s 2 = g 1( V/c) s 2 g 1(V/c)g 1( V/c) = 1 Isotropie d. Raumes g 1(V/c) = g( V/c) g 1 = ±1; V = 0: g 1 = 1. QED

48 Vergleich: Rotationen & x-boost y y Invarianz: (Pythagoras) yp P x 2 + y 2 = x 2 + y 2 ϕ x y P ϕ ) O ϕ ϕ xp x P x x = x cos ϕ + y sin ϕ y = x sin ϕ + y cos ϕ Setzen y = ict Invarianz: x 2 + i 2 (ct) 2 = x 2 (ct) 2 = s 2

49 Vergleich: Rotationen & x-boost y y Invarianz: (Pythagoras) yp P x 2 + y 2 = x 2 + y 2 ϕ x y P ϕ ) O ϕ ϕ xp x P x x = x cos ϕ + y sin ϕ y = x sin ϕ + y cos ϕ Setzen y = ict Invarianz: x 2 + i 2 (ct) 2 = x 2 (ct) 2 = s 2 x = x cos ϕ + ict sin ϕ = x cosh(ϕ/i) ct sinh(ϕ/i) {z } i sin ϕ ict = x sin ϕ + ict cos ϕ = i[ x sinh(ϕ/i) + ct cosh(ϕ/i )] {z} ω

50 Vergleich: Rotationen & x-boost y y Invarianz: (Pythagoras) yp P x 2 + y 2 = x 2 + y 2 ϕ x y P ϕ ) O ϕ ϕ xp x P x x = x cos ϕ + y sin ϕ y = x sin ϕ + y cos ϕ Setzen y = ict Invarianz: x 2 + i 2 (ct) 2 = x 2 (ct) 2 = s 2 x = x cosh {z ω } ct sinh {z ω } =A = B ct = x sinh {z ω } +ct cosh {z ω } =C =D

51 Vergleich: Rotationen & x-boost y y Invarianz: (Pythagoras) yp P x 2 + y 2 = x 2 + y 2 ϕ x y P ϕ ) O ϕ ϕ xp x P x x = x cos ϕ + y sin ϕ y = x sin ϕ + y cos ϕ Setzen y = ict Invarianz: x 2 + i 2 (ct) 2 = x 2 (ct) 2 = s 2 x = x cosh {z ω } ct sinh {z ω } =A = B ct = x sinh {z ω } +ct cosh {z ω } =C =D Bedeutung von ω?

52 Bedeutung und Bestimmung von ω Räumlicher Ursprung x = 0 von K : Bahnkurve: x = Vt 0 = Vt coshω ct sinhω tanh ω = V c Ergebnis: Lorentz-Transformation (x-boost): t = γ (t Vc ) 2 x 1 ; γ = 1 (V/c) 2 x = γ (x Vt) y = y z = z

53 Bedeutung und Bestimmung von ω Räumlicher Ursprung x = 0 von K : Bahnkurve: x = Vt 0 = Vt coshω ct sinhω tanh ω = V c Ergebnis: Lorentz-Transformation (x-boost): γ V/c

54 Bedeutung und Bestimmung von ω Räumlicher Ursprung x = 0 von K : Bahnkurve: x = Vt 0 = Vt coshω ct sinhω tanh ω = V c Ergebnis: Lorentz-Transformation (x-boost): t = γ (t Vc ) 2 x 1 ; γ = 1 (V/c) 2 x = γ (x Vt) y = y z = z

55 Addition von Geschwindigkeiten dx dt = dx dt dt γ (v V) = dt dt = /dt γ (v V) γ (1 Vv/c 2 ) v = v V 1 vv, bzw. v = v + V c 1 + v V 2 c 2 ω(v/c) = ω(v /c) + ω(v/c)

56 Lorentzkontraktion: 1. Version c t c t K : A L 0 K: (t, x) = (0, 0) (t, x ) = (0, 0) B A v B L v Stab Weltlinie des Stabendes Weltlinie des Stabanfangs (t, x) = (L/v, 0) (t, x ) = (L 0/v, L 0) x c 2 (L/v) 2 0 = c 2 (L 0/v) 2 L 2 0 L = L 0 p 1 (v/c) 2 Bewegter Maßstab erscheint verkürzt!

57 Lorentzkontraktion: 2. Version c t c t ct 1 Weltlinie des Stabanfangs Weltlinie des Beobachters Weltlinie des Stabendes x O x A x B x P A = (ct 1,x A): Lichstrahl vom Stabanfang A kommt an P B = (ct 1,x B = x A + L 0): Lichstrahl vom Stabende B kommt an P A = (0,x A ): Stabanfang bei x A P B = (0,x B = x A + L): Stabende bei x B p L 0 = x B x A = γ(v)(x A x {z B 0) L = L } 0/γ(v) = L 0 1 (v/c) 2 L

58 Eichung von Uhren und Maßstäben c t c t x x

59 Zeitdilatation Uhr U gleite an in K ruhenden Uhren vorbei ct c t x x T = γ(v) T 0 = T 0 p 1 v2 /c 2 Bewegte Uhren gehen langsamer!

60 Raum-, zeit- & lichtartig Ereignishorizonte c t L Zukunft Q R I elsewhere irgendwo P irgendwo elsewhere x L II Vergangenheit spq 2 > 0: zeitartig voneinander getrennt: K so, dass x P = x Q, kausale Verkn pfung möglich! spr 2 < 0: raumartig voneinander getrennt: K so, dass t P = t R, keine kausale Verknüpfung möglich spl 2 = 0: lichtartig: auf dem (Vorwärts- oder Rückwärts-)Lichtkegel von P

61 Zwillingsparadoxon V = 0.6c γ = 5/4 T daheim geblieben = 10 Jahre T gereist = 8 Jahre Zeichnung: von übernommen

62 Zwillingsparadoxon (Bilder von Klaus Kassner kassner/srt/crashcourse/zwillingsparadoxon.html übernommen.)

63 Was hier insbesondere nicht behandelt werden konnte (s. Skript): Relativistische Mechanik