1 Einleitung: Die Lichtgeschwindigkeit

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1 1 Einleitung: Die Lichtgeschwindigkeit In der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts wurde die elektromagnetische Natur des Lichts erkannt (J. C. Maxwell, ca. 1870). Wir wollen die Argumentation kurz skizzieren. Die mathematischen Einzelheiten spielen jedoch für die folgenden Abschnitte keine Rolle. In Anwesenheit von elektrischen Ladungs- und Stromverteilungen ρ(r, t) bzw. J(r, t) genügen die elektromagnetischen Felder E(r, t) und B(r, t) den Maxwell-Gleichungen (a) E = 1 ǫ 0 ρ, (b) B = µ 0 J + ǫ 0 µ 0 E t, (c) B = 0, (d) E + B t (SI-Einheiten!), mit den universellen Naturkonstanten = 0 (1) 12 As ǫ 0 = Vm, µ 6 Vs 0 = Am. (2) Wie man leicht zeigen kann, 1 efüllt damit im Vakuumfall (ρ 0, J 0) jede der sechs kartesischen Komponenten u(r, t) von E(r, t) und B(r, t) die Wellengleichung ǫ 0 µ 0 2 u t 2 = 2 u. (3) Es gibt also im Vakuum elektromagnetische Wellen mit der universellen Ausbreitungsgeschwindigkeit c = 1 ǫ0 µ 0 = m s. (4) Dieses Ergebnis gibt einerseits den bekannten Wert der Lichtgeschwindigkeit wieder (und legt die Identifikation dieser elektromagnetischen Wellen mit Licht nahe). Andererseits ist es jedoch alarmierend, da im Vakuum kein Inertialsystem besonders ausgezeichnet ist, auf das sich diese Geschwindigkeit beziehen könnte. (Anders als diese elektromagnetischen Wellen haben etwa Schallwellen immer ein Medium, relativ zu dem sie sich mit der jeweiligen Schallgeschwindigkeit ausbreiten.) Unter diesen Umständen erschien die Richtig des Maxwellschen Gleichungssystems zweifelhaft. Zur Aufklärung sollte der Wert (4) experimentell überprüft werden. 1 Zur Herleitung kombiniere man die Maxwell-Gleichungen (b) und (d) unter Beachtung der Identität ( A) = ( A) 2 A), wobei im Vakuum jeweils E = B = 0 ist. 1

2 Direkte Messung der Geschwindigkeit von Licht zeigt aber tatsächlich: Die festgestellte Geschwindigkeit hat immer den gleichen, universellen Wert (4), unabhängig von der Relativgeschwindigkeit zwischen Meßgerät und Lichtquelle. In einem Gedankenexperiment denke man etwa an einen Laser als Lichtquelle und ein Lichtgeschwindigkeits-Meßgerät (LGM), beides auf je einem Schienenwagen montiert. Die beiden Wagen können sich auf einer geraden Schiene mit beliebig gewählter Relativgeschwindigkeit v aufeinander zu oder voneinander weg bewegen. Dann zeigt das LGM unabhängig von v immer denselben universellen Wert (4) an. Nach unterschiedlichsten, zum Teil abenteuerlichen Erklärungsversuchen aus den Jahrzehnten vor 1905 war es schließlich Einstein, der die entscheidende Idee hatte: Die traditionelle Vorstellung vom Begriff der Zeit war ihm verdächtig. Tatsächlich läßt sich die Universalität der Lichtgeschwindigkeit widerspruchsfrei erklären, wenn man nur bereit ist, die vermeintliche Absolutheit der Zeit aufzugeben (Kapitel 2). Dann kann ein- und dasselbe Ereignis für zwei Beobachter, die sich relativ zueinander bewegen, zu verschiedenen Zeitpunkten t und t stattfinden, obwohl die Beobachter ihre Uhren synchronisiert haben. 2

3 2 Die Lorentz-Transformation (LT) Die Universalität der Lichtgeschwindigkeit erscheint deshalb verwirrend, da unser Alltag ein falsches Bild vom Begriff der Zeit suggeriert. Wir wollen daher alle subjektiven Vorstellungen unterdrücken und postulieren: 0. Die Lichtgeschwindigkeit hat in jedem IS den gleichen, universellen Wert c. Unser Ziel ist es, eine in sich widerspruchsfreie Theorie von Raum und Zeit zu entwickeln, die mit diesem Postulat vereinbar ist. 2.1 Ereignisse, Ereignis-Koordinaten und Inertialsysteme Ein Bezugssystem S besteht aus einem Ursprung O, drei paarweise orthogonalen Raumachsen (x, y, z) und einer mit O fest verbundenen Uhr. Ein (Punkt-) Ereignis (z.b. ein Lichtblitz) hat in S vier Koordinaten (x, y, z, t). Seine räumlichen Koordinanten x, y und z werden direkt beobachtet. (Man denke sich ein dichtes Netz aus Koordinatenlinien durch sichtbare Stäbe oder Seile realisiert.) Dann definiert man t = t 0 1 c x 2 + y 2 + z 2, (5) wobei t 0 die von der Uhr bei O in dem Augenblick angezeigte Zeit ist, in dem der bei O sitzende Beobachter das Ereignis sieht. Def.: S heißt ein Inertialsystem, wenn für jedes kräftefreie Teilchen zwei konstante 3- Vektoren r 0 und v 0 existieren, sodaß seine Koordinaten (x, y, z, t) zu jeder Zeit verknüpft sind durch die Beziehung x y z = r 0 + v 0 t x 0 y 0 z 0 + v 01 v 02 v 03 t. (6) Diese Definition setzt stillschweigend voraus, daß die Kräftefreiheit eines Teilchens durch eine unabhängige Methode feststellbar ist. 3

4 2.2 Herleitung der Lorentz-Transformation Wir betrachten zwei verschiedene Inertialsysteme S und S. Der Ursprung O von S bewege sich mit konstanter Geschwindigkeit v entlang der x-achse von S. In dem Augenblick, da O den Ursprung O von S passiert, werden die Uhren von S und S zugleich auf Null gestellt (synchronisiert). Die Raum-Zeit-Koordinaten (x, y, z, t) bzw. (x, y, z, t ), die ein- und demselben Ereignis in den verschiedenen Inertialsystemen S bzw. S zugeordnet werden, sind in der Newtonschen Mechanik verknüpft durch die Galilei-Transformation, x = x vt, y = y, z = z, t = t. (7) Um vorurteilsfrei zu sein, verlassen wir uns außer auf Postulat (0) nur auf drei fundamentale Annahmen über die Struktur von Raum und Zeit: I. Der Raum ist isotrop: Alle räumlichen Richtungen sind äquivalent. II. Raum und Zeit sind homogen: Alle Raumpunkte sind untereinander äquivalent, alle Zeitpunkte sind untereinander äquivalent. III. Alle ISe sind gleichberechtigt (Relativitätsprinzip). Die korrekt transformierten Koordinaten x, y, z und t müssen gewisse Funktionen von x, y, z und t, sowie des Parameters v sein, x = f 1 (v; x, y, z, t), y = f 2 (v; x, y, z, t), z = f 3 (v; x, y, z, t), t = f 4 (v; x, y, z, t). (8) Die explizite Form dieser Lorentz-Transformation (LT) folgt aus den Prinzipien (0 III). Die Homogenität von Raum und Zeit (II) impliziert Linearität in x, y, z und t, x = f 11 (v) x + f 12 (v) y + f 13 (v) z + f 14 (v) t, y = f 21 (v) x + f 22 (v) y + f 23 (v) z + f 24 (v) t, z = f 31 (v) x + f 32 (v) y + f 33 (v) z + f 34 (v) t, t = f 41 (v) x + f 42 (v) y + f 43 (v) z + f 44 (v) t, (9) mit 16 v-abhängigen Koeffizienten f µν (v). 4

5 Weiterhin müssen wegen (I) und (II) viele dieser Koeffizienten verschwinden. Da etwa den S-Koordinaten (x, y, z, t) = (0, ±y 0, 0, 0) die S -Koordinaten x = ±f 12 (v) y 0, y = ±f 22 (v) y 0, z = ±f 32 (v) y 0, t = ±f 42 (v) y 0, (10) zugeordnet werden, so folgt f 12 (v) = f 32 (v) = f 42 (v) = 0, sonst wären im Widerspruch zu (I) die (±y)-richtungen in S nicht gleichwertig. Ebenso folgt f 13 (v) = f 23 (v) = f 43 (v) = 0. Außerdem muß x verschwinden, wenn x = vt ist, x =γ(v)(x vt), y =f 22 (v) y, z =f 33 (v) z, t =f 44 (v) t + f 41 (v) x, γ(v) := f 11 (v). (11) Dreht man in S und S die Koordinatenachsen jeweils 180 um die z- bzw. z -Achse, dann wird das Ereignis mit den alten Koordinaten (x, y, z, t) bzw. (x, y, z, t ) durch die neuen Koordinaten ( x, y, z, t) bzw. ( x, y, z, t ) beschrieben, und die Relativgeschwindigkeit v wechselt ihr Vorzeichen. Es muß also zusammen mit Gl. (11) auch gelten x = γ( v)( x + vt), y = f 22 ( v) y, z = + f 33 ( v) z, t = f 44 ( v) t f 41 ( v) x. (12) Vergleich mit Gl. (11) enthüllt die Symmetrie der Koeffizientenfunktionen, γ( v) = γ(v), f µµ ( v) = f µµ (v) (µ = 2, 3, 4), f 41 ( v) = f 41 (v). (13) Die zu (11) inverse Transformation S S (mit v v) ist wegen (III) gegeben durch x = γ(v) (x + vt ), y = f 22 (v) y, z = f 33 (v) z, t = f 44 (v) t f 41 (v) x, (14) wo wir bereits die Symmetrien (13) ausgenutzt haben. Durch Vergleich der zweiten und dritten Gleichung mit den entsprechenden Gleichungen in (11) folgt f 22 (v) = f 33 (v) 1. (15) 5

6 Erst jetzt werden wir von Postulat (0) Gebrauch machen. Wird zur Zeit t = t = 0 ein Lichtsignal vom dann gemeinsamen Ursprung O = O ausgesandt, so erreicht es in S nach der Laufzeit t den Ort x = ct. Dieses letztere Ereignis hat in S die Koordinaten x und t, wobei x = ct, da die Lichtgeschwindigkeit nach Postulat (0) in beiden ISen den gleichen Wert c hat. Mit t = x/c in der ersten Gleichung in (11) und t = x /c in der ersten Gleichung in (14) folgt x = γ(v)x ( 1 v c ), x = γ(v)x ( 1 + v c x x = γ(v) 2 xx ( 1 v2 c 2 ) ) γ(v) = 1. (16) 1 v2 c 2 Mit x = γ(v)(x vt) findet man weiter t = x x /γ(v) v t x x/γ(v) v =... = γ(v) ( t v c 2x). (17) Hier wurde im letzten Schritt nochmals x = γ(v)(x vt) eingesetzt. Somit ist die gesuchte Lorentz-Transformation (8) explizit gegeben durch x =γ(v)(x vt), y =y, z =z, t =γ(v) ( t v c 2 x ), γ(v) := 1 1 β 2, β := v c. (18) Dies ist offenbar die einfachst mögliche Verallgemeinerung der Galilei-Transformation (7), die mit den Prinzipien (0 III) vereinbar ist. Ein Ereignis, für das der Beobachter in S die Raum-Zeit-Koordinaten (x, y, z, t) feststellt, hat für den Beobachter in S die Koordinaten (x, y, z, t ), entsprechend Gl. (18). Dabei ist offensichtlich in der Regel t t, obwohl es sich um ein- und dasselbe Ereignis handelt und beide Beobachter ihre Uhren synchronisiert haben! Nur im hypotetischen Fall c = erhält man Gl. (7) (mit t = t ) zurück. Die inverse LT ergibt sich durch Ersetzung v v, x = γ(v)(x + vt ), y = y, z = z, t = γ(v) ( t + v c 2 x ), (19) wie man durch Einsetzen leicht bestätigt. 6

7 Falls die Geschwindigkeit v = (v x, v y, v z ) T von S relativ zu S nicht in x-richtung (von S) weist, müssen wir lediglich den Ortsvektor r = (x, y, z) T in Gl. (18) in Komponenten parallel ( ) und senkrecht ( ) zu v zerlegen, r = r v v 2 Dann ergibt Gl. (18) v = xv x + yv y + zv z v 2 v x v y v z, r = r r. (20) r = γ(v)(r vt), r = r, t = γ(v) ( t v r v) ( r v) γ(v) t. (21) c 2 v c 2 Mit r = r + r folgt also r (r v)v =r + [γ(v) 1] γ(v)vt, v 2 t = γ(v) ( t r v ). c 2 (22) Die inverse Transformation S S ergibt sich durch Ersetzung v v, r =r + [γ(v) 1] (r v)v v 2 + γ(v)vt, t =γ(v) ( t + r v c 2 ). (23) 2.3 Das Additionstheorem für Geschwindigkeiten Um zu prüfen, ob die LT (18) tatsächlich das in der Einleitung (Kapitel 1) erläuterte, paradox wirkende Verhalten der Lichtgeschwindigkeit richtig beschreibt, betrachten wir ein Teilchen, das sich im System S mit der konstanten Geschwindigkeit u entlang der x -Achse bewegt, u = x t = x B x A. (24) t B t A Hier sind x A und x B seine in S zu den Zeitpunkten t A bzw. t B festgestellten Ortskoordinaten. Nach Gl. (19) sind die entsprechenden Koordinatendifferenzen, die ein Beobachter in S feststellt x =γ(v)( x + v t ), t =γ(v) ( t + v c 2 x ). } 7 (25)

8 Schreibt man hier x = u t, gemäß Gl. (24), so folgt für die Geschwindigkeit w des Teilchens, die der Beobachter in S feststellt, w x t = u + v 1 + uv c 2. (26) Dies ist das relativistische Additionstheorem für Geschwindigkeiten. Im Fall u, v c kann der Term uv/c 2 im Nenner vernachlässigt werden, und es gilt in guter Näherung die Galileische Additionsregel w = u + v. Während diese Regel in Fällen wie etwa u = v = 0.9c Überlichtgeschwindigkeiten w liefern würde, ergibt Gl. (26) den korrekten Wert w = 1.8 c = c. Ist insbesondere das Teilchen ein Lichtstrahl, u = c, so ergibt 1.81 Gl. (26) auch w = c. Licht hat also tatsächlich in jedem IS die gleiche Geschwindigkeit c. Wir untersuchen noch das Transformationsverhalten einer beliebigen Geschwindigkeit. Ein Teilchen bewege sich in S mit konstanter Geschwindigkeit u, u = r r B r A. t t B t A (27) Hier sind r A und r B seine Ortskoordinaten (in S ) zu den Zeitpunkten t A bzw. t B. Nach Gl. (23) sind die entsprechenden Koordinatendifferenzen, die ein Beobachter in S feststellt r = r + [γ(v) 1] (v r )v v 2 + γ(v)v t, t =γ(v) ( t + v r c 2 ). Schreibt man hier r = u t, gemäß Gl. (27), so folgt für die Geschwindigkeit w des Teilchens, die der Beobachter in K feststellt, (28) w r t u + (γ 1)(v u) v + γv v = 2 γ(1 + v u c 2 ) = 1 β2 u + [ (1 1 β 2 ) v u v ] v 1 + v u c 2. (29) Im wichtigsten Fall v u folgt mit v u = vu und v u v 2 = u v die einfache Formel (26). 2.4 Relativität der Gleichzeitigkeit Zwei Ereignisse A und B, die in S gleichzeitig sind, t A = t B, müssen dies in S nicht sein. Mit t A = t B ergibt nämlich die vierte Gleichung von Gl. (18) t A t B = γ v c 2(x B x A ), (30) was für x A x B nicht verschwindet. Wir werden auf dieses Phänomen noch ausführlich zu sprechen kommen. 8