Physikaufgabe 53. ds d. wobei sowohl das Zeitelement als auch das Wegelement

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1 Home Startseite Imressum Kontakt Gästebuh Aufgabe: Beweisen Sie daß das Weltall eine endlihe Ausdehnung hat jeweils ein endlihes Alter erreiht und daß es keine Ursahe hat Lösung: Beginnend mit dem Urknall breitet sih das Liht radial on einer Singularität ausgehend mit Lihtgeshwindigkeit aus Nihts kann sih shneller bewegen als das Liht weder Materie noh Strahlung Wo kein Liht hinkommt ist auh nihts weder Raum noh Zeit noh Graitation die außerhalb des Alls auh noh gar niht angekommen sein könnte s wäre aber falsh das Vakuum als Nihts u beeihnen weil es erfüllt ist on elektromagnetisher Strahlung und somit on nergie Das Nihts hingegen könnte gar niht fluktuieren weil in ihm keine nergie stekt wohl aber im Vakuum dem leeren Raum der erst durh die Ausbreitung des Lihts aufgesannt wurde Daher erübrigt sih die Frage was um das Weltall herum ist Mit Hilfe der im Vakuum orhandenen nergie kann es B u einer Proton-Antiroton- Reaktion kommen auh wenn sih die beiden Teilhen anshließend wieder annihilieren; ihre nergie ist trotdem niht weg Liegt diese Paarbildung ausgerehnet auf dem Shwarshild- Radius eines Shwaren Lohs kann ein Teilhen überleben das andere niht Das freie Proton kann allein jedenfalls niht annihilieren und bleibt Masse Durh Materie-Antimaterie-Reaktionen können derart hohe nergien freigesett werden daß die Singularität buhstäblih auseinanderfliegt Dieses Phänomen nennt man Urknall inig Masse kann Geshwindigkeit annehmen die langsamer ist als die Ausbreitung des Lihts Legen wir nun in der Singularität ein Inertialsstem fest so hängen Raum und Zeit über das infinitesimale Längenelement und das infinitesimale igeneitelement d mit der Lihtgeshwindigkeit usammen: wobei sowohl das Zeitelement als auh das Wegelement Inarianten der Bewegung sind und die Koordinaten und t sih auf irgendeinen Punkt im Inertialsstem beiehen Dieser Punkt kann auh die Singularität selbst sein wenn der umgebende Raum u ebendieser Singularität usammengeshrumft ist Dabei ist die Zeit t mit der igeneit dh der Zeit in einem sih mit der Geshwindigkeit relati ur Singularität bewegenden Sstem durh folgende Relation erknüft: Nah dem Urknall eandiert der Raum aber er kann sih niht weiter ausdehnen als das Liht seit dem Urknall gekommen ist Angenommen die Ausdehnungsgeshwindigkeit des Weltalls also irgendeines Punkts gan am Rand des Uniersums hätte Lihtgeshwindigkeit erreiht; Wenn sie sih als Welle ausbreitet Wenn das Weltall insgesamt ungeladen ist fehlt allerdings das ugehörige lektron Coright 06 Manfred Hiebl Alle Rehte orbehalten Seite

2 dann würde sih seine igeneit niht mehr ändern und eine weitere Ausdehnung wäre ausgeshlossen Die Distan s beeihnen wir in diesem Fall als die maimale Größe des Alls Seten wir nun das infinitesimale Linienelement und das igeneitdifferential in die Definition der Lihtgeshwindigkeit ein so erhalten wir den Ausdruk Mit der Definition der Geshwindigkeit im Inertialsstem folgt daraus im Grenfall 0 also kur nah dem Urknall lim 0 d lim 0 Solange es nur einen Punkt im Uniersum gibt ist nah obiger Formel 0 0 und daraus folgt 0 t 0 s 0 Der Raum dehnt sih unähst roortional ur Zeit t mit Lihtgeshwindigkeit aus Sobald sih aber aufgrund der Materie die nun den Raum ausfüllt eine igeneit für den größten Durhmesser den der Raum bis dahin erreiht hat einstellt erkürt sih der anfangs noh niht gekrümmte Raum sogleih in Ausbreitungsrihtung des Lihts um den Betrag s dürfte klar sein daß wenn den Wert der Lihtgeshwindigkeit erreiht Zeit und igeneit wegen t onst erneut übereinstimmen müssen 3 weil sih die Differengeshwindigkeit bei maimaler Ausdehnung des Raumes bei der Grenwertbildung heraushebt lim d lim lim und sih aufgrund der folgenden Relationen am Uniersum nihts mehr ändert: 3 Der gesamte Raum wird dann sousagen u einer Singularität Coright 06 Manfred Hiebl Alle Rehte orbehalten Seite

3 0 0 Analog u oben erhalten wir für den Grenfall die Relationen 0 0 onst s onst Soweit folgt bislang alles aus den Gleihungen der Seiellen Relatiitätstheorie Die am nde erreihte Größe des Alls und sein maimales Alter lassen sih daraus allerdings noh niht ermitteln Bis um Anfang des Uniersums müßten wir theoretish allerdings urükbliken können wenn wir uns niht ausgerehnet auf seinem Rand befinden umal die om Urknall herrührende 3-K-Strahlung meßbar ist uns also bereits erreiht hat Wir erfolgen nun im Anshluß noh einen weiteren Ansat nämlih über den reiroken Raum Ist die Lihtgeshwindigkeit durh das infinitesimale Wegdifferential gegeben so liefert das infinitesimale Imulsdifferential eine äquialente relatiistishe Beshreibung in der das quadratishe Imulsdifferential als Viererektor geshrieben werden kann woraus sih der Kehrwert der Lihtgeshwindigkeit im reiroken Raum u ergibt Ähnlih um gewöhnlihen ierdimensionalen Raum mit gilt im reiroken Raum 4 Kur nah dem Urknall besteht sämtlihe nergie aus kinetisher nergie daher gilt m m 4 Wegen des Kehrwerts der Lihtgeshwindigkeit Coright 06 Manfred Hiebl Alle Rehte orbehalten Seite 3

4 Coright 06 Manfred Hiebl Alle Rehte orbehalten Seite 4 Differenieren wir diese Gleihung artiell nah den Imulsen so gilt für die Kehrwerte Diese in das Imulsdifferential eingesett ergeben den Ausdruk Dabei sind nergie und Masse gemäß m ueinander äquialent Kur or dem nähsten Urknall besteht dann sämtlihe nergie aus rein elektromagnetisher Strahlung und es gilt Mit den artiellen Ableitungen ergeben sih folgende Kehrwerte die eingesett in das differentielle Imulselement den Ausdruk ergeben Seten wir um Zeitunkt des Urknalls kinetishe und otentielle nergie gleih so folgt daraus m Natürlih dürfen wir um Zeitunkt des Urknalls m seten usw weil sih genau u diesem Zeitunkt die gesamte elektromagnetishe Strahlung in Masse und damit in kinetishe nergie umwandelt Wir können daher shreiben:

5 4 m Da nah der nergie-imuls-relation 4 m 4 um Zeitunkt des Urknalls m ereinfaht sih diese Gleihung nohmals u Das kann allerdings nur gelten wenn um Zeitunkt des Urknalls t onst ist das heißt wenn die Zeit u diesem Zeitunkt stillsteht und damit auh keinerlei kausale Wirkung im klassishen Sinne möglih ist Das Uniersum hat also keine Ursahe weil sih otentielle nergie auh gänlih ohne Ursahe in kinetishe nergie umwandelt Diese Umwandlung gehört shlihtweg um Wesen der nergie und ist eine Folge des Zweiten Hautsates der Thermonamik Obige Gleihung hat genau wei Lösungen für konstante raumunabhängige Zeit und war für 0 und Die erste folgt aus der Definition der igeneit und gilt allgemein in der Singularität weil dort definitionsgemäß sih aus der Formel t ist die weite ergibt 0 dh und gilt für maimale Raumausdehnung s onst Daraus folgt ebenfalls daß die Zeit endlih ist 0 dh onst weil der Raum sih niht mehr weiter ergrößern kann Das entsriht genau dem Fall in der Singularität außer daß dort 0 ist denn unmittelbar or dem nähsten Urknall ershwindet das Differential der igeneit regelmäßig: Coright 06 Manfred Hiebl Alle Rehte orbehalten Seite 5

6 0 Wie für 0 dh wenn Zeit und igeneit übereinstimmen und die Relatiität aufgehoben ist gilt also auh im Falle maimaler Ausdehnung : 0 0 und wie der gewöhnlihe ierdimensionale Raum fordert auh der reiroke Raum 0 0 onst Mithin ist es also rein mit Hilfe der Seiellen Relatiitätstheorie und der Quantenmehanik gelungen u eigen daß das Weltall keine Ursahe hat aber auh niht einfah aus dem Nihts entstanden ist da man nergie ohne Kausalität niht aus dem Nihts ereugen kann und das Vakuum auh niht als Nihts erstanden werden darf Vielmehr ist das Weltall eitlih und räumlih begrent und wiederholt sih eriodish da es ohne Kausalität auh kein nde geben kann Was wir als Kausalität und eitlihen Ablauf begreifen ist nihts anders als eine kontinuierlihe Umwandlung on ntroie die in der Raumeit abnimmt und im reiroken Raum u so daß das nähste Weltall jeweils aus dem reiroken Raum herorgeht während das reale darin ershwindet Coright 06 Manfred Hiebl Alle Rehte orbehalten Seite 6