Spezielle Relativitätstheorie * Projekttage im Juli 2016 am EMG

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1 Spezielle Relatiitätstheorie * Projekttage im Juli 06 am EMG. Konstanz der Lihtgeshwindigkeit a) Shallwellen Shallwellen breiten sih in der Luft aus. Die Höhe eines Tons hängt on der Wellenlänge λ bzw. on der Frequenz f ab. Hierbei gilt für die Shallgeshwindigkeit : f wobei T die Shwingungsdauer ist. T Bewegt sih der Sender relati zur Luft, so nimmt ein ruhender Beobahter eine andere Tonhöhe wahr. Bewegt sih der Beobahter relati zum ruhenden Ausbreitungsmedium Luft. So erreihen ihn die Shallwellen mit der Geshwindigkeit ± Beob. Animationen: (Bildquelle: Phsik Oberstufe Gesamtband, Cornelsen S. ) (download) b) Liht (elektromagnetishe Wellen) In welhem Medium breitet sih Liht aus? Diese Frage stellten sih Phsiker um 900. Man nahm als Medium den sogenannten Äther an und ersuhte die Bewegung der Erde in diesem Medium nahzuweisen. (Beahte: Erde bewegt sih um Sonne, Sonne bewegt sih in Galaxie ) Mihelson (8-9; Nobelpreis 907) entwikelte 88 in Potsdam ein optishes Interferometer, dessen extreme Empfindlihkeit ein Kontrollexperiment zur Ätherhpothese ermöglihte. Morle (88-9) wiederholte 88 das Experiment in Cleeland. Ein Lihtbündel wird durh einen halbdurhlässigen Spiegel S in zwei Teile zerlegt, die an den Spiegeln S bzw. S reflektiert werden und durh den Spiegel S shließlih in ein Fernrohr gelangen. (Bildquelle: Phsik Oberstufe Gesamtband, Cornelsen S. 6) Da die Lihtwege der beiden Teilstrahlen niht exakt gleih lang sind, kommen die beiden Strahlen mit einem Ganguntershied λ im Fernrohr an. (D.h. ein Wellenberg on Strahl kommt niht genau mit einem Wellenberg on Strahl zusammen.) Die Überlagerung der beiden Teilstrahlen liefert daher ein so genanntes Interferenzbild. Wenn sih die Laufzeit eines Teilstrahls nur minimal ändert, so ergrößern oder erkleinern sih die einzelnen Interferenzringe. Da die Laufzeit der Teilstrahlen auh on der relatien Bewegung zum Äther abhängt, sollte sih bei einer Drehung der gesamten Anordnung das Interferenzbild in der angegebenen Weise erändern. Um eine ausreihende Genauigkeit zu erhalten, musste Mihelson für den Abstand zwishen dem Spiegel S und den beiden Spiegeln S und S immerhin 0m wählen. Auh bei späteren, noh genaueren Messungen ergab sih immer wieder das unerwartete Ergebnis: Das Interferenzbild ändert sih niht, d.h. man kann einen Ätherwind niht nahweisen.

2 Das Fehlen eines Ätherwinds ersuhte man untershiedlih zu deuten: a) Die Erde ruht im Ätherwind (extrem unwahrsheinlih!) b) Die Erde führt den Äther mit (Versuhe on Fizeau und Fresnel; Mitführungshpothese) ) Längen erkürzen sih in (Kontraktionshpothese on Lorentz 89) Bewegungsrihtung d) Es gibt keinen Äther (Einstein 90). Postulate der Speziellen Relatiitätstheorie (SRT) Einstein leitet 90 seine SRT aus den beiden folgenden Postulaten her:. Relatiitätsprinzip Alle so genannten Inertialssteme ( niht beshleunigte Ssteme, die sih relati zueinander mit konstanter Geshwindigkeit bewegen) sind gleihberehtigt: In allen Inertialsstemen haben die phsikalishen Gesetze die gleihe Form.. Konstanz der Lihtgeshwindigkeit Die Vakuum-Lihtgeshwindigkeit ist in allen Inertialsstemen gleih groß. Sie ist unabhängig on der Bewegung der Lihtquelle und on der Ausbreitungsrihtung. = m/s. Zeitlih-Räumlihe Bezugsssteme Längenmessung ruhender Streken Wie misst man die Länge einer ruhenden Streke [AB]? Sende on A einen Lihtstrahl zu B, der bei B reflektiert wird. Der reflektierte Strahl trifft nah der Zeit t wieder bei A ein. Die Länge der Streke beträgt AB t Snhronisation zueinander ruhender Uhren Um zwei zueinander ruhende Uhren zu snhronisieren sendet man on Uhr A zum Zeitpunkt t ein Lihtsignal zur Uhr B, das dort zum Zeitpunkt t reflektiert wird. Kommt das Lihtsignal zum Zeitpunkt t bei A zurük, so gilt t (t t ). Minkowski-Diagramme Zur Veranshaulihung on zueinander sih (in x-rihtung) mit konstanter Geshwindigkeit bewegender Ssteme S und S wählt man ein t-x-diagramm, bei dem man auf der t-ahse die Einheit s und auf der x-ahse die Einheit Lihtsekunde = Ls = s wählt. Ein Lihtstrahl bewegt sih dann auf einer Geraden mit der Steigung oder -. Wihtige Begriffe: 7 6 A A t = t zurük t ab t B B t t t in s Ein Ereignis entspriht einem Punkt im Minkowski-Diagramm, das ist ein bestimmter Ort zu einer bestimmten Zeit. (Z.B. Ort und Zeit der Reflexion eines Lihtsignals) Eine Weltlinie ist der Graph eines Gegenstands oder Lihtsignals als Funktion der Zeit. Aufgabe: Zeihne das abgebildete Minkowskidiagramm ab und gib die zugehörigen Funktionsgleihungen an. Was beshreiben die Geraden? x

3 . Geshwindigkeitsradar B (Sstem S ) bewegt sih relati zu A (Sstem S) mit der Geshwindigkeit in positier x-rihtung. Im zeitlihen Abstand t sendet A Lihtsignale an B. Diese Signale werden bei B reflektiert und kehren im zeitlihen Abstand τ bei A zurük. Zeige: t t und t t 6 7 t t in s - τ Hinweis: Nähert sih B mit der Geshwindigkeit (in negatier x-rihtung), so stimmen die beiden Formeln ebenfalls, wobei negati einzusetzen ist bzw. einen negatien Wert erhält. x Aufgabe: Bestätige die Behauptung des Hinweises durh eine genaue Zeihnung zur Weltlinie x = 6 s 0,6 t für B und t =,0s. Wenn man on A aus Liht bzw. Radar der Frequenz f ab zu B shikt, so kommt das reflektierte Signal mit der Frequenz f zurük zurük und es gilt: fab fzurük denn f also fab und fzurük und daher T t fab fab f und nah aufgelöst zurük f t f f zurük ab zurük. Der k-faktor (Dopplerfaktor) B (Sstem S ) bewegt sih relati zu A (Sstem S) mit der Geshwindigkeit. Im zeitlihen Abstand t sendet A Lihtsignale an B. B empfängt diese Signale im zeitlihen Abstand t mit seiner Uhr, die er mit sih führt. Der k-faktor wird festgelegt durh t = k t. Begründe (zunähst für posities ) k für 0 bzw. k für 0 6 Ereignis R t (B entfernt sih) (B nähert sih an) t R - t t τ τ t in s x t R t R

4 6. Skalierung der t -Ahse und das Zwillingsparadoxon Aufgabe: Beobahter B (Sstem S ) bewege sih mit = 0,6 in positier x-rihtung relati zu Beobahter A (Sstem S). a) Zeihne ein Minkowski-Diagramm und trage auf der t -Ahse on B die on B gemessenen Zeiten ein. Nahdem sih B zunähst (nah seiner Zeitmessung) s on A entfernt hat, wendet er plötzlih und bewegt sih nun wieder (mit gleiher Geshwindigkeit 0,6) auf A zu. Während der gesamten Zeit sendet A im Abstand on exakt s Lihtsignale an B, die bei B reflektiert werden. b) Zu welhen Zeitpunkten (in den jeweiligen Sstemen) treffen sih A und B erneut? 7. Das t - x - Koordinatensstem und die Relatiität der Gleihzeitigkeit Beobahter B (Sstem S ) bewegt sih mit der Geshwindigkeit = 0, in positier x-rihtung relati zu Beobahter A (Sstem S). Zum Zeitpunkt t = 0s und t = 0s der Begegnung on A und B (Ereignis E ) sendet A ein Lihtsignal aus, das im Abstand on x R = Ls an einem Spiegel reflektiert wird (Ereignis R). Das reflektierte Lihtsignal kommt zunähst an Beobahter B orbei (Ereignis E ) und erreiht shließlih Beobahter A (Ereignis E ). Zeihne das abgebildete Minkowski-Diagramm ab! a) Begründe, dass das Ereignis Z aus Siht on B gleihzeitig mit dem Ereignis R stattfindet. Für A dagegen finden die Ereignisse Z und R niht gleihzeitig statt. Welhe Zeitspanne liegt für A zwishen diesen beiden Ereignissen. b) Begründe, warum die zu ZR parallele Gerade die x -Ahse on Sstem S ist. ) Begründe, dass die x -Ahse und die t -Ahse ahsensmmetrish zum ausgesandten Lihtsignal liegen. 6 R E Weltlinie Spiegel Z E E t in s x

5 8. Zeitdilatation und Längenkontraktion a) Zeitdilatation (Zeitdehnung) B bewegt sih mit der konstanten Geshwindigkeit in positier x-rihtung. B und A begegnen sih zum Zeitpunkt t = t = 0. Zum Zeitpunkt t sendet A eine Lihtsignal an B, das zum Zeitpunkt t R bei B reflektiert wird (Ereignis R). Für B findet das Ereignis zum Zeitpunkt t R statt. Während seit dem Zeitpunkt t = t = 0 für die Uhr on B die Zeitspanne t = t R ergangen ist, zeigen die snhronisierten Uhren im Sstem on A die Zeitspanne t = t R an. Zeige: t ( ) t mit ß shreibt man kürzer t ß t xr 6 tr R t in s Merke: Bewegt sih eine Uhr mit der Geshwindigkeit relati zu einem Satz snhronisierter Uhren, so geht t tr t t in s x diese Uhr um den Faktor ( ) ß langsamer als der Satz snhroniserter Uhren. b) Längenkontraktion Die Reflexion des Signals (Ereignis R im Bild oben) findet on A aus betrahtet im Abstand x R statt. An dieser ruhenden Streke der Länge x = x R ist B mit der Geshwindigkeit orbeigeflogen. B beurteilt die Länge dieser Streke daher mit x = x R = t R Zeige: x ( ) x ß x Merke: Ein im Sstem A ruhender Maßstab der Länge x wird on einem Sstem B, das sih in Rihtung dieser Länge mit der Geshwindigkeit bewegt, um den Faktor ( ) ß erkürzt gemessen. Aufgabe: Astronaut Pirx möhte zu einem 0 Lihtjahre entfernten Stern fliegen. Er will diese Streke aber in nur Jahren zurüklegen. a) Zeige, dass dies möglih ist und bestimme die erforderlihe Reisegeshwindigkeit. b) Welhen Kilometerstand zeigen die Messinstrumente on Pirx an, wenn er mit einem Kilometerstand on 0 Lihtsekunden gestartet ist.

6 9. Einsteinaddition on Geshwindigkeiten B bewege sih relati zu A mit der Geshwindigkeit AB = > 0 C bewege sih relati zu A mit der Geshwindigkeit AC = > C bewege sih relati zu B mit der Geshwindigkeit BC = u (und damit u > 0) Leider gilt niht = + u! u Zeige: u und u t Weltlinie C - t t in s x t Hinweis: Verwende die folgenden Dopplerfaktoren: u k k ; k ; k und begründe k. u k k ( ) ( ) Zeige u und k und setze dieses k beim Term für u ein! k ( ) ( ) Aufgaben:. B bewege sih relati zu A mit = 0, und C bewege sih mit = 0,8 relati zu B. Mit welher Geshwindigkeit bewegt sih C relati zu A?. B bewege sih relati zu A mit = 0,8 und C bewege sih mit = - 0, relati zu B. Mit welher Geshwindigkeit bewegt sih C relati zu A?. B bewege sih relati zu A mit = 0,6. B sendet in Vorwärts- wie in Rükwärtsrihtung ein Lihtsignal mit der Geshwindigkeit aus. Mit welher Geshwindigkeit bewegt sih das Lihtsignal (laut Eisteinaddition) relati zu A?. Raumshiff Enterprise entfernt sih mit 60% der Lihtgeshwindigkeit on der Erde. Eine feindlihe Rakete fliegt mit 9% der Lihtgeshwindigkeit an der Enterprise in Rihtung Erde orbei. Mit welher Geshwindigkeit wird die Rakete auf der Erde einshlagen? u Hinweis : Man shreibt u und spriht on der Einsteinaddition. u

7 0. Geshwindigkeitsabhängigkeit der Masse Gedankenersuh: Gleihgewiht auf der Balkenwaage Im Sstem B befindet sih eine Balkenwaage (mit unendlih langen Balken). Zwei Wagen gleiher Masse m o bewegen sih mit konstanter Geshwindigkeit om Drehpunkt in entgegengesetzter Rihtung weg. Die Balkenwaage befindet sih daher immer im Gleihgewiht, denn on B aus betrahtet sind die beiden Wagen om Drehpunkt immer gleih weit entfernt. Beobahter A bewegt sih mit dem linken Wagen, Beobahter C mit dem rehten Wagen mit. Im Gleihgewihtsfall gilt im Sstem B : m o x A = m o x C Mit m o gibt man die so genannte Ruhemasse des Wagens an, d.h. die Masse des Wagens in einem Sstem, in dem der Wagen ruht. m o x A x C m o A B Im Folgenden betrahten wir den Vorgang aus der Siht des Beobahters A: B bewegt sih mit B= nah rehts und C bewegt sih mit C = = nah rehts. / Der Abstand des linken Wagen om Drehpunkt beträgt x A = t zum Zeitpunkt t. Der Abstand des rehten Wagen om Drehpunkt beträgt x C = C t - x A zum Zeitpunkt t. Da nun wie die Rehnung gleih zeigt die Hebelarme x A und x C im Sstem on A niht mehr gleih lang sind, aber immer noh das Hebelgesetz m o x A = m x C gelten muss, können die Massen der Wagen im Sstem A niht mehr gleih sein. Für die Masse des Wagens bei C muss Beobahter A einen anderen Wert als m o bestimmen, und dieser neue Wert der Masse hat damit zu tun, dass sih der Wagen relati zu A mit der Geshwindigkeit C bewegt. (Der linke Wagen hat für A dagegen die Masse m o.) Hebelgesetz: mo x A= m x C mo t m ( t t) zu jedem Zeitpunkt t. / Aufgabe: Leite aus dem angegeben Hebelgesetz zunähst folgende Beziehung her: m m o ( Gleihung ) Da wir aber m = m( C ) in Abhängigkeit on der Geshwindigkeit C ermitteln wollen, müssen wir in Gleihung noh durh C ersetzen. mo Zeige : m m( C) C ( ) Merke: Die Masse eines Gegenstands nimmt mit seiner Geshwindigkeit u zu. mo Es gilt m(u) (mit der Ruhemasse m o) u Aufgabe: Mit welher Geshwindigkeit muss sih ein Körper bewegen, damit seine Masse a) 0% mehr als seine Ruhemasse, b) die doppelte Ruhemasse, ) die 0-fahe Ruhemasse beträgt. C

8 . Kinetishe Energie und E = m Für kleine Geshwindigkeiten gilt die Näherung : m Damit folgt: m m m m m m E o o o o o o kin bzw. E m m (m m ) kin o o Eine Zunahme der kinetishen Energie bedeutet also eine Zunahme der Masse. Für Geshwindigkeiten, die im Vergleih zur Lihtgeshwindigkeit klein sind, lässt sih die kinetishe Energie aber einfaher und trotzdem sehr genau mit der bekannten Formel ½ m berehnen. Zudem liegt der Verdaht nahe, dass in der Ruhemasse m o ebenfalls Energie stekt, nämlih E o = m o Die Gleihung E = m besagt, dass Energie und Masse äquialent sind. Aus Energie lässt sih Masse erzeugen und aus Masse kann man Energie erzeugen. Kernkraftwerke, Kernwaffen, Teilhenbeshleuniger und insbesondere der Fusionsreaktor Sonne bestätigen diese Äquialenz. Aufgaben zu E = m a) Berehne die Energie, die in der Masse,0 kg stekt, in der Einheit kwh. b) Ein PKW (Masse, Tonnen) fährt mit einer Geshwindigkeit on 80 km/h. Berehne die kinetishe Energie in der Einheit J. Welher Massenzunahme des PKW entspriht das? ) Die Sonne besitzt eine Strahlungsleistung on,8 0 6 W. Wie iel Masse wandelt die Sonne pro Sekunde in reine Energie um? Galaktishe Lügengeshihte? Das Raumshiff Enterprise fliegt mit 0% der Lihtgeshwindigkeit durh die Galaxis, als es on einer feindlihen Rakete überholt wird, die sih relati zur Galaxis mit 0,80 bewegt. Der Kommandant löst sofort ein 0,70-Geshoss aus, das die Verfolgung der Rakete aufnimmt und kurze Zeit später diese Rakete zerstört. Prüfe im Sstem der Galaxis sowie im Sstem des Raumshiffs, ob es sih um eine wahre Geshihte handeln kann! Interessante Seiten Im Internet: