Eine kurze Einführung in die spezielle und allgemeine Relativitätstheorie

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1 Eine kurze Einführung in die spezielle und allgemeine Relativitätstheorie

2 Inhaltsverzeihnis 16.1 Das Newtonshe Relativitätsprinzip / Galilei Transformation Die Lihtgeshwindigkeit Galileo Galilei ( ) Ole Rømer ( ) James Bradley ( ) Hyppolite Fizeau ( ) Léon Fouault ( ) Versuhsaufbau (Shulexperiment) Die Äthertheorie Albert Mihelson ( ) und Edward Morley ( ) Die spezielle Relativitätstheorie Die Lorentz Transformation... Fehler! Textmarke niht definiert Zeitdilatation... Fehler! Textmarke niht definiert Längenkontraktion Die Geshwindigkeitstransformation Relativistishe Massenzunahme Äquivalenz von Masse und Energie Gedanken zur allgemeinen Relativitätstheorie Einsteinshe Äquivalenzprinzip Effekte Aufgaben Lösungen Anhang Einsteins Originalpublikation aus dem Jahre 1905 zur Relativitätstheorie (Annalen der Physik)... 5 Kantonsshule Solothurn, Reto Basler Stotzer

3 16.1 Das Newtonshe Relativitätsprinzip / Galilei Transformation Stellen wir uns die Frage, wer oder was bewegt sih eigentlih, wenn sih ein Körper gegenüber einem anderen bewegt. Galileo Galilei hat diese Frage sehr kurz beantwortet: Beide Körper bewegen sih immer relativ zueinander. Dies soll an einem Beispiel erläutert werden. Fährt ein Zug an einem Bahnsteig vorüber, so fährt dieser aus der Sihte der Leute auf dem Bahnsteig an ihnen vorbei. Für die Fahrgäste im Zug hingegen bewegt sih der Bahnsteig mit den Wartenden an ihnen vorbei. Dies tönt eigentlih reht simpel, hat aber eine grosse Tragweite. Es heisst nihts anderes, als dass jeder für sih behaupten kann, dass er selbst ruhend ist und sih die anderen bewegen. Stellen wir uns nun vor, dass sih der Zug (Bezugssystem Zug) mit konstanter Geshwindigkeit fortbewegt. Dass er konstanter Geshwindigkeit fährt, ist eine Notwendigkeit: Ansonsten würden die Fahrgäste und alle Körper im Zug eine für sie niht nahvollziehbare Beshleunigung erfahren und das erste Newtonshe Axiom würde niht mehr gelten. Bezugssysteme, in welhen das erste Newtonshe Axiom gilt, nennt man Inertialsysteme. Im Zug (wir sagen ihm nun Inertialsystem Zug) mahen Physiker Experimente mit einem fallenden Ball, um die Fallbeshleunigung zu ermitteln. Das gleihe Experiment maht eine zweite Gruppe Physiker auf dem Bahnsteig (Inertialsystem Bahnsteig). Beide Gruppen werden für die Fallbeshleunigung den gleihen Wert erhalten. Keines der beiden Inertialsysteme ist gegenüber dem anderen ausgezeihnet. In beiden gelten dieselben physikalishen Gesetze. Der zweite wihtige Punkt des Galileishen Relativitätsprinzips ist die Addierbarkeit von Geshwindigkeiten (Additionsprinzip). Bewegen sih zwei Autos mit 50 km/h und 80 km/h aufeinander zu, so bewegen sih relativ zum jeweils anderen Fahrzeug mit einer Geshwindigkeit von 130 km/h. Geht ein Shaffner (falls es ihn denn noh gibt) in einem Zug, welher mit 100 km/h unterwegs ist, in Fahrrihtung mit 5 km/h, so bewegt er sih von aussen gesehen mit einer Geshwindigkeit von 105 km/h. Dieses (einleuhtende) Rehenverfahren ist als Galilei Transformation bekannt. Diese Ergebnisse fasst man im Newtonshen Relativitätsprinzip zusammen: Raum und Zeit sind absolut Alle relativ zu einem Inertialsystem gleihförmig bewegten Bezugssysteme sind ebenfalls Inertialsysteme und im Rahmen der Newtonshen Mehanik gleihwertig. Dieses Prinzip war Galilei, nah ihm Newton und anderen Wissenshaftlern seit dem 17. Jahrhundert bekannt. Es wurde erst in Frage gestellt, als gegen Ende des 19. Jahrhunderts die Vermutung aufkam, dass sih ein absolutes Bezugssystem finden lasse. 16. Die Lihtgeshwindigkeit Galileo Galilei ( ) Bereits Galileo Galilei wollte die Lihtgeshwindigkeit messen, weil er der Ansiht war, dass es sih niht mit unendliher Geshwindigkeit ausbreite. Er stellte sih dazu 1638 eines Nahts, mit einer Laterne bewaffnet auf einen Hügel. Sein Assistent mahte dasselbe auf einem etwa 1km entfernten Hügel. Galilei liess seine Laterne kurz aufleuhten. In dem Moment, wo der Assistent Galileos Laterne wahrnahm, liess er ebenfalls seine Laterne aufblitzen. Galileo mass nun die Zeit, welhe seit Kantonsshule Solothurn, Reto Basler Stotzer 3

4 dem Aufleuhten seiner eigenen Lampe vergangen war und dem Zeitpunkt, zu dem er die Laterne seines Assistenten aufleuhten sah. Aus dieser Laufzeitdifferenz und der örtlihen Distanz wollte er die Lihtgeshwindigkeit berehnen. Quelle: Dies gelang ihm niht (heute wissen wir warum), er kam aber zum Shluss, dass die Lihtgeshwindigkeit sehr gross sein muss Ole Rømer ( ) Im 17. Jahrhundert war die Zeitbestimmung für die Orientierung auf hoher See eine grosse Herausforderung. Dazu legte der französishe Astronom Giovanni Domenio Cassini, Direktor der Pariser Sternwarte, die Verfinsterung der Jupitermonde in Zeittafeln nieder. Das Jupitersystem war für Giovanni Domenio Cassini ein Miniaturabbild des ganzen Planetensystems, und die ständig variierenden Konstellationen von Jupiter mit seinen Monden galten ihm als Beispiel für das Verhalten der Planeten. Es ist verständlih, dass die Bahnbewegung dieser Monde sorgfältig studiert wurde. Quelle: Neben unserem Erdmond gehören die vier Galileishen Monde des Jupiter mit Siherheit zu den bekanntesten Monden im Sonnensystem. Es sind auh die vier grössten Jupitermonde: Io, Europa, Ganymed und Kallisto, benannt nah den vier Geliebten des Göttervaters Zeus, der bei den Römern Jupiter heisst. Entdekt wurden die Monde 1610 von Galileo Galilei, der ihre Bewegungen um Jupiter als Modellfall und Bestätigung dafür ansah, dass die Planeten um die Sonne laufen. Als sih aber der dänishe Astronom Ole Römer um 1675 daranmahte, zur Verbesserung dieser Zeittafeln die Satelliten nohmals zu beobahten, stellte er merkwürdige Abweihungen fest. Wenn die Erde dem Jupiter am nähsten war, stimmte alles vorzüglih, doh im Laufe des nähsten halben Jahres ging Jupiter nah". Shliesslih lief sein Mond fast 1000 Sekunden zu spät durh den dunklen Shatten des Planeten. Römer mahte sih auf Fehlersuhe und prüfte die Seltener Anblik von Io und dessen Shatten auf Jupiter. Quelle: Tabellen. Mittlerweile verging wieder ein halbes Jahr, und - welhe Überrashung - die Jupiteruhr ging so genau als wäre nihts gewesen. Kantonsshule Solothurn, Reto Basler Stotzer 4

5 Nun liegen die Bahnen der Erde und der Jupitermonde fast in der gleihen Ebene, so dass Römer mit einer einfahen Messung auskam: Er bestimmte zweimal im Jahr die Zeiten, zu denen ein Mond hinter dem Jupiter vershwand (oder auf der anderen Seite wieder auftauhte) und stellte fest, dass sih die Finsternistermine wegen des grösseren Abstands Jupiter - Erde um 15 bis 0 Minuten vershoben. Rømer interpretierte dieses Ergebnis mit einer endlihen Ausbreitungsgeshwindigkeit des Lihtes: Befindet sih die Erde weiter weg vom Jupiter (in Rømers Experiment ein Erdbahndurhmesser), so trifft das Liht mit einer Verzögerung von Minuten ein genau die Zeit, die das Liht benötigt, um die Streke eines Erdbahndurhmessers zu durhlaufen. Rømer selbst hätte die Lihtgeshwindigkeit berehnen können. Als Mitarbeiter von Giovanni Domenio Cassini hatte er Zugang zum Abstand Erde Sonne. Er tat es aber niht (Cassini war der Ansiht, dass sih Liht augenbliklih ausbreite). Rømer spriht in seiner Arbeit lediglih von Verzögerung, um auf die endlihe Ausbreitungsgeshwindigkeit von Liht hinzuweisen. Erst Christian Huygens berehnete 1678 mit Rømers Werten die Lihtgeshwindigkeit James Bradley ( ) Eine andere astronomishe Beobahtung, welhe Rükshlüsse auf die Geshwindigkeit des Lihts zuliess, mahte James Bradley im Jahre 178. Er stellte fest, dass Sterne, welhe er durh ein Teleskop betrahten wollte, niht mehr in ihrer mit dem Auge wahrgenommenen Position zu befinden shienen. Er musste die Neigung des Fernrohres ein wenig korrigieren. Der Grund dafür musste sein, dass sih das Fernrohr (bzw. die Erde) während der Zeit, die ein Lihtstrahl von der Linse bis zum Okular brauht, ein wenig weiterbewegt. Bradley mass den Korrekturwinkel und bestimmte mit Hilfe des Wertes für die Lihtgeshwindigkeit von Rømer die Bahngeshwindigkeit der Erde Hyppolite Fizeau ( ) Die erste Messung der Lihtgeshwindigkeit auf der Erde (terrestrishe Methode) gelang im Jahre 1848 Hippolyte Fizeau ( ) in Paris. Er liess das Liht auf einer fast 9 km langen Streke laufen (siehe unten). Die Unterbrehung des Lihtes - d.h. die Quelle: Publiziert unter der GFDL Erzeugung von kurzen Lihtblitzen - erfolgte durh ein sih drehendes Zahnrad mit 70 Zähnen (man beahte den tehnishen Fortshritt im Vergleih zur Zeit Galileos, als man die Lihtunterbrehung mit der Abdunkelung von Laternen versuhte). Kantonsshule Solothurn, Reto Basler Stotzer 5

6 Dreht sih das Zahnrad niht oder nur sehr langsam, so kann das Liht, welhes von der Quelle über den halbdurhlässigen Spiegel durh eine Zahnradlüke zum entfernten Spiegel läuft, ins Auge des Beobahters gelangen, da das Liht so shnell ist, dass es beim Rüklauf noh die gleihe Lüke passieren kann. Jeder Lihtblitz gelangt also ins Auge des Beobahters, der bei sehr langsamer Quelle: Zahnraddrehung die Lampe im Takt der Zahnfolge aufblitzen sieht. Bei shneller Umdrehung kommt unser Auge bei den Hell-Dunkel-Wehseln niht mehr mit, es sieht eine "mittlere" Helligkeit. Erhöht man die Drehgeshwindigkeit des Zahnrades, so tritt der Fall ein, dass das vom entfernten Spiegel reflektierte Liht auf den Zahn trifft, welher auf die Lüke folgt, durh die das Liht beim Hinweg lief. Der Beobahter stellt nun Dunkelheit fest. Dies war bei 1,6 Umdrehungen pro Sekunde der Fall. Fizeau shreibt selber: "Das erste Fernrohr befand sih im Belvedere eines zu Suresnes gelegenen Hauses, das andere auf der Höhe des Montmartre, in einer Entfernung von beiläufig 8633 Metern. Die Sheibe mit siebenhundert Zähnen versehen, ward von einem durh Gewihte getriebenen Räderwerk, das Hr. Fromet angefertigt hat, in Bewegung gesetzt, und mittelst eines Zählers die Umdrehungsgeshwindigkeit gemessen. Das Liht war das einer Lampe von grosser Helligkeit. Diese ersten Versuhe lieferten für die Geshwindigkeit des Lihtes einen Werth, der wenig von dem von den Astronomen angenommenen abweiht. Das Mittel aus 8 bisher angestellten Beobahtungen, gab nämlih diesen Werth zu Lieus [Meilen], von 5 auf den Grad". "Annalen der Physik und Chemie 79 (1850) S. 167 ff. Das entsprah einem Wert der Lihtgeshwindigkeit von km/s, also einem a. 5% zu hohen Wert. Kantonsshule Solothurn, Reto Basler Stotzer 6

7 16..5 Léon Fouault ( ) Léon Fouault hat 1850 die Lihtgeshwindigkeit, die heute als = ,0 m/s definiert ist, mit einer zu seiner Zeit hohen Genauigkeit gemessen. Obwohl Fizeau kurz zuvor mit seinem legendären Zahnradexperiment einen ersten Wert für gefunden hatte, gilt das Fouault-Experiment als überragend. Grundgedanke der Methode von Fouault zur Bestimmung der Lihtgeshwindigkeit: Ein Lihtstrahl wird von einer Lihtquelle (im unserem Experiment ein Laser) auf einen ebenen Drehspiegel gesendet. Dieser Drehspiegel lenkt den Lihtstrahl durh eine Linse ( f = 5000 mm) auf einen Umlenkspiegel und dieser auf einen Endspiegel. Die Linse bildet in einer symmetrishen Abbildung (f - f Abbildung) die Strahltallie (waist) des Lasers auf den Endspiegel und von dort wieder zurük auf den Shirm ab. Ohne Linse würde der Strahl aufgrund seiner natürlihen Divergenz immer grösser und eine genaue Messung dadurh verunmögliht. Der Endspiegel ist so justiert, dass der Lihtstrahl den selben Weg zurükläuft bis auf den Drehspiegel, der sih in der Zwishenzeit weitergedreht hat. Vom Drehspiegel an ergibt sih also für den rüklaufenden Strahl eine leihte Winkelabweihung um den doppelten Drehwinkel des Drehspiegels. Um diese Abweihung sihtbar zu mahen, wird der rüklaufende Strahl durh den Strahlteiler (eine beshihtete Glasplatte mit 50% Reflektivität) auf einen Mattshirm umgelenkt, wo sih eine seitlihe Vershiebung des Laserstrahls bei laufendem Drehspiegel feststellen lässt. Aufgrund der gemessenen Vershiebung lässt sih mit den nahfolgenden Überlegungen die Lihtgeshwindigkeit berehnen Versuhsaufbau (Shulexperiment) Kantonsshule Solothurn, Reto Basler Stotzer 7

8 Auswertung: Berehnung von aus den Messdaten Zur Auswertung des Experimentes benötigen wir als erstes den Lihtweg l, den das Liht zwishen Drehspiegel und Endspiegel (hin und zurük) zurüklegt. In unserem Experiment gilt: l = t = 30 m ( 1 ) In der Zeit t = dreht sih der l Drehspiegel um den Winkel α weiter, womit der Strahl um den Winkel α aus seiner ursprünglihen Rihtung abgelenkt wird. Beahte, dass α der Winkel zwishen Lot und einfallendem bzw. ausfallendem Strahl ist. Die Distanz zwishen Drehspiegel und Mattshirm sei a (s. Abbildung oben rehts), die Vershiebung auf der Mattsheibe sei x, dann gilt: x a x = α α = ( ) a Rotiert der Drehspiegel mit der Frequenz f, so gilt unter Verwendung von Gleihungen ( 1 ) und ( ) für die Winkelgeshwindigkeit ω: α x ω = π f = = ( 3 ) t a l Gleihung ( 3 ) lässt sih nun nah auflösen und wir erhalten: f a l = 8 π ( 4 ) x Experimentdurhführung Bestimmen Sie die exakten Distanzen sowie die Frequenz des Drehspiegels im aufgebauten Shulexperiment und berehne aus den Messdaten die Lihtgeshwindigkeit. Kantonsshule Solothurn, Reto Basler Stotzer 8

9 16.3 Die Äthertheorie Mehr als 00 Jahre lang beherrsht die Mehanik, wie Newton sie formulierte, die Physik und prägt damit das Weltbild. Erst im 19. Jahrhundert beginnt sie zu wanken. Neuerdings glauben die Anhänger der Thermodynamik alle Beobahtungen mit dem Begriff der Energie erklären zu können. Daneben gibt es das Gebiet der Elektrodynamik. Dessen Anhänger deuten das Geshehen der Welt mit der Theorie des Elektromagnetismus und den darin vorkommenden Feldern. Es tobt also ein Kampf der Weltbilder zu diesem Zeitpunkt. Hendrik Lorentz hat 1885 die Theorie des Elektromagnetismus von James Clerk Maxwell erweitert. Diese erklärt alle magnetishen, elektrishen und optishen Ersheinungen in einheitliher Art und Weise. Wie shon vershiedene Physiker vor ihm geht Lorentz von der Annahme eines Äthers aus. Diese Hilfskonstruktion führten die Physiker in ihren Theorien ein, um die Bewegung des Lihtes und anderer elektromagnetisher Wellen als mehanishen Vorgang erklären zu können. Dieser Äther, ein masseloser, starrer Stoff, sollte den gesamten Raum einnehmen und alle Körper durhdringen Albert Mihelson ( ) und Edward Morley ( ) Da der Äther alles durhdringen sollte, müsste sih doh die Bewegung der Erde durh den Äther bemerkbar mahen. Das Liht müsste, je nahdem ob es ihn Flug oder gegen die Flugrihtung der Erde ausgesendet wird, einen Rükenwind oder einen Gegenwind verspüren. Man müsste also durh geeignete Experimente in der Lage sein, untershiede in der Lihtgeshwindigkeit festzustellen. Je nahdem, in welhe Rihtung sih das Liht auf der Erde ausbreitet. Genau dies haben Mihelson und Morley versuht. Sie bauten dazu ein Interferometer auf. Liht aus der Lihtquelle L trifft auf eine halbdurhlässig verspiegelte Glasplatte G. Dort wird es in einen durhgehenden und einen reflektierten Strahl gleiher Helligkeit geteilt. Beide Strahlen legen rehtwinklig zueinander dieselbe Entfernung l zurük und werden dann jeweils von den Spiegeln S 1 und S zurük nah G reflektiert. Dort werden sie beide teils hindurhgelassen und teils reflektiert. Im Punkt P beobahtet man die Interferenz der beiden Lihtwellen, die die gleih langen Wege LGS 1 GP und LGS GP zurükgelegt haben. Ein Interferenzmaximum tritt auf, wenn beide Wellen gleihphasig ankommen, ein Interferenzminimum, wenn sie gegenphasig ankommen. Kantonsshule Solothurn, Reto Basler Stotzer 9

10 Wenn sih die Laufzeiten auf beiden Wegen nur um eine halbe Shwingungsperiode der Lihtwelle untersheiden, lässt sih dies im Interferenzbild bereits erkennen. Solhe Laufzeituntershiede sind bei hinreihender Armlänge l wegen der Bewegung der Erde durh den Äther zu erwarten. Vorausgesetzt, dass der Äther existiert, gelten folgende Überlegungen: Der ruhende Äther stellt ein absolutes Bezugssystem dar. In ihm breitet sih das Liht in jeder Rihtung mit derselben Geshwindigkeit = m/s aus, niht aber in Bezugssystemen, die sih relativ zum Äther gleihförmig bewegen. Nehmen wir an, die Erde und mit ihr der obige Versuhsaufbau (Mihelson-Interferometer) bewegen sih im Äther mit der Geshwindigkeit v von links nah rehts. Dann bewegt sih der Ä- ther vom Bezugssystem der Erde aus gesehen mit der Geshwindigkeit v von rehts nah links (am besten stellt man sih einen "Ätherwind" vom Betrag v in Pfeilrihtung vor). Die Lihtgeshwindigkeit in diesem irdishen Bezugssystem ist dann niht mehr in alle Rihtungen gleih, sondern berehnet sih durh vektorielle Addition von und v. Auf dem Weg vom Strahlteiler G nah S 1 beträgt die Lihtgeshwindigkeit v, auf dem Rükweg + v. Wenn man das Interferometer dreht, sollte bei irgend einer Stellung tatsählih die obige Annahme erfüllt und GS 1 parallel zur Bewegungsrihtung der Erde durh den Äther sein. Es gelang Mihelson und seinem Kollegen Edward Morley im Jahre 1886 aber niht auh nur den geringsten Laufzeituntershied t zu messen. Durh andere Experimente konnte die Möglihkeit eindeutig ausgeshlossen werden, dass die Erde den Äther mit sih zieht und daher die Relativgeshwindigkeit an der Erdoberflähe v = 0 ist. Hendrik Lorentz glaubt fest an die Existenz des Lihtmediums. Um die Theorie des Äthers zu retten, nimmt er einfah an, dass sih Gegenstände bei hoher Geshwindigkeiten durh die Wirkung des Ätherwindes mehanish zusammenziehen. Durh diese Kontraktionshypothese kann er sämtlihe Versuhsergebnisse erklären und rettet damit die Äthertheorie. Es gibt aber einen weiteren Widerspruh: Lorentz hat mit seinem ruhenden Äther ein bevorzugtes Bezugssystem geshaffen, gegenüber dem sih alle anderen bewegen. Dies widerspriht aber dem Newtonshen Relativitätsprinzip. Kantonsshule Solothurn, Reto Basler Stotzer 10

11 16.4 Die spezielle Relativitätstheorie Sämtlihe Diskrepanzen zwishen Theorie und Praxis lösen sih Albert Einstein kam aufgrund der Experimente seiner Kollegen zum Shluss, dass die Lihtgeshwindigkeit eine absolute Grösse sein musste. Damit warf er die Äthertheorie komplett über Bord. Ein Problem aber blieb: Wenn die Lihtgeshwindigkeit im Vakuum konstant ist, so wäre das Newtonshe Relativitätsprinzip verletzt. Dieses sieht er aber als unabdingbar für die Physik. Einstein hadert lange mit diesen Widersprühen. Shliesslih sieht er nur einen Ausweg. Er nimmt Zeit und Raum ihre Absolutheit. Kurz: Es gibt keinen Augenblik für die ganze Welt, der Jetzt genannt werden könnte. Einsteins Postulate, die die Welt veränderten, lauten Die Lihtgeshwindigkeit im Vakuum hat für jedes Inertialsystem denselben Wert 1. Die Naturgesetze nehmen in allen Inertialsystemen die gleihe Form an Die Zeitdilatation Eine der Folgen dieser zwei Postulate lässt sih anhand einer Lihtuhr zeigen. Eine Lihtuhr ist eine Vorrihtung, in der ein Photon ständig zwishen zwei Spiegeln hinund herpendelt. Für einen Beobahter, der sih im Bezugssystem der Uhr befindet, sieht die Situation aus wie in der Abbildung a). Bewegt sih das Bezugssystem der Lihtuhr dagegen an einem ruhenden Beobahter mit der Geshwindigkeit v vorbei, so stellt sih die Sahe dar wie in der Abbildung b) gezeigt. Dies hat aber drastishe Konsequenzen, wie wir gleih zeigen werden. Für den Beobahter im Bezugssystem der Uhr dauert der Zeitabshnitt für ein hin- und herpendeln te =. Für den ruhenden Beobahter, an dem die Lihtuhr vorbeifliegt, dauert d 1 Heute ist die Lihtgeshwindigkeit definiert zu m/s. Kantonsshule Solothurn, Reto Basler Stotzer 11

12 1 d + v t l der Zeitabshnitt t = =. Kombinieren wir beide Gleihungen und lösen nah t auf, so erhalten wir t t = E v Ist die Lihtgeshwindigkeit in beiden Bezugssystemen gemäss den Einsteinshen Postulaten gleih gross, so untersheiden sih die Zeitintervalle t und tbewegt um einen Faktor γ = 1 v Ereignis untershiedlih lange! Dies ist ein sensationelles Ergebnis ist damit die Zeit doh ihrer Absolutheit beraubt worden! ruhend. Für die zwei Beobahten dauert also ein und dasselbe Eine mit der Geshwindigkeit v bewegte Uhr geht um den Faktor 1 γ = langsamer als in ihrem Ruhesystem. v Beispiel (Der Myonen erster Teil) Die Vorhersage der Zeitdilatation war das sensationellste Ergebnis der Relativitätstheorie. Die Messung der Zeitdilatation erwies sih aber zunähst als überaus shwierig und gelang erstmals im Jahre 1938 den beiden amerikanishen Physikern Ives und Stillwell. Heute wird die Zeitdilatation in vielen Experimenten der "Elementartellhenphysik" gemessen. Als Beispiel betrahten wir ein Experiment, welhes 1959 im Europäishen Kernforshungszentrum CERN bei Genf durhgeführt wurde. Zur Messung der Zeitdilatation wurden dabei Myonen benützt. Diese Elementarteilhen gleihen in vielen Eigenshaften den Elektronen. Myonen sind jedoh instabil und zerfallen bereits wenige millionstel Sekunden nah ihrer Entstehung. Hat man z. B. zum Zeitpunkt t = 0 insgesamt Myonen erzeugt, so findet man zur Zeit t = 1 µs nurmehr 6347 davon vor, nah 1,5 µs sogar nur noh 5000 Myonen, also die Hälfte. Man bezeihnet daher τ = 1,5 µs als die Halbwertszeit der Myonen. Der Zerfall genügt einem Exponentialgesetz, wie dies auh für den radioaktiven Zerfall manher hemisher Elemente der Fall ist. Kantonsshule Solothurn, Reto Basler Stotzer 1

13 Im erwähnten CERN-Experiment beobahtete man den Zerfall von Myonen, die niht ruhten, sondern in einem Speiherring mit der Geshwindigkeit v = kreisten. Wir können die kreisenden Myonen als bewegte Uhren ansehen. Wegen der Zeitdilatation ist ihr Zerfall verlangsamt, und die Halbwertszeit der kreisenden Myonen vergrössert sih daher auf den Wert τ 1.5 µ s τ ( v ) = = = µ s v 1 (0.9994) 1 Die Messungen bestätigten diese Vorhersage der Relativitätstheorie, wobei der relative Messfehler 0,1 % betrug. Heute kann die Zeitdilatation auh mit Atomuhren nahgewiesen werden, wobei die Geshwindigkeit von Flugzeugen ausreiht, um messbare Effekte hervorzurufen. Das erste derartige Experiment wurde im Jahre 1971 von den beiden amerikanishen Physikern Joseph Hafele und Rihard Keating durhgeführt Längenkontraktion Eng mit dem Effekt der Zeitdilatation verknüpft ist der Effekt der Längenkontraktion. Die Länge eines Objekts, gemessen in seinem Ruhesystem, nennt man Ruhelänge l 0. Misst man nun die Länge eines bewegten Objekts in Bewegungsrihtung, so ist die gemessene Länge kürzer als die Ruhelänge des Objekts. Dies um den Faktor v l = 1 l0. Die Länge ist also kleiner, wenn sie in einem Bezugssystem gemessen wird, in dem sih die Stange bewegt. Dieser Kontraktion sagt man auh Lorentz-FitzGerald-Kontraktion Beispiel (Der Myonen zweiter Teil) Wir betrahten diese Situation nun vom Standpunkt eines Beobahters, der mit den Myonen zur 10 km entfernten Erdoberflähe fliegt. Für ihn ruhen die Myonen, und ihre Halbwertszeit beträgt daher - gemessen mit seinen Uhren - nur τ = 1,5 µs. Wieso kann die entgegenfliegende Erde dennoh die Myonen erreihen? Vom Standpunkt des mit den Myonen mitfliegenden Beobahters ist die Entfernung H wesentlih kleiner als 10 km. Daher können die kurzlebigen Myonen diese Entfernung innerhalb ihrer Halbwertszeit τ = 1,5 µs leiht zurüklegen! Kantonsshule Solothurn, Reto Basler Stotzer 13

14 Die Längenkontraktion maht sih bei Experimenten mit Elementarteilhen deutlih bemerkbar. Das elektrishe Feld eines fast mit Lihtgeshwindigkeit bewegten Elektrons oder Protons wird durh die Lorentzkontraktion verformt. Die Feldlinien werden in der Ebene senkreht zur Bewegungsrihtung zusammengedrängt, so dass dort besonders hohe elektrishe Feldstärken entstehen. Dadurh übt das Feld des Teilhens stärkere Kräfte auf andere Teilhen aus. Deshalb hinterlassen Teilhen, die sih fast mit Lihtgeshwindigkeit bewegen, besonders kräftige Spuren in Blasenkammern Die Geshwindigkeitstransformation Wie transformieren sih nun die Geshwindigkeiten beim Übergang von einem Bezugssystem zum anderen? Dazu werden die Gleihungen der Lorentz - Transformation differenziert. Wir nehmen an dieser Stelle einfah das Resultat zur Kenntnis. Dazu betrahten wir ein Flugzeug, das mit der Geshwindigkeit v - bezüglih eines ruhenden Beobahters in x- Rihtung unterwegs ist. Plötzlih wird das Flugzeug von einem ebenfalls in x- Rihtung fliegenden UFO überholt. Der überrashte Pilot im Flugzeug kann die Geshwindigkeit u des UFOs bestimmen. Der niht weniger verdutzte Beobahter am Erdboden misst dann für die Geshwindigkeit der fliegenden Untertasse niht etwa einfah u = u ' + v sondern u ' + v u =. v u ' 1+ Für langsame Bewegungen untersheidet sih der Nenner niht wesentlih von 1 und das Ergebnis entspriht dem klassishen Resultat! Beispiel Flugzeug Nehmen wir mal an, obiges UFO wäre gar keines sondern ein shnell fliegendes Kampfflugzeug was erheblihe Zweifel am Geisteszustand des Piloten im Linienflugzeug aufkommen lassen würde. Der Linienpilot misst für den Kampfjet eine Geshwindigkeit von u = 400 m/s, während er selber mit v = 50 m/s unterwegs ist. Der ruhende Beobahter am Boden registriert für den Kampfjet eine Geshwindigkeit von m m m m u = s s = s 650, 1 m m s s s 8 m 3 10 s was dem klassishen Resultat entspriht Beispiel UFO Gehen wir zugunsten des Piloten davon aus, dass er tatsählih ein UFO gesehen hat und dafür eine Geshwindigkeit von 0.8 misst wie er das trotz seiner Überra- Kantonsshule Solothurn, Reto Basler Stotzer 14

15 shung hinkriegt, und wie er das tehnish maht, sei mal dahingestellt und der Pilot einen Flieger mit dem neuen X Speed Antrieb hat und selbst mit 0.5 unterwegs ist, dann misst der Beobahter am Boden für die fliegende Untertasse eine Geshwindigkeit von 8 m 8 m 8 m m u = s s = s m 8 m s s s 8 m 3 10 s und niht 1.3 fahe Lihtgeshwindigkeit, wie nah dem klassishen Resultat zu erwarten wäre! Relativistishe Massenzunahme Die bei hohen Geshwindigkeiten auftretende Zeitdilatation wirkt sih auh auf andere Grundgrössen der Mehanik aus. Ein erstes Beispiel ist die Masse, die ja ein Mass für die Trägheit eines Körpers ist. Betrahten wir in einem Gedankenexperiment ein Auto der Masse m 0 = 1000 kg. Es durhfährt mit gleihförmiger Geshwindigkeit im Bezugssystem K eine 100 m lange Messstreke in y Rihtung in 4 s. Somit hat es die Geshwindigkeit v A = 5 m/s. Mit dieser Geshwindigkeit prallt das Auto frontal auf eine Mauer. Quelle: unbekannt Die Tiefe des in der Mauer entstehenden Lohs ist ein Mass für den Impuls p, den das Auto gehabt hat. p = m v A = 1000 kg 5 m / s 5'000 kgm / s 0 = Stellen wir uns vor, wir seien ruhende Beobahter und das ganze Bezugssystem K mit Auto und Mauer rase in x- Rihtung mit der Geshwindigkeit v = 0.6 an uns vorbei. Zwar ist die Messstreke in y Rihtung auf für uns 100 m lang, wegen der Zeitdilatation wird sie aber für uns niht in 4.0 s sondern in der Zeit Kantonsshule Solothurn, Reto Basler Stotzer 15

16 t 4.0 s t = 0 = 5. 0 s 1 β = durhfahren. Uns ersheint die Geshwindigkeit des Autos in y Rihtung aus auf v A ' = 0 m/s verringert. Da das Loh in der Mauer auh für uns dieselbe Tiefe hat, ist der Impuls p' = m v ' A aus unserer Siht ebenso 5'000 kgm/s wie aus der Siht eines in K ruhenden Beobahters. Es bleibt nur eine Erklärung: Für uns hat das Auto statt der "Ruhemasse" m 0 = 1000 kg die Masse: p' 5'000 kgm / s m' = = = 150 kg v ' 0 m / s A Die Masse eines ruhenden Körpers ist seine Ruhemasse m 0. Die Masse m eines mit der Geshwindigkeit v = β bewegten Körpers ist grösser als seine Ruhemasse: m = γ m 0 oder m = m 0 1 β = m 0 v 1 Zusammenhang zwishen Geshwindigkeit und Masse: Quelle: unbekannt Die relativistishe Massenzunahme beträgt dann: m = m m ( 0 = γ m0 m0 = m0 γ Relativistishe Effekte mahen sih erst bemerkbar, wenn sih Körper shneller als mit 10% der Lihtgeshwindigkeit bewegen. 1) Kantonsshule Solothurn, Reto Basler Stotzer 16

17 Die überrashende Aussage der Relativitätstheorie, dass die Masse eines Körpers von seiner Geshwindigkeit abhängt, wurde 1909 durh einen von BUCHERER durhgeführten Versuh für das Elektron bestätigt. Ein radioaktiver β-strahler sendet Elektronen aus. Sie haben alle möglihen Geshwindigkeiten im Bereih zwishen etwa 0,0 und 0,95. Mit einem Geshwindigkeitsfilter lassen sih Elektronen jeder gewünshten Geshwindigkeit aussondern. Es besteht aus dem elektrishen Quelle: unbekannt Feld eines sehr eng gebauten Plattenkondensators und einem dazu senkrehten Magnetfeld. Ein Elektron hat die negative Elementarladung e = 1, C. Im elektrishen Feld der Feldstärke E wird es mit der Kraft F e = e E nah oben zur positiv geladenen Platte abgelenkt. Im magnetishen Feld der Feldstärke B wird es, mit der Lorentzkraft F L = e v B nah unten abgelenkt. Die Kraft des elektrishen Feldes hängt niht von der Elektronengeshwindigkeit v ab, die des Magnetfelds hingegen ist zu ihr proportional. Nur für Elektronen einer einzigen Geshwindigkeit v kompensieren sih beide Kräfte: E v = F L = F e evb = ee B Diese Elektronen bewegen sih im Geshwindigkeitsfilter geradeaus und danah, im Magnetfeld ausserhalb des Kondensators, auf einer Kreisbahn. Dort wirkt die Kraft F L als Zentripetalkraft F z : F z = F L mv = r evb ebr m = v BUCHERER variierte die elektrishe Feldstärke E des Kondensators und damit die Geshwindigkeit v der untersuhten Elektronen. Durh Messungen der jeweiligen Kreisbahnradien r bestimmte er die zugehörige Elektronenmasse m und bestätigte, dass sie gegenüber der Ruhmasse m 0 = 9, kg um den Faktor γ erhöht ist. Kantonsshule Solothurn, Reto Basler Stotzer 17

18 Äquivalenz von Masse und Energie Die wohl wihtigste Erkenntnis der Relativitätstheorie lässt sih gewinnen, wenn man die Formel für die relativistishe Masse m = m 0 1 β im Punkt β = 0 durh ihr Taylorpolynom (Näherungsformel) ersetzt: 4 1 v 3 v m m m = m 1 + m v 3 + m 8 v multipliziert man diese Gleihung mit, so erhält man: 1 m = m0 + m0v + 3 m 8 0 v 4 Bei der Betrahtung dieses Terms fällt sofort der zweite Summand rehts vom 1 E kin = m0v Gleihheitszeihen auf; es ist die altbekannte kinetishe Energie:. Dann müssen aber alle Terme, welhe hier summiert werden von der Dimension einer E- nergie sein! EINSTEIN erkannte, dass m die Gesamtenergie eines Körpers der relativistishen Masse m ist, die sih aus den vershiedenen Summanden, der Ruheenergie m v m0 v + m und der kinetishen Energie 8 zusammensetzt. Der Korrekturterm der kinetishen Energie maht sih erst bei Geshwindigkeiten v > 0.1 bemerkbar. Ein ruhender Körper mit der Ruhemasse m 0 hat die Ruheenergie E 0 = m 0. Die Gesamtenergie E = m eines sehr shnell bewegten Körpers besteht aus Ruheenergie und kinetisher Energie: E = E 0 + E k Das merkwürdige ist aber doh, dass sih die Masse m und die Energie E nur um den konstanten Faktor untersheiden. Eine Erhöhung der kinetishen Energie eines Körpers bewirkt eine Erhöhung der Gesamtenergie und so gleihzeitig eine Erhöhung der Masse! Ist f eine auf dem abgeshlossenen Intervall [a,b] R n-mal stetig differenzierbare Funktion und existiert die Ableitung f (n), so lässt sih an jeder beliebigen Stelle x 0 [a,b] die Funktion f durh ihr ( n) Taylorpolynom approximieren: f ' ( x0 ) f ' ' ( x0 ) f ( x0 ) n f ( x) f ( x0 ) + ( x x0 ) + ( x x0 ) ( x x0 ). 1!! n! Mit dem TI-89 lässt sih das Taylorpolynom einfah berehnen: Eingabe: taylor(term1, Var, Grad[,Punkt]), dabei ist Term1 die zu entwikelnde Funktion, Var die Funktionsvariable, Grad = n und [,Punkt] ist die optionale Eingabe des Entwiklungspunktes, falls dieser von 0 abweiht. Kantonsshule Solothurn, Reto Basler Stotzer 18

19 In diesem Sinne sind Masse und Energie zwei gleihwertige Aspekte ein und derselben Sahe. Man bezeihnet dies als Äquivalenz von Masse und Energie. Für die kinetishe Energie gilt: Die kinetishe Energie E k eines mit der Geshwindigkeit v = β bewegten Körpers ist: E k = (γ 1) E 0 γ = Dabei ist E 0 = m 0 die Ruheenergie des Körpers und 1 1 β 16.8 Gedanken zur allgemeinen Relativitätstheorie Einsteinshe Äquivalenzprinzip Bei der speziellen Relativitätstheorie (SRT) sind stets gegeneinander unbeshleunigte Bezugssysteme betrahtet worden. Jeder Beobahter, unabhängig in welhem Bezugssystem er sih befindet, kann keine Aussage darüber mahen, ob sih sein Bezugssystem bewegt oder das beobahtete. Damit klammert man aber stillshweigend die Gravitationskräfte aus erweiterte Albert Einstein seine SRT, durh zulassen von beshleunigten Bezugssystemen (damit wurden Gravitationskräfte automatish eingeshlossen), zur allgemeinen Relativitätstheorie (ART). Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie bildet das Äquivalenzprinzip: Ein homogenes Gravitationsfeld ist zu einem gleihförmig beshleunigten Bezugssystem völlig äquivalent! Ob eine Rakete auf dem der Erde Boden steht oder im Weltraum mit 9.81 m/s durh die Triebwerke beshleunigt wird spielt für den Astronauten keine Rolle. Hat er keine Fenster und sind die Triebwerke vom neuesten Typ Flüsterleise, so kann er die beiden Situationen durh physikalishe Experimente niht untersheiden. Beide Bezugssysteme sind für ihn gleihwertig Auswirkungen Nehmen wir eine kleine Probemasse m 1 an, welhe im Gravitationsfeld der grossen Masse M frei falle. Am Anfangspunkt der Bewegung von m 1, im Unendlihen ( r = ), besitze sie die Geshwindigkeit v = 0. Mit dem Gravitationsgesetz folgt für ihre Geshwindigkeit in der Entfernung r von M: Kantonsshule Solothurn, Reto Basler Stotzer 19

20 Die Messzeit soll nun so kurz sein, dass v im betrahteten Zeitabshnitt konstant ist. Der ruhende Beobahter bei r = misst dann für einen gewissen Strekenabshnitt das Zeitintervall t. Der auf m 1 reitende Beobahter hingegen misst aufgrund der Zeitdilatation das verkürzte Zeitintervall t ' = t. Zusammen mit obiger Formel v für die Geshwindigkeit erhalten wir damit t ' = t G M, mit ϕ =. ϕ r Für praktishe Probleme kann der Nenner angenähert werden: Shlussfolgerung: Offensihtlih gehen Uhren in einem Gravitationsfeld umso langsamer, je grösser das Gravitationspotential ist. Oder anders: Leute auf einem hohen Berg altern shneller als die Leute im Tal Effekte Gravitationsrotvershiebung Atome können angeregt werden. Relaxieren sie in ihren Grundzustand, so können sie die übershüssige Energie in Form von Strahlung ganz bestimmter Frequenz abgeben. Die Frequenz ist gegeben durh f =. Bewegt sih das Atom während des 1 T Kantonsshule Solothurn, Reto Basler Stotzer 0

21 1 Relxationsprozesses, dann misst ein ruhender Beobahter die Frequenz f =. ϕ 1+ Die gemessene Frequenz wird also kleiner als im Ruhesystem des Atoms. Man spriht von einer Gravitationsrotvershiebung Shwarze Löher t In der Formel t ' = tritt genau dann ein Problem auf, wenn ϕ = ist. In diesem Fall würde der Nenner null und t ' =. Diesem Wert des Gravitationspotentials ϕ entspriht der Radius GM r =. Dieser Radius wird Shwarzshild Radius genannt. Was hat es mit diesem Radius auf sih? Ist ein Objekt aufgrund seiner Dihte kleiner als sein Shwarzshildradius (wie man es sih bei Neutronensternen vorstellen könnte), so bedeutet dies, dass nihts(!) von diesem Objekt entkommen kann, wenn es näher als der Shwarzshildradius an diesem Objekt dran ist. Liht kann vom Ort r < r Shwarzshild einen Beobahter am Ort r > rshwarzshild niemals erreihen. Man bezeihnet deshalb den Bereih r < r auh als shwarzes Loh Gravitationslinsen Shwarzshild Der Effekt der Zeitdehnung innerhalb eines Gravitationsfeldes hat noh eine andere Auswirkung. Weil die Lihtgeshwindigkeit im Vakuum konstant ist, muss sih der Raum in einem Gravitationsfeld dehnen. Eine Masse beult also quasi das Raum- Zeit Gitter aus. Diese Ausbeulung ist umso grösser, je grösser die Masse ist. Deswegen verläuft ein Lihtstrahl im Bereih einer grossen Masse niht geradlinig, sondern wird von der Masse abgelenkt. Massen krümmen also den Lihtstrahl (Gravitationslinseneffekt). Quelle: antwrp.gfs.nasa.gov Kantonsshule Solothurn, Reto Basler Stotzer 1

22 16.9 Aufgaben 1) Ein 30-jähriger Weltraumfahrer startet im Jahre 004 zu einer Reise durh das Weltall. Seine durhshnittlihe Reisegeshwindigkeit beträgt relativ zur Erde 40 gemessen v =. Wie alt ist der Weltraumfahrer, wenn er im Jahre zurükkehrt? ) Zwei synhronisierte Uhren A und B haben auf der Erde einen Abstand von km. Eine Rakete fliegt mit der Geshwindigkeit v = über die Erde 13 hinweg und kommt erst bei Uhr A, dann bei Uhr B vorbei. Bei A zeigt eine Uhr in der Rakete die gleihe Zeit wie Uhr A an. Welhe Zeit zeigt die Raketenuhr im Vergleih zur Uhr B an, wenn sie über diese hinwegfliegt? 3) Im Jahre 1995 startet ein 0-jähriger Astronaut zu einer Weltraumreise. Da 60 seine Rakete mit v = fliegt und damit fast Lihtgeshwindigkeit erreiht, 61 kann er während seiner 33 Jahre dauernden Reise auh den 9.7 Lihtjahre entfernten Sirius besuhen. a) Welhes Jahr shreibt man auf der Erde, wenn der Astronaut als 53- jähriger zurükkehrt? b) Wie alt ist der Astronaut, wenn er auf seinem direkten Flug zu Sirius diesen Stern passiert? ) Wie shnell hätte der Astronaut fliegen müssen, um während seiner 33 Jahre dauernden Reise auh den Millionen Lihtjahre entfernten Andromedanebel besuhen zu können? 4) Wie gross wäre die Halbwertszeit der Myonen, wenn sie mit derselben Geshwindigkeit v = im Ring kreisen würden wie Elektronen im Deutshen Elektronensynhrotron (DESY) in Hamburg? 5) Angenommen, die Myonen (v = ) hätten eine Lebenserwartung von 70 Jahren. Wie lange lebten sie dann im Speiherring? 6) Wie shnell muss ein Elektron in einem Beshleuniger sein, dass dessen Länge für das Elektron auf ein Viertel kontrahiert ersheint? 7) Ein Raumshiff fliegt mit v = 0.6 über eine synhronisierte Uhrenkette hinweg. Anfang und Ende des Raumshiffes befinden sih gleihzeitig über zwei Uhren, die einen Abstand von 48 m haben. Wie lang ist das Raumshiff für einen Astronauten, der sih im Raumshiff aufhält? Wie erklärt er sein anderslautendes Ergebnis? 8) Wie gross ist die Massenzunahme eines Satelliten mit 1000 kg Masse, der auf seiner Erdumlaufbahn eine Geshwindigkeit von 8'000 km/h hat? 9) Im deutshen Elektronensynhrotron DESY werden Elektronen auf eine Geshwindigkeit von v = beshleunigt. Um welhen Faktor ist die dynamishe Masse dann grösser als die Ruhemasse? Kantonsshule Solothurn, Reto Basler Stotzer

23 16.10 Lösungen Er kommt also als Siebenunddreissigjähriger im Jahre 035 zurük. 1) Für den Weltraumfahrer vergehen t = ( ) a = 31a 6. 8a ) Während des Fluges der Rakete von Uhr A zur Uhr B vergeht auf der Erde die s km 1 Zeit tr = = = ms. Währenddessen vergeht in der Rakete 1 km s v nur die Zeit t = t R = ms = ms. Die Uhr in der Rakete zeigt daher ms ms = 1 ms weniger an als die Uhr B, wenn sie über diese hinwegfliegt. 3) a) Auf der Erde sind 183 Jahre vergangen; man shreibt das Jahr 178: t 33a t R = = = 183a v Lj b) In Erdzeit vergehen für die Reise zum Sirius t R = = 9. 86a. Für den Astronauten vergehen jedoh nur t = 9.86a = 1. 78a. Er kommt als 61 Einundzwanzigjähriger am Sirius vorbei. v d ) Aus t = t R folgt mit t R = 33a und t R = (d = Mio Lj = v 10 6 v 1 1 a) = = Die Geshwindigkeit des Raumshiffes müsste sih also auf 34 Billionstel von nähern. 1.5 µ s 4) Die Halbwertszeit wäre t R = = 19. 6ms a 5) = 01a ) Aus l v lk l K = folgt = = v l Kantonsshule Solothurn, Reto Basler Stotzer 3

24 48m 7) Die Eigenlänge der Rakete beträgt l R = 60 m: l R = = 60m. Für den 0.6 Astronauten ist die Uhrenkette niht synhronisiert. In Flugrihtung gesehen geht jede nahfolgende Uhr um eine bestimmte Zeitspanne gegenüber der davor stehenden Uhr vor! Anfang und Ende des Raumshiffs werden daher für den Astronauten niht gleihzeitig markiert, sondern der Anfang zu früh, das Ende zu spät. Die Länge wird zu klein gemessen. 8) Da hier v << ist, benutzen wir die Näherung m m = m0 1 ( v ) folgt m = kg. ( v ) 1 ( v ) 1+ v. Aus 9) Die dynamishe Masse der Elektronen ist nahezu mal grösser als ihre m 1 Ruhemasse: = = m 0 v Kantonsshule Solothurn, Reto Basler Stotzer 4

25 16.11 Anhang Einsteins Originalpublikation aus dem Jahre 1905 zur Relativitätstheorie (Annalen der Physik) Kantonsshule Solothurn, Reto Basler Stotzer 5

26 Kantonsshule Solothurn, Reto Basler Stotzer 6

27 Kantonsshule Solothurn, Reto Basler Stotzer 7