IX.5 Klassische Theorie der Strahlung

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1 18 Zeitabhängige elektromagnetishe Felder IX.5 Klassishe Theorie der Strahlung In diesem Abshnitt werden die Maxwell-Gleihungen in Anwesenheit fester äußerer Quellen mithilfe von sogenannten retardierten Potentialen gelöst. Dafür wird zunähst die retardierte Green she Funktion der inhomogenen klassishen Wellengleihung eingeführt IX.5.1. Mit deren Hilfe können für jede beliebige Ladungs- und Stromverteilung die dadurh verursahten Potentiale ausgedrükt werden IX.5.. In IX.5.3 wird eine Näherung der Potentiale hergeleitet, die sih weit von den Quellen ergibt. Shließlih wird das durh ein bewegtes geladenes Punktteilhen erzeugte elektromagnetishe Feld bestimmt IX.5.4. Dabei wird insbesondere die durh eine beshleunigte Punktladung abgestrahlte Leistung berehnet. IX.5.1 Green she Funktion der klassishen Wellengleihung Die Bewegungsgleihungen IX.1 für die elektromagnetishen Potentiale in der Lorenz-Eihung sind lineare partielle Differentialgleihungen der Form ft, r = Jt, r IX.55 mit vorgegebenem rehtem Glied J, d.h. eine inhomogene klassishe Wellengleihung. Die Lösung ist gleih der Summe aus der allgemeinen Lösung der assoziierten homogenen Differentialgleihung die in IX.4.1 b berehnet wurde und aus einer speziellen Lösung, die hiernah bestimmt wird. Sei Gt, r eine Green she Funktion der Gleihung IX.55, d.h. G soll der Differentialgleihung Gt, r; t, r = δt t δ 3 r r IX.56a genügen, wobei den d Alembert-Operator bezüglih der niht-gestrihenen ariablen t, r bezeihnet. Dann ist die Faltung von G und J eine spezielle Lösung der Gl. IX.55: ft, r = Gt, r; t, r Jt, r dt d 3 r. IX.56b Indem man partielle Ableitungen nah t oder den Komponenten von r mit Integralen über t und r austausht, gilt nämlih ft, r = Gt, r; t, r Jt, r dt d 3 r = Gt, r; t, r Jt, r dt d 3 r = δt t δ 3 r r Jt, r dt d 3 r = Jt, r. Hiernah wird gezeigt, dass die Differentialgleihung IX.56a zwei unabhängige Lösungen hat, die im Unendlihen vershwinden, und zwar G ret. t, r; t, r 1 r r 4π r r δ t t, G adv. t, r; t, r 1 r r 4π r r δ + t t. IX.57a IX.57b G ret. t, r; t, r ist die retardierte Green she Funktion: liegt der Beobahtungspunkt wo die Lösung f von Gl. IX.55 gemessen wird im Raumzeitpunkt P = t, r, dann ist der Träger von G ret. lokalisiert auf der Menge der Punkte t, r mit r r = t t und somit t t, entsprehend dem Rükwärtslihtkegel des Punkts P. G adv. t, r; t, r ist die avanierte Green she Funktion: G adv. ist lokalisiert auf dem orwärtslihtkegel r r = t t, woraus t t folgt, des Beobahtungspunktes P = t, r.

2 IX.5 Klassishe Theorie der Strahlung 181 Allgemeiner ist jede Funktion der Form Gt, r; t, r = AG ret. t, r; t, r + BG adv. t, r; t, r mit A + B = 1 ebenfalls eine im Unendlihen vershwindende Green she Funktion der inhomogenen klassishen Wellengleihung IX.55. Bemerkung: Bezeihnet man die retardierte bzw. avanierte Green she Funktion G ret. bzw. G adv. mit G bzw. G +, so gilt G t, r; t, r = π Θ ±t t δ t t + r r, wobei die einzige Rolle der Heaviside-Funktion Θ darin besteht, den Rükwärts- bzw. orwärtslihtkegel des Punkts t, r auszuwählen. Sei τ t t und ϱ r r. Aus δfx = i δx x i/f x i, wobei die Summe über die Nullstellen x i der Funktion f läuft Gl. C., folgt vgl. auh Gl. C.3 π Θ±τ δ t + ϱ = δϱ τ π Θ±τ δϱ + τ + = 1 ϱ δϱ τ = τ τ 4πϱ 4πϱ δ τ, wobei ϱ und die Skalierungseigenshaft C.17a der δ-distribution benutzt wurden. Bestimmung der Green shen Funktionen zur inhomogenen Wellengleihung Um eine Lösung der Gleihung IX.56a zu finden, ist es günstig, die Fourier-Darstellungen δt t = e iωt t dω π, δ3 r r = e i k r r d 3 k π 3 und Gt, r; t, r = Gω, k e iωt t k r r dω d 3 k π π 3 der δ-distributionen und der gesuhten Green shen Funktion einzuführen. Somit gilt Gt, r; t, r = Gω, k 1 + e iωt t k r r dω d 3 k π π 3 ω = k Gω, k e iωt t k r r dω d 3 k π π 3. IX.58 Dies muss gleih sein, woraus ω δt t δ 3 r r = k e iωt t k r r dω d 3 k π π 3 Gω, k = 1 bzw. Gω, k = 1 k ω / folgt. Nah Einsetzen in die Fourier-Darstellung IX.58 ergibt sih e Gt, r; t, r iωt t k r r dω d 3 k = k ω / π π 3. Dieser Ausdruk ist aber mehrdeutig, weil der Nenner des Integranden vershwindet. Sei gk, R e i k R d 3 k. Unter Einführung des Winkels θ zwishen k und R ergibt sih k k 1 gk, R = π k eikr os θ 1 k k dos θ dk = π k e ikr ir k k e ikr dk, IX.59

3 18 Zeitabhängige elektromagnetishe Felder Λ k Im k k ΓΛ Λ Re k Abbildung IX.3 Integrationskontour für die Berehnung von wobei R = R und k = k. Dies lautet noh gk, R = π k e ir ir k k dk k e ikr k k dk = π ir k k dk mit R >. k k dk, wobei die letzte Gleihung aus der Substitution k k im zweiten Integral folgt. Für k C mit Im k ist die Funktion gk, r wohldefiniert. Sei ΓΛ die in Abb. IX.3 dargestellte Integrationskontour; für R > gilt k k dk = lim Λ ΓΛ k k dk. Laut dem Residuensatz ist das Kontourintegral gleih πi multipliziert mit dem Residuum von /k k am Pol in der Halbebene Im k >. Für Im k > liegt dieser Pol bei k = k und das Residuum ist e ikr /. Für Im k < liegt der Pol bei k = k, mit Residuum e ikr /. Somit gilt π gk, R R = eik R wenn Im k >, π R e ik R wenn Im k <. Um den Fall k R zu behandeln, werden die Funktionen g ± k, R lim ɛ + gk ± iɛ, R = π R e±ik R definiert. Mit deren Hilfe lassen sih aus Gl. IX.59 zwei Green shen Funktionen herleiten, und zwar G ± t, r; t, r = 1 ω π 3 g ±, r r e iωt t dω π = 1 4π r r e iωt t r r / dω π, d.h. G ± t, r; t, r = 1 r r 4π r r δ t t, IX.6 entsprehend der retardierten G + und avanierten G Green shen Funktionen IX.57. IX.5. Retardierte Potentiale Mithilfe der im vorigen Paragraphen eingeführten Green shen Funktionen können nun spezielle Lösungen der Bewegungsgleihungen IX.1 für die elektromagnetishen Potentiale geshrieben werden. Somit liefert das Einsetzen der retardierten Green shen Funktion IX.57a in die allgemeine Formel IX.56b mit Quellterm ρ el. t, r /ɛ bzw. µ j el. t, r Φ ret. t, r = 1 G ret. t, r; t, r ρ el. t, r dt d 3 r IX.61a ɛ

4 IX.5 Klassishe Theorie der Strahlung 183 bzw. A ret. t, r = µ G ret. t, r; t, r j el. t, r dt d 3 r. IX.61b Diese Ausdrüke sehen offensihtlih sehr ähnlih aus. Daher werden im Folgenden detaillierte Herleitungen nur am Beispiel des ektorpotentials A ret. durhgeführt. Mit dem expliziten Ausdruk IX.57a der retardierten Green shen Funktion gelten 1 r r A ret. t, r = µ 4π r r δ t t j el. t, r dt d 3 r = µ 1 4π r r δ t t r r j el. t, r dt d 3 r IX.6a und für das Skalarpotential Φ ret. t, r = 1 4πɛ 1 r r Nah Durhführen des Integrals über die Zeit kommen Φ ret. t, r = 1 4πɛ A ret. t, r = µ 4π δ t t r r ρ el. t, r dt d 3 r. 1 r r ρ el. 1 r r j el. t r r, r d 3 r t r r, r d 3 r IX.6b IX.63a IX.63b Φ ret und A ret. heißen retardierte Potentiale. Dabei hängt das Skalar- bzw. ektorpotential am Ort r zur Zeit t von der Ladungsdihte ρ el. bzw. Stromdihte j el. am Ort r zur früheren, retardierten Zeit t r r / ab. Die erzögerung entspriht genau der Reisezeit des Lihts von r bis zu r. Bemerkungen: Die retardierten Potentiale genügen automatish der Lorenz-Eihbedingung IX.16. Das Einsetzen der Gl. IX.61 in die letztere gibt nämlih ɛ µ Φ ret. t, r + A ret. t, r = µ Gret. t, r; t, r ρ el. t, r + G ret. t, r; t, r j el. t, r dt d 3 r. Die Ableitung der retardierten Green shen Funktion nah t bzw. nah den Komponenten von r kann durh das Negative der Ableitung nah t bzw. nah den Komponenten von r ersetzt werden: ɛ µ Φ ret. t, r + A ret. t, r = Gret. t, r; t, r µ ρ el. t, r + r G ret. t, r; t, r j el. t, r dt d 3 r. Jetzt können partielle Integrationen über die Zeit t für den ersten Summanden im Integral oder die Ortskoordinaten r für den zweiten Summanden durhgeführt werden. Unter der Annahme, dass die integrierten Terme vershwinden entsprehend der Abwesenheit von Ladungen und Strömen im Unendlihen, kommt ɛ µ Φ ret. t, r + A ret. t, r = µ G ret. t, r; t, r ρel. t, r + r j el. t, r dt d 3 r. Der Term in ekigen Klammern stellt genau die linke Seite der Kontinuitätsgleihung IX.7 dar, d.h. er vershwindet.

5 184 Zeitabhängige elektromagnetishe Felder Wenn die Quellen ρ el. t, r, j el. t, r des elektromagnetishen Feldes vor einem Zeitpunkt t identish vershwinden, dann sind die Potentiale Φ ret. t, r, A ret. t, r für t t ebenfalls Null. Mithilfe der avanierten Green shen Funktion G adv. lassen sih auh avanierte Potentiale bestimmen. Physikalish werden solhe Potentiale übliherweise im Namen vom Prinzip der Kausalität niht angenommen: das Effekt Potential am Punkt t, r könne niht vor der Ursahe Quelle am Punkt t + r r /, r kommen. Diese Wahl der Lösung mit retardiertem Potential shließt also einen Untershied zwishen ergangenheit und Zukunft elektromagnetisher Zeitpfeil ein, der in den Maxwell-Gleihungen niht existiert. Referenz 3 legt eine Begründung dieser Wahl dar, die aber niht zwangsläufig ist: beispielsweise haben Wheeler und Feynman 31 lineare Kombinationen von retardierten und avanierten Potentialen benutzt, um Probleme der klassishen Elektrodynamik von Punktladungen insbesondere deren Selbstwehselwirkung zu lösen. Stationäre Quellen Falls die Quellen Ladungs- und Stromverteilungen des elektromagnetishen Feldes stationär sind, lauten die retardierten Potentiale IX.63 Φ ret. r = 1 ρel. r 4πɛ r r d3 r, IX.64a A ret. r = µ jel. r 4π r r d3 r. IX.64b Man findet also genau die Lösungen II. bzw. III.1 der Poisson-Gleihungen der Elektrostatik II.4 bzw. der Magnetostatik III.9 wieder. IX.5.3 Multipolentwiklung Die Ergebnisse des vorigen Paragraphen können zuerst auf den Fall von periodish oszillierenden Quellen angewandt werden, und zwar ρ el. t, r = Re ρ r e iωt, j el. t, r = Re j r e iωt IX.65 mit gegebenen ortsabhängigen Amplituden ρ, j. Dann gilt ρ el. t, r + j el. t, r = Re iωρ r + j r e iωt. Laut der Kontinuitätsgleihung IX.7 ist die linke Seite dieser Gleihung gleih Null, was nur dann möglih ist, wenn der Term in rehtekigen Klammern vershwindet, d.h. zu iωρ r + j r =. IX.66 Mit der Ladungsstromdihte j el. der Gl. IX.65 wird das retardierte ektorpotential IX.63b µ e A iωt ret. t, r = Re 4π j r eiω r r / r r d 3 r. IX.67 Sei angenommen, dass die Ladungsstromdihte j el. innerhalb eines Gebiets in der Umgebung des Nullpunkts r = lokalisiert ist, und dass sie am Rand des Gebiets vershwindet. Das elektromagnetishe Feld wird in einem weit entfernten Punkt r untersuht, d.h. r r gilt für jeden Punkt r. Dementsprehend darf man in erster Näherung r r durh r r in Gl. IX.67 ersetzen; daraus folgt µ e A iωt r/ ret. t, r Re j r d 3 r für große Abstände r. IX.68 4πr

6 IX.5 Klassishe Theorie der Strahlung 185 Zur Berehnung des Terms in ekigen Klammern kann man das Integral 3 x l x k j k r d 3 r k=1 k=1 k=1 betrahten. Es lässt sih einerseits direkt berehnen, denn der Integrand eine Ableitung ist: da j r = für r ist das Integral gleih Null. Andererseits kann man die Produktregel verwenden, woraus sih 3 x l x k j k r 3 d 3 r = δ kl j k r + x l jk r x k d 3 r = j l r + x l r j r d 3 r ergibt, mit r dem Gradient bezüglih der Komponenten von r. Daher gilt j r d 3 r = r r j r d 3 r. Aus der Beziehung IX.66 folgt dann j r d 3 r = iω r ρ r d 3 r. Somit wird das retardierte Potential IX.68 zu A ret. t, r Re iω µ e iωt r/ r ρ r d 3 r 4πr für große Abstände r. Dabei ist das Integral genau das in Gl. II.7 definierte elektrishe Dipolmoment P von der Ladungsverteilung, die das Potential verursaht. Insgesamt lautet das retardierte ektorpotential A ret. t, r µ 4πr ω P sin ω t r. IX.69 Dabei handelt es sih um Dipolstrahlung Aus diesem ektorpotential leitet man für r /ω die elektromagnetishen Felder Bt, r µ 4πr ω e r P os ω t r und Et, r µ 4πr ω e r e r P os ω t r ab, wobei e r den Einheitsvektor entlang r bezeihnet. IX.7a IX.7b