1 Kinematik der geradlinigen Bewegung eines Punktes 1.1 Freier Fall; Geschwindigkeit, Fallzeit, kinematische Diagramme

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1 Inhal / Übersich der Aufgaben mi Lösungen XI Aufgabe Erläuerung "Info"-Bild Seie 1 1 Kinemaik der geradlinigen Bewegung eines Punkes 1.1 Freier Fall; Geschwindigkei, Fallzei, kinemaische Diagramme Bewegung on Zug und Kraffahrzeug; Kraffahrzeug 6 Geschwindigkei, Zei Zug 1.3 Geradlinige Bewegung eines Fahrzeugs; Geschwindigkei, kinemaische Diagramme 1.4 Auffahrunfall zweier Kraffahrzeuge; Zei, Geschwindigkei beim Aufprall 1.5 Zwei sich begegnende Körper auf parallelen Srecken; Zei, Seig- und Fallhöhe, Geschwindigkeien, kinemaisches Diagramm 1.6 Punkmasse über Seil an Gleisein gekoppel; Ors-, Geschwindigkeis-, Beschleunigungs-Zei- Funkion 1.7 Parallelprojekion einer Kreisbewegung; Or, Geschwindigkei, kinemaische Diagramme Kinemaik der krummlinigen Bewegung eines Punkes 2.1 Ebene Punkbewegung in Parameerdarsellung; Beschleunigungen, Krümmungsradius Bewegung des Schnipunkes zweier Geraden; 29 Geschwindigkeien, Bahngleichung des Schnipunkes 2.3 Räumliche Bahnkure; 30 Geschwindigkeien, Bahnkure

2 XII Inhal / Übersich der Aufgaben mi Lösungen Aufgabe Erläuerung "Info"-Bild Seie 2.4 Rollendes Rad auf horizonaler Unerlage; 32 Bahnkure, Geschwindigkei, Beschleunigung, Weg 2.5 Punkbewegung auf ebener Kure; Bahngeschwindigkei, Beschleunigung, Bahnkure 2.6 Ziehen eines Booes über einen Kanal; Bahnkure des Booes Kreisbewegung eines Punkes auf roierender Scheibe; Geschwindigkei, Beschleunigung Kreisbewegung eines Punkes; Geschwindigkei-Zei-Funkion 2.9 Kreisförmige Kurenfahr eines Zuges; Beschleunigungen Engegengeseze Punkbewegungen auf einer Kreisbahn; Beschleunigungen, Lage der Gesambeschleunigung, Or 2.11 Bremsscheibe; Anfangsdrehzahl, Winkelbeschleunigung, Verzögerung, Winkelgeschwindigkei 2.12 Schwungscheibe; Winkelbeschleunigung, Umdrehungen 2.13 Roierende Schleifenschwinge; Größe und Richung der Beschleunigung Roboer; Zylinderkoordinaen, Geschwindigkeisekor, Beschleunigungsekor 47

3 Inhal / Übersich der Aufgaben mi Lösungen XIII Aufgabe Erläuerung "Info"-Bild Seie 51 3 Kinemaik des sarren Körpers 3.1 Rechwinkliger Kreuzschieber; Geschwindigkei, Winkelgeschwindigkei, Winkelbeschleunigung Dreieckscheibe; Geschwindigkei, Momenanpol Beschleunige rollende Kreisscheibe; Beschleunigung und Beschleunigungserlauf Kee einer Planierraupe; Geschwindigkeien und Beschleunigungen 4 Kineik des Massenpunkes und der Massenpunksyseme Beispiel Massenpunk auf rauer schiefer Ebene; Geschwindigkei 4.1 Anschieben eines Auos; Beschleunigung 4.2 Anriebskraf einer Sraßenbahn; Anriebskraf, Anfahrweg 4.3 Ebene Massenpunkbewegung in Parameerdarsellung; erursachende Kräfe 4.4 Beschleunige Bewegung und schiefe Ebene; Beschleunigung, Seilkraf 4.5 Drei mieinander erbundene Massen; Beschleunigung, Seilkraf 4.6 Bremsung eines Krans; Ausschlagwinkel, Seilkraf

4 XIV Inhal / Übersich der Aufgaben mi Lösungen Aufgabe Erläuerung "Info"-Bild Seie 4.7 Fall eines Transporgus; 83 Fallhöhe 4.8 Massenpunk an kreisförmiger Wand; erforderliche Höhe Massenpunk auf rauer Unerlage; Geschwindigkei F Sprung aus einem fahrenden Boo; Geschwindigkeien Arbei eines Gepäckrägers; mechanische Arbei 4.12 Aufprall eines beladenen Wagens; erforderliche Geschwindigkei 4.13 Reibscheibenkupplung; Winkelgeschwindigkei, Energieerlus 4.14 Abbremsung auf rauer Unerlage; erforderlicher Reibungskoeffizien 4.15 Bewegung auf rauer schiefer Ebene; Geschwindigkei Reibungsfreie horizonale Bewegung eines Massenpunkes; Geschwindigkei 5 Kineik sarrer Körper Beispiel Walze auf geneiger Bahn; Geschwindigkei

5 Inhal / Übersich der Aufgaben mi Lösungen XV Aufgabe Erläuerung "Info"-Bild Seie 5.1 Roierender -förmig gebogener Körper; 112 Massenrägheismomene, Lagerkräfe 5.2 Massenrägheismomen on Kreisringsegmen mi konsaner Dicke; Massenrägheismomene 5.3 Massenrägheismomen einer homogenen Kugel; Massenrägheismomen Auswuchen eines sarren Roors; nowendige Ausgleichsmassen 5.5 Gekoppele Körper auf schiefer Ebene; Beschleunigung, Sangenkraf Rollende Walze; Massenrägheismomen, Beschleunigung Fördersysem aus Rollen und Seil; Beschleunigung, Seilkräfe Schweres Seil auf Windenrommel; Drehzahl Sysem aus zwei Körpern und einer Rolle; Geschwindigkei Drehbarer Sab; Winkelbeschleunigung, Winkelgeschwindigkei, Lagerreakionen 129

6 XVI Inhal / Übersich der Aufgaben mi Lösungen Aufgabe Erläuerung "Info"-Bild Seie Schwingungen 6.1 Takmesser (Meronom); 149 Schwingungsdauer 6.2 Rollschwinger; Eigenkreisfrequenz, Schwingungsdauer 6.3 Schwingsysem aus Kreisscheibe und Feder; Eigenkreisfrequenz, Schwingungsdauer Scheibe mi Feder; Schwingungsdauer 6.5 Dünner Sab mi Feder; Massenrägheismomen, Eigenkreisfrequenz Schwingende Kreisscheibe; Eigenkreisfrequenz Masse mi Balken und Säben; Eigenkreisfrequenz Feder-Masse-Dämpfer-Sysem; Eigenkreisfrequenz, Schwingungsdauer Ausschwingersuch; logarihmisches Dekremen, Dämpfungsgrad, Eigenkreisfrequenz, Federkonsane, Dämpfungskonsane 6.10 Federkraferreges Sysem; Eigenkreisfrequenz, Bewegung und Ampliude

7 Inhal / Übersich der Aufgaben mi Lösungen XVII Aufgabe Erläuerung "Info"-Bild Seie 6.11 Harmonisch erreges Federende; 161 Schwingungsdifferenzialgleichung, Phasenerschiebung, Vergrößerungsfunkion 6.12 Schwinger mi Erregerkraf; Erregerkreisfrequenz, Federkonsane Unwucherrege Maschine; Ampliude, Federkonsane Soßorgänge 7.1 Soß auf horizonaler Unerlage; Rückprallgeschwindigkei, Weg Soß auf schiefer Ebene; Zei zwischen ersem Zusammenprall und nächsem Zusammensoß 7.3 Soß gegen drehbar gelageren Körper; Geschwindigkeien, Krafsoß, soßfreies Lager Soß zwischen Pendel und drehbarem Sab; Winkelgeschwindigkei Relaibewegung Mi dem Boo über einen Fluss; Vorhalewinkel, Absolugeschwindigkei, Fahrzei Gleisein in radialer Führung einer roierenden Scheibe; Absolugeschwindigkei, Beschleunigung 186

8 XVIII Inhal / Übersich der Aufgaben mi Lösungen Aufgabe Erläuerung "Info"-Bild Seie 8.3 Kreisbewegung eines Punkes auf roierender 188 Scheibe; Geschwindigkei, Beschleunigung 8.4 Radiale Punkbewegung auf einem drehbaren Sab; Absolugeschwindigkei, Beschleunigung 8.5 Fliehkrafpendel; Eigenkreisfrequenz, erforderliche Körperpendellänge

9 0 Einleiung Die Kinemaik beschreib Bewegungen eines Körpers, ohne auf die bewegenden Kräfe einzugehen, das heiß, die Lage on Körpern in Abhängigkei on der Zei wird beschrieben. In der Kineik wird der Zusammenhang zwischen den Kräfen und den durch sie bewirken Bewegungsänderungen on Massen unersuch. Sind die Kräfe bekann, so kann daraus im Allgemeinen der Bewegungsablauf besimm werden und umgekehr. 1 Kinemaik der geradlinigen Bewegung eines Punkes Die Bewegung eines Punkes enlang einer geraden Linie wird beschrieben durch die Weg-Zei- Funkion, besser Ors-Zei-Funkion x = x( ), das heiß, wir wissen zu jeder Zei den Absand x des Punkes P on einem fesen Punk 0 (Bild 01.1). 1.1 Grundbegriffe und Formeln Or (Weg), Geschwindigkei, Beschleunigung + 0 P x() x x Orskoordinae (Wegkoordinae) ( x ) + Zei, Zeipunk Bild 01.1: Bewegung eines Punkes auf geradliniger Bahn x = x( ) a m m x x = = = = ( + ) x( ) ( + ) ( ) x dx = lim = = x& 0 d d a = lim = = & = x& 0 d m milere Geschwindigkei im Zeiinerall a m milere Beschleunigung im Zeiinerall a &x &x & momenane Geschwindigkei zur Zei momenane Beschleunigung zur Zei Geschwindigkei (1. Ableiung des Ores (Weges) nach der Zei) Beschleunigung (2. Ableiung des Ores (Weges) nach der Zei) Beschleunigung (1. Ableiung der Geschwindigkei nach der Zei)

10 2 Kinemaik der geradlinigen Bewegung eines Punkes Kinemaische Diagramme Über die Bewegung eines Punkes gewinnen wir einen anschaulichen Überblick, wenn wir die Orskoordinae x, die Geschwindigkei und die Beschleunigung a über der Zei aufragen. Die Orskoordinae x wird öfers auch als Wegkoordinae bezeichne, was dann zu Missersändnissen führen kann, weil die Koordinae x nich den Weg, sondern den Or des Punkes angib. Wenn zum Beispiel ein Punk auf einer Srecke hin und her beweg wird, so kann der zurückgelege Weg beliebig groß werden, während sich sein Or nur zwischen zwei Grenzen x 1 und x 2 änder. Die Geschwindigkeis-Zei-Funkion ( ) = x& ( ) (der Punk über der Größe bedeue die Ableiung nach der Zei) enseh durch Ableiung (Differeniaion) der Funkion x ( ). Dies gil auch analog für die Funkionen ( ) und a ( ). Durch Inegraion können wir umgekehr aus der Beschleunigungs-Zei-Funkion a ( ) die Geschwindigkeis-Zei-Beziehung ( ) und weier die Ors (Weg)-Zei-Beziehung x ( ) besimmen. Das bedeue zum Beipiel, daß die Änderung des Ores Bild 01.2: x,-,,- und a,-diagramm für (Orsdifferenz) durch die Fläche uner der,-linie dargesell wird (Bild 01.3). In Bild 01.2 sind diese Diagung in einer geradlinigen eine ungleichförmige Bewegramme für eine ungleichförmige Bewegung in einer Bahn geradlinigen Bahn dargesell. Die geradlinige Bahn is neben der Orskoordinae x im Bild 01.2 zu sehen. Manchmal wird der Or x als unabhängige Variable gewähl, um zum Beispiel die Geschwindigkeis-Ors-Funkion ( x) darzusellen. All diese graphischen Darsellungen bezeichnen wir als kinemaische Diagramme Geradlinige Bewegung mi konsaner Geschwindigkei (gleichförmige Bewegung) Gleichförmige geradlinige Bewegung heiß eine Bewegung, bei der die Beschleunigung a = 0 und die Geschwindigkei = konsan is. Der zurückgelege Weg nach der Zei is x = x 0 +. x 0 is der Weg, der zu Beginn der Zeimessung bereis zurückgeleg war. x= = a x x= x 0 + x- x x 0 = 0 x 0 x= 0 0 = 0 = kons. a x x x= x= = a Die Seigung der x, -Geraden is = x/ = kons. Die Orsdifferenz während der Zei is gleich der "Fläche" im, -Diagramm. Bild 01.3: x,-,,- und a,-diagramm für eine geradlinige Punkbewegung mi konsaner Geschwindigkei