Stoffzusammenfassung/Skript: Elektrodynamik und Relativitätstheorie

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1 Stoffzusammenfassung/Skript: Elektrodynamik und Relativitätstheorie Jan Krieger Juli 2006

2 Inhaltsverzeihnis I. Mathematishe Grundlagen 5 1. Koordinatensysteme Polarkoordinaten Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten Zusammenhang zwishen den Koordinaten allg. Koordinatentransformation Spezielle Funktionen gewöhnlihe LEGENDRE she Polynome zugeordnete LEGENDRE she Funktionen Kugelflähenfunktionen Differentialoperatoren Karthesishe Koordinaten u = x, y, z) Zylinder-Koordinaten u = r, φ, z) Kugel-Koordinaten u = r, θ, φ) Sätze und Rehenregeln für den -Operator Integralsätze Sätze aus der Vektorfeldtheorie Inhomogene Wellengleihungen Homogene Wellengleihung Inhomogene Wellengleihung II. Elektrizität und Magnetismus Elektrostatik Kraftgesetz, Feld Elektrishes Potential Beispiele: elektrishes Feld und Potential Felddurhgang durh eine Platte Stetigkeitsbedingungen bei Leitern Plattenkondensator Kugelkondensator Zylinderkondensator geladener Stab Dipol Green she Theoreme Beispiele: Green she Theoreme Geerdete Kugel im Feld einer Punktladung Lösung der Laplae-Gleihung in Kugelkoordinaten Metallkugel im homogenen elektrishen Feld Multipolentwiklung

3 Inhaltsverzeihnis 8. Magnetostatik Elektrisher Strom Kraftgesetz und Feldgleihungen Vektorpotential Multipolwiklung und Dipolmoment Beispiele Homogenes Magnetfeld Magnetisher Dipol Stromdurhflossene Spule Stromdurhflossener Draht, Ohm shes Gesetz Maxwell-Gleihungen und Lorentz-Kraft Energie- und Impulssatz Energiesatz Impulssatz Skalar- und Vektorpotential in der Elektrodynamik Definition Coulomb-Eihung Lorenz-Eihung Lösung der Potentialgleihungen, Retardierte Potentiale Strahlungstheorie Liénard-Wiehert-Potentiale Beispiel: Ruhende Punktladung Beispiel: gleihförmig bewegte Punktladung Strahlungsleistung Dipolstrahlung Beispiel: Kreisförmig bewegte Ladung Elektro- und Magnetodynamik in Materie Feldgleihungen Materialgleihungen Stetigkeitsbedingungen Beispiel: Dielektrishe Kugel im homogenen elektrishen Feld Elektromagnetishe Wellen Wellengleihung in niht-leitenden Medien Lösung der Wellengleihung in niht-leitenden Medien Ebene Wellen Reflexion und Brehung Weitere Einfahe Wellentypen Helmholtz-Gleihung Wellenpakete Lösung der Wellengleihung in leitenden Medien III. Spezielle Relativitätstheorie Einführung und Relativistishe Mehanik Postulate und Minkowski-Raum Lorentz-Transformation Minkowski-Diagramme Einfahe Folgerungen aus der Lorentz-Trafo Geshwindigkeitsaddition Zeitdilatation Längenkontraktion

4 Inhaltsverzeihnis 16. Lorentzkovariante Formulierung der relativistishen Mehanik Beispiel: Massendefekt Beispiel: Compton-Effekt Lagrange-Formulierung der relativistishen Mehanik Beispiel: Freies, relativistishes Teilhen Lorentzkovariante Formulierung der Elektrodynamik Die Maxwell-Gleihungen Lorentz-Transformation des EM-Feldes Lorentz-Kraft Energie- und Impulserhaltung Beispiel: Gleihförmig bewegte Ladung Lagrange-Formulierung der Elektrodynamik Lagrange- und Hamilton-Funktion eines geladenen Teilhens Lagrange-Dihte des EM-Feldes Einführung in die klassishe Feldtheorie Lagrange-Dihte des EM-Feldes Eihinvarianz Hamilton-Formalismus Hypothetishe Photonenmasse Abshließende Bemerkungen zur Feldtheorie IV. Anhang 105 A. Weblinks 106 A.1. Grundlagen Literaturverzeihnis 107 4

5 Teil I. Mathematishe Grundlagen 5

6 1. Koordinatensysteme 1.1. Polarkoordinaten y y rdϕ da dr dϕ r ϕ e ϕ r x x = r os ϕ y = r sin ϕ e r = os φ, sin φ) e φ = sin φ, os φ) da = r dr dϕ d s = dr, r dϕ) r = x 2 + y 2 artan y x + π x < 0, artan y x x > 0, π ϕ = 2 x = 0 y > 0, π 2 x = 0 y < 0, unbestimmt x = y = 0. e r ϕ x 1.2. Zylinderkoordinaten z r dφ dr dz x = r os φ y = r sin φ z = z x θ dφ r z Pr, φ, z) e z z e r φ r e φ y y e r = os φ, sin φ, 0) e φ = sin φ, os φ, 0) e z = 0, 0, 1) dv = r dr dφ dz d A = e r r dφ dz) d s = dr, r dφ, dz) x 1.3. Kugelkoordinaten 6

7 1. Koordinatensysteme z x θ φ r sinθ dφ dr r dθ r dθ dφ y z φ x r θ e r e θ e φ y x = r sin θ os φ y = r sin θ sin φ z = r os θ e r = sin θ os φ, sin θ sin φ, os θ) e θ = os θ os φ, os θ sin φ, sin θ) e φ = sin φ, os φ, 0) dω = sin θ dθ dφ dv = r 2 sin θ dr dθ dφ d A = e r r 2 sin θ dθ dφ) d s = dr, r dθ, r sin θ dφ) 1.4. Zusammenhang zwishen den Koordinaten Hier ist Θx) die Heavyside she Sprungfunktion und sgnx) die Vorzeihenfunktion. kart. Koordinaten x, y, z) Zylinderkoord. r, φ, z) Kugelkoord. r, θ, φ) x = x = r os φ = r sin θ os φ y = y = r sin φ = r sin θ sin φ z = z = z = r os φ r = x 2 + y 2 = r = r sin θ φ = artan y x + πθ x) sgny) = φ = φ z = z = z = r os θ r = x 2 + y 2 + z 2 = r 2 + z 2 = r x φ = artan +y 2 z + = artan r z = θ πθ x) sgny) θ = artan y x = φ = φ 1.5. allg. Koordinatentransformation 3-dimensionale Grundaufgabe: Man löse das Volumenintegral f dv = fu, v, w) du dv dw V V unter der Koordinatentransformation u, v, w) r, s, t) mit: u = ur, s, t), v = vr, s, t), w = wr, s, t) So ist: Mit der Jaobi-Matrix: V fu, v, w) du dv dw = fr, s, t) J dr ds dt J = V dv = J dv u, v, w) r, s, t) = u r v r w r u s v s w s u t v t w t 7

8 2. Spezielle Funktionen 2.1. gewöhnlihe LEGENDRE she Polynome Definition Die LEGENDRE she Differentialgleihung für die Funktion y yx) hat mit n N 0 die Form: d 1 x 2 ) dyx) ) + nn + 1) yx) = 0 dx dx Die LEGENDRE she Polynome bzw. Kugelfunktionen 1. Art sind partikuläre Lösungen dieser DGl. Nah der Formel von RODRIGUEZ lassen sie sih berehnen zu: P n x) = 1 2 n n! dn x 2 1 ) n dx n Die ersten 11 LEGENDRE-Polynome P n x) sind: n P n x) x x 2 1 ) x 3 3x ) x 4 30x ) x 5 70x x ) x 6 315x x 2 5 ) x 7 693x x 3 35x ) x x x x 8) x + 11x x x x 4))) x x x 2 765x x 6)))

9 2. Spezielle Funktionen Eigenshaften Die LEGENDRE-Polynome P n x) haben folgende Eigenshaften: Symmetrie: P n x) = 1) n P n x) Normierung: P n 1) = 1 Sie bilden ein orthogonales Funktionensystem mit der Orthogonalitätsrelation: 1 1 P n x) P m x) dx = { 0 für m n 2 2n+1 für m = n Nullstellensatz: Alle n Nullstellen von P n x) sind reell und einfah und liegen im Intervall 1, 1). Rekursionsformeln: n + 1) P n+1 x) = 2n + 1)x P n x) n P n 1 x) x 2 1) dp nx) dx = n [xp n x) P n 1 x)] Ableitung und Integral d dx P lx) = l x P lx) l P l 1 x) x 2 1 P l x) dx = P l+1x) P l 1 x) 2l + 1 Entwiklung nah LEGENDRE-Polynomen Da die LEGENDRE-Polynome P n x) ein orthogonales Funktionensystem bilden, kann man quadratintegrable Funktionen fξ) auf 1 ξ 1 nah ihnen entwikeln. Die zu P n x) gehörenden normierten Funktionen U n x) sind: Damit ergibt sih die Reihenentwiklung: fξ) = n=0 2n + 1 U n x) = P n x) 2 a n P n ξ) mit: a n := 2n P n x) fx) dx zugeordnete LEGENDRE she Funktionen Definition Die zugeordnete LEGENDRE she Differentialgleihung für die Funktion y yx) hat mit l N 0 und m Z die Form: d 1 x 2 ) dyx) ) ) + nn + 1) m2 dx dx 1 x 2 yx) = 0 Die zugeordneten LEGENDRE-Polynome Pl m x) sind partikuläre Lösungen dieser DGl. Sie ergeben sih zu: P m l x) = 1) m 1 x 2 ) m 2 d m P l x) dx m Die ersten Pl m x) sind: 9

10 2. Spezielle Funktionen m = 0 m = 1 m = 2 m = 3 l = x l = 1 z x 1) 1 x 1 l = 2 2 3x2 1) 3x 2 1+x x) 1 x 3x l = 3 2 5x3 3 3x) 2 5x3 5x 2 1+x z + 1) 1 x 15x 3 x) 15z + 1)z 1) 2 1+x 1 x Eigenshaften P m l x) = 1) m l m)! l+m)! P l m x) Orthogonalitätsrelation: 1 1 Pl m x)p m l x)dx = 2 2l + 1 l + m)! l m)! δ l l 2.3. Kugelflähenfunktionen Die Kugelflähenfunktionen Y m l θ, φ) sind definiert als: Yl m θ, φ) = 1 2π 2l + 1 l m)! 2 l + m)! P l m os θ)e imφ. Dabei sind Pl m die zugeordneten Legendre-Polynome. Die ersten Kugelflähenfunktionen sind: Y0 0 θ, φ) = 1 4π, Y θ, φ) = 4π os θ, Y1 θ, φ) = Y2 0 5 θ, φ) = 16π 3 os 2 θ 1 ), Y θ, φ) = 8π sin θ os θ eiφ, Y2 2 θ, φ) = 3 8π sin θ eiφ 15 32π sin2 θ e 2iφ 10

11 2. Spezielle Funktionen Eigenshaften: Orthogonalitätsrelation: π 2π θ=0 φ=0 Y m l m θ, φ) Y θφ) sin θ dθdφ = δ l lδ m m l Parität: r r hat in Kugelkoordinaten folgende Gestalt: r, θ, φ) r, π θ, π + φ). Unter dieser Transfomration verhalten sih die Kugelflähenfunktionen wie folgt: Yl m π θ, π + φ) = 1) l Yl m θ, φ) Komplexe Konjugation: [Yl m θ, φ)] = 1) m Y m l θ, φ) Entwiklung in Kugelflähenfunktionen: Die Kugelflähenfunktionen bilden eine vollständige Basis des Raumes der Funktionen fθ, φ), im Sinne der Kugelkoordinaten. Damit können alle fθ, φ) nah den Yl m θ, φ) entwikelt werden: fθ, φ) = +l l=0 m= l l,m Y m l θ, φ), mit l,m = 2π π φ=0 θ=0 Yl m θ, φ) fθ, φ) sin θ dθ dφ 11

12 3. Differentialoperatoren Im folgenden wird der sog. Nabla-Operator verwendet. Er ist definiert als = / x / y. / z Im folgenden sei R 3 u u x) eine vektorwertige und R ϕ f x) eine skalare Funktion. Beide seien einbzw. zweimal stetig differenzierbar. Die von abgeleiteten Vektoroperatoren haben folgende Gestalt: 3.1. Karthesishe Koordinaten u = x, y, z) Gradient: grad ϕ = ϕ = ϕ x, ϕ y, ϕ ) z 3.1.1) Divergenz: div u = u = u x x + u y y + u z z 3.1.2) Rotation: rot u = u = e x e y e z x y z u x u y u z = u z y u x z u y x uy z uz x ux y 3.1.3) Laplae: ϕ = div grad ϕ) = ) ϕ = 2 ϕ x ϕ y ϕ z ) 3.2. Zylinder-Koordinaten u = r, φ, z) Gradient: grad ϕ = ϕ = ϕ r, 1 ϕ r φ, ϕ ) z 3.2.1) Divergenz: div u = u = 1 r r u r ) r + 1 r u φ φ + u z z 3.2.2) Rotation: rot u = u = 1 u z r φ u φ z, u r z u z r, 1 r u φ ) 1 r r r ) u r φ 3.2.3) Laplae: ϕ = div grad ϕ) = 1 r r ϕ ) ϕ r r r 2 φ ϕ z ) 12

13 3. Differentialoperatoren 3.3. Kugel-Koordinaten u = r, θ, φ) Gradient: grad ϕ = ϕ = ϕ r, 1 ) ϕ r θ, 1 ϕ r sin θ φ 3.3.1) Divergenz: div u = u = 1 r 2 r 2 u r ) r + 1 sin θ u θ ) 1 u φ + r sin θ θ r sin θ φ 3.3.2) Rotation: rot r u = rot θ u = rot φ u = 1 r 1 sin θ u φ ) 1 r sin θ θ r sin θ 1 u r r sin θ φ 1 r u φ ) r r r u θ ) 1 u r r r θ u θ φ 3.3.3) 3.3.4) 3.3.5) Laplae: ϕ = div grad ϕ) = 1 r 2 r 2 ϕ ) + r r 1 r 2 sin θ 2 θ 2 sin θ ϕ ) + θ 1 2 ϕ r 2 sin 2 θ φ ) 3.4. Sätze und Rehenregeln für den -Operator Satz 3.1 Rehenregeln für den -Operator) Im folgenden seien a, b R 3 vektorwertige Funktionen f x) und ψ = ψ x) eine skalare Funktion. Sie seien jeweils ein- bzw. zweimal stetig differenzierbar. Es gelten folgende Zusammenhänge: ψ = rotgrad ψ) = ) a) = divrot a) = ) a) = rotrot a) = a) a 3.4.3) ψ a) = divψ a) = a ψ) + ψ a) 3.4.4) ψ a) = rotψ a) = ψ a + ψ a 3.4.5) a b) = grad a b) = a ) b + b ) a + a b) + b a) 3.4.6) a b) = div a b) = b a) a b) 3.4.7) a b) = rot a b) = a b) b a) + b ) a a ) b 3.4.8) Satz 3.2 Rehenregeln für den -Operator und radialsymmetrishe Funktionen) Betrahtet man radialsymmetrishe Funktionen fr) mit r = r = x 2 + y 2 + z 2 und r = x, y, z), so ergeben sih folgende weiteren Regeln: fr) = gradfr)) = dfr) r 3.4.9) dr r 1 r = grad ) 1 r = r r ) 1 r = 4π δ 3) r) ) 13

14 4. Integralsätze Im folgenden sei u u x) eine stetig diff bare vektorwerige Funktion. Es seien φ, ψ stetig diff bare skalare Funktionen f x). V beshreibt ein dreidimensionales Volumen mit dem Volumenelement dv d 3 x. S = V sei seine zweidimensionale Geshlossene Oberflähe mit dem Flähenelement da und dem äußeren Normalenvektor n, mit n = 1 und d A = n da. Es gelten folgende Sätze und Formeln: Satz 4.1 Gauß sher Satz) V u dv = div u dv = u da 4.0.1) V S Satz 4.2 ) V ψ dv = grad ψ dv = ψ da 4.0.2) V S Satz 4.3 ) V u dv = rot u dv = n u da 4.0.3) V S Satz 4.4 Erste Green she Identität) φ ψ + φ) ψ) ) dv = V S φ n ψda 4.0.4) Satz 4.5 Zweite Green shee Identität) φ ψ + ψ φ) dv = φ ψ ψ φ) da 4.0.5) V S Im folgenden sei S eine offene Flähe mit dem Rand C = S und dem Linienelement d s. Die Rihtung der Flähennormale von S ist durh die Orientierung von C und die Rehte-Hand-Regel festgelegt. Es gilt: Satz 4.6 Stokes sher Satz) u) da = rot u da = u d s 4.0.6) S S C Satz 4.7 ) n ψ) da = n grad ψ da = ψ d s 4.0.7) S S C 14

15 5. Sätze aus der Vektorfeldtheorie Satz 5.1 Zerlegungssatz) Sei a r) ein im gesamten R 3 definiertes Vektorfeld, das ebenso wie seine Ableitungen) im unendlihen hinreihend shnell gegen 0 strebt physikalish sinnvolles Feld!). Dann lässt sih a r) als Summe eines rotations- und eines divergenzfreien Anteils darstellen: a r) = a l r) + a t r) mit rot a l = 0; div a t = ) Die Anteile a l und a t werden über Rotation und Divergenz definiert rot grad ϕ = 0 und div rot β = 0): a l r) = grad α r) a t r) = rot β r) 5.0.2) α r) = 1 div a r ) 4π r r d 3 r β r) 1 rot a r ) = 4π r r d 3 r 5.0.3) In der Zerlegung ist a l r) der longitudinale und a t r) der transversale Anteil des Feldes. Satz 5.2 Eindeutigkeitssatz) Ein Vektorfeld a r) ist eindeutig festgelegt, wenn für alle Punkt r R 3 im Raum div a r) Quellen) und rot a r) Wirbel) bekannt sind. Korollar 5.1 Shlussfolgerungen aus Zerlegungs- und Eindeutigkeitssatz) 1. Jeder wirbelfreie Feld a r) mit rot a = 0 lässt sih als Gradientenfeld einer skalaren Funktion darstellen: a r) = grad α r) 2. Jedes quellenfreie Feld a r) mit div a = 0 lässt sih als Rotationsfeld darstellen: a r) = rot β r) 3. Ein allgemeines Feld ist immer eine Überlagerung von Rotations- und Wirbelfeld. 4. Das skalare Potential α kann aus den Quellen bestimmt werden: 2 α = α = div a r) Diese Formel folgt direkt durh Divergenzbildung aus Punkt Das Vektor-Potential β kann aus den Wirbeln bestimmt werden: β = rot a r) Diese Formel folgt direkt durh Divergenzbildung aus Punkt 1. 15

16 6. Inhomogene Wellengleihungen In diesem Abshnitt sollen die Lösungen g r, t) der inhomogenen Wellengleihung bei gegebener Inhomogenität f r, t) ermittelt werden. Die Wellengleihung ist eine partielle Differentialgleihung 2. Ordnung: t 2 ) g r, t) = 4πf r, t) 6.0.1) 6.1. Homogene Wellengleihung Dazu betrahtet man zunähst die Lösung der homogenen Gleihung t 2 ) g hom r, t) = ) Die komplexe Exponentialfunktion e i k r ωt) ist eine spezielle Lösung dieser Gleihung, was man durh Einsetzen leiht zeigen kann. Dies motiviert den Ansatz die allgemeine Lösung g hom r, t) als Fourier-Integral darzustellen: g hom r, t) = 1 4 2π Setzt man diesen Ausdruk in 6.1.1) ein, so bleibt: k 2 ω2 2 d 3 k dω e i k r ωt) g hom k, ω) 6.1.2) ) g hom k, ω) = ) Um diese Gleihung zu erfüllen, muss g hom k, ω) überall 0 sein, außer bei k 2 = ω2, also k = ± ω 2. Man kann dann diese Funktion mit Hilfe der δ F unktion so darstellen: g hom k, ω) = g 1 k)δω k ) + g 2 k)δω k ) 6.1.4) Dabei sind g 1/2 k) noh zu bestimmende Funktionen. Man kann dann die allgemeine Lösung der homogenen Wellengleihung so angeben: Korollar 6.1 Allgemeine Lösung der homogenen Wellengleihung) Die homogene Wellengleihung 6.1.1) hat die folgende allgemeine Lösung: g hom r, t) = 1 4 d 3 k dω g 1 k)e i k r ω k)t) + g 2 ) k)e i k r+ω k)t) 6.1.5) 2π Dabei ist ω k) = k Ist man nur am Realteil dieser Lösung interessiert wie es in der Physik oft der Fall ist), so reduziert sih 6.1.5) aus: Re { g hom r, t) } = d 3 k dω g k)e i k r ω k)t) 6.1.6) Mit einer komplexwertigen Funktion g k). Die Funktion g k) ist also gerade die Fourier-Transformierte von Re { g hom r, t) }. 16

17 6. Inhomogene Wellengleihungen 6.2. Inhomogene Wellengleihung Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleihung 6.0.1) 1 2 ) 2 t 2 g r, t) = 4πf r, t) setzt sih aus der allgemeinen Lösung der homogenen Wellengleihung plus einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleihung zusammen. Im folgenden soll eine inhomogene Lösung abgeleitet werden. Die inhomogene Wellengleihung lässt sih als Poisson-Gleihung) ganz allgemein mit der Green-Funktion G r, t, r, t ) lösen. Es gilt dann: g r, t) = d 3 r dt G r, t, r, t )f r, t ), 6.2.1) wobei die Green-Funktion G r, t, r, t ) folgenden Zusammenhang erfüllen muss: ) 2 t 2 G r, t, r, t ) = 4πδvr r ) δt t ) 6.2.2) Um eine Lösung von 6.2.2) zu finden betrahtet man wieder die Fourier-transformierten der Funktionen und damit der Gleihung): G r, t, r, t ) = d 3 k dω G k, ω)e i k r r ) e iωt t ) 6.2.3) δvr r ) δt t ) = 1 2π) 4 d 3 k dω e i k r r ) e iωt t ) 6.2.4) Man erhält durh Einsetzen für 6.2.2): G r, t, r, t ) = 8π 3 G k, ω) = 1 4π 3 1 d 3 k dω ) k 2 + ω2 G 2 k, ω) = 1 4π ) = 1 1 k2 ω2 8π 3 k ω + k 1 ) 6.2.6) ω k 2 1 ω + k 1 ) ei k r r ) e iωt t ) 6.2.7) ω k k Die Integrationen in 6.2.7) lassen sih mit Hilfe des Residuensatzes ausführen siehe Standardliteratur). Man erhält dann endgültig: G r, t, r, t ) = [ 1 r r δ t t ) r ) r δ t t ) + r )] r = [ δ t r = 1 r ) δ t + r )] Daraus ergibt sih dann eine spezielle Lösung durh die Faltung mit der Inhomogenität f r, t) 6.2.1) ) 17

18 Teil II. Elektrizität und Magnetismus 18

19 7. Elektrostatik 7.1. Kraftgesetz, Feld Satz 7.1 Coulomb-Gesetz) Die Kraft zwishen zwei Ladungen q1, q2 an den Punkten r 1, r 2 ist: q 1 F q 2 q 1 q 2 F 12 = k r 1 r 2 2 r 1 r 2 r 1 r ) Dabei ist k eine Konstante. Im gs-system gilt k = 1. Somit hat die Ladung q folgende Einheit: m3 g [q] = 1 = 1 erg m = 1 ese s Im MKSA-System ist gilt: Damit hat q die Einheit [q] = 1 C = 1 A s k = 1 4πɛ 0 mit ɛ 0 = A s V m r 1 r 2 Die Form 1 r des Kraftgesetzes hängt mit der Masselosigkeit der Photonen zusammen. Hätten die Photonen als 2 Austaushteilhen der Kraft eine Ruhemasse µ 0, so ergäbe sih ein Potential vom Yukawa-Typ. Die Form 7.1.1) des Kraftgesetzes gilt streng auh nur für punktförmige Ladungen. Satz 7.2 Elektrishes Feld) Das elektrishe Feld E einer Punktladung q im Ursprung ist: E r) = k q r 2 r r 7.1.2) Für elektrishe Felder gilt das Superpositionsprinzip, man erhält also das Feld von N Punktladungen aus: N E r) = E i r) 7.1.3) Bei einer kontinuierlihen Ladungsverteilung ρ r) geht dies über in: i=1 E r) = F r) q 7.1.4) Shließlih berehnet sih die Kraft auf eine Probeladung q im elektrishen Feld zu: F r) = q E r) 7.1.5) 19

20 7. Elektrostatik Satz 7.3 Gauß shes Gesetz) Der Fluss eines elektrishen Feldes E durh eine geshlossene Oberflähe S eines Volumens V ) hängt niht von der Form der Oberflähe ab, sondern nur von der in ihr enthaltenen Ladung gs-system): Φ el = E da = 4πQ mit Q = ρ r) d 3 r 7.1.6) S Dabei ist Q die Gesamtladung innerhalb des Volumens V. Insbesondere ist Q = 0, falls V ladungsfrei ist. Mit Hilfe des Gauß shen Integralsatzes 4.0.1) kann 7.1.6) in differentielle Form überführt werden: V div E r) = 4πρ r) 7.1.7) Die Quellen des elektrishen Feldes sind also die elektrishen Ladungen Ladungsdihte ρ). Im MKSA-System gelten folgende Gleihungen: Φ el = E da = Q div E r) ɛ = ρ r) 7.1.8) 0 ɛ 0 S 7.2. Elektrishes Potential Satz 7.4 Elektrishes Potential) Das elektrishe Feld lässt sih als Gradient eines skalaren Feldes ϕ r) darstellen. Für das Feld gilt mit einer Ladungsverteilung ρ r): ϕ r) = ρ r ) r r d3 r = r E d s 7.2.1) Daraus erhält man dann das elektrishe Feld der Ladungsverteilung als Gradient des Feldes: E r) = ϕ r) 7.2.2) Da nah 3.4.1) die Rotation eines beliebigen Gradienten vershwindet folgt daraus die folgende Wihtige Erkenntnis: rot E r) = ϕ r) = ) Das elektrishe Feld ist also rotations- oder wirbelfrei. Es handelt sih also um ein konservatives Kraftfeld. Damit ist die im folgenden Satz 7.6 eingeführte Arbeit sinnvoll, da wegunabhängig. Satz 7.5 elektrishe Spannung) U bezeihnet: Eine Potentialdifferenz zwishen zwei Punkten P 1 und P 2 wird als Spannung U = ϕp 2 ) ϕp 1 ) = P 2 P 1 E d s 7.2.4) Satz 7.6 elektrishe Arbeit) Die Arbeit W, die an einer Ladung q verrihtet werden muss, wenn sie über einen Weg C zwishen den Punkten A und B im elektrishen Feld E bewegt wird, ist: W el = q E s) d s = q [ϕb) ϕa) ] = qu 7.2.5) C Ist der Weg C geshlossen, so gilt insbesondere: W el = q E s) d s = ) C 7.3. Beispiele: elektrishes Feld und Potential 20

21 7. Elektrostatik Felddurhgang durh eine Platte Ein elektrishes Feld E passiere eine Platte mit der Flähenladungsdihte σ r). Um das Verhalten des Feldes an der Platte zu untersuhen legt man einen Integrationsweg F um einen Teil der Platte Volumen V ), wie es in nebenstehender Abbildung gezeigt ist. Der Weg sei rehtekig und so beshaffen, dass der Fluss durh die Seitenteile vernahlässigbar ist. Er liegt also infinitesimal eng an der Platte. Die Normalenvektoren n sind in der Zeihnung eingetragen. Mit ihnen gilt df = n df. Für die Ladung innerhalb des Weges F gilt dann q = σ r) df. F Damit kann man dann das Gauß she Gesetz benutzen und erhält: E df = E n df = 4πq. F F Flähenladung: σ Oberflähe F r - r vernahlässigbar klein Maht man die Breite des Integrationsweges so klein, dass das el. Feld auf dieser Breite als konstant angenommen werden kann, so bezeihnet man das Feld oberhalb und unterhalb der Platte mit E o bzw. Eu und erhält: 4πq = E n df = E o n E u n) F F E o E u ) n = 4π q F = 4πσ Integriert man das Feld entlang der Oberflähe F, so erhält man: 0 = E d r = E ot E ut ) r E ot = E ut Zusammen bedeutet dies: F Die Normalkomponente eines elektrishen Feldes an einer geladenen Platte Flähenladungsdihte σ) maht einen Sprung um 4πσ beim Durhgang durh die Platte. Die Tangentialkomponente ändert sih niht. n -n E Stetigkeitsbedingungen bei Leitern In einem leitenden Körper werden sih die frei beweglihen) Ladungsträger so ausrihten, dass das Feld innerhalb des Körper vershwindet Minimum der Energie!). Damit liegt im gesamten Körper ein konstantes Potential vor. Über den Gauß shen Satz erhält man: E da = E a da + E i da = E a E i ) n da = 4πδQ F Dabei ist δq die Ladung innerhalb des Integrationsweges F. Für das elektrishe Feld gilt E = 0 Daraus erhält man mit dem Stokes shen Integralsatz 4.0.6): E) da = 0 = F C da n ds t Integrationsvolumen t n -t -n } h 1 E a Leiter E =0, ϕ=onst i Abb. 7.1.: Zur Berehnung der Stetigkeitsbedingungen bei Leitern E d s = E i d s + E a d s = E a E i ) t ds Dabei ist F die in Abb. 7.1 eingezeihnete Integrationsflähe und C = F ihr Rand. Die Höhe h des Integrationsvolumens ist in beiden Fällen vernahlässigbar klein und bringt somit keinen Beitrag zu den Integralen. Setzt man noh E i = 0 ein, da das Innere des Leiters Feldfrei ist, so erhält man: In Worten: E a n = 4π δq da = 4πσ und Ea t = 0 21

22 7. Elektrostatik Satz 7.7 Stetigkeitsbedingungen des elektrishen Feldes bei Leitern) Das elektrishe Feld steht senkreht auf leitenden Oberflähen, die Tangentialkomponente des Feldes vershwindet dort. Die Normalkomponente ist proportional zur Flähenladungsdihte σ = dq da. Mit E = ϕ erhält man folgende Darstellung der Flähenladungsdihte: n ϕ) = ϕ = 4πσ 7.3.1) n Plattenkondensator d q -q Flähe F Man betrahtet zwei leitende Flähen im Abstand d, die die Ladung q und q tragen. Die Aufgabe ist es die Feldstärke E zwishen den Platten zu bestimmen. Man verwendet wieder den Gauß shen Satz, indem man wie in Abshnitt eine Oberflähe S um die obere Platte legt Flähe F ). Außerhalb des Kondensators befindet sih kein Feld. Dies kann man mit 7.1.7) begründen, da die Ladung innerhalb einer beliebig eng liegenden Flähe, die den Kondensator einshließt 0 ist. Es gilt dann: E df = E 0) nf = E = 4πq E = 4π q F = 4πσ S Das feld steht also senkreht auf den Platten und ist proportional zur Ladung und invers proportional zur Flähe. Für die Spannung am Kondensator, also die Potentialdifferenz zwishen den Platten gilt: Man definiert nun die Kapazität und erhält damit U = d 0 E d s = Ed = 4πq d F C := F 4πd q = C U Aus dem elektrishen Feld kann man noh das Potential zwishen den Kondensatorplatten berehnen x-rihtung steht senkreht auf den Platten): d ϕx) = E ds = E x x ds = 4π q d x) x F Kugelkondensator -q r a +q r i 22

23 7. Elektrostatik Man betrahtet zwei ineinanderliegende Kugeln der Radien r i Ladung +q) und r a Ladung q). Das Feld außerhalb von r a und innerhalb von r i ist Null siehe letztes Beispiel). Der Integrationsweg wird nun auf eine Kugel zwishen den zwei Platten gelegt, sodass die so entstehende Oberflähe S die innere Kugel einshließt. Es gilt dann: E ds = 4πr 2 Er) = 4πq. S Zur Integration wurden Kugelkoordinaten und deren Flähenelement d Sr, θ) = e r r 2 dω verwendet. Der Faktor 4π kommt von der Integration über den gesamten Raum. Das Feld hat wegen d S e r nur eine Radialkomponente. Das Feld entpriht also demjenigen einer Punktladung q im Mittelpunkt des Kondensators. Insgesamt gilt also: Damit kann man wieder die Spannung ausrehnen: U = r a r i Er) = q r 2. r a 1 1 Er)dr = q r 2 dr = q 1 ) r i r a r i Und man erhält die Kapazität: Für das elektrishe Potential erhält man dann: C = q U = r ar i r a r i ϕr) = Er ) dr = r r q r 2 dr = 1 q 3 r Zylinderkondensator Man betrahtet nun einen zylindrishen Kondensator der Länge l. Man arbeitet nun also in Zylinderkoordinaten und erhält analog zum Vorgehen in den obigen Beispielen: S E ds = S E e r r dφ dz = Er)r S Daraus folgt dann Potential und Kapazität: U = r 2 r 1 Er) dr = 2q l r 2 r 1 1 r dφ dz = 2πlr Er) = 4πq Er) = 2q l dr = 2q l ln r a h, C = r i 2 lnr a /r i ). 1 r geladener Stab L 2R q Integrationsflähe S Man betrahtet einen homogen geladenen Stab. Der Radius des Stabes sei R und die Ladung pro Längenladungsdihte ist λ = ρπr 2. Dies Symmetrie legt wieder Zylinderkoordinaten nahe und bewirkt so eine radiale Ausrihtung des Feldes. Zunähst wird das Feld außerhalb des Stabes mit Hilfe des Gauß shen Satzes berehnet. Die Länge des Integrationsoberflähe ist L. Sie umshließt den Stab, wie es in der Abbildung rehts eingezeihnet 23

24 7. Elektrostatik ist blau). Die Abhängigkeit von der Länge L wird später herausfallen, wenn man die Längenladungsdihte λ verwendet. E ds = E e r r dφ dz = = Er)r S S dφ dz = 2πLr Er) = 4πq = 4πλ L S E a r) = 2λ 1 r für r > R Im inneren des Stabes darf nur die Ladung innerhalb des Radius r R berüksihtigt werden, also q = ρ πr 2. Damit gilt dann: E ds = 2πLr Er) = 4π = 4π 2 ρ r 2 L E i r) = 2λ R 2 r für r > R S 24

25 7. Elektrostatik Dipol y P r 2 r 1 r -a/2 a/2 z x r θ P z Ein Dipol bestehe aus zwei Ladungen ±e, die sih im Abstand a befinden. Der Ursprung des Koordinatensystems wird auf die Hälfte der Verbindungsstreke zwishen den Ladungen gelegt. Man betrahtet das Feld an einem beliebigen Beobahtungspunkt P = x, y, z). Die Abstände der Ladungen zu P sind r 1 und r 2. Für das Feld gilt das Superpositionsprinzip und man erhält: ϕx, y, z) = q r 1 q r 2 Es gilt also die Abstände r 1, r 2 umzuformen. Für r 1 erhält man mit r 2 = x 2 +y 2 +z 2 so: r1 2 = x a ) [ 2 + y 2 + z 2 = r 2 1 ax ] 2 r 2 + a2 4r 2 Nun nimmt man den Abstand a als klein gegenüber r an Dipol-Näherung), vernahlässigt den a 2 Term und erhält: r 1 = r 1 ax [ r 2 r 1 1 ] ax 2 r 2 Im zweiten Shritt wurde die Wurzel entwikelt 1 ± x 1± x 2 ). Analog erhält man für r 2: [ r 2 r ] ax 2 r 2 Dies kann man nun in das Potential einsetzen und erhält: { q ϕx, y, z) = r [1 q ] 1 ax 2 r r [1 ] + 1 ax = q [ ] ax r [ ] [ 2 r r ax 2 2 r { } = q ax r r ax ) 2 q r ax r 2 = qax r 3 4 r 2 Nun führt man noh das Dipolmoment ein ] ax r 2 [ 1 1 [ ax 2 2 ] ax r 2 ] [ r ] ax r 2 p := q a 7.3.2) Dabei ist a der Verbindungsvektor zwishen den Ladungen. Das Dipolmoment zeigt von q nah q und hat den Betrag p = qa. Damit kann man dann das Potential einfaher shreiben: ϕ r) = p r r ) Das Problem weist radiale Symmetrie auf, sodass man das Feld auh in Abhängigkeit von r und θ angeben kann siehe Abbildung am Anfang des Abshnittes). Um die p-ahse ist das Problem natürlih rotationssymmetrish. Der radiale Einheitsvektor in Kugelkoordinaten lautet e r = sin θ os φ, sin θ sin φ, os θ). Das Problem wurde hier so gedreht, dass p parallel zur z-ahse ist. Somit passt die beshreibung des Problems zur Standarddarstellung der Kugelkoordinaten. Da in diesem Beispiel p nur eine z-komponente hat, also p = 0, 0, aq) kann man das Feld auh so shreiben: ϕθ, r) = P r os θ r 3 = aq os θ r ) Mit dem -Operator in Kugelkoordinaten kann man daraus das elektrishe Feld berehnen: E = ϕ ϕ = r e r + 1 ) ϕ r θ e 1 ϕ θ + r sin θ φ e φ = 2P os θ = r 3 e r + P sin θ r 3 e θ + 0 } = 25

26 7. Elektrostatik Daraus erhält man zusammenfassend: Die folgende Abb. 7.2 zeigt das Feld und Potential eines Dipols. E = 3 e r p e r ) p r ) Abb. 7.2.: Feld und Potential eines Dipols: Oben und unten links sind die exakten Ergebnisse numerishe Rehnung ohne Näherungen) aufgetragen. Unten sieht man die Ergebnisse, nah Gleihung 7.3.3) Dipolnäherung). In großem Abstand vom Ursprung stimmen beide Potentiale überein. In der Nähe des Urpsrungs führt die Dipolnäherung zu Abweihungen. Befindet sih ein elektrisher Dipol in einem elektrishen feld E, so wirkt auf ihn das Folgende Drehmoment: D = p E und er weist die Folgende potentielle Energie aus: W el = p E Dies führt dazu, dass sih der Dipol immer parallel zu den Feldlinien ausrihten wird. 26

27 7. Elektrostatik 7.4. Green she Theoreme Bisher konnte mit 7.2.1) das elektrishe Potential aus einer gegebenen Ladungsverteilung ρ berehnet werden: ρ ϕ = r r dv Dies entspriht im übrigen formal einer Faltung der Ladungsverteilung mit dem Potential einer Punktladung und geht für diskrete Verteilungen ρ = qδ r r ) in eine Summe über Punktladungspotentiale über Superpositionsprinzip!). Oft sind aber andere Randbedingungen gegeben. Neben der Ladungsverteilung in einem gewissen Gebiet r hat man dann noh die Potential- ϕ, oder Feldverteilung E = ϕ in dem Gebiet gegeben. Dafür sind aber die Randbedingungen, die diese Felder hervorrufen niht bekannt. Man nutzt dann die zwei Green shen Identitäten 4.0.4) und 4.0.5): Satz 7.8 Green she Identitäten) φ ψ + φ) ) ψ) dv = φ ψ) da = φ n ψ) da 7.4.1) V S S ) ) ) φ ψ + ψ φ dv = φ ψ ψ φ da = φ ψ ψ φ n da 7.4.2) V S S Dabei sind ψ r) und φ r) zwei beliebige skalare Felder. Desweiteren kann man noh folgende Differentialgleihungen ableiten: Setzt man E = ϕ in das Gauß she Gesetz E = 4πρ ein, so erhält man: Satz 7.9 Poissongleihung) ϕ r) = 2 ϕ r) = 4πρ r) gs-system 7.4.3) ϕ r) = 2 ϕ r) = ρ r) ɛ 0 MKSA-System 7.4.4) Im ladungsfreien Raum reduziert sih diese Gleihung auf die Laplae-Gleihung: ϕ r) = 2 ϕ r) = ) Für die Poissongleihung erhält man folgende einfahe Form, wenn man nur das Potential ϕ = 1 r r einer Punktladung betrahtet: ) 1 2 r r = 4πδ r r ) 7.4.6) Nun setzt man folgenden Spezialfall in die Green she Identität 7.4.2) ein: ψ 1 r r φ ϕ ψ = 4πδ r r ), φ = 4πρ 7.4.7) Es tritt dann ein term φ ψ dv auf, der sih mit Hilfe von 7.4.6) vereinfahen lässt: V φ ψ dv = 4π φ r)δ r r ) dv = φ r ) ϕ r ) V V Dieser Term ergibt also das Potential im Raumgebiet und man erhält insgesamt: ϕ r) = V ρ r ) r r dv + 1 [ 4π S 1 r r ϕ r ) n ϕ r ) ] 1 n r r da 7.4.8) 27

28 7. Elektrostatik Dabei ist n die Ableitung in Normalenrihtung n und lässt sih auh so shreiben: ϕ r ) n = n r ϕ r ) ). Das Potential im Raumgebiet V ist also bestimmt durh die Angabe der Ladungsdihte ρ, das von außen aufgeprägte Potential ϕs) auf dem Rand S = V Dirihelet she Randbedingung) und den Ableitungen ϕs) n des Potentials auf S, also dem elektrishen Feld auf S von-neumann Randbedingung). Es lässt sih weiter zeigen, dass eine der letzten beiden Randbedingungen ausreiht. Bei Angabe beider Randbedingungen ist das Problem überbestimmt und u.u. gar niht lösbar. Formale Lösung der elektrostatishen Randwertprobleme durh Green-Funktionen: Zunähst soll 7.4.7) etwas weiter gefasst werden. Das dort eingesetzte ϕ = 1 r r ist nur ein spezieller Vertreter der Klasse der sog. Green shen Funktionen G r, r ). Diese Funktionen haben folgende Eigenshaften: 1. Sie erfüllen alle die DGl: G r, r ) = 4πδ r r ) 7.4.9) 2. Symmetrie: G r, r ) = G r, r) 3. Darstellung: G r, r ) = wobei g r, r ) die Laplae-Gleihung erfüllt: 1 r r + g r, r ) ) g r, r ) = ) Damit geht aber 7.4.8), also die Lösung der DGl in die folgende allgemeinere Form über: ϕ r) = V ϕ = 4πρ ρ r )G r, r ) dv + 1 [ G r, r ) ϕ r ) 4π S n ϕ r ) G r, ] r ) n da ) Die Funktion g stellt anshaulih das Potential einer Ladungsverteilung außerhalb von V dar, die die Randbedingungen erfüllt virtuelle Ladungsverteilung). Mit der Funktion g hat man nun eine zusätzlihe Freiheit gewonnen, die eingesetzt werden kann, um aus ) entweder die Dirihelet she oder die von-neumann-randbedingung zu entfernen, sodass die Lösung eindeutig wird: Dirihelet she Randbedingung: Hier setzt man G r, r ) r = 0. Damit erhält man dann: S ϕ r) = ρ r )G r, r ) dv 1 ϕ r ) G r, r ) V 4π S n da ) Dies ist eine Lösung des Problems, wenn man eine Lösung der Laplae-Gleihung mit den Randbedingungen kennt. g r, r ) = 1 r r von-neumann-randbedingung: Hier setzt man G r, r ) r n = 4π S. Damit erhält man dann: S ϕ r) = ϕ S + ρ r )G r, r ) dv + 1 G r, r ) ϕ r ) V 4π S n da ) 28

29 7. Elektrostatik Dabei ist ϕ S der Mittelwert des Feldes auf der Oberflähe S, der durh Addition einer Konstanten auh zu 0 gewählt werden kann es können nur Potentialuntershiede gemessen werden!). Dieser Ausdruk löst das Problem, wenn man eine Lösung der Laplae-Gleihung mit den Randbedingungen: kennt. g r, r ) n = 4π r S F 1 n r r Dieses Kalkül bringt insofern eine Vereinfahung, als die Randbedingungen jetzt niht mehr von den speziellen Randbedingungen abhängen. Methode der Bildladungen: In einfahen Fällen kann man oft eine Ladungsdihte außerhalb V angeben, die gerade die Randbedingungen des Problems im Volumen V erfüllt und so das Problem reht einfah lösen Beispiele: Green she Theoreme Geerdete Kugel im Feld einer Punktladung y n R geerdete Kugel Spiegelladung q' b Punktladung q a x Abb. 7.3.: geerdete Metallkugel und Punktladung Man betrahtet eine geerdete Kugel Radius R), neben der sih eine Punktladung q im Abstand a R befindet siehe Abb. 7.3). Da die Kugel geerdet ist, liegt sie auf Erpotential 0 ϕr) = 0 r R). Es stellt sih nun die Frage nah dem Potential ϕ außerhalb der Kugel. Der Bereih um die Kugel wird also als Volumen V bezeihnet, in dem die Laplae-Gleihung ϕ r) = 4πδx a) zu lösen ist. Außerdem muss die Lösung ϕ die Randbedingung ϕ r) r =R = 0 erfüllen. Zur Lösung verwendet man die Methode der Spiegelladung. Man versuht also eine Ladungsverteilung innerhalb der Kugel also außerhalb von V ) zu finden, die die Randbedingung erfüllt. Die Symmetrie des Problems legt einen Ansatz nahe, bei dem man eine Punktadung q ins innere der Kugel legt bei r = b, 0, 0) mit b < R). Das gesamte Potential mit einer solhen Ladung ist dann: ϕ r) = q r a e x + q r b e x 29

30 7. Elektrostatik Damit gilt auf dem Rand der Kugel mit der allg. Darstellung r = x n n ist ein normierter Normalenvektor auf die Kugeloberflähe), dass r = R n und damit: ϕ r) x n =R = q R n a e x + q R n b e x = q R n a e x + q b R b n e x Diese Gleihung wird durh b = R2 a und q = Rq a gelöst. Damit lautet das Potential außerhalb der Kugel: q ϕ r) = r a e x + Rq a r R2 In Abb. 7.4 sieht man das Ergebnis: a e x! = Abb. 7.4.: Punktladung gegenüber geerdeter Kugel Entfernt man nun die Erdung und bringt zusätzlih die Ladung Q auf die Kugel, so wird sih die Ladung Q q = Q + Rq a gleihmäßig auf der Oberflähe der Kugel verteilen. Dies bedeutet aber, dass sie so wirkt, als ob sie im Zentrum der Kugel als Punktladung vorliegt. Das so erhaltene Potential hat also nur einen zusätzlihen Term der Form einer Punktladung: ϕ r) = q r a e x + Rq a r R 2 a e x + Q + Rq a r Das Aussehen dieses Potentials ist in Abb. 7.5 gezeigt. Dass sih die mit der Restladung geladene Kugel tatsählih wie eine Punktladung verhält lässt sih etwa mit dem Gauß shen Satz und einer Integrationsflähe um die geladene Kugel zeigen Abb. 7.5.: Punktladung gegenüber geladener Kugel 30

31 7. Elektrostatik Lösung der Laplae-Gleihung in Kugelkoordinaten Die Laplaegleihung Φ r) = 0 hat in Kugelkoordinaten r = r, φ, θ) die Form: 1 2 rφ) 1 r r 2 + r 2 sin θ Φ ) 1 2 Φ + sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0 Man maht zur Lösung den Produktansatz: Φ = Ur) r P θ)qφ) und erhält aus obiger Gleihung: P Q d2 U dr 2 + UQ d r 2 sin θ dp ) + UP d 2 Q sin θ dθ dθ r 2 sin 2 θ dφ 2 = 0 Man multipliziert mit r2 sin 2 θ UP Q und erhält weiter: [ 1 r 2 sin 2 d 2 U θ U dr d P r 2 sin θ dp )] + 1 d 2 Q sin θ dθ dθ Q dφ }{{} 2 = 0 }{{} = m 2 = m 2 Von φ hängt jetzt nur noh der letzte Teil der DGl ab. Also kann man mit m = onst für Qφ) die folgende DGl abspalten und erhält als Lösung: 1 d 2 Q Q dφ 2 = m2 Q = e ±imφ Damit Q im ganzen Winkelbereih 0 φ 2π gültig ist, muss m Z gelten. Aus dem ersten Teil erhält man mit l = onst: [ 1 r 2 sin 2 θ U d2 U dr P r 2 sin θ d sin θ dp )] = m 2 1 dθ dθ sin 2 θ [ ] [ r 2 U d2 U 1 dr }{{ 2 + P sin θ d sin θ dp ) ] m2 dθ dθ sin 2 = 0 θ }}{{} = ll+1) = ll+1) Und damit die zwei separierten DGls: 1 sin θ d sin θ dp ) + dθ dθ d 2 U ll + 1) dr2 r 2 U = 0 ] [ll + 1) m2 P = 0 sin 2 θ Für die erste DGl ergibt sih die Lösung U l = A l r l+1 + B l r1 l. Setzt man m 2 = 0, so erhält man aus den obigen Überlegungen die Lösung der Laplae-Gleihung für Probleme mit azimutaler Symmetrie. Die Lösung ist dann niht vom Winkel φ abhängig. Aus Der DGl für P ergibt sih mit der Definition x := os θ die gewöhnlihe Legendre she Differentialgleihung: d dx 1 x 2 ) dp x) dx ) + ll + 1) P x) = 0 Daraus erhält man die Lösungsfunktionen P l x) l N 0 ): P l x) = 1 2 l l! dl x 2 1 ) l dx l 31

32 7. Elektrostatik Damit erhält man als Lösung der Laplae-Gleihung für azimutale Symmetrie: Φr, θ) = l=0 [ A l r l + B l r l+1)] P l os θ) 7.5.1) Für Probleme mit sphärisher Symmetrie ist m Z beliebig und man erhält mit m := os θ für P die zugeordnete Legendre she DGl mit den Lösungen: P m l x) = 1) m 1 x 2 ) m 2 d m P l x) dx m Da sowohl die Pl m x), als auh die Q m φ) ein orthogonales Funktionensystem bilden, so ist auh Ihr Produkt Y l,m θ, φ) := Pl m os θ) Q m φ) ein orthogonales Funktionensystem. Mit der rihtigen Normierungskonstante ergeben sih die sog. Kugelflähenfunktionen: 2l + 1 l m)! Y l,m θ, φ) = 4π l + m)! P l m os θ) e imφ Sie haben folgende Eigenshaften: komplexe Konjugation: Y l, m θ, φ) = 1) m Y l,mθ, φ) 7.5.2) Orthonormalitätsrelation: 2π φ=0 π θ=0 Yl,m θ, φ) Y l,mθ, φ) os θ dθ dφ = δ }{{} l l δ m m 7.5.3) = dω Entwiklung nah Kugelflähenfunktionen: Eine Funktion gθ, π) mit 0 φ 2π und 0 θ π lässt sih nah Kugelflähenfunktionen entwikeln: l gθ, φ) = A lm Y l,m θ, φ) mit: A lm := l=0 m= l Y l,mθ, φ) gθ, φ) dω 7.5.4) Damit erhält man als Lösung der Laplae-Gleihung für sphärishe Symmetrie: Φr, θ, φ) = l l=0 m= l [ A lm r l + B lm r l+1)] Y l,m θ, φ) 7.5.5) Metallkugel im homogenen elektrishen Feld Eine Metallkugel Radius R) werde in eine anfangs homogenes elektrishes Feld E 0 = E 0 e z gebraht. Die Frage ist nun, welhe Feldverteilung sih außerhalb der Kugel einstellen wird. Man legt den Koordinatenurpsrung in den Mittelpunkt der Kugel. Das Problem ist dann rotationssymmetrish um die z-ahse. Man kann also 7.5.1) als Lösung der Laplae-Gleihung verwenden. Es bleibt dann noh die Bestimmung der Koeffizienten A l und B l. Das Potential, dass zum konstanetn feld E 0 führt ist ϕ 0 r) = E 0 z. Da der Einfluss der Metallkugel für z vershwinden muss, muss ϕ ϕ 0 z ) gelten. Mit der darstellung z = r os θ von z in Kugelkoordinaten erhält man also: ϕr ) = E 0 r os θ 32

33 7. Elektrostatik Vergleiht man dies mit ϕr, θ) = l=0 [ A l r l + B l r l+1)] P l os θ), so stellt man fest, dass nur A 0 und A 1 einen Beitrag liefern darf. Alle A l,l>1 müssen 0 sein, weil ϕr, θ) sonst divergieren würde. Der Term B l r l+1) 1 = B l vershwindet in diesem Grenzfall. Mit P r l+1 0 os θ) = 1 und P 1 os θ) = os θ folgt aus obiger Bedingung noh A 0 = 0 und A 1 = E 0 Auf dem Rand der Kugel muss das Potential vershwinden, also gilt: Daraus erhält man: Man erhält also folgende Bedingung: ϕr, θ) = 0 ϕr, θ) = B 0 R E 0r os θ + B 1 R 2 os θ + B 2 R 3 P 2os θ) +...! = 0 B 1 = E 0 R 3 und B l 1 = 0 Damit hat das Potential außerhalb der Kugel folgende Form: Dieses Ergebnis ist in Abb. 7.6 dargestellt. ) R 3 ϕr, θ) = E 0 r 2 r os θ Abb. 7.6.: Metallkugel im homogenen elektrishen Feld Die Oberflähenladungsdihte auf der Kugel ergibt sih über σθ) = 1 4π ϕ r = 3E 0 r=r 4π os θ Das bedeutet, dass für x = 0, also an den Durhstoßpunkten der z-ahse durh die Kugel die größte Ladung influenziert wird. Die Integration über die gesamte Kugeloberflähe ergibt aber σ ges = 0, sodass die Ladungserhaltung erfüllt ist. Eine geerdete Kugel würde sih also auh niht anders als eine geladene Kugel verhalten. 33

34 7. Elektrostatik 7.6. Multipolentwiklung Für das elektrishe Potential gilt nah 7.2.1): ϕ x) = ρ x ) x x d3 r 1 Das Potential hängt also von einem Faktor x x ab. Für große Abstände x x 1 kann man dies so entwikeln: 1 x x = 1 x + x 1 i x i i x x + 1 x 2 ix 1 j x x =0 i,j i x j x x ) Man benutzt dann weiter und erhält: x i 1 x x x =0 1 x x = 1 x + i = 1 x i x x x i x i x x =0 x ix j i,j x =0 = x i 1 x = x i x ) ) 3x i x j x 5 δ ij x ) Setzt man dies in die Beziehung für das elektrishe Potential ein, so ergeben sih folgende Terme: 1. Monopolmoment Ladung): ϕ 0 x) = 1 x ρ x ) d 3 x = Q x 7.6.4) Dabei tritt die Ladung Q = ρ x ) d 3 x auf. 2. Dipolmoment: ϕ 1 x) = x x 3 x ρ x ) d 3 x = x p x ) Dabei wurde das Dipolmoment p = x ρ x ) d 3 x verwendet. Formal ergibt sih also das Feld eines Dipols, wie es in Abshnitt berehnet wurde. 3. Quadrupolmoment: ϕ 2 x) = ij 3x i x j x 2 δ ij 2 x 5 Es gilt folgender etwas kompliziert anmutender Ausdruk: 0 = ij 3x i x j x 2 δ ij 6 x 5 x ix jρ x )d 3 x 7.6.6) x 2 δ ij ρ x ) d 3 x Subtrahiert man diesen von 7.6.6), so erhält man: ϕ 2 x) = ij 3x i x j x 2 δ ij 2 x 5 3x ix j x 2 δ ij )ρ x ) d 3 x = ij 3x i x j x 2 δ ij 6 x 5 Q ij 7.6.7) Dabei wurde das sog. Quadrupolmoment Q ij = 3x i x j x 2 δ ij )ρ x ) d 3 x verwendet. Es gilt SpurQ ij ) = 0. Damit muss der Term x 2 δ ij insgesamt vershwinden und man kann auh shreiben: ϕ 2 x) = ij 3x i x j 6 x 5 Q ij 7.6.8) Das sih so ergebende Potential entspriht demjenigen eines elektrishe Quadrupols, also zweier antiparalleler Dipole. Aus diesen ersten Termen der Entwiklung kann man dann zusammensetzen: 34

35 7. Elektrostatik Satz 7.10 Multipolentwiklung) Das Skalarpotential einer auf x < R 0 begrenzten Ladungsverteilung lässt sih für x R 0 in folgender Weise entwikeln: ϕ x) = Q x p + x x x i x j 2 i,j x 5 Q ij ) Dabei sind: Q = p = Q ij = ρ x ) d 3 x Ladung ) x ρ x ) d 3 x Dipolmoment ) 3x ix j x 2 δ ij )ρ x ) d 3 x Quadrupolmoment ) In Kugelkoordinaten wird 7.6.9) noh etwas einfaher: ϕ x) = l l=0 m= l q l,m 4π 2l + 1 r l+1 Y l,mθ, ϕ) ) Das Feld wird also in Kugelflähenfunktionen entwikelt. Dabei gilt noh: q l,m = r l ρ x )Yl,mθ, ϕ ) d 3 x ) Hierbei ist q 0,0 = Q 4π die Ladung. Die l = 1-Terme enthalten das Dipolmoment usw. Bei der Berehnung der Multipol-Entwiklung kann man Symmetrien des Systems ausnutzen. So vershwindet etwa der Monopolterm, wenn eine gleihe Anzahl positiver und negativer Ladungen vorhanden ist. Der Dipolterm vershwindet, wenn es zu jedem Dipol einen gegengleih gerihteten zweiten Dipol gibt. 35

36 8. Magnetostatik 8.1. Elektrisher Strom In diesem Abshnitt werden die stationären Phänomene des magnetishen Feldes behandelt. D.h. weder die Ströme j, noh die Ladungsverteilungen ρ ändern sih mit der Zeit. Definition 8.1 Stromdihte, Strom) Die Stromdihte ist definiert als die Ladung dq, die in der Zeit dt durh die Flähe da = n da fließt: dq j = n 8.1.1) dt da Der elektrishe Strom I durh eine Flähe F ist gegeben durh: I = j da = dq j = di 8.1.2) dt da Bewegt sih eine Laungsverteilung ρ mit der Geshwindigkeit v, so gilt noh: F j = ρ v 8.1.3) Die elektrishe Ladung bleibt erhalten. Dies führt auf die sog. Kontinuitätsgleihung. Dazu betrahtet man ein Volumen V und berehnet die zeitlihe Änderung der Ladung: Dies bedeutet aber nihts anderes, als V dq dt = d ρ dv = j da dt = div j dv V S= V Gauß-Integralsatz V ) ρ t + div j dv = 0, oder: Satz 8.1 Kontinuitätsgleihung) ρ t + div j = ) Für die Magnetostatik folgt also: div j = 0, da sih die Ladungsdihte ρ nah Voraussetzung niht ändert Kraftgesetz und Feldgleihungen Grundlage der Elektrostatik war das Coulomb-Gesetz, das die Kraft zwishen zwei Ladungen beshrieb. Im Falle der Magnetostatik übernimmt diese Rolle das Ampère she Gesetz, das die Kraft zwishen zwei stromdurhflossenen Leitershleifen beshreibt: 36

37 8. Magnetostatik Satz 8.2 Ampère shes Gesetz) C, I 1 1 C, I 2 2 dr 1 r 12 dr 2 r 1 r2 0 Die Kraft zwishen den zwei in der obigen Abbildung gezeigten Leitershleifen C 1 und C 2, die von den Strömen I 1, I 2 durhflossen werden ist: F 12 = µ 0I 1 I 2 d r 1 d r 2 r 12) 4π C 2 r ) Dabei ist µ 0 = 4π 10 7 V s A m N A 2. C 1 Aus 8.2.1) heraus kann man nun das magnetishe Feld B r) definieren: Definition 8.2 Magnetishe Induktion, Biot-Savard-Gesetz) B 2 r 1 ) = I 2 d r 2 r 12 C 2 r12 3 Daraus berehnet sih dann die Kraft zu: 1 r ) F 12 = I 1 C 1 d r 1 B 2 r 1 ) 8.2.3) Etwas allgemeiner gilt das Biot-Savard-Gesetz: Bei gegebener Stromdihte j ergibt sih das magnetishe Feld B zu: B x) = 1 j r r r ) r r 3 d3 r 8.2.4) Damit berehnet sih die Kraft auf eine zweite Stromverteilung j 2 r) wirkt: F = [ j r) B r) ] d 3 r 8.2.5) Dieses Biot-Savard-Gesetz 8.2.4) lässt sih mit folgender Beziehung weiter umformen: r [ ] j r ) r r = 1 r r r j r ) j r ) r 1 r r = j r ) r r r r 3 Damit gilt dann weiter: B x) = r 1 j r ) r r d3 r Das magnetishe Feld ist also ein Rotationsfeld und somit quellenfrei div B = 0). Der allgemeine Zerlegungssatz 5.0.1) liefert dann noh rot B = µ 0 j Die magnetishen Felder B verhalten also sih nah folgenden Gleihungen: 37

38 8. Magnetostatik Satz 8.3 magnetostatishe Feldgleihungen) div B r) = B r) = ) Dies bedeutet anshaulih, dass es keine Quellen oder senken des magnetishen Felde gibt. Es gibt also keine magnetishen Monopole und Nord- und Südpol treten immer in räumlih enger Korrelation auf. rot B r) = B r) = 4π j r) bzw. rot B = µ 0 j 8.2.7) Das magnetishe Feld wird also von elektrishen Strömen erzeugt. Es handelt sih um ein divergenzfreies Rotationsfeld. Mit Hilfe des Stokes shen Satzes 4.0.6) folgt noh die integrale Darstellung von 8.2.7): B d r = µ 0 j da = µ 0 I 8.2.8) C= F F 8.3. Vektorpotential Analog zum elektrishen Skalarpotential führt man ein Vektorpotential für das magnetishe Feld B ein: Definition 8.3 magnetishes Vektorpotential) B = rot A = A 8.3.1) Dieses Potential ist invariant unter Eihtransformationen. Für eine beliebige Skalare Funktion χ x) gilt: B = rot A = rot A = rot A + grad χ) 8.3.2) Nutzt man die Lorentz-Eihung div A = 0, die χ festlegt, so erhält man analog zur Poisson-Gleihung: A x) = 4π j x) bzw. A x) = µ 0 j x) 8.3.3) Damit kann man folgenden Ausdruk für das magnetishe Potential angeben: A x) = 1 j x ) x x d3 x bzw. A x) µ 0 = 4π j x ) x x d3 x 8.3.4) Die DGl 8.3.3) kann man beweisen, wenn man 3.4.3) verwendet und auf B = A anwendet: 4π j = B = A = } {{ A } ) A Mit 8.3.3) ist die Magnetostatik formal gleih aufgebaut, wie die Elektrostatik, mit dem Untershied dass man niht eine Differentialgleihung zu lösen hat, sondern drei gekoppelte Differentialgleihungen. =0n.V Multipolwiklung und Dipolmoment Die Multipolentwiklung aus der Elektrostatik lässt sih formal auh für die Magnetostatik übernehmen. Der Monopolterm entfällt hier aber, da es ja wie bereits erläutert keine magnetishen Monopole gibt. Dies lässt sih aber auh mathematish beweisen. Es gilt: 38