6. Aufgaben zur speziellen Relativitätstheorie

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1 6. Aufgaben zur speziellen Relaiiäsheorie Aufgabe : Inerialsyseme Der Ursprung des Koordinaensysems S siz am hineren Ende eines x = m langen, unen dunkel gefärben Zuges, welher mi = 7 km/h in posiie x-rihung fähr. Zur Zei = = passier S den Ursprung eines ruhenden Koordinaensysems S, welher sih am Ende eines ebenfalls m langen, hell gefärben sehenden Zuges befinde. Formuliere die Or-Zei-Gleihung der Spize x ( ) bzw. x () des bewegen Zuges im bewegen Sysem S und im ruhenden Sysem S. Zeihne ein ollsändig beshrifees Or-Zei-Diagramm für die ersen Sekunden a) om ruhenden Sysem S aus berahe b) om bewegen Sysem S aus berahe Zeihne die beiden Züge als helle bzw. dunkle Reheke zu den Zeien s, s, s, 4 s und s in die Or-Zei-Diagramme ein. x S x S x Aufgabe : Die Lihgeshwindigkei a) Wie iele Kilomeer leg die Erde auf ihrem Weg um die Sonne in 4, Sunden zurük, wenn man on einem Absand on Millionen Kilomeern ausgeh? b) Wie lange brauh das Lih für diese Sreke? ) Um wie iele Sekunden erlänger sih die beobahee Umlaufdauer des Jupiermondes Io gegenüber der Ruhemessung, wenn sih die Erde geradlinig om Jupier weg beweg? Aufgabe : Die Lihgeshwindigkei Reflekor a) Bei dem rehs skizzieren Drehspiegelersuh sind Reflekor und Laser jeweils 6 m wei on dem mi f = Umdrehungen pro Drehspiegel Minue roierenden Drehspiegel enfern. Um wie iele mm is das reflekiere Bild om Laser ershoben, wenn die Lihgeshwindigkei = km/s beräg? b) Bei der Drehspiegelmehode wird die Zei indirek über die Drehzahl des Spiegels besimm. Je langsamer sih der Spiegel dreh, deso genauer läss sih seine Drehzahl einsellen. Zum Ausgleih benöig man allerdings sehr lange Laufsreken: Wie shnell muss sih der Spiegel drehen, wenn man für km/s bei einem Absand on km zwishen Drehspiegel und Reflekor bzw. m zwishen Drehspiegel und Shirm eine Ablenkung on m erreihen will? Aufgabe 4: Minkowski-Diagramm und Uhrenabgleih S sehe in seinem Zug und sende zur Zei = ein Zeisignal in beide Rihungen aus. Vom hineren Ende komm die Anwor nah s, om orderen Ende aber ers nah 6 s. Wie lang is der Zug und wie is S om orderen Ende enfern? Zeihne das Minkowski-Diagramm zu diesem Vorgang. Aufgabe : Orslinien ( -Ahse) S flieg zur Zei = = mi der Geshwindigkei in posiier x-rihung an S orbei. S sende zur Zei = om Ursprung x = ein Lihsignal und zur Zei = 6 s am Or x =, Lihsekunden eine zweies Signal aus. Für S sind beide Signale am gleihen Or ausgesand worden. Wie groß is die Geshwindigkei on S? Aufgabe 6: Gleihzeiigkei und Neigung der Zeiahse des bewegen Sysems S beweg sih mi =, in posiie x-rihung und passier S zur Zei = =. Im selben Augenblik sende S in beide Rihungen einen Lihbliz aus, welhes nah Sekunden on S aus gesehen gleihzeiig or und hiner S reflekier wird. a) Zeihne die Minkowski-Diagramme für S und für S zu diesem Vorgang und konsruiere geomerish die ausgehenden bzw. reflekieren Lihsrahlen. Besimme geomerish die Ore der beiden Spiegel und die Zeien, zu denen die Lihblize reflekier wurden b) Zeige jeweils anhand der aus den ier Lihsrahlen gebildeen Reheke, dass die Orsahse x (Linie gleiher Zeien in S ) jeweils um den gleihen Winkel zur Orsahse x (Linie gleiher Zeien in S) geneig is wie die Zeiahse (Linie gleiher Ore in S ) zur Zeiahse (Linie gleiher Ore in S). ) Zeihne jeweils die Orsahse in der rihigen Neigung ein. Aufgabe 7: Gleihzeiigkei und Neigung der Zeiahse des bewegen Sysems S flieg zur Zei = = mi der Geshwindigkei in posiier x-rihung an S orbei. S sende zur Zei = om Ursprung x = ein Lihsignal und zur Zei = 8 s am Or x = Lihsekunden eine zweies Signal aus. Für S sind beide Signale gleihzeiig ausgesand worden. Wie groß is die Geshwindigkei on S?

2 Aufgabe 8: Zeidilaaion. Herleiung In dem rehs gezeihneen Minkowski-Diagramm is an(α) =. Von S aus gleihzeiig berahe, seh die Uhr on S auf und die Uhr on S auf = f. Von S aus gleihzeiig berahe, seh die Uhr on S auf = f und die Uhr on S auf = f = f Besimme den Lorenz-Fakor f = mi Hilfe der Seienerhälnisse des ensprehenden Dreieks im Abshni 6.. x α x α = f Aufgabe 9: Zeidilaaion. Herleiung Ergänze den Lükenex und leie die Zeidilaaionsformel Δ = Δ nah Pyhagoras aus der Skizze her: Um die bewege Zeieinhei Δ mi der ruhende Zeieinhei Δ zu ergleihen, nehmen wir die. Dimension senkreh zur Bewegungsrihung zu Hilfe und sezen oraus, Δ dass Längenmaße in diese Rihung uneränder bleiben. Im Ursprung on S wird dazu ein Lihsekunde hoher Mas aufgebau, der zur Zei = = den Ursprung on S passier. Im selben Augenblik sende S ein Funksignal on der Masspize ab. In S Δ sind eine Reihe on synhronisieren Uhren angebrah, an denen der Fuß des Mases Δ nun orbeiras. Wenn für S eine Zeispanne on Δ = Sekunde ergangen is, erreih das Funksignal den Masfuß und on aus berahe gleihzeiig eine der synhronisieren Uhren, welhe dann die Zei Δ anzeig. Das Funksignal ha dann on aus berahe die diagonale Sreke Δ zum Masfuß zurükgeleg und on aus berahe die Sreke Δ senkreh zur Bewegungsrihung. Dies is die Folge der gleihen Lihgeshwindigkei in allen Inerialsysemen. In Bewegungsrihung enlang der Reihe synhronisierer Uhren ha der Mas die Sreke zurükgeleg. Aufgabe : Zeidilaaion Die Uhr on S flieg mi =,6 an einer Reihe synhronisierer Uhren on S orbei. Bei = s zeig die gerade passiere ruhende Uhr = s. Bei wird eine weiere ruhende Uhr mi = 8 s passier. Berehne und zeihne das Minkowski- Diagramm für diesen Vorgang. Aufgabe : Zeidilaaion S beweg sih mi =,8 in posiie x-rihung und passier S zur Zei = =. Beanwore die folgenden Fragen jeweils sowohl rehnerish als auh zeihnerish in einem Minkowski-Diagramm. Gib außerdem jeweils an, auf welhes Sysem sih die Gleihzeiigkei bezieh. a) Welhe Zei zeig die Uhr on S, wenn in S die Zei = s angezeig wird? b) Welhe Zei zeig die Uhr on S, wenn in S die Zei = s angezeig wird? ) Welhe Zei zeig die Uhr on S, wenn in S die Zei = s angezeig wird? d) Welhe Zei zeig die Uhr on S, wenn in S die Zei = s angezeig wird? Aufgabe : Zeidilaaion Ruhende Pionen haben eine Halbwerszei on T / = 6 ns: Nah 6 ns is jeweils die Hälfe on ihnen wieder zerfallen. Nah ns is dann nur noh ein Vierel on ihnen übrig, nah 78 ns ein Ahel usw. Verwende man bei der Erzeugung der Pionen durh Beshuss on Aomkernen genügend energiereihe Srahlung, so erhalen sie eine Geshwindigkei on =,9999. Der Nahweis on Pionen erfolg mi einer Blasenkammer, in der sie bei der Kollision mi anderen Teilhen ypishe Spuren hinerlassen. a) Besimme die Halbwerszei dieser shnellen Pionen im Laborsysem. b) Zeige, dass die Pionen für die m lange Sreke zwishen Reakor und Blasenkammer nur,8 % der Halbwerszei aus a) benöigen. Fas alle on ihnen erreihen also die Blasenkammer. ) Wie iel Prozen der Pionen wäre noh übrig, wenn sie die uner b) berehnee Laufzei in Ruhe erbringen würden?

3 Aufgabe : Zeidilaaion Ein Raumshiff S flieg mi =,8 on der Erde weg, die es zur Zei = = passier ha. Die Uhren des Raumshiffes zeigen = Minuen an, als es eine Raumsaion passier, deren Uhren Erdzei anzeigen und die relai zur Erde ruh. a) Zeihne das Minkowski-Diagramm. b) Welhe Zei zeig die Uhr der Raumsaion bei dem Treffen an? ) Wie groß is die Enfernung x zwishen Erde und Raumsaion on diesen aus berahe? d) Die Raumsaion melde das Treffen an die Erde. Wann riff diese Meldung dor ein? Aufgabe 4: Zwillingsparadoxon Paul flieg mi =,8 zu einem 4 Lihjahre enfernen Sern, mah shnell ein Erinnerungsfoo und kehr mi =,8 wieder zur Erde zurük. Dor ha sein Zwillingsbruder Peer Jahre auf ihn geware. Paul ha jedes Jahr seiner Zeirehnung einen Gebursagsgruß an Peer geshik. Zeihne ein Minkowski-Diagramm mi allen Gebursagsgrüßen und besimme Pauls Aler bei seiner Rükkehr. Aufgabe : Dopplereffek Einem Raumshiff S, welhes sih mi der konsanen Geshwindigkei on der Erde S wegbeweg, werden in periodishen Absänden T Radiosignale hinerhergesand und on diesem wieder zur Erde zurükgesand. Zeihne ein Minkowski- Diagramm für T = s und =,6 im Bereih s und s s und rage die Ors-Zei-Linien für zwei aufeinanderfolgenden Radiosignale ein. Zeige, dass a) die Signale aus der Sih der Erde in Perioden on T = T bei dem Raumshiff ankommen. b) die Signale aus der Sih des Raumshiffes in Perioden on T = T bei dem Raumshiff ankommen. ) die Signale aus der Sih der Erde in Perioden on T = T auf der Erde ankommen. Aufgabe 6: Längenkonrakion Wie wei is die Laufsreke für die Pionen aus Aufgabe? Aufgabe 7: Längenkonrakion Ein Lihsekunden langer Zug S fähr mi =, durh einen ebenfalls Lihsekunden langen Bahnseig S, so dass das Zugende x = zur Zei = = das Bahnseigende x = passier. a) Zeihne jeweils ein Minkowski-Diagramm aus der Sih des Bahnseigendes und aus der Sih des Zugendes. b) Enlang des Bahnseiges seh eine Reihe synhronisierer Uhren. An welher Selle x seh die Uhr, die zur Zei = on der der Zugspize passier wird? ) An der Zugspize befinde sih ebenfalls eine synhronisiere Uhr. Welhe Selle x auf dem Bahnseig pasier diese Uhr zur Zei =? Aufgabe 8: Lorenz-Transformaionen S beweg sih in posiie x-rihung mi der Geshwindigkei =, zum S-Sysem, so dass die Ursprünge der Koordinaensyseme zur Zei = = in Dekung sind. Im S -Sysem blizen die Lampe am Or x = 6 km zur Zei = 4 s und die Lampe am Or x = 4 6 km zur Zei = 4 s auf. Berehne die Ore x und x sowie die Zeien und für diese Ereignisse im S-Sysem. Zeihne das Minkowski-Diagramm aus der Sih on S. Aufgabe 9: Lorenz-Transformaionen S beweg sih in posiie x-rihung mi der Geshwindigkei =,6 zum S-Sysem, so dass die Ursprünge der Koordinaensyseme zur Zei = = 6. Uhr in Dekung sind. S beobahe zur Zei = 6.4 Uhr an Or x = 8 7 km eine Explosion. Berehne den Or x und die Zei der Explosion on S aus gesehen. a) mi der Galilei-Transformaion b) mi der Lorenz-Transformaion Aufgabe : Lorenz-Transformaionen Der Einsein-Zug S beweg sih in posiie x-rihung mi der Geshwindigkei =,6 zum Bahnhof S, so dass die Ursprünge der Koordinaensyseme am Zugende (x = ) bzw. der hineren Bahnseigkane (x = ) zur Zei = = in Dekung sind. S gib zur Zei = einen Shuss in posiie x -Rihung auf die Lokomoie ab. Er sell fes, dass das Geshoss eine Geshwindigkei on u =,8 ha und in die Lokomoie einshläg. Anshließend besimm er die Länge des Zuges zu s = Lihsekunden. a) Selle den Vorgang im Minkowski-Digramm dar. b) Welhe Zuglänge s miss S? ) Welhe Laufzei Δ miss S für das Geshoss? d) Welhe Geshwindigkei u miss S für das Geshoss?

4 Aufgabe : Relaiisishe Massenzunahme und Masse-Energie-Äquialenz Ein Fusionsreakor is eine kleine Sonne, welhe in einer ersen Reakion Wassersoffkerne zu Heliumkernen ershmilz, die dann eine geringfügig kleinere Ruhemasse haben als die ursprünglihen Wassersoffkerne. Welhe Masse m würde solh ein Reakor erbrauhen, um die 6 Lier Wasser eines Swimming-Pools on 4 C auf C zu erwärmen? Die spezifishe J Wärmekapaziä des Wassers is = 4,. kg K Aufgabe : Relaiisishe Massenzunahme und Masse-Energie-Äquialenz Die Anenne einer Rundfunksaion srahl ohne Unerbrehung mi der Leisung P = W. Welhes Massenäquialen ha die im Laufe eines Tages abgesrahle Energie Aufgabe : Relaiisishe Massenzunahme und Masse-Energie-Äquialenz Mi einem großen Laser kann man einen sharf gebündelen Lihbliz mi der Energie on J erzeugen. Zeige, dass der Impuls des Lihblizes genauso groß is wie der Impuls einer mi km/h fliegenden und, mg shweren Eisenspliers. Aufgabe 4: Relaiisishe Massenzunahme und Masse-Energie-Äquialenz Um welhen Fakor erhöh sih die Halbwerszei ( Lebenserwarung) on Pionen mi der Ruhemasse m =, 8 kg, die auf eine Energie on MeV beshleunig wurden? Aufgabe : Relaiisishe Massenzunahme und Masse-Energie-Äquialenz Die Geshwindigkei eines Körpers relai zum Sysem S is so groß, dass dieser eine um % erkürze Länge des Körpers fessell Mi wie iel Prozen der Lihgeshwindigkei beweg sih der Körper und wie iel Prozen Massenzuwahs sell S fes? 4

5 6. Lösungen zu den Aufgaben zur speziellen Relaiiäsheorie Aufgabe : Inerialsyseme a) b) x/m x /m x = m /s x = m x /m x/m x = m /s x = m Aufgabe : Die Lihgeshwindigkei a) Δs 9,4 Mio km b) Δ 6,7 Sekunden ) ebenfalls um Δ 6,7 Sekunden, denn die minimale Eigenbewegung der Erde in dieser Zei is ernahlässigbar. Aufgabe : Die Lihgeshwindigkei 6 m a) Für Hin- und Rükweg zwishen Drehspiegel und Reflekor benöig das Lih Δ = = 4 ns. In dieser m / s Zei ha sih der Drehspiegel und Δφ = ω Δ = π 4 8 = 4π 6 rad weier gedreh. Der Srahl wird nah dem Reflexionsgesez um Δφ gedreh. Der Bogen auf dem Radius on 6 m is Δs = r Δφ = 48π 4 m, m. km b) Die Laufzei zwishen Drehspiegel und Reflekor is Δ = km / s =, ms. Der Ablenkwinkel is Δφ = s = r, rad. Der erforderlihe Winkelgeshwindigkei des Drehspiegels is dami ω = 8 s = 48 Umdrehungen pro Minue. x/ s = rad/s und die Frequenz f = Aufgabe 4: Minkowski-Diagramm und Uhrenabgleih S seh Lihsekunden = 9 km om orderen Ende des, Lihsekunden langen Zuges enfern: Aufgabe : Orslinien ( -Ahse) x = =. Aufgabe 6: Gleihzeiigkei und Neigung der Zeiahse des bewegen Sysems Die Lihsrahlen bilden ein Rehek, dessen Diagonalen parallel zur Zeiahse (Linien gleihen Ores in S ) bzw. zur Orsahse x (Linien gleiher Zei in S ) liegen. Die beiden Diagonalen haben den gleihen Neigungswinkel zu den Lihsrahlen, welhe ihrerseis den gleihen Neigungswinkel on 4 x x zur waagrehen Zeiahse bzw. zur senkrehen Orsahse x haben. Die beiden Diagonalen x bzw. sind also um den gleihen Winkel zur x- bzw. -Ahse geneig.. Von S aus gesehen: S flieg in posiie x- Rihung: linkes Bild. Von S aus gesehen: S flieg in negaie x - Rihung: rehes Bild. x x

6 Aufgabe 7: Gleihzeiigkei Die Linien gleiher Zei sind um α = an 8 s = an (,8) zur Senkrehen geneig. Die Linien gleihen Ores sind um s den gleihen Winkel zur Waagrehen geneig. Die Geshwindigkei is also =,8. Aufgabe 8: Geomerie der Minkowski-Diagramme Aus dem Diagramm in Abshni 6. folg b = bzw. b = (siehe rehs) Mi den Bezeihnungen in dem ähnlihen Dreiek aus der Aufgabensellung ergib sih das Verhälnis = b = = =. Wegen = f = f erhäl man f = f =. x/ α x / α b Aufgabe 9: Zeidilaaion Um die bewege Zeieinhei Δ mi der ruhende Zeieinhei Δ zu ergleihen, nehmen wir die. Dimension senkreh zur Bewegungsrihung zu Hilfe und sezen oraus, dass Längenmaße in diese Rihung uneränder bleiben. Im Ursprung on S wird dazu ein Lihsekunde hoher Mas aufgebau, der zur Zei = = den Ursprung on S passier. Im selben Augenblik sende S ein Funksignal on der Masspize ab. In S sind eine Reihe on synhronisieren Uhren angebrah, an denen der Fuß des Mases nun orbeiras. Wenn für S eine Zeispanne on Δ = Sekunde ergangen is, erreih das Funksignal den Masfuß und on S aus berahe gleihzeiig eine der synhronisieren Uhren, welhe dann die Zei Δ anzeig. Das Funksignal ha dann on S aus berahe die diagonale Sreke Δ zum Masfuß zurükgeleg und on S aus berahe die Sreke Δ senkreh zur Bewegungsrihung. Dies is die Folge der gleihen Lihgeshwindigkei in allen Inerialsysemen. In Bewegungsrihung enlang der Reihe synhronisierer Uhren ha der Mas die Sreke Δ zurükgeleg. Δ Δ Δ Nah Pyhagoras is ( Δ) = ( Δ) + ( Δ ) ( ) ( ') = Δ = Δ Aufgabe : Zeidilaaion Δ = = s,8 = 4 s = 6 s. x/ s x / s Aufgabe : Zeidilaaion a) =,8 s : gleihzeiig bezogen auf S b) =,8 s: gleihzeiig bezogen auf S ) = s : gleihzeiig bezogen auf S d) = s: gleihzeiig bezogen auf S /s x/ s x / s /s Aufgabe : Zeidilaaion a) T / T / =,6 μs b) Δ, ns =,8 T /. ) Ihre Zahl würde Δ/T / mal halbier werden und wäre dann auf 4 6, =, % geshrumpf! Aufgabe : Zeidilaaion a) siehe rehs b) = Minuen ) x = = 4 Lihminuen d) = + x 4 x/ min x / min /min = 9 Minuen /min 6

7 Zugende Lok Aufgabe 4: Zwillingsparadoxon siehe rehs: Paul is nur um 6 Jahre äler geworden. Da er sein Bezugssysem bei der Umkehr gewehsel ha, sind die Bezugssyseme nih mehr gleihberehig bzw. symmerish! x (Rükfahr) (Rükfahr) x/ a x (Hinfahr) (Hinfahr) Aufgabe : Dopplereffek a) Das Radiosignal x () = ( T ) riff das Raumshiff x () = für x (T ) = x (T ) (T T ) = T /a T = T. s/ a s / a / a b) Auf dem Raumshiff gehen die Uhren langsamer: T = T = T. ) Das reflekiere Radiosignal sare zur Zei T am Or T mi der Geshwindigkei nah der Or- Zei-Funkion x () = ( T ) + T = + ( + ) T und erreih die Erde für x (T ) = T T T = ( + )T T = T = T. T T /a Aufgabe 6: Längenkonrakion m x/ s x / s Aufgabe 7: Längenkonrakion a) siehe rehs b) x, s (Gleihzeiigkei in S) ) x,7 s (Gleihzeiigkei in S ) orderes Bahnseigende x x /s Aufgabe 8: Lorenz-Transformaionen = 4,968; hineres Bahnseigende mi x = 6, 6 s und x =, s x 7, s und x, s 4 s. Minkowski-Diagramm: siehe unen: x/ s x / s x/ s x / s /s x 4 /s 7

8 Aufgabe 9: Lorenz-Transformaionen a) x =,68 7 km und = 6.4 Uhr b) =,8 mi = 4 s und x = 66, 6 s = s und x =, s = 4,6 7 km und = 6. Uhr und 4 Sekunden Aufgabe : Lorenz-Transformaionen a) siehe rehs b) =,8 Zuglänge s =,8 s =,4 Lihsekunden ) Die Laufzei für S is = s' =,7 Sekunden u' x ' ' Für S is die Laufzei Δ = =,7,6 = s 6,96 s,8, x/ s x / s /s d) Das Geshoss is on S aus berahe zur Zei =,7 s am Or x = s. Von S aus berahe seh die Uhr in diesem x ' ' ',6,7 Augenblik auf = 6,96 s und das Geshoss is am Or x = = s 6,6 s,8,8 Aufgabe : Relaiisishe Massenzunahme und Masse-Energie-Äquialenz m =,88 mg Aufgabe : Relaiisishe Massenzunahme und Masse-Energie-Äquialenz m =, mg Aufgabe : Relaiisishe Massenzunahme und Masse-Energie-Äquialenz f =, Aufgabe 4: Relaiisishe Massenzunahme und Masse-Energie-Äquialenz Der Eisensplier ha den Impuls p = m = 7 kg, m/s = 6, 6 6 kg m/s. Der Lihbliz ha den Impuls m = m = E = J m / s = 6, 6 6 kg m/s. Aufgabe : Relaiisishe Massenzunahme und Masse-Energie-Äquialenz Er beweg sih mi =,6 und die Masse nimm um % zu. 8