Vorlesungsskript Integrierter Kurs III - spezielle Relativitätstheorie. Marcel Indlekofer, Thomas Lauermann, Vincent Peikert und Raphael Straub

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1 Vorlesungsskript Integrierter Kurs III - spezielle Relativitätstheorie Marcel Indlekofer, Thomas Lauermann, Vincent Peikert und Raphael Straub 6. Dezember 2004

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3 Inhaltsverzeichnis 2 spezielle Relativitätstheorie Einschub: Konzepte & Definitionen (karthesische) Koordinaten Newton sche Mechanik Galilei-Invarianz Widerspruch zur Wellengleichung und zu den Maxwell-Gleichungen mit Galilei-Invarianz Relativitätsprinzip & Lorentztransformation Einstein sches Relativitätsprinzip Konstanz von c Die spezielle Lorentz-Transformation Elementare Folgerungen Addition von Geschwindigkeiten

4 4 INHALTSVERZEICHNIS

5 Kapitel 2 spezielle Relativitätstheorie 2.1 Einschub: Konzepte & Definitionen (karthesische) Koordinaten Abbildung 2.1: Raumkoordinaten Jeder Punkt im Raum besitzt Raumkoordinaten (vgl. Abbildung 2.1): x x 1 r = y = x 2 z x 3 Jeder Punkt in Raum und Zeit besitzt Raum-Zeit-Koordinaten: ct x 0 x = x y := x 1 x 2 (2.1) z x Newton sche Mechanik Galilei-Invarianz Newton: Mechanische Vorgänge laufen in allen Inertialsystemen gleich ab. Galilei: Zwei Inertialsysteme sind durch eine Galilei-Transformation miteinander verknüpft. 5

6 6 KAPITEL 2. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE Abbildung 2.2: Galileitransformation x i = 3 Rjx i i + r0 i + v i t (2.2) j=1 R i j ist eine Drehmatrix. Bemerkung: Die Indizes für Koordinaten x i stehen oben und werden mit den Indizes unten an R i j summiert. Abkürzung: Im folgenden verwenden wir häufig die Einstein sche Summenkonvention: 3,4 j=1 R i jx j = R i jx j (2.3) doppelt auftauchende Indizes werden absummiert. spezielle Galilei-Transformation: x i = x i + v i t (2.4) t = t Die spezielle Galilei-Transformation (Abbildung 2.3) ist eine Transformation auf ein Abbildung 2.3: spezielle Galilei-Transformation geradlinig bewegtes Bezugssystem.

7 2.2. NEWTON SCHE MECHANIK Widerspruch zur Wellengleichung und zu den Maxwell- Gleichungen mit Galilei-Invarianz A) Wellengleichung: ( 2 1 ) c 2 2 t E(r,t) = 0 Die Wellengleichung ist eine Folge der Maxwell-Gleichungen im Vakuum mit der speziellen Lösung: E(r,t) = E 0 cos(ωt k r) für ω = ck. Die Galilei-Transformation auf ein mitbewegtes Inertialsystem (mit v = k c ) ergibt eine stehende Welle: k E(r,t) = E 0 cos(ωt k r k2 k ct) = E 0 cos(k r ) welche keine Lösung der Wellengleichung ist. Daraus folgern wir, dass sowhol die Wellengleichung als auch die Elektrodynamik nach Maxwell nicht Galilei-invariant sind. Dies ist der Ausgangspunkt der speziellen Relativitätstheorie. B) Versuch von Michelson-Morley Man verwende ein Michelson-Intzerferometer und benutzt eine Rotation des Spek- Abbildung 2.4: Michelson-Interferometer trometers, um Unterschiede in der Lichtgeschwindigkeit entlang der Wege 1 und 2 zu messen, welche auf Grund der Bewegung der Erde zustande ( kommen. Erwarten würde man, dass die Interfernzmaxima N L 1+L 2 v ) 2 λ c mit der Erdgeschwindigkeit v auf Grund des großen Vorfaktors L 1+L 2 messbar sind. Durch den λ Vorfaktor sind selbst feinste Unterschiede messbar. Im Versuch wird aber kein Unterschied beobachtet, somit existiert keine Galilei-Transformation auf das Erdsystem. Diese Beobachtung ist durch die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit c im bewegten Koordinatensystem erklärbar.

8 8 KAPITEL 2. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE 2.3 Relativitätsprinzip & Lorentztransformation Einstein sches Relativitätsprinzip Die gesamten physikalischen Vorgänge laufen in allen Inertialsystemen gleich ab und zwei Inertialsysteme sind durch eine Lorentztransformation verknüpft Konstanz von c Die Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum ist unabhängig vom Inertialsystem und ändert sich also nicht bei Lorentz-Transformation Die spezielle Lorentz-Transformation Abbildung 2.5: spezielle Lorentz-Transformation Die Wellenfront einer Kugel-Lichtwelle, die vom Ursprung in zwei Inertialsysteme ausgeht, muss gleich sein.(vgl. Abb 2.5): Zur Vereinfachung wählt man: r 2 c 2 t 2 = r 2 ( x 0) 2 = r 2 c 2 t 2 = r 2 x 1 = x 1 und x 2 = x 2 ( x 0) 2 (2.5) Licht, die Wellenfront einer elektromagnetischen Kugelwelle, breitet sich aus von einer Welle, die zum Zeitpunkt t = t = 0 am Ort r = r = 0 war. Das zweite Koordinatensystem KS bewege sich mit v = v ẑ Die Position der Wellenfront, der sogenannte Lichtkegel lässt sich mit folgender Formel beschreiben: r 2 c 2 t 2 = (r ) 2 (ct ) 2 (2.6) Zur Vereinfachung nehmen wir Bewegung in z-richtung an: x = x und y = y z 2 c 2 t 2 = (z ) 2 (ct ) 2 (2.7) Wenn wir nun die Lichtgeschwindigkeit in allen Bezugssystemen als konstant postulieren, wie lautet dann die zugehörige Koordiantentransformation(KT)? Wir postulieren weiterhin: KT sei linear: λ 1 ( ct1 z 1 ) ( ) ( ) ( ) ct2 ct + λ 2 = λ 1 ct z 1 2 z 1 + λ 2 2 z 2 KT sei homogen: t = z = 0 wird auf t = z = 0 abgebildet.

9 2.3. RELATIVITÄTSPRINZIP & LORENTZTRANSFORMATION 9 Damit können wir KT als Matrix Λ schreiben, die Matrix der Lorenzransformation genannt wird und gegeben ist durch: x µ = Λ µ ν x ν (2.8) als die Transformation von KS nach KS mit der Relativgeschwindigkeit v. ( ) ( ) ct a b z = f d ( ) ct z (2.9) also ist zum Beispiel Λ 0 0 = a oder Λ 0 3 = b. Dann lautet die Rücktransformation von KS nach KS: ( ) ct = z 1 ad bf ( ) ( ) d b ct f a z (2.10) und beschreibt die Transformation mit der umgekehrten Relativgeschwindigkeit v = v: x µ = Λ µ ν( v) x ν (2.11) Vergleich von Λ(v) und Λ( v) und die Isotropieforderung ergibt: Daraus folgt: det Λ = ad bf = 1 sowie a = d (2.12) det Λ = a 2 bf = 1 (2.13) Sei nun b = vb und f = vf, ergibt sich in Gleichung eingesetzt: z 2 c 2 t 2 = (vfct + az) 2 (act + vbz) 2 = (a 2 v 2 b 2 )z 2 (a 2 v 2 f 2 ) + 2avc(f b)zt (2.14) Daraus folgt b = f und somit fällt der gemischte Term weg. a 2 v 2 b 2 = 1 (2.15) Damit können wir nun einen Winkel ϕ einführen, so dass a = d = cosh ϕ und b = f = sinh ϕ mit cosh 2 ϕ sinh 2 ϕ = 1 gilt. ( ) ( ) cosh ϕ sinh ϕ 1 tanh ϕ Λ µ ν(v) = = cosh ϕ (2.16) sinh ϕ cosh ϕ tanh ϕ 1 Ein winkel ϕ parametrisiert die Lorentztransformation. Mit β = tanh ϕ und γ = cosh ϕ = erhalten wir: 1 1 β 2 Λ µ ν(v) = γ ( ) 1 β β 1 (2.17)

10 10 KAPITEL 2. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE Abbildung 2.6: Plot der hyperbolischen Winkelfunktionen wobei β < 1 gelten muss. Aus dem Vergleich mit den Galilei-Transformationen für v 0 folgt: b vb(0) und damit ist β(0) = 1. Aus der Hintereinanderschaltung mehrerer Lorentztransformationen c kann man zeigen, dass gilt: β = v c (2.18) Damit ist ϕ = artanh v c und wir haben die speziellen Lorentztransformationen: t = t + vz c 2 1 v2 c 2 (2.19) (2.20) sowie z = z + vt 1 v2 c 2 (2.21) welche bei v in die Galilei-Transformationen t = t und z = z + vt übergehen Elementare Folgerungen Addition von Geschwindigkeiten Begründung: β ist linear in v, weil damit Hintereinanderschaltung zweier LT zu den Geschwindigkeiten u und v wieder eine spezielle LT mit der Geschwindigkeit w ergibt. Hierbei bedienen wir uns einer Gruppeneigenschaft der Lorentztransformationen: Abbildung 2.7: Wie groß ist w? Λ µ ν(u) Λ ν κ(v) = Λ µ κ(w) (2.22)