Vorlesungsskript Integrierter Kurs III - spezielle Relativitätstheorie. Marcel Indlekofer, Thomas Lauermann, Vincent Peikert und Raphael Straub

Transkript

1 Vorlesungsskript Integrierter Kurs III - spezielle Relativitätstheorie Marel Indlekofer, Thomas Lauermann, Vinent Peikert und Raphael Straub 11. Januar 2005

2 2

3 Inhaltsverzeihnis 2 Spezielle Relativitätstheorie Einshub: Konzepte & Definitionen (karthesishe) Koordinaten Minkowski-Raum, Minkowski-Metrik und Einsteinshe Inertialsysteme Definition der Lorentz-Transformationen als ausgezeihnete Koordiantentransformationen (2.1.4) Tensoren Newton she Mehanik Galilei-Invarianz Widerspruh der Galilei-Invarianz zur Wellengleihung und zu den Maxwell-Gleihungen Relativitätsprinzip & Lorentztransformation Einstein shes Relativitätsprinzip Konstanz von Die spezielle Lorentz-Transformation Elementare Folgerungen Addition von Geshwindigkeiten Raum-Zeit-Diagramme Weltlinien Lorenz-invariante Formulierung physikal. Gesetze: 1-tes Bsp. Dopplereffekt Relativistishe oder Einsteinshe Mehanik Vierergeshwindigkeit u µ Viererimpuls p µ Einstein she Bewegungsgleihung Einsteinshe Bewegungsgleihungen (A) Minkowski-Kraft (B) Lorentz-Kraft

4 4 INHALTSVERZEICHNIS

5 Kapitel 2 Spezielle Relativitätstheorie 2.1 Einshub: Konzepte & Definitionen (karthesishe) Koordinaten Abbildung 2.1: Raumkoordinaten Jeder Punkt im Raum besitzt Raumkoordinaten (vgl. Abbildung 2.1): x x 1 r = y = x 2 z x 3 Jeder Punkt in Raum und Zeit besitzt Raum-Zeit-Koordinaten: t x 0 x = x y := x 1 x 2 (2.1) z x Minkowski-Raum, Minkowski-Metrik und Einsteinshe Inertialsysteme ( ) t Alle Punkte (Ereignisse) in der Raum-Zeit x mit x µ =, x r i R konstituieren einen Minkowski-Raum M, wenn eine Metrik gegeben ist, so dass das Längenelement einer beliebigen Kurve lautet: 5

6 6 KAPITEL 2. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE dl 2 = g µν dx µ dx ν (2.2) g µν heißt Minkowski-Tensor oder Minkowski-Metrik. Ein Minkowski-Raum mit einem Koordinatensystem, so dass lautet, heißt Inertialsystem. Denn dann gilt: g µν = (2.3) dl 2 = ( dx 0 ) 2 ( dx 1 ) 2 ( dx 2 ) 2 ( dx 3 ) 2 (2.4) Bemerkung: Vergleihen wir M mit dem euklidishen Raum R 3, in dem gilt: dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = g ij dx i dx j mit g ij = (2.5) für ein kartesishes Koordinatensystem. Krummlinige Koordinaten siehe später. g µν definiert ein Skalarprodukt: a,b = g µν a µ b ν = a 0 b 0 a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 = a ν b ν (2.6) zweier kontravarianter Vektoren a µ und b µ mit dem Kovektor a ν = g µν a µ = Die Inverse zu g µν ist g µν, also 3 g µν a µ = (a 0, a) (2.7) µ=0 mit dem Kronekerdelta, und lautet in Inertialkoordinaten: g µν g νκ = δ µ κ (2.8) g µν = = g µν (2.9)

7 2.1. EINSCHUB: KONZEPTE & DEFINITIONEN Definition der Lorentz-Transformationen als ausgezeihnete Koordiantentransformationen Eine homogene Koordinatentransformation x µ = L µ νx ν heißt ausgezeihnet, wenn sie Inertialsysteme in Inertialsysteme überführt, d.h. wenn gilt: In Matrixshreibweise sieht das so aus: g µν = L κ µ L λ ν g κλ = g µν (2.10) Dazu muss gelten: g = L g L T (2.11) δ σ ν = g σµ L µλ L λ ν = L σ λl λ ν (2.12) Also lautet L 1 = L T und daraus folgt det L = ±1. Eine andere Shreibweise ist: und so kommen wir auf L µ ν = x µ x ν (2.13) δ µ ν = x µ x ν = x µ x κ xκ x ν = Lµ κ L ν κ Die Transformationsregel g = L g L T folgt aus der Betrahtung des Längenelementes: (2.14) dl 2 = g µν dx µ dx ν = g µν (L 1 ) µ σ (L 1 ) ν τ dx σ dx τ = g στ dx σ dx τ (2.15) Bemerkung: Die ausgezeihneten Koordinatentransformationen heißen Lorentztransformationen im Minkowskiraum. Im euklidishen Raum heißen sie Orthogonaltransformationen und sind durh eine Rotationsmatrix gegeben (2.1.4) Tensoren Tensoren sind Verallgemeinerung von Vektoren (Vektorfeldern,...) Bsp.: Rotation (Abb.2.2): KS KS ( ) ( ) ( ) x os ϕ sin ϕ x y = sin ϕ os ϕ y ( ) ( ) ( ) q x os ϕ sin ϕ qx = sin ϕ os ϕ q y Ein Vektor erfüllt also bei einer KT x i = R i j x j q y

8 8 KAPITEL 2. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE Abbildung 2.2: Koordinatentransformation mit Rotationsmatrix R die Transfromationseigenshaft q i (x ) = R i j q i (x) Verallgemeinert mit der Matrix D µ ν der KT (D ˆ=R für euklidishen R 3 ; D ˆ= Lorentz- Transformation für Minkowski-Raum) nennt man das d N -Tupel (d = 3 in R 3 ; d = 4 in M) von Zahlen t µ (1)µ (2) µ (N)(x) (µi = 0,1,2,3 in M) kontravarianten Tensor N-ter Stufe, wenn er unter der KT transformiert gemäß t µ (1) µ (N) (x ) = d(d) D µ (1) ν (1) D µ (N) ν (N) t ν (1) ν (N) (x) genauer für d(d) = 1 Tensor Det(D) = ±1 Pseudotensor = ±1 zeitartigen Pseudotensor L 0 0 L 0 0 Bsp.: Im R 3 : sind Ladungsdihten ρ(r,t) ein Skalar (-feld) (Tensor 0-ter Stufe, der von r, t abhängt), j(r, t), E(r, t) und = Vektoren (Tensor 1-ter Stufe), B ein x Pseudovektor (d.h. unter Spiegelung x i = x i wird j (r, t) = j( r, t) und = = = deswegen muss x x B (r, t) = B( r, t) damit j ( r, t) = B ( r, t) = B(r, t) = j(r, t) gilt) ist das Kroneker-Delta δ ij ein Tensor 2-ter Stufe

9 2.2. NEWTON SCHE MECHANIK 9 Im M: ist der Levi-Civita-Tensor 1 für ijk = xyz, zxy, yzx ɛ ijk = ɛ jik = ɛ ikj = ɛ kji 0 sonst ein Pseudotensor 3-ter Stufe. Mit ihm lautet das Vektorprodukt a = b a i = ɛ ijk b j k ist ein antysymmetrisher Tensor 2-ter Stufe M ij = M ji eindeutig verknüpft mit einem Pseudovektor m: 0 m 3 m 2 M ij = m 3 0 m 1 M ij x j = (m x) i m 2 m 1 0 ist g µν ein Tensor 2-ter Stufe ist t ν µ = g µν t µν ein gemishter kontra & kovarianter Tensor 2-ter Stufe und wird transformiert wie t ν µ = g µν t µν = g µν L µ σ L µ τ t στ = L σ µ L µ τ t τ σ = (L 1 ) σ µ L ν τ t σ Bsp.: Die Verjüngung eines Tensors 2-ter Stufe heißt Spur: in M: g µν t µν = t ν ν = t ν ν = t 00 t 11 t 22 t 33 in R 3 : t ii = t 11 + t 22 + t 33 (Summe der Diagonalelemente) (Bsp.: g µν g µν = g µ µ = 2 ; δ µ µ = 4) 2.2 Newton she Mehanik Galilei-Invarianz Newton: Mehanishe Vorgänge laufen in allen Inertialsystemen gleih ab. Galilei: Zwei Inertialsysteme sind durh eine Galilei-Transformation miteinander verknüpft. x i = 3 Rjx i i γ + r0 i + v i t (2.16) j=1 R i j ist eine Drehmatrix. Bemerkung: Die Indizes für Koordinaten x i stehen oben und werden mit den Indizes unten an R i j summiert. Abkürzung: Im folgenden verwenden wir häufig die Einstein she Summenkonvention: 3,4 j=1 R i jx j = R i jx j (2.17)

10 10 KAPITEL 2. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE Abbildung 2.3: Galileitransformation doppelt auftauhende Indizes werden absummiert. spezielle Galilei-Transformation: x i = x i + v i t (2.18) t = t Die spezielle Galilei-Transformation (Abbildung 2.4) ist eine Transformation auf ein Abbildung 2.4: spezielle Galilei-Transformation gleihförmig, geradlinig bewegtes Bezugssystem Widerspruh der Galilei-Invarianz zur Wellengleihung und zu den Maxwell-Gleihungen A) Wellengleihung: ( 2 1 ) 2 t E(r,t) = 0 Die Wellengleihung ist eine Folge der Maxwell-Gleihungen im Vakuum mit der speziellen Lösung: E(r,t) = E 0 os(ωt k r)

11 2.3. RELATIVITÄTSPRINZIP & LORENTZTRANSFORMATION 11 für ω = k. Die Galilei-Transformation auf ein mitbewegtes Inertialsystem (mit v = k ) ergibt eine stehende Welle: k E(r,t) = E 0 os(ωt k r k2 k t) = E 0 os(k r ) welhe keine Lösung der Wellengleihung ist. Daraus folgern wir, dass sowohl die Wellengleihung als auh die Elektrodynamik nah Maxwell niht Galilei-invariant sind. Dies ist der Ausgangspunkt der speziellen Relativitätstheorie. B) Versuh von Mihelson-Morley Man verwende ein Mihelson-Intzerferometer und benutzt eine Rotation des Abbildung 2.5: Mihelson-Interferometer Spektrometers, um Untershiede in der Lihtgeshwindigkeit entlang der Wege 1 und 2 zu messen, welhe auf Grund der Bewegung der Erde zustande ( kommen. Erwarten würde man, dass die Interfernzmaxima N L 1+L 2 v ) 2 λ mit der Erdgeshwindigkeit v auf Grund des großen Vorfaktors L 1+L 2 messbar sind. Durh den λ Vorfaktor sind selbst feinste Untershiede messbar. Im Versuh wird aber kein Untershied beobahtet, somit existiert keine Galilei-Transformation auf das Erdsystem. Diese Beobahtung ist durh die Konstanz der Lihtgeshwindigkeit im bewegten Koordinatensystem erklärbar. 2.3 Relativitätsprinzip & Lorentztransformation Einstein shes Relativitätsprinzip Die gesamten physikalishen Vorgänge laufen in allen Inertialsystemen gleih ab und zwei Inertialsysteme sind durh eine Lorentztransformation verknüpft Konstanz von Die Lihtgeshwindigkeit im Vakuum ist unabhängig vom Inertialsystem und ändert sih also niht bei Lorentz-Transformation.

12 12 KAPITEL 2. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE Die spezielle Lorentz-Transformation Abbildung 2.6: spezielle Lorentz-Transformation Die Wellenfront einer Kugel-Lihtwelle, die vom Ursprung in zwei Inertialsysteme ausgeht, muss gleih sein.(vgl. Abb 2.6): Zur Vereinfahung wählt man: r 2 t 2 = r 2 ( x 0) 2 = r 2 t 2 = r 2 x 1 = x 1 und x 2 = x 2 ( x 0) 2 (2.19) Liht, die Wellenfront einer elektromagnetishen Kugelwelle, breitet sih aus in einer Welle, die zum Zeitpunkt t = t = 0 am Ort r = r = 0 war. Das zweite Koordinatensystem KS bewege sih mit v = v ẑ Die Position der Wellenfront, der sogenannte Lihtkegel lässt sih mit folgender Formel beshreiben: r 2 t 2 = (r ) 2 (t ) 2 (2.20) Zur Vereinfahung nehmen wir Bewegung in z-rihtung an: x = x und y = y z 2 t 2 = (z ) 2 (t ) 2 (2.21) Wenn wir nun die Lihtgeshwindigkeit in allen Bezugssystemen als konstant postulieren, wie lautet dann die zugehörige Koordiantentransformation(KT)? Wir postulieren weiterhin: KT sei linear: λ 1 ( t1 z 1 ) ( ) ( ) ( ) t2 t + λ 2 = λ 1 t z 1 2 z 1 + λ 2 2 z 2 KT sei homogen: t = z = 0 wird auf t = z = 0 abgebildet. Damit können wir KT als Matrix Λ shreiben, die Matrix der Lorenzransformation genannt wird und gegeben ist durh: x µ = Λ µ ν x ν (2.22) als die Transformation von KS nah KS mit der Relativgeshwindigkeit v.

13 2.3. RELATIVITÄTSPRINZIP & LORENTZTRANSFORMATION 13 ( ) ( ) t a b = f d z ( ) t z (2.23) also ist zum Beispiel Λ 0 0 = a oder Λ 0 3 = b. Dann lautet die Rüktransformation von KS nah KS: ( ) t = z 1 ad bf ( ) ( ) d b t f a z (2.24) und beshreibt die Transformation mit der umgekehrten Relativgeshwindigkeit v = v: x µ = Λ µ ν( v) x ν (2.25) Vergleih von Λ(v) und Λ( v) und die Isotropieforderung ergibt: det Λ = ad bf = ±1 sowie a = ±d (2.26) Sei nun b = vb und f = vf, ergibt sih in Gleihung eingesetzt: z 2 t 2 = (vft + az) 2 (at + vbz) 2 = (a 2 v 2 b 2 )z 2 (a 2 v 2 f 2 ) + 2av(f b)zt (2.27) Daraus folgt b = f und somit fällt der gemishte Term weg. a 2 v 2 b 2 = 1 (2.28) Damit können wir nun einen Winkel ϕ einführen, so dass a = d = osh ϕ und b = f = sinh ϕ mit osh 2 ϕ sinh 2 ϕ = 1 gilt. ( ) ( ) osh ϕ sinh ϕ 1 tanh ϕ Λ µ ν(v) = = osh ϕ (2.29) sinh ϕ osh ϕ tanh ϕ 1 Ein winkel ϕ parametrisiert die Lorentztransformation. Mit β = tanh ϕ und γ = osh ϕ = 1 β 1 erhalten wir: 2 Λ µ ν(v) = γ ( ) 1 β β 1 (2.30) wobei β < 1 gelten muss. Aus dem Vergleih mit den Galilei-Transformationen für v 0 folgt: b vb(0) und damit ist β(0) = 1. Aus der Hintereinandershaltung mehrerer Lorentztransformationen kann man zeigen, dass gilt: β = v (2.31) Damit ist ϕ = artanh v und wir haben die speziellen Lorentztransformationen:

14 14 KAPITEL 2. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE Abbildung 2.7: Plot der hyperbolishen Winkelfunktionen sowie t = z = t + vz 1 v2 (2.32) (2.33) z + vt 1 v2 (2.34) welhe bei v in die Galilei-Transformationen t = t und z = z + vt übergehen Elementare Folgerungen Addition von Geshwindigkeiten Begründung: β ist linear in v, weil damit Hintereinandershaltung zweier LT zu den Geshwindigkeiten u und v wieder eine spezielle LT mit der Geshwindigkeit w ergibt. Dies ist die Gruppeneigenshaft der Lorentztransformationen: Abbildung 2.8: Wie groß ist w? Für spezielle Lorentztransformationen gilt also: Λ µ ν(u) Λ ν κ(v) = Λ µ κ(w) (2.35)

15 2.3. RELATIVITÄTSPRINZIP & LORENTZTRANSFORMATION u2 weil gilt: Nun ist 1 1 v2 mit der Geshwindigkeit ( ) 1 u u 1 ( ) 1 v v = uv (1 u 2 ) ( 1 v 2 ) ( ( 1 + uv ) ) u2 + 2uv + v = (1 + 1 ( ) ) v + u 1 + uv Λ(w) = ( ) 1 1 w w 1 1 w2 1 v+u (1+ uv ) 1+ uv v+u (1+ uv ) 1 1+ uv (2.36) (2.37) (2.38) w = u + v 1 + uv (2.39) Die Transformationen KS KS KS sind äquivalent zu einer Transformation KS KS mit der nah Einstein additiven Geshwindigkeit w. Nur für uv 1 gilt w = u + v nah Galilei. Wäre β = vβ(v 2 ) v gewesen, hätten wir niht zeigen können, dass wir KS KS transformieren können, ohne KS zu kennen. Bemerkung: für u = v haben wir w = 2v 2β =, was in folgendem Plot veranshauliht wird. Also ist immer w < für alle v 2 <, ist die 1+ v2 1 β 2 Grenzgeshwindigkeit. Abbildung 2.9: w-diagramm Raum-Zeit-Diagramme Zwei Punkte, sogenannte Ereignisse, x (1) und x (2) haben den Abstand: x µ = x µ (1) xµ (2) (2.40) Ohne Beshränkung der Allgemeinheit setzen wir x 1 = 0 = x 2 fest, also x = y = 0. So ist x,x = (x 0 ) 2 (x 3 ) 2 = t 2 z 2 = t 2 z 2 = x,x (2.41) mit t = γ( t + β z) und z = γ( z + β t). Wir können also die xµ nah ihren Skalarprodukten harakterisieren. Wir untersheiden 3 Fälle:

16 16 KAPITEL 2. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE Abbildung 2.10: Lihtkegel 1. Fall: x,x > 0, dann heißt x zeitartig, liegt in dem Kegel und es gibt ein Inertialsystem, in dem beide Ereignisse am selben Ort stattfinden: z = 0 mit einer Zeitdifferenz t. In allen anderen Inertialsystemen gilt: Dieses nennt man Zeitdilatation. t = γ t > t (2.42) 2. Fall: x,x = 0, der Vektor liegt direkt auf dem Lihtkegel. 3. Fall: x,x < 0, dann heißt x raumartig. Der Bereih, in dem diese Ereignisse liegen, heißt Gleihzeitigkeitskegel. Es gibt kein Inertialsystem, in dem man mit einem Lihtsignal diese beiden Punkte verbinden könnte, da das Liht niht shnell genug ist, um von x (1) nah x (2) zu kommen. Eine Länge l = z t=0 ist im bewegten Inertialsystem kürzer: l = z t =0 = γ [ z + β ( t Dieses Verhalten wird Längenkontraktion genannt Weltlinien γ )] β z = 1 β 2 z = l t =0 γ < l (2.43) Eine Kurve x(s) in der Raumzeit mit s als beliebigem Kurvenparameter (zum Beispiel der Zeit) heißt Weltlinie, wenn der infinitesimale Abstand dl 2 = dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 > 0 (2.44) ist, die Tangente also zeitartig ist und das Teilhen somit nie mit Überlihtgeshwindigkeit fliegt. Wenn das Teilhen eine eigene Uhr hat, so misst diese nah folgender Gleihung ( dl 2 = dt ) ( ) ṙ2 = dt 2 1 v2 = dτ 2 (2.45) die Zeit dτ = dt (2.46) 1 v2

17 2.4. LORENZ-INVARIANTE FORMULIERUNG PHYSIKAL. GESETZE: 1-TES BSP. DOPPLEREFF Abbildung 2.11: Beispiel einer Weltlinie τ ist seine Eigenzeit, die somit langsamer läuft. Das dτ entspriht einem Zeitelement, das eine auf der Kurve bewegte Uhr messen würde. Diese Formel spiegelt die Zeitdilatation wider. Wiederholung: Im Inertialsystem lautet die Metrik so dass das Längenelement: g µν = g µν = dl 2 = dt 2 ( dx 1 ) 2 ( dx 2 ) 2 ( dx 3 ) 2 = g µν dx µ dx ν v = dr dt < t, t > > 0 dl 2 > 0 dτ = 1 dl = dt ( ) 1 v2 Eigenzeit (Uhr des MP) die ausgezeihnete Koordinatentransformation erfüllt: Bem.: g µν = L σ µ L τ ν g στ ( L 1) σµ = L σ µ Die ausgezeihneten Koordinatentransformationen heißen im Minkowski-Raum Lorentztransformationen Im euklidishen R 3 g = 1 = heißen sie Orthogonaltransformationen ) 1 = R R ( T 2.4 Lorenz-invariante Formulierung physikal. Gesetze: 1-tes Bsp. Dopplereffekt Umsetzung der spez. Relativitätstheorie: Formulierung der physik. Gesetze mit Tensoren (vor allem 4-Vektoren).

18 18 KAPITEL 2. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE Die Phase einer em-welle ϕ = ωt kr entspriht dem Skalarprodukt ϕ = g µν k µ x ν mit 4-er Wellenvektor k i (k 0 = ω, k) der k µ k µ = 0 = ( ) ω 2 k 2 erfüllt wegen der Dispersionsrelation. Bei Trafo auf bewegtes IS geht er über in k µ = L µ ν k ν slt ω = j(ω + v k z ) k z = ω os ϑ k z = j(k z + ωv ) k x = ω sin ϑ k x = k x (A) Longitudinaler Dopplereffekt: ϑ = 0 (k z = ω, k x = 0) ω = 1 + v 1 v ω. = ( 1 + v ) ω Frequenz erhöht sih wenn Abstand von Empfänger und Sender wegen der Relativbewegung abnimmt. Wiederholung: Definition: Tensor N-ter Stufe: t µ 1...µ N = d(d) D µ 1 ν1 D µ N νn t ν 1...ν N Die spezielle Relativitätstheorie entspriht der Formulierung physikalisher Gesetze mit Vierertensoren. erstes Beispiel: relativistisher Dopplereffekt: Eingeführt wurde der Viererwellenwektor k µ (Tensor 1. Stufe) folgendermaßen: ( ω ) k µ =,k k µ = L µ νk ν spezielle LT: ω = γ (ω + vk z ) ( k z = γ k z + ωv ) k x = k x Phase ϕ = k µ x µ Die Phase ϕ beshreibt jene Wellenfront, die bei x µ = x µ = 0 emittiert wurde. Der Sender ruht im Koordinatensystem KS und bewegt sih relativ zu KS Der Winkel vartheta ist der Winkel zwishen k und v, dann gilt: k z = ω os ϑ k x = ω sin ϑ A) longitudinaler Dopplereffekt Longitudinal bedeutet, dass der Wellenvektor k in die Rihtung von v zeigt, d.h. ϑ = 0.

19 2.4. LORENZ-INVARIANTE FORMULIERUNG PHYSIKAL. GESETZE: 1-TES BSP. DOPPLEREFF Damit folgt, dass auh der Anteil des Wellenvektors in x-rihtung Null ist (k x = 0). ω = 1 + v/ 1 v/ v Dies gilt auf Grund den Taylorentwiklungen: 1 + ε 1 + ε ε 1 + ε 2 ( 1 + v ) ω (2.47) Die Frequenz erhöht sih, wenn der Abstand zwishen Sender und Empfänger wegen der Relativbewegung abnimmt. Es ist nur die Relatigeshwindigkeit von KS und KS wihtig. B) transversaler Dopplereffekt ϑ = π 2 k z = 0 k x = ω ω = ( ω. = ω ) v 2 v 2 / 2 (2.48) Man spriht vom quadratishen transversalen Dopplereffekt. Dieser fehlt in der klassishen Physik komplett. C) Aberation speziell bei Synhrotronstrahlung Ein beshleunigtes Elektron Abbildung 2.12: behleunigtes Elektron strahlt. Sei der Winkel, unter dem das Elektron im Inertialsystem streut ϑ = π. Unter 2 welhem Winkel ϑ ist das Liht dann im Laborsystem KS zu beobahten? tan ϑ = k x = k z γv 1 v2 (2.49) für v. Die Strahlung findet im Laborsystem unter sehr engen Winkeln statt. Beispielsweise werden in Grenoble (Frankreih) Forshungen durhgeführt, bei welhen γ 10 4 ist. Erinnerung: Wir waren bei der Beobahtung gestartet, dass eine spezielle Galilei-Transformation: x i = x i + v i t ; t = t

20 20 KAPITEL 2. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE eine spezielle Lösung der Wellengleihung: ( 2 1 ) 2 t E(r,t) = 0 nämlih: E(r,t) = E 0 os(ωt k r) in KS auf eine Niht-Lösung in KS abbildet: E (r,t ) = E 0 os k r wobei: ( t ) E = = E 0 k 2 os(k r ) 0 Dieser Widerspruh wird durh die spezielle Lorentztransformation gelöst, in dem nun: ωt k r = k µ x µ = k µx µ = ω t k r k µ = L µ νk ν x µ = L µ νx ν Ein Lorentzskalar (Tensor 0.ter Stufe) ist invariant in allen Intertialsystemen. Bemerkung: Wie sih bzw. E 0 transformieren lässt, sowie die elektromagnetishe Wellengleihung wird in Aufgabe 31 behandelt. 2.5 Relativistishe oder Einsteinshe Mehanik Die Bewegung eines Massenpunktes mit Ruhemasse m entspriht einer Weltlinie im Minkowski-Raum (M). Abbildung 2.13: Bewegung eines Massenpunktes dτ 2 = dl 2 > 0

21 2.5. RELATIVISTISCHE ODER EINSTEINSCHE MECHANIK Vierergeshwindigkeit u µ Wird die Weltlinie mit der Eigenzeit τ des Messenpunktes (Uhr am Massenpunkt) parametrisiert, dann heißt der Tangentenvektor: u µ (τ) = d dτ xµ (τ). = ẋ µ (τ) (2.50) Vierergeshwindigkeit. Zwishen der Vierergeshwindigkeit u µ und der Geshwindigkeit im Raum v besteht folgender Zusammenhang: Das Skalarprodukt: d r(t) = v(t) dt dx µ (τ) = dxµ (τ(t)) dτ ( ) dt = γ v = 1 1 v2 dt dτ ( ) v u µ u µ = γ 2 ( v 2 ) = (2.51) ist Lorentzinvariant. Das bedeutet, dass 1 uµ der normierte Tensor 0.ter Stufe ist, der sogenannte Tangentenvektor. Bemerkung: Daraus folgt für die Viererbeshleunigung a µ : d dτ 2 = 0 = a µ = d dτ uµ (2.52) d dτ g µνu µ u ν = g µν a µ u ν + g µν u µ a ν = 2g µν a µ u ν a µ u µ = 0 = u µ u µ (2.53) u u Viererimpuls p µ A) Relativistishe Emergie-Impuls Beziehung Der räumlihe Impuls p wird durh die nullte Komponente E zum Viererimpulsvektor: ( E ) p µ = p mit der totalen Energie E (2.54) mit Lorentzinvarianter Länge (Einstein 1905): ( ) 2 E p µ p µ = p 2 = (m) 2 (2.55)

22 22 KAPITEL 2. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE mit der Ruhemasse m. Im Ruhesystem (p = 0) gilt also: Allgemein gilt: E = E = m (m ) 2 + (p) 2 (relativistishe e p-beziehung) Die verallgemeinerte Newton she Beziehung folgt für p : E m + p2 2m Die Energie-Masse-Äquivalenz kann z.b. bei der Kernspaltung oder Kernfusion (Deuterium + Tritium Helium +n mit m m He MeV) beobahtet werden. Bemerkung: Der Ansatz p µ = ( E,p) soll hier niht bis ins Detail begründet werden. Es wird lediglih eine Motivation für diesen Ansatz gegeben: Energie und Impuls harakterisieren die Bewegung eines Massenpunktes. Dieser hat als einzigen Parameter die Ruhemasse m. Laut Einstein ist die einzige physikalish wihtige Konstante die Lihtgeshwindigkeit. Also müssen diese beiden Dinge miteinander in Verbindung gebraht werden, was durh obigen Ansatz geshieht. B) Träge Masse Eine Verbindung zwishen Kinematik (x µ (τ),u µ (τ)) und der Dynamik ( E,p ) ist gegeben durh: Also tauht die träge Masse: Ansatz wie bei Newton: p µ = mu µ (2.56) womit gilt: p µ p µ = m 2 u µ u µ = m 2 (2.57) ( ) ( ) und folgt: p µ m = = γm (2.58) v v 1 v2 m(v) := mγ(v) = m 1 v2 (2.59) im Impuls p µ = m(v) v und in der Energie E = m(v) auf, wenn der Massenpunkt die Geshwindigkeit v relativ zum Laborsystem hat. Bemerkung: Aus p µ µ = g µν p µ p ν folgt: Einstein she Bewegungsgleihung g µν p µ dpν dτ = 0 (2.60) A) Minkowski-Kraft F µ Die Definition der Minkowski-Kraft folgt in Analogie zur Newton shen Mehanik (nur

23 2.6. EINSTEINSCHE BEWEGUNGSGLEICHUNGEN 23 dass Vierervektoren genommen werden): d dτ pµ = F µ (2.61) Die eigenzeitlihe Änderung des Impulses erfolgt auf Grund einer Krafteinwirkung. Daraus und aus den Anfangsbedingungen folgt die Bahn des Massenpunktes. Bemerkung: Wegen (2.60) muss gelten: p µ F µ = mu µ F µ = g µν p µ d dτ pν = 0 u µ F µ = 0 (2.62) u 0 F 0 u 1 F 1 u 2 F 2 u 3 F 3 = 0 F 0 = 1 v F (2.63) 2.6 Einsteinshe Bewegungsgleihungen (A) Minkowski-Kraft In Analogie zu Newton: d p µ = F µ eigenzeitlihe Änderung des Impulses erfolgt aufgrund der Krafteinwirkung. dτ Daraus und aus den Anfangsbedingungen folgt die Bahn des MP. Wegen g µν p µ F ν = 0 muss gelten mv µ F µ = 0 Es ergibt sih: F 0 = 1 vf (B) Lorentz-Kraft Bsp. für F µ : Lorentz-Kraft beshreibt die Kraft, die em-felder auf Massenpunkt mit Ladung q ausübt. Motivation: prop zur Ladung F µ Lor = qf νµ v µ (2.64) muss durh Feldgrößen ausgedrükt werden (Aufgabe 31: Feldtensor F µν ) muss durh Teilhengrößen ausgedrükt werden (x µ v µ q µ geht niht, da das Ergebnis von der Wahl des KS-Ursprungs abhängen würde Lineare Auskopplung (einfahster Ansatz)

24 24 KAPITEL 2. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE F µ Lor = γq ( E v E + v B ) 0 Komponente Raumkomponenten (2.65) Wegen genauso: d dτ = γ d dt folgt d dt mγ2 = qev }{{} Leistung (2.66) d dt m(v)v = d dt m v = q(e + v B) (2.67) 1 v2 relativistishe Bewegungsgleihung für MP mit Ladung q in E und B Feldern Beispiel: Exp. Nahweis der relat. Bewegungsgleihung durh Ablenkung von e im statishen homogenen B-Feld bestätigt unseren Ausdruk für F Lor Synhrotron: Abbildung 2.14: Synhrotron Anfangsbed: v(0) = v 0ˆx B Kraft in Ebene senkreht zu B E = 0 m(v) d v = qv B (2.68) dt v(t) = v 0 (ˆx os ω L t ŷ sin ω L t) (2.69) mit ω L der Lamorfrequenz. Ansatz in Bewegungsgleihung: m(v 0 )v 0 ω L ( sin ωl t os ω L t ω L = Massenpunkt maht eine Kreisbahn mit Radius v 0 ω L ) ( ) sinωl t = qv 0 B osω L t qb m(v 0 ) = qb m (2.70) 1 v2 (2.71)