Zum Zwillingsparadoxon in der Speziellen Relativitätstheorie

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1 Materialien für Unterriht und Studium Zum Zwillingsparadoxon in der Speziellen Relativitätstheorie von Georg Bernhardt 5. Oktober 017 Beshreibt das Zwillingsparadoxon tatsählih eine logishe Inkonsistenz in der Relativitätstheorie? Wie kann dieser sheinbare Widerspruh aufgelöst werden? Wo liegt der Denkfehler der zum Zwillingsparadoxon führt? Brauht man zur Erklärung des Problems die Allgemeine Relativitätstheorie? Diesen Artikel können Sie als PDF-Datei herunterladen unter: Dipl.-Phys. Georg Bernhardt

2 Georg Bernhardt Inhaltsverzeihnis 1 Einleitung 3 Das Zwillingsparadoxon ohne Beshleunigungen 4.1 Aus der Siht von System S Aus der Siht von System S Aus der Siht von System S Shluss 1 Literaturverzeihnis 1

3 Zum Zwillingsparadoxon in der Speziellen Relativitätstheorie 3 1 Einleitung Ein Effekt der Speziellen Relativitätstheorie ist die Zeitdilatation: Bewegte Uhren gehen langsamer. Ein Astronaut, der nah einer langen Weltraumreise in einem hinreihend shnellen Raumshiff zur Erde zurükkehrt, ist jünger als sein daheim gebliebener Zwillingsbruder, weil im Raumshiff weniger Zeit vergangen ist als auf der Erde. Dieses Szenario wird zu einem Paradoxon, dem sogenannten Zwillings- oder Uhrenparadoxon, wenn man einwendet, dass Bewegungen relativ sind: Vom Raumshiff aus betrahtet ist die Erde in Bewegung und damit einer Zeitdilatation unterworfen, sodass am Ende der Reise niht der Astronaut sondern sein Zwillingsbruder auf der Erde der jüngere sein sollte. Man kann diesem Einwand entgegenhalten, dass die Situation weniger symmetrish ist, als sie auf den ersten Blik ersheinen mag. Die Asymmetrie kommt dadurh zustande, dass der Astronaut auf seiner Reise mehrmals beshleunigt und abgebremst wird. Da sih diese Beshleunigungen unmittelbar durh Trägheitskräfte bemerkbar mahen, kann der Astronaut niht behaupten, immer in Ruhe gewesen zu sein. Tut er es doh, so ergibt sih der oben beshriebene Widerspruh. 1 Einige Autoren gehen in ihrer Argumentation allerdings einen Shritt weiter und behaupten, eine Erklärung des Zwillingsparadoxons sei aufgrund der Beshleunigungen nur im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie möglih. Dieses Argument kann aber ad absurdum geführt werden, wenn man das Zwillingsparadoxon so abwandelt, dass keine Beshleunigungen mehr auftreten. Auh dann kommt es zum erwähnten Paradoxon, und die Lösung des Problems sollte sih in der Speziellen Relativitätstheorie finden lassen. Im Folgenden wird dieses modifizierte Zwillingsparadoxon vorgestellt, und der sheinbare Widerspruh mit Mitteln der Speziellen Relativitätstheorie aufgelöst, indem die Situation aus Siht aller beteiligten Bezugssysteme durhgerehnet wird. Um der Asymmetrie der beiden Zwillinge Rehnung zu tragen, werden niht zwei, sondern drei Bezugssysteme eingeführt: Die Erde und zwei Raumshiffe mit gleih großer aber entgegengesetzter Geshwindigkeit. Das Ergebnis ist in allen drei Rehnungen gleih: Der Zwilling auf der Erde altert am shnellsten. Darüber sind sih alle Beobahter einig, und das Zwillingsparadoxon ist somit keineswegs paradox. 1 Siehe z.b. Sexl [1] und Freund []. Siehe z.b. Greiner [3] und Tipler [4].

4 4 Georg Bernhardt Das Zwillingsparadoxon ohne Beshleunigungen Wir betrahten die drei Bezugssysteme S, S und S. Relativ zum System S bewege sih S mit der Geshwindigkeit v und S mit der gleih großen, aber entgegengesetzten Geshwindigkeit u = v. Es treten keine Beshleunigungen auf; bezüglih S bewegen sih S und S gleihförmig und geradlinig und sollen während des Experiments ihre Geshwindigkeiten niht ändern. Wir haben es also mit drei Inertialsystemen zu tun. Im System S ruhe die Uhr U, in S die Uhr U und in S die Uhr U. Abbildung 1 zeigt die Anordnung der drei Uhren aus Siht von S: U und U liegen symmetrish um den Punkt x 1, und U ruhe im Ursprung von S. Abb. 1: Die Uhren U, U und U Im Verlauf unseres Gedankenexperiments begegnen sih jeweils zwei Uhren siehe Abbildung 4. Das Treffen der Uhren U und U bezeihnen wir als Ereignis E 0 und ordnen ihm bezüglih S, S und S die Raumzeitkoordinaten x 0, t 0, x 0, t 0 bzw. x 0, t 0 zu. Das Treffen von U mit U nennen wir E 1 mit den Koordinaten x 1, t 1, x 1, t 1 bzw. x 1, t 1, und das Treffen von U mit U, das Ereignis E, habe die Koordinaten x, t, x, t bzw. x, t. Abb. : E 0 Abb. 3: E 1 Abb. 4: E In Anlehnung an das eigentlihe Zwillingsparadoxon möge man sih unter dem System S die Erde und unter S bzw. S ein fortfliegendes bzw. zurükkommendes Raumshiff vorstellen, worin einer der Zwillinge den Weltraum bereist, indem er vom System S auf das vorbeifliegende System S aufspringt, darin eine gewisse Streke zurüklegt, beim Rendezvous mit System S in dieses überwehselt, und damit shließlih wieder zur Erde zurükkehrt. Bei diesen Wehseln

5 Zum Zwillingsparadoxon in der Speziellen Relativitätstheorie 5 der Bezugssysteme ist der Reisende allerdings Beshleunigungen ausgesetzt, und dies hat einen Einfluss auf den Gang seiner Uhr. 3 Wir können diesen beshleunigungsbedingten Zeitdilatationseffekt jedoh umgehen, indem wir niht mit dem Zeitintervall rehnen, das auf der vom Astronauten mitgeführten Uhr angezeigt wird, sondern stattdessen mit der Summe der beiden Zeitintervalle, die auf den Raumshiffuhren U und U vergehen, während sih der Astronaut in S bzw. S aufhält. Wir interessieren uns also für die Zeitintervalle t, t und t. Dabei ist t die Zeit, die auf der Uhr U zwishen den Ereignissen E 0 und E vergeht, t die Zeit, die auf U zwishen E 0 und E 1 vergeht und t die Zeit, die auf U zwishen E 1 und E vergeht. Mit den oben eingeführten Koordinaten können diese Zeitintervalle wie folgt geshrieben werden: U : t = t t 0 U : t = t 1 t 0.1 U : t = t t 1 Wir werden nun untersuhen, wie sih die Situation für einen in S ruhenden Beobahter darstellt, also welhe Zeiten er den Uhren U und U zuweist und in welher Relation diese Zeitintervalle mit seiner eigenen Uhr stehen. Danah versetzen wir uns in die Lage von Beobahtern, die in S bzw. S ruhen, und führen die gleihen Rehnungen nohmals aus deren Siht durh, um am Ende alle drei Ergebnisse miteinander zu vergleihen..1 Aus der Siht von System S Wir werden zunähst die Raumzeitkoordinaten der drei betrahteten Ereignisse bezüglih S ermitteln und daraus dann mit Hilfe der Lorentz-Transformation die Zeitintervalle aus Gleihung.1 berehnen. Damit die Lorentz-Transformationsgleihungen die gewohnte Form annehmen, ist noh zu verlangen, dass die Raumzeit-Ursprünge aller drei Systeme zusammenfallen. 4 Wir können das Ereignis E 0 als gemeinsamen Ursprung der drei Systeme wählen: E 0 : x 0, t 0 = x 0, t 0 = x 0, t 0 = 0, 0. 3 Eine sehr anshaulihe Herleitung der Zeitdilatation bei beshleunigter Bewegung findet sih in Freund []. Das Ergebnis sei hier zitiert: Bei konstanter Eigenbeshleunigung α hat ein mit der beshleunigten Uhr gemessenes Eigenzeitintervall t im Laborsystem die Dauer t = α sinh α t. 4 Dadurh ergibt sih keinerlei Einshränkung. Es ist lediglih eine spezielle Skalierung der Ahsen, die unsere Rehnungen vereinfaht.

6 6 Georg Bernhardt Damit sind auh die räumlihen Koordinaten der drei Uhren bezüglih ihrer Ruhesysteme festgelegt: U befindet sih bei x 0 = x = 0, U bei x 0 = x 1 = 0 und U bei x 1 = x 0. Im System S werden die Bahnen von U und U durh folgende Gleihungen beshrieben siehe Abbildung 5: U : x = vt.3 U : x = v t t.4 Die beiden Uhren treffen sih im Punkt x 1, t 1. Dieser ergibt sih durh Gleihsetzen von.3 und.4. Man erhält: x 1 = vt t 1 = t Die betrahteten Ereignisse haben also die Koordinaten: E 0 : x 0, t 0 = 0, 0 vt E 1 : x 1, t 1 =, t E : x, t = 0, t Im System S vergeht also insgesamt die Zeit: t = t t 0 = t.8 Mit Hilfe der Lorentz-Transformation können wir die in S und S vergangenen Zeiten aus der in S vergangenen Zeit errehnen. Die Transformationsgleihungen Abb. 5: Die Bahnen von U und U im System S

7 Zum Zwillingsparadoxon in der Speziellen Relativitätstheorie 7 lauten: t = γ t vx t = γ t + vx.9.10 Wenn man die Lorentz-Transformation auf die beiden Zeitintervalle der Uhren U und U aus Gleihung.1 anwendet und die Koordinaten.7 einsetzt, erhält man: t = t 1 t 0 = γ t 1 vx 1 = γ t v t t 0 + vx 0 = γ 1 v t = γ γ t = t γ.11 t = t t = γ t + vx 1 = γ t t v t t 1 vx 1 = γ Die Summe dieser beiden Zeitintervalle beträgt: 1 v t = γ γ t = t γ t + t = t γ + t γ = t γ = t γ Und shließlih erhalten wir das Resultat:.1.13 t = γ t + t.14 Ein Beobahter in S kommt also zu dem Ergebnis, dass in seinem Ruhesystem eine größere Zeit vergangen ist, als in den Systemen S und S zusammen.. Aus der Siht von System S Wir ändern nun unsere Perspektive und begeben uns ins System S. Bezüglih unserer Koordinatenahsen bewegt sih das System S mit der Geshwindigkeit v, und S mit u = v. Letzteres gewinnen wir aus der relativistishen 1+v/ Transformationsformel für Geshwindigkeiten. 5 Analog zur ersten Rehnung ermitteln wir wieder die Koordinaten der drei Ereignisse, jetzt allerdings bezüglih S, und berehnen dann mit Hilfe der Lorentz-Transformation die in S und S vergangenen Zeitintervalle. 5 Sei S bezüglih S mit der Geshwindigkeit v bewegt. Eine in S gemessene Geshwindigkeit u hat vom System S aus gesehen die Geshwindigkeit u = u v 1 uv. In unserem Fall ist u = v.

8 8 Georg Bernhardt Im System S werden die Bahnen von U und U durh folgende Gleihungen beshrieben siehe Abbildung 6: U : x = vt.15 U : x = u t t v 1 = 1 + v/ t t 1.16 Die Koordinaten des Shnittpunktes x, t erhalten wir durh Gleihsetzen von.15 und.16: Die betrahteten Ereignisse haben also die Koordinaten: x = γ vt 1.17 t = γ t 1.18 E 0 : x 0, t 0 = 0, 0 E 1 : x 1, t 1 = 0, t 1.19 E : x, t = γ vt 1, γ t 1 Im System S vergeht insgesamt die Zeit: t = t 1 t 0 = t 1.0 Die Lorentz-Transformationsgleihungen lauten in diesem Falle: t = γ t + vx t = γ u t u x.1. Abb. 6: Die Bahnen von U und U im System S

9 Zum Zwillingsparadoxon in der Speziellen Relativitätstheorie 9 Mit γ u ist gemeint, dass darin u als Geshwindigkeit eingesetzt werden soll, die Relativgeshwindigkeit zwishen S und S. Durh das Minuszeihen in. darf man sih niht verwirren lassen; dieses hebt sih wieder auf, wenn man für u den längeren Ausdruk mit v einsetzt, welher ebenfalls negativ ist. Bevor wir jetzt die in S und S vergangenen Zeitintervalle ausrehnen, sollten wir uns kurz klarmahen, dass γ u auh folgendermaßen geshrieben werden kann, was durh simples Einsetzen von u und ein wenig Rumrehnerei, inklusive Anwendung einer Binomishen Formel, herauskommt: γ u = γ 1 + v.3 Damit können wir. auh so shreiben: t = γ 1 + v t + vx.4 Das nutzen wir nun aus, um die Zeitintervalle auf den Uhren U und U zu berehnen: t = t t 0 = γ t + vx t 0 vx 0 = γ γ t 1 γ t v 1 = γ 3 1 v t 1 = γ3 γ t 1 = γt 1.5 t = t t 1 = γ 1 + v t + vx 1 + v = γ 1 + v γ t 1 v γ t 1 = γ 1 + v v γ = γ 1 v γ 1 + v t v t v t 1 t 1 vx 1 = γ γ γ 1 + v t 1 = γ 1 v t 1 = t 1.6 Wir summieren wieder die in S und S vergangenen Zeiten, also.0 und.6, und vergleihen mit.5: t + t = t 1 + t 1 = t 1 = t γ Und erhalten das gleihe Ergebnis wie zuvor:.7 t = γ t + t.8

10 10 Georg Bernhardt Ein Beobahter in S kann also das Ergebnis seines Kollegen oder Zwillings in S bestätigen: Für den letzteren vergeht mehr Zeit als für S und S zusammen..3 Aus der Siht von System S Zum Shluss versetzen wir uns in das System S. Aufgrund der eingangs verlangten Ursprünge-Koinzidenz sitzen wir mit der Uhr U niht im räumlihen Ursprung von S, sondern an der Stelle x 1 = x unserer x -Ahse. Wir beobahten, dass U die Geshwindigkeit u = v, und U die Geshwindigkeit v v = 1+v/ hat. Ihre Bahnen werden in S durh folgende Gleihungen beshrieben siehe Abbildung 7: Daran kann man direkt ablesen: U : x = vt.9 U : x = v t = vt 1 + v/.30 x = vt.31 x 1 = vt v/.3 Mit x 1 = x folgt daraus: t 1 = 1 + v t.33 Abb. 7: Die Bahnen von U und U im System S

11 Zum Zwillingsparadoxon in der Speziellen Relativitätstheorie 11 Die betrahteten Ereignisse haben also die Koordinaten: E 0 : x 0, t E 1 : x 1, t 1 = 0 = 0, 0 vt, 1 + v t E : x, t = vt, t.34 Im System S vergeht insgesamt die Zeit: t = t t 1 = t 1 + v t = 1 v t = 1 v t = t.35 γ Die Lorentz-Transformationsgleihungen lauten: t = γ t vx t = γ v t v x = γ 1 + v t vx Damit berehnen wir die in S und S vergehenden Zeitintervalle: t = t t 0 = γ t vx t 0 + vx 0 = γ t v t = γ 1 v t = t γ t = t 1 t 0 = γ 1 + v t 1 vx 1 = γ 1 + v t v t = γ 1 + v + v4 4 4v t 1 + v t 0 + vx 0 = γ 1 + v v t 4 = γ 1 v t = t γ.39 Wir summieren wieder die in S und S vergangenen Zeiten, also.39 und.35, und vergleihen mit.38: Und erhalten erneut die Relation: t + t = t γ + t γ = t γ = t γ.40 t = γ t + t.41 Auh vom System S aus betrahtet vergeht in System S während des Gedankenexperiments mehr Zeit als in S und S zusammen.

12 1 Georg Bernhardt 3 Shluss Anhand dieser drei Rehnungen sollte folgendes deutlih geworden sein: 1. Das Zwillingsparadoxon ersheint nur auf den ersten Blik paradox. Die Relativitätstheorie liefert bei genauerem Hinsehen ein widerspruhfreies Bild der Situation, wie ein Vergleih der drei Ergebnisse.14,.8 und.41 zeigt.. Zu einem sheinbaren Widerspruh kommt man, wenn der Situation eine Symmetrie auferlegt wird, die sie niht enthält. Der Umstand, dass der reisende Zwilling auf halber Streke sein Bezugssystem wehselt, um am Ende wieder bei seinem Bruder auf der Erde anzukommen, maht die beiden Zwillinge untersheidbar. In einer relativistishen Behandlung des Zwillingsproblems, die diese Asymmetrie berüksihtigt, wie hier durh Einführen eines dritten Bezugssystems geshehen, treten keine Widersprühe auf Das vermeintlih paradoxe an diesem Problem kann im Rahmen der Speziellen Relativitätstheorie aus der Welt geshafft werden, wie oben am modifizierten Zwillingsproblem ohne Beshleunigungen vorgerehnet wurde. Es sei nohmals betont, dass wir niht von der Allgemeinen Relativitätstheorie Gebrauh mahen müssen, um die sheinbare logishe Inkonsistenz, wie sie das Zwillingsparadoxon bei naiver Betrahtung vermuten lässt, auszuräumen. 4. Betrahtet man einen realen Astronauten, der mit seinem Raumshiff die Erde verlässt und irgendwann wieder zurükkehrt, treten zwangsläufig Beshleunigungen auf. Diese Beshleunigungen verursahen einen zusätzlihen Zeitdilatationseffekt, der ebenfalls mit der Speziellen Relativitätstheorie berehnet werden kann. 7 In dieser realistisheren Betrahtung ist unser Ergebnis noh als Näherung für kleine Beshleunigungen gültig. Literaturverzeihnis [1] R. Sexl, H. K. Shmidt. Raum-Zeit-Relativität. Vieweg, 000 [] J. Freund. Spezielle Relativitätstheorie für Studienanfänger. vdf, 004 [3] W. Greiner, J. Rafelski. Spezielle Relativitätstheorie. Harri Deutsh, 1989 [4] P. A. Tipler, R. A. Llewellyn. Moderne Physik. Oldenbourg, 003 [5] H. Günther. Starthilfe Relativitätstheorie. Teubner, 00 6 Eine ähnlihe Behandlung des Zwillingsparadoxons, bei der die vershiedenen Blikwinkel durhgerehnet werden, findet sih in Günther [5]. 7 Siehe z.b. Freund []; vergleihe Fußnote 3 auf Seite 5.