6. Aufgaben zur speziellen Relativitätstheorie

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1 6. Aufgaben zur speziellen Relatiitätstheorie Aufgabe : Inertialsysteme Der Ursprung des Koordinatensystems S sitzt am hinteren Ende eines x m langen, unten dunkel gefärbten Zuges, welher mit 7 km/h in positie x-rihtung fährt. Zur Zeit t t passiert S den Ursprung eines ruhenden Koordinatensystems S, welher sih am Ende eines ebenfalls m langen, hell gefärbten stehenden Zuges befindet. Formuliere die Ort-Zeit-Gleihung der Spitze x (t ) bzw. x (t) des bewegten Zuges im bewegten System S und im ruhenden System S. Zeihne ein ollständig beshriftetes Ort-Zeit-Diagramm für die ersten Sekunden a) om ruhenden System S aus betrahtet b) om bewegten System S aus betrahtet Zeihne die beiden Züge als helle bzw. dunkle Rehteke zu den Zeiten s, s, 3 s, 4 s und s in die Ort-Zeit-Diagramme ein. x S x S x Aufgabe : Die Lihtgeshwindigkeit a) Wie iele Kilometer legt die Erde auf ihrem Weg um die Sonne in 4, Stunden zurük, wenn man on einem Abstand on Millionen Kilometern ausgeht? b) Wie lange brauht das Liht für diese Streke? ) Um wie iele Sekunden erlängert sih die beobahtete Umlaufdauer des Jupitermondes Io gegenüber der Ruhemessung, wenn sih die Erde geradlinig om Jupiter weg bewegt? Aufgabe 3: Die Lihtgeshwindigkeit Reflektor a) Bei dem rehts skizzierten Drehspiegelersuh sind Reflektor und Laser jeweils 6 m weit on dem mit f 3 Umdrehungen pro Drehspiegel Minute rotierenden Drehspiegel entfernt. Um wie iele mm ist das reflektierte Bild om Laser ershoben, wenn die Lihtgeshwindigkeit 3 km/s beträgt? b) Bei der Drehspiegelmethode wird die Zeit indirekt über die Drehzahl des Spiegels bestimmt. Je langsamer sih der Spiegel dreht, desto genauer lässt sih seine Drehzahl einstellen. Zum Ausgleih benötigt man allerdings sehr lange Laufstreken: Wie shnell muss sih der Spiegel drehen, wenn man für 3 km/s bei einem Abstand on km zwishen Drehspiegel und Reflektor bzw. m zwishen Drehspiegel und Shirm eine Ablenkung on m erreihen will? Aufgabe 4: Minkowski-Diagramm und Uhrenabgleih S stehe in seinem Zug und sendet zur Zeit t ein Zeitsignal in beide Rihtungen aus. Vom hinteren Ende kommt die Antwort nah s, om orderen Ende aber erst nah 6 s. Wie lang ist der Zug und wie ist S om orderen Ende entfernt? Zeihne das Minkowski-Diagramm zu diesem Vorgang. Aufgabe : Minkowski-Diagramm und Uhrenabgleih S fliegt zur Zeit t t mit der Geshwindigkeit in positier x-rihtung an S orbei. S sendet zur Zeit t om Ursprung x ein Lihtsignal und zur Zeit t 6 s am Ort x, Lihtsekunden eine zweites Signal aus. Für S sind beide Signale am gleihen Ort ausgesandt worden. Wie groß ist die Geshwindigkeit on S? Aufgabe 6: Gleihzeitigkeit S bewegt sih mit, in positie x-rihtung und passiert S zur Zeit t t. Im selben Augenblik sendet S in beide Rihtungen eine Funksignal aus, welhes on S ausgesehen nah Sekunden gleihzeitig or und hinter S reflektiert wird. a) Formuliere die Ort-Zeit-Funktionen E(t) für S sowie für die beiden reflektierten Lihtstrahlen L (t) und L (t) aus der Siht on S in Sekunden s bzw. Lihtsekunden s. b) Berehne durh Gleihsetzen der entsprehenden Funktionen aus a), zu welhen Zeiten t und t und an welhen Orten x und x on S aus gesehen die reflektierten Signale wieder bei S eintreffen. ) Zeihne mit diesen Angaben ein Minkowski-Diagramm aus der Siht on S. d) Zeihne dann das entsprehende Minkowski-Diagramm aus der Siht on S. Aufgabe 7: Gleihzeitigkeit S fliegt zur Zeit t t mit der Geshwindigkeit in positier x-rihtung an S orbei. S sendet zur Zeit t om Ursprung x ein Lihtsignal und zur Zeit t 8 s am Ort x Lihtsekunden eine zweites Signal aus. Für S sind beide Signale gleihzeitig ausgesandt worden. Wie groß ist die Geshwindigkeit on S?

2 Aufgabe 8: Geometrie der Minkowski-Diagramme In den unten gezeihneten Dreieken ist tan(). Formuliere jeweils das Verhältnis der beiden beshrifteten Seien in Abhängigkeit on und. a) x b) ) x t Δt t t' t' x '/ x '/ t' Aufgabe 9: Zeitdilatation Ergänze den Lükentext und leite die Zeitdilatationsformel Δt Δt nah Pythagoras aus der Skizze her: Um die bewegte Zeiteinheit Δt mit der ruhende Zeiteinheit Δt zu ergleihen, nehmen wir die. Dimension senkreht zur Bewegungsrihtung zu Hilfe und setzen oraus, Δt dass Längenmaße in diese Rihtung unerändert bleiben. Im Ursprung on S wird dazu ein Lihtsekunde hoher Mast aufgebaut, der zur Zeit t t den Ursprung on S passiert. Im selben Augenblik sendet S ein Funksignal on der Mastspitze ab. In S Δt sind eine Reihe on synhronisierten Uhren angebraht, an denen der Fuß des Mastes Δt nun orbeirast. Wenn für S eine Zeitspanne on Δt Sekunde ergangen ist, erreiht das Funksignal den Mastfuß und on aus betrahtet gleihzeitig eine der synhronisierten Uhren, welhe dann die Zeit Δt anzeigt. Das Funksignal hat dann on aus betrahtet die diagonale Streke Δt zum Mastfuß zurükgelegt und on aus betrahtet die Streke Δt senkreht zur Bewegungsrihtung. Dies ist die Folge der gleihen Lihtgeshwindigkeit in allen Inertialsystemen. In Bewegungsrihtung entlang der Reihe synhronisierter Uhren hat der Mast die Streke zurükgelegt. Aufgabe : Zeitdilatation Die Uhr on S fliegt mit,6 an einer Reihe synhronisierter Uhren on S orbei. Bei t s zeigt die gerade passierte ruhende Uhr t 3 s. Bei t wird eine weitere ruhende Uhr mit t 8 s passiert. Berehne t und zeihne das Minkowski- Diagramm für diesen Vorgang. Aufgabe : Zeitdilatation S bewegt sih mit,8 in positie x-rihtung und passiert S zur Zeit t t. Beantworte die folgenden Fragen jeweils sowohl rehnerish als auh zeihnerish in einem Minkowski-Diagramm. Gib außerdem jeweils an, auf welhes System sih die Gleihzeitigkeit bezieht. a) Welhe Zeit zeigt die Uhr on S, wenn in S die Zeit t 3 s angezeigt wird? b) Welhe Zeit zeigt die Uhr on S, wenn in S die Zeit t 3 s angezeigt wird? ) Welhe Zeit zeigt die Uhr on S, wenn in S die Zeit t s angezeigt wird? d) Welhe Zeit zeigt die Uhr on S, wenn in S die Zeit t s angezeigt wird? Aufgabe : Zeitdilatation Ruhende Pionen haben eine Halbwertszeit on T / 6 ns: Nah 6 ns ist jeweils die Hälfte on ihnen wieder zerfallen. Nah ns ist dann nur noh ein Viertel on ihnen übrig, nah 78 ns ein Ahtel usw. Verwendet man bei der Erzeugung der Pionen durh Beshuss on Atomkernen genügend energiereihe Strahlung, so erhalten sie eine Geshwindigkeit on,9999. Der Nahweis on Pionen erfolgt mit einer Blasenkammer, in der sie bei der Kollision mit anderen Teilhen typishe Spuren hinterlassen. a) Bestimme die Halbwertszeit dieser shnellen Pionen im Laborsystem. b) Zeige, dass die Pionen für die m lange Streke zwishen Reaktor und Blasenkammer nur,8 % der Halbwertszeit aus a) benötigen. Fast alle on ihnen erreihen also die Blasenkammer. ) Wie iel Prozent der Pionen wäre noh übrig, wenn sie die unter b) berehnete Laufzeit in Ruhe erbringen würden?

3 Aufgabe 3: Zeitdilatation Ein Raumshiff S fliegt mit,8 on der Erde weg, die es zur Zeit t t passiert hat. Die Uhren des Raumshiffes zeigen t 3 Minuten an, als es eine Raumstation passiert, deren Uhren Erdzeit anzeigen und die relati zur Erde ruht. a) Zeihne das Minkowski-Diagramm. b) Welhe Zeit zeigt die Uhr der Raumstation bei dem Treffen an? ) Wie groß ist die Entfernung x zwishen Erde und Raumstation on diesen aus betrahtet? d) Die Raumstation meldet das Treffen an die Erde. Wann trifft diese Meldung dort ein? Aufgabe 4: Zwillingsparadoxon Paul fliegt mit,8 zu einem 4 Lihtjahre entfernten Stern, maht shnell ein Erinnerungsfoto und kehrt mit,8 wieder zur Erde zurük. Dort hat sein Zwillingsbruder Peter Jahre auf ihn gewartet. Paul hat jedes Jahr seiner Zeitrehnung einen Geburtstagsgruß an Peter geshikt. Zeihne ein Minkowski-Diagramm mit allen Geburtstagsgrüßen und bestimme Pauls Alter bei seiner Rükkehr. Aufgabe : Dopplereffekt Einem Raumshiff S, welhes sih mit der konstanten Geshwindigkeit on der Erde S wegbewegt, werden in periodishen Abständen T Radiosignale hinterhergesandt und on diesem wieder zur Erde zurükgesandt. Zeihne ein Minkowski- Diagramm für T s und,6 im Bereih t s und s s und trage die Orts-Zeit-Linien für zwei aufeinanderfolgenden Radiosignale ein. Zeige, dass a) die Signale aus der Siht der Erde in Perioden on T T bei dem Raumshiff ankommen. b) die Signale aus der Siht des Raumshiffes in Perioden on T T bei dem Raumshiff ankommen. ) die Signale aus der Siht der Erde in Perioden on T T auf der Erde ankommen. Aufgabe 6: Längenkontraktion Wie weit ist die Laufstreke für die Pionen aus Aufgabe? Aufgabe 7: Längenkontraktion Ein Lihtsekunden langer Zug S fährt mit, durh einen ebenfalls Lihtsekunden langen Bahnsteig S, so dass das Zugende x zur Zeit t t das Bahnsteigende x passiert. a) Zeihne jeweils ein Minkowski-Diagramm aus der Siht des Bahnsteigendes und aus der Siht des Zugendes. b) Entlang des Bahnsteiges steht eine Reihe synhronisierter Uhren. An welher Stelle x steht die Uhr, die zur Zeit t on der der Zugspitze passiert wird? ) An der Zugspitze befindet sih ebenfalls eine synhronisierte Uhr. Welhe Stelle x 3 auf dem Bahnsteig pasiert diese Uhr zur Zeit t? Aufgabe 8: Lorentz-Transformationen S bewegt sih in positie x-rihtung mit der Geshwindigkeit, zum S-System, so dass die Ursprünge der Koordinatensysteme zur Zeit t t in Dekung sind. Im S -System blitzen die Lampe am Ort x 6 km zur Zeit t 4 s und die Lampe am Ort x 4 6 km zur Zeit t 4 s auf. Berehne die Orte x und x sowie die Zeiten t und t für diese Ereignisse im S-System. Zeihne das Minkowski-Diagramm aus der Siht on S. Aufgabe 9: Lorentz-Transformationen S bewegt sih in positie x-rihtung mit der Geshwindigkeit,6 zum S-System, so dass die Ursprünge der Koordinatensysteme zur Zeit t t 6. Uhr in Dekung sind. S beobahtet zur Zeit t 6.4 Uhr an Ort x 8 7 km eine Explosion. Berehne den Ort x und die Zeit t der Explosion on S aus gesehen. a) mit der Galilei-Transformation b) mit der Lorentz-Transformation Aufgabe : Lorentz-Transformationen Der Einstein-Zug S bewegt sih in positie x-rihtung mit der Geshwindigkeit,6 zum Bahnhof S, so dass die Ursprünge der Koordinatensysteme am Zugende (x ) bzw. der hinteren Bahnsteigkante (x ) zur Zeit t t in Dekung sind. S gibt zur Zeit t einen Shuss in positie x -Rihtung auf die Lokomotie ab. Er stellt fest, dass das Geshoss eine Geshwindigkeit on u,8 hat und in die Lokomotie einshlägt. Anshließend bestimmt er die Länge des Zuges zu s 3 Lihtsekunden. a) Stelle den Vorgang im Minkowski-Digramm dar. b) Welhe Zuglänge s misst S? ) Welhe Laufzeit Δt misst S für das Geshoss? d) Welhe Geshwindigkeit u misst S für das Geshoss? 3

4 Aufgabe : Relatiistishe Massenzunahme und Masse-Energie-Äquialenz Ein Fusionsreaktor ist eine kleine Sonne, welhe in einer ersten Reaktion Wasserstoffkerne zu Heliumkernen ershmilzt, die dann eine geringfügig kleinere Ruhemasse haben als die ursprünglihen Wasserstoffkerne. Welhe Masse m würde solh ein Reaktor erbrauhen, um die 6 Liter Wasser eines Swimming-Pools on 4 C auf C zu erwärmen? Die spezifishe J Wärmekapazität des Wassers ist 4,. kg K Aufgabe : Relatiistishe Massenzunahme und Masse-Energie-Äquialenz Die Antenne einer Rundfunkstation strahlt ohne Unterbrehung mit der Leistung P W. Welhes Massenäquialent hat die im Laufe eines Tages abgestrahlte Energie Aufgabe 3: Relatiistishe Massenzunahme und Masse-Energie-Äquialenz Mit einem großen Laser kann man einen sharf gebündelten Lihtblitz mit der Energie on J erzeugen. Zeige, dass der Impuls des Lihtblitzes genauso groß ist wie der Impuls einer mit km/h fliegenden und, mg shweren Eisensplitters. Aufgabe 4: Relatiistishe Massenzunahme und Masse-Energie-Äquialenz Um welhen Faktor erhöht sih die Halbwertszeit ( Lebenserwartung) on Pionen mit der Ruhemasse m, 8 kg, die auf eine Energie on 3 MeV beshleunigt wurden? Aufgabe : Relatiistishe Massenzunahme und Masse-Energie-Äquialenz Die Geshwindigkeit eines Körpers relati zum System S ist so groß, dass dieser eine um % erkürzte Länge des Körpers feststellt Mit wie iel Prozent der Lihtgeshwindigkeit bewegt sih der Körper und wie iel Prozent Massenzuwahs stellt S fest? 4

5 6. Lösungen zu den Aufgaben zur speziellen Relatiitätstheorie Aufgabe : Inertialsysteme a) b) x/m x /m x m t t /s x m x /m x/m x m t /s x m t Aufgabe : Die Lihtgeshwindigkeit a) Δs 9,4 Mio km b) Δt 6,7 Sekunden ) ebenfalls um Δt 6,7 Sekunden, denn die minimale Eigenbewegung der Erde in dieser Zeit ist ernahlässigbar. Aufgabe 3: Die Lihtgeshwindigkeit 6 m a) Für Hin- und Rükweg zwishen Drehspiegel und Reflektor benötigt das Liht Δt 4 ns. In dieser 3 m / s Zeit hat sih der Drehspiegel und Δφ ω Δt π 4 8 4π 6 rad weiter gedreht. Der Strahl wird nah dem Reflexionsgesetz um Δφ gedreht. Der Bogen auf dem Radius on 6 m ist Δs r Δφ 48π 4 m, m. 3 km b) Die Laufzeit zwishen Drehspiegel und Reflektor ist Δt 3 km / s, ms. Der Ablenkwinkel ist Δφ s r, rad. Der erforderlihe Winkelgeshwindigkeit des Drehspiegels ist damit ω 8 s 48 Umdrehungen pro Minute. t rad/s und die Frequenz f Aufgabe 4: Minkowski-Diagramm und Uhrenabgleih S steht 3 Lihtsekunden 9 km om orderen Ende des, Lihtsekunden langen Zuges entfernt: Aufgabe : Minkowski-Diagramm und Uhrenabgleih x t. Aufgabe 6: Gleihzeitigkeit a) E(t), t; L (t) t + 4 und L (t) t 4. b) L trifft E zur Zeit t 3,3 s am Ort x,6 s. L trifft E zur Zeit t s am Ort x s. ) siehe links d) siehe rehts x x x x/ s x t t t t

6 Aufgabe 7: Gleihzeitigkeit Die Linien gleiher Zeit sind um tan 8 s tan (,8) zur Senkrehten geneigt. Die Linien gleihen Ortes sind um s den gleihen Winkel zur Waagrehten geneigt. Die Geshwindigkeit ist also,8. Aufgabe 8: Geometrie der Minkowski-Diagramme a) t' b b) t' x '/ a ) x '/ t' a Aufgabe 9: Zeitdilatation Um die bewegte Zeiteinheit Δt mit der ruhende Zeiteinheit Δt zu ergleihen, nehmen wir die. Dimension senkreht zur Bewegungsrihtung zu Hilfe und setzen oraus, dass Längenmaße in diese Rihtung unerändert bleiben. Im Ursprung on S wird dazu ein Lihtsekunde hoher Mast aufgebaut, der zur Zeit t t den Ursprung on S passiert. Im selben Augenblik sendet S ein Funksignal on der Mastspitze ab. In S sind eine Reihe on synhronisierten Uhren angebraht, an denen der Fuß des Mastes nun orbeirast. Wenn für S eine Zeitspanne on Δt Sekunde ergangen ist, erreiht das Funksignal den Mastfuß und on S aus betrahtet gleihzeitig eine der synhronisierten Uhren, welhe dann die Zeit Δt anzeigt. Das Funksignal hat dann on S aus betrahtet die diagonale Streke Δt zum Mastfuß zurükgelegt und on S aus betrahtet die Streke Δt senkreht zur Bewegungsrihtung. Dies ist die Folge der gleihen Lihtgeshwindigkeit in allen Inertialsystemen. In Bewegungsrihtung entlang der Reihe synhronisierter Uhren hat der Mast die Streke Δt zurükgelegt. Δt Δt Δt Nah Pythagoras ist ( Δt) ( Δt) + ( Δt ) ( t) ( t ') Δt Δt Aufgabe : Zeitdilatation Δt t x/ s s,8 4 s t 6 s. x / s Aufgabe : Zeitdilatation a) t,8 s : gleihzeitig bezogen auf S b) t,8 s: gleihzeitig bezogen auf S ) t 3 s : gleihzeitig bezogen auf S d) t 3 s: gleihzeitig bezogen auf S x/ s x / s Aufgabe : Zeitdilatation a) T / T /,6 μs b) Δt 333, ns,8 T /. ) Ihre Zahl würde Δt/T / 3 mal naheinander halbiert werden und wäre dann auf geshrumpft! ,, % Aufgabe 3: Zeitdilatation a) siehe rehts b) t Minuten ) x t 4 Lihtminuten 4 x/ min x / min t /min d) t 3 t + x 9 Minuten t/min 6

7 Zugende Lok Aufgabe 4: Zwillingsparadoxon siehe rehts: Paul ist nur um 6 Jahre älter geworden. Da er sein Bezugssystem bei der Umkehr gewehselt hat, sind die Bezugssysteme niht mehr gleihberehtigt bzw. symmetrish! x (Rükfahrt) t (Rükfahrt) x/ a x (Hinfahrt) t (Hinfahrt) Aufgabe : Dopplereffekt a) Das Radiosignal x (t) (t T ) trifft das Raumshiff x (t) t für x (T ) x (T ) (T T ) T t/a T T. s/ a s / a t/ a b) Auf dem Raumshiff gehen die Uhren langsamer: T T T. ) Das reflektierte Radiosignal startet zur Zeit T am Ort T mit der Geshwindigkeit nah der Ort- Zeit-Funktion x 3 (t) (t T ) + T t + ( + ) T und erreiht die Erde für x 3 (T ) T T T ( + )T T T T. T T t/a Aufgabe 6: Längenkontraktion m x/ s 3 x / s Aufgabe 7: Längenkontraktion a) siehe rehts b) x,3 s (Gleihzeitigkeit in S) ) x 3,73 s (Gleihzeitigkeit in S ) orderes Bahnsteigende x x 3 Aufgabe 8: Lorentz-Transformationen 4,968; hinteres Bahnsteigende 3 mit x 6, 6 s und x 3, 3 s x 7, s und x, s t t 43 s. Minkowski-Diagramm: siehe unten: x/ s x / s x/ s x / s 3 t t x

8 Aufgabe 9: Lorentz-Transformationen a) x 3,68 7 km und t 6.4 Uhr b),8 mit t 4 s und x 66, 6 s t s und x 3, 3 s 4,6 7 km und t 6. Uhr und 4 Sekunden Aufgabe : Lorentz-Transformationen a) siehe rehts b),8 Zuglänge s,8 s,4 Lihtsekunden ) Die Laufzeit für S ist t s' 3,7 Sekunden u' x ' t ' Für S ist die Laufzeit Δt t 3,7,63 s 6,96 s,8, x/ s x / s d) Das Geshoss ist on S aus betrahtet zur Zeit t 3,7 s am Ort x 3 s. Von S aus betrahtet steht die Uhr in diesem x ' ' t ' 3,63,7 Augenblik auf t 6,96 s und das Geshoss ist am Ort x s 6,6 s,8,8 Aufgabe : Relatiistishe Massenzunahme und Masse-Energie-Äquialenz m,838 mg Aufgabe : Relatiistishe Massenzunahme und Masse-Energie-Äquialenz m, 3 mg Aufgabe 3: Relatiistishe Massenzunahme und Masse-Energie-Äquialenz f, Aufgabe 4: Relatiistishe Massenzunahme und Masse-Energie-Äquialenz Der Eisensplitter hat den Impuls p m 7 kg 33, 3 m/s 6, 6 6 kg m/s. Der Lihtblitz hat den Impuls m m E J 3 m / s 6, 6 6 kg m/s. Aufgabe : Relatiistishe Massenzunahme und Masse-Energie-Äquialenz Er bewegt sih mit,6 und die Masse nimmt um % zu. 8