Ketten. I n = [0,1] n, n 0, mit der Vereinbarung I 0 Õ{0}. Sei n 0. Der Standard-n-Würfel ist die Abbildung. Definition. I n : I n! R n, I n (x) = x.

Transkript

1 Ketten Ketten Wir spezifizieren nun die geometrishen Objekte, über die wir Differenzialformen integrieren wollen. Die Begriffsbildung mag etwas umständlih ersheinen. Tatsählih handelt es sih auh nur um einen tehnishen wishenshritt, der es erlaubt, den allgemeinen Satz von Stokes?? einfah zu beweisen. Im Folgenden sei U immer ein Gebiet in einem euklidishen Raum. Ferner sei I = [0,1] und allgemeiner I n = [0,1] n, n 0, mit der Vereinbarung I 0 Õ{0}. Sei n 0. Der Standard-n-Würfel ist die Abbildung I n : I n! R n, I n (x) = x. Ein allgemeiner n-würfel in U ist eine stetige Abbildung : I n! U. Eine n-kette in U ist eine endlihe Linearkombination r r von n-würfeln 1,.., r mit ganzzahligen Koeffizienten 1,.., r. œ.ò a. Ein 0-Würfel : {0}!U ist ein Punkt in U. b. Ein 1-Würfel : [0,1]! U ist eine stetige Kurve in U.. Jeder n-würfel ist eine n-kette, wenn wir mit 1 identifizieren. apple/ Hinweis I n bezeihnet immer eine Abbildung, I n immer eine Menge. «Ketten treten in natürliher Weise als Ränder von Würfeln auf. Betrahte dazu zunähst den Standardwürfel. Sein Rand ist eine Kette aus n 1-Würfeln, die seine Seiten beshreiben und mit den geeigneten Vorzeihen versehen sind. Siehe Abbildungen 3 und 4 für die Ränder des Intervalls und des Quadrats I 2. Für 1 i n und 2{0, 1} heißt : In 1! I n, x, (x 1,..,x i 1,, x i,..,x n 1 ) die i, -Seite von I n. Die n 1-Kette n Õ ( 1) i+ heißt der Rand von I n. Der Rand einer 0-Kette ist 0. œ Vom Standardwürfel überträgt sih der Rand auf beliebige Würfel. ()-mahobs: 22.17

2 Der Fundamentalsatz im R n Abb 2 Standard- und allgemeine n-würfel für n = 0, 1, 2 I 0 I 2 Der Rand eines beliebigen n-würfels : I n! U ist Õ ( 1) i+ i,, wobei i, Õ die i, -Seite von bezeihnet. Entsprehend r r ) Õ r der Rand einer allgemeinen n-kette. œ Der Rand des Randes von I 2 ist 0, da jeder Ekpunkt einmal als Endpunkt einer Seite mit +1 und als Anfangspunkt der nähsten Seite mit 1 gewihtet wird, in der Summe also den Faktor 0 erhält. Dies gilt für jeden Würfel: 14 Satz Der hat = 0. œ Abb 3 Die Seiten des Einheitsintervalls und die Rand-Kette 1,0 1,1 1,0 + 1, ()-mahobs:

3 Ketten Für eine beliebige n-kette in U gilt = 0. hhhhh Es genügt, einen einzelnen n-würfel zu betrahten. Was für ihn gilt, gilt dann auh für jede n-kette. Betrahte zunähst die j, -Seite der i, -Seite von I n, ( ) j, : I n 2! R n, wobei wir i j annehmen können. Für x 2 I n 2 ist definitionsgemäß ( ) j, (x) = (In 1 j, (x)) wobei die Indizes an und stehen. Man beahte, dass = (x 1,.., j,..,x n 2 ) = (x 1,.., i,.., j+1,..,x n 2 ), vershoben wurde. Andererseits ist aber auh Also gilt (I n j+1, ) i, (x) = I n j+1, (I n 1 i, (x)) ( ) j, = (I n j+1, ) i,. nur angeben, an welhen Positionen die Einträge wegen i j von der j-ten an die j + 1-te Stelle = I n j+1, (x 1,.., i,..,x n 2 ) = (x 1,.., i,.., j+1,..,x n 2 ). Dasselbe gilt dann auh für einen beliebigen n-würfel, also ( i, ) j, = ( j+1, ) i,, i j. In der Randdarstellung X n ( 1) i+ i, = 1X i,j=1, =0 ( 1) i+ +j+ ( i, ) j, Abb 4 Die Seiten des Einheitsquadrates und deren Rand-Kette I 2 2,1 I 2 2,1 I 2 1,0 I 2 I 2 1,1 I 2 1,0 I 2 +I 2 1,1 I 2 2,0 +I 2 2,0 ()-mahobs: 22.19

4 Der Fundamentalsatz im R n existiert daher zu jedem Summanden genau ein weiterer Summand mit entgegengesetztem Vorzeihen. Die gesamte Summe vershwindet deshalb, so = 0. iiiii 22.4 Der Fundamentalsatz Jetzt geht es nur noh darum, Differenzialformen über Würfel zu integrieren. Dabei werden wir uns auf differenzierbare Würfel beshränken. unähst wieder einige en. Ist! eine n-form auf I n, so ist! = f dx 1 ^.. ^ dx n mit einer differenzierbaren Funktion f : I n klassish! = I n f dx 1 ^.. ^ dx n Õ I n f d n I n! R. Wir definieren dann ganz als das Lebesgueintegral der Koeffizientenfunktion f über I n bezüglih des Volumenmaßes d n. Das Integral über einen allgemeinen Würfel wird darauf zurükgeführt. Sei! eine stetige n-form auf einem Gebiet U. Für einen differenzierbaren n-würfel in U ist dann! Õ!, I n und für eine differenzierbare n-kette = r r ist! Õ 1! r!. 1 r Für n = 0 sei außerdem! Õ!((0)). œ.ò a. Für den Standardwürfel I n und! = f dx 1 ^.. ^ dx n ist dies wieder die vorher getroffene Vereinbarung:! = f dx 1 ^.. ^ dx n I n I n = (I n ) (f dx 1 ^.. ^ dx n ) I n = f dx 1 ^.. ^ dx n = f d n. I n I n ()-mahobs:

5 Der Fundamentalsatz b. Im Fall n = 1 handelt es sih um das bekannte Integral einer 1-Form = X i dx i 1 i n entlang einer Kurve : I! U, nämlih = = I I i=1 i ((t))ċ i (t) dt = h,ċi dt. apple/ I Wir haben jetzt alles beisammen, um den Satz von Stokes für Ketten zu formulieren und auh zu beweisen. 15 Fundamentalsatz Ist! eine differenzierbare n 1-Form auf einem Gebiet U und eine differenzierbare n-kette in U, so gilt d! =!. hhhhh uerst betrahten wir eine n 1-Form auf dem Standardwürfel. Eine solhe Form hat im R n die Basisdarstellung! = f µ! µ,! µ Õ dx 1 ^.. ^ d ˆx µ ^.. ^ dx n, µ=1 wobei das Dah bedeutet, dass dieser Term auszulassen ist. Aufgrund der Linearität der Integrale können wir uns weiter auf die Form! = f! µ beshränken. Dessen Integral über die i, -Seite von I n vershwindet für i î µ, weil dx i vershwindet, wenn die i-te Koordinate konstant ist. Für i = µ dagegen erhalten wir I n µ, f! µ = (Iµ, ) n (f! µ ) = f(.., µ,..) d n 1. I n 1 I n 1 Summieren wir über alle Seiten von I n, so leisten also nur die beiden µ-seiten einen Beitrag, so n f! µ = = ( 1) µ+1 1X ( 1) i+ I n µ,1 f! µ f! µ + ( 1) µ I n µ,0 f! µ = ( 1) µ+1 I n 1 [f (.., 1 µ,..) f(.., 0 µ,..)] d n 1. ()-mahobs: 22.21

6 Der Fundamentalsatz im R n Aufgrund des Fundamentalsatzes der Differenzial- und Integralrehnung einer Variablen ist hier f(.., 1 µ,..) f(.., 0 µ,..) µ f d 1, wobei nur in der µ-ten Koordinate integriert wird. usammen mit dem Satz von Fubini ergibt sih somit f! µ = n 1) µ f d n = ( I n 1) µ+1 Nun bemerken wir noh, dass d(f! µ ) = df ^ dx 1 ^.. ^ d ˆx µ ^.. ^ dx n µ f dx µ ^ dx 1 ^.. ^ d ˆx µ ^.. ^ dx n = ( 1) µ µ f dx 1 ^.. ^ dx n. Somit shließen wir, dass f! µ = d(f! µ n I n I µ f dx 1 ^.. ^ dx n. Der Satz von Stokes ist damit für den Standardwürfel bewiesen. Für einen allgemeinen n-würfel ist mit dem eben Bewiesenen und der des Randes von I n d! = (d!) = d(!) I n I n 1X =! = ( 1) n Für das letzte Integral erhalten wir! = (I n I n 1 i, )! = ( I n I n 1 i, )! = I n 1 i,! =!. i, Also ist d! =! n 1X ( 1) i+! = Der Satz von Stokes ist damit auh für einen allgemeinen n-würfel bewiesen. Für eine beliebige n-kette = r r ist dann alles klar: d! = X i d! = X i! =!. 1 i r 1 i r Damit ist der Satz von Stokes im R n vollständig bewiesen. iiiii ()-mahobs: