Die Maxwell gleichungen (zeitabhängige Felder)

Transkript

1 Kapitel 4 Die Maxwell gleihungen zeitabhängige Felder Bisher sah es so aus, als wären elektrishe und magnetishe Felder unabhängig voneinander. Die einzige erbindung zwishen ihnen bestand darin, dass ein elektrisher trom ein Magnetfeld produziert. Dies ist aber niht mehr der Fall, wenn wir es mit zeitabhängigen Feldern zu tun haben. 4.1 Das Faraday she Induktionsgesetz Faraday mahte 1831 die Beobahtung, dass in dem Kreis dann ein trom fließt, wenn er den tabmagneten bewegte. Er hielt die Änderung des magnetishen Flusses F für die Ursahe des tromes. Durh die Änderung von F wird entlang des Kreises ein elektrishes Feld ε induziert, dessen Linienintegral U die elektromotorishe Kraft ist: U εdr. A I B v Magnet Abb. 4.1: Nah dem Ohm shen Gesetz bewirkt U einen trom. Der magnetishe Fluss F ist nur von der Randkurve abhängig: Faraday beobahtete: F : B ndf rot A ndf Adr U df ; df d.h. U k Die induzierte elektromotorishe Kraft U ist der zeitlihen Änderung des magnetishen Flusses proportional. Die Proportionalitätskonstante k hängt nur von dem gewählten Einheitensystem ab und ist im Gauß shen k 1, was im Folgenden gezeigt wird. 63

2 Das Minuszeihen kommt von der Lenz shen Regel, wonah der induzierte trom der Änderung des B-Feldes entgegenwirkt. or der Entwiklung der speziellen Relativitätstheorie nahm man an, dass alle physikalishen Gesetze unter der Galilei-Transformation r r + t v; t t invariant sein sollten. Die gestrihenen Größen sind die Größen des bewegten ystems. Für Faraday s Experiment bedeutet dies, dass, egal ob er den Draht festhält und den Magneten bewegt oder umgekehrt den Magneten festhält und den Draht bewegt, im Leiter ein trom induziert werden müsste, was mit der Beobahtung übereinstimmt. Wenn wir einen Draht bewegen und den Magneten festhalten, ergibt sih als Konsequenz der Galilei shen Invarianz für das Induktionsgesetz: ε dr k d B ndf ε ist die Feldstärke für dasjenige ystem, in welhem der Draht in Ruhe ist. Die induzierte elektromotorishe Kraft ist der totalen Zeitableitung des magnetishen Flusses proportional; wobei die totale Zeitablenkung auh eränderungen der Lage der hleife berüksihtigt: d + x x + y y + z z + v Das Induktionsgesetz in der obigen Form ist eine weitreihende erallgemeinerung des Faraday shen Gesetzes, denn kann nun ein beliebiger geshlossener Weg im Raum sein, der niht notwendig entlang eines elektrishen Leiters gehen muss. Mit dem Induktionsgesetz haben wir eine erbindung des elektrishen Feldes ε mit dem Magnetfeld B erhalten. Es gelten folgende Relationen: d B ndf Einsetzen in das Induktionsgesetz ergibt: ndf + ndf + B ndf + ε d l k ε k v B dr k v B ndf B v ndf + v Bndf B vdr ndf k B vdr ndf Dies ist die äquivalente Formulierung des Faraday shen Gesetzes für einen bewegten Draht. Das Faraday she Gesetz für einen ruhenden Draht lautet: εdr k ndf Daraus ergibt sih für das elektrishe Feld ε in einem bewegten ystem: ε ε + k v B Eine bezüglih des Drahtes ruhende Ladung q erfährt bei der Bewegung des Drahtes die Lorentz-Kraft: 64

3 K q ε q ε + k v B om Labor aus gesehen, bewegt sih der Draht und mit ihm die Ladung q mit der Geshwindigkeit v. Die bewegte Ladung stellt einen trom dar: j q v δr r 0 Mit dem bekannten Ampére shen Kraftgesetz können wir nun die Proportionalitätskonstante k bestimmen: K 1 Mit der Gleihung für die Lorentz-Kraft ergibt sih: jr Brdr 1 q v Br 0 Allgemein gilt für eine bewegte Punktladung q: k 1 K q q ε + 1 v B bzw. ε ε + 1 v B wobei ε die Feldstärke im mit v bewegten ystem ist. Mit dem tokes shen atz können wir das Faraday she Gesetz: εdr 1 d B ndf auh in differentieller Form shreiben; vorausgesetzt ε und B sind in demselben Bezugssystem und die Flähe ist zeitunabhängig: Da dies für jede Flähe gilt, folgt: ε + 1 rotε + 1 ndf 0 0 Dies ist die zeitabhängige erallgemeinerung von x 0 für elektrostatishe Felder, die unabhängig davon ist, ob ein Draht vorhanden oder niht vorhanden ist. Damit haben wir die gesuhte erbindung zwishen elektrishen und magnetishen Feldern. 4.2 Maxwell sher ershiebungsstrom Die bisher diskutierten magnetishen und elektrishen Grundgesetze sind in folgenden vier Gesetzen zusammengefasst: oulomb: Ampère: D ρ H j Faraday: 1 ε + keine magnetishen Ladungen: B 0 B 0 65

4 Außer dem Faraday shen Induktionsgesetz haben wir alle Gleihungen aus stationären orgängen abgeleitet. Es gibt zunähst keinen Grund, dass sie auh für zeitabhängige orgänge gelten sollen. Bis 1865 hielt man die obigen Gleihungen für allgemein gültig. Dann jedoh fand Maxwell einen Widerspruh in den Gleihungen. Die fehlerhafte Gleihung ist das Ampère she Gesetz, das nur für orgänge mit stationären trömen mit j 0 hergeleitet worden war. Die vollständige Beziehung erhält man mit der Kontinuitätsgleihung j + ρ 0, die die Ladungserhaltung ausdrükt. Maxwell s geniale Idee war es nun, die Kontinuitätsgleihung mit dem oulomb shen Gesetz als vershwindende Divergenz zu shreiben: j + ρ j + 1 D 0 Er ersetzte im Ampère shen Gesetz die tromdihte j durh die erallgemeinerung für zeitabhängige Felder: j j + 1 D H j + 1 D Diese neue Gleihung beshreibt niht nur das Magnetfeld stationärer tröme, wie das Ampère she Gesetz, sondern erfüllt außerdem die Kontinuitätsgleihung für zeitabhängige Felder, die das Ampère she Gesetz niht erfüllt: H j + 1 D j + ρ 0 j + ρ 0 weil: div rot 0 Den zu j addierten Term 1 D nannte Maxwell den ershiebungsstrom, der eine wesentlihe Bedeutung bei sih shnell ändernden Feldern bekommt. Ohne ihn wäre keine elektromagnetishe trahlung möglih. Die Maxwell shen Gleihungen: D ρ H j B 0 E + 1 Zusammen mit der Lorentz-Kraftgleihung und Newton s 2. Bewegungssatz bilden die Maxwell shen Gleihungen eine vollständige Beshreibung der Dynamik geladener Teilhen, ihrer Wehselwirkungen und der elektromagnetishen Felder. Für makroskopish isotrope Medien gelten noh zusätzlih folgende lineare Beziehungen: D D εε B µ H j σε ε Dielektrizitätskonstante µ Permeabilität σ spezifishe Leitfähigkeit Für nihtisotrope Medien sind die Konstanten durh entsprehende Tensoren zu ersetzen. 66

5 4.3 ektor- und kalarpotentiale Die Maxwell shen Gleihungen stellen gekoppelte partielle Differentialgleihungen dar, die die Komponenten des elektrishen Feldes mit denen des magnetishen Feldes verbinden. In der bisherigen Form können sie nur für sehr einfahe Probleme gelöst werden. Aus diesem Grund führt man übliherweise Potentiale ein, wodurh man eine geringere Anzahl von Gleihungen 2. Ordnung erhält. Da B 0 immer gilt, kann man B mittels des ektorpotentials A shreiben: Durh Einsetzen in: B A erhält man: ε + 1 B 0 ε + 1 A 0 Daraus folgt aber, dass man die Klammer als Gradienten eines skalaren Potentials φ shreiben kann, weil die Rotation eines Gradientenfeldes immer Null ist: ε + 1 A φ ε φ 1 Die Definitionen von B und ε mittels der Potentiale A und φ genügen den zwei homogenen Maxwell shen Gleihungen. Das dynamishe erhalten von A und φ hingegen wird durh die zwei inhomogenen Maxwell shen Gleihungen bestimmt. Der Einfahheit wegen beshränken wir uns im Folgenden auf die mikroskopishe Form der Maxwell shen Gleihungen. Für div ε ρ folgt: A Durh Einsetzen für rot B j + 1 φ + 1 ε folgt: A ρ A A j 1 φ 1 2 A 2 2 A 1 2 A 2 2 A + 1 φ j Eihvarianz: Wir haben bisher die vier Maxwell shen Gleihungen auf zwei reduziert, die allerdings weiterhin gekoppelt sind. ie können wegen Freiheiten in der Potentialwahl entkoppelt werden. o kann zu dem ektorpotential A, das durh A B B definiert ist, der Gradient einer beliebigen skalaren Funktion Λ hinzuaddiert werden, ohne dass B sih ändert weil rot grad 0. B ist also invariant bezüglih der Transformation: Damit ε φ 1 A A A + Λ A invariant bleibt, transformieren wir: 67

6 denn: φ φ φ 1 Λ ε φ 1 A φ + 1 Λ 1 A 1 Λ φ 1 A Diese Freiheit in der Wahl der Potentiale ermögliht uns, die Potentiale A und φ so zu wählen, dass sie die Lorentz-Konvention erfüllen: A + 1 φ 0 Durh diese Eihung werden die zwei Maxwell shen Gleihungen entkoppelt und wir erhalten zwei inhomogene Wellengleihungen, eine für φ und eine für A: 2 φ φ 2 2 A 1 2 A 2 2 ρ j Diese beiden Wellengleihungen zusammen mit der Lorentz-Konvention sind den vier Maxwell shen Gleihungen äquivalent. Die obigen Transformationen der Potentiale A und φ heißen Eih-Transformationen. Die Invarianz eines Feldes bezüglih einer solhen Transformation nennt man Eih-Invarianz. Für die Lorentz-Gleihung gilt: A + 1 φ 0 A + 1 φ + Λ 1 2 Λ 2 2 Λ 1 2 Λ 2 2 A + 1 φ Eine weitere, oft benutzte Eihung für Potentiale ist die oulomb-eihung transversale Eihung: A 0 Es ergibt sih damit für die Maxwell shen Gleihungen: φ + 1 A ρ A 1 2 A 2 2 A + 1 φ j φ ρ ρx, t φx, t x x A A 2 j + 1 φ Das skalare Potential φ rührt in dieser Eihung rein von der elektrostatishen Ladungsverteilung her daher auh der Name!. Auflösung der zeitabhängigen, inhomogenen Wellengleihung durh die Green she Funktion: Die Bestimmungsgleihungen für die Potentiale φ und A haben in der Lorentz-Eihung die gleihe truktur: 68

7 ψr, t 1 2 ψ 2 fr, t 2 Die Funktion fr, t beshreibt die zeitabhängige Ladungs- bzw. tromverteilung. Wir wollen die obige Differentialgleihung mit der Green shen Funktion lösen, die von rt; r t abhängt. Die Bestimmungsgleihung für die Green she Funktion ist: Durh Einsetzen sieht man, dass: Grt; r t δr r δt t ψr, t Grt; r t fr, t dr die Differentialgleihung erfüllt. Zur Lösung der obigen Differentialgleihung berehnen wir zuerst die Fourier-Transformierte der Green shen Funktion: Grt; r t d 3 k dω g k, ωe i kr r e iωt t Die rehte eite der Differentialgleihung kann man folgendermaßen shreiben: δr r δt t 1 2π 4 d 3 k dω e i kr r e iωt t Durh Zusammenfassung der letzten beiden Gleihungen folgt: + d 3 k + dω e i k r r e iωt t { k 2 ω2 2 } g kω 2π 4 0 Diese Gleihung muss für alle r r und t t gelten. omit ergibt sih: g k, ω k 2 ω2 2 Durh Rüktransformation ergibt sih die gesuhte Green she Funktion Grt; r t. Allerdings treten bei der Integration hwierigkeiten auf wegen der Nullstellen im Nenner von g k, ω. Diese Polstellen werden durh geeignete Wahl des Integrationsweges umgangen. Die Wahl des Integrationsweges um diese Polstellen wird durh physikalishe Erfordernisse festgelegt: Die Differentialgleihung für Grt; r t kann als Gleihung für ein skalares Potential aufgefasst werden, das durh eine Punktladung zur Zeit t am Ort r erzeugt wird. Wegen der Kausalitätsforderung gilt: das Feld kann erst nah dem Zeitpunkt t existieren; t t > 0. Damit gilt: { 0 für t < t Grt; r t 0 für t > t Damit erhalten wir eine Integrationsvorshrift für die Integration des Propagators in der komplexen ω-ebene. Wir vershieben die Pole in die untere Halbebene: 69

8 t t < 0 ω x x k iη +k iη t t > 0 Mit Hilfe des Residuensatzes lösen wir das Integral: Für t t > 0 ergibt sih: Grt,r t 2 3 d 3 k e i kr r dω e iωt t ω k iηω + k iη Grt,r t 2π 2 d 3 k e i k r r sin kt t k Zur Integration über k führen wir Kugelkoordinaten ein: d 3 k k 2 dk dϕ sinϑdϑ k r r k r r osϑ Damit ergibt sih: Grt,r t 2π 0 k 2 dk 2π r r { 1 r r δ 2π 0 + dϕ π 0 dϑ sin ϑ e ik r r os ϑ sin kt t k dk{e ikt t r r e ikt t + r r t t r r δ t t + r } r Für t t > 0 erhalten wir die retardierte Green she Funktion: Grt;r t δt t + r r r r Damit erhält man sofort die der Kausalität genügenden Lösungen der elektromagnetishen Potentialgleihungen: φr, t Ar, t 1 dr ρr, t r r r r dr jr, t r r r r Diese Lösungen nennt man die retardierten Potentiale, denn das Potential am Ort r zur Zeit t wird durh die frühe Ladungs- und tromverteilung zum Zeitpunkt t bestimmt. Die Retardierung ist die Zeit, die ein Lihtsignal brauht, um von der Quelle r zum Aufpunkt r zu gelangen. Auh die avanierten Potentiale sind Lösungen der Maxwell shen Gleihungen. Diese erhält man, wenn man die Pole infinitesimal in die positive ω-ebene vershiebt, z.b.: φ av r, t dr ρr, t + r r r r Diese Potentiale widersprehen der zusätzlihen Kausalitätsforderung. 70

9 4.4 Energietransport im elektromagnetishen Feld: Der Poynting- ektor Die Arbeit A E abgegebene Energie, die von einem elektrishen Feld an einer Punktladung q geleistet wird, ist: E A kdr qεdr Das magnetishe Feld leistet keine Arbeit, weil die magnetishe Kraft immer senkreht zur Geshwindigkeit ist. Entsprehend beträgt die momentane Leistung einer sih bewegenden Punktladung q: L da Ein trom besteht aus vielen Punktladungen q i : q ε dr q v ε jr i q i v i δr r i Die pro Zeiteinheit verbrauhte Energie L de wird in mehanishe Energie oder Wärme umgesetzt. Um das Energieerhaltungsgesetz explizit darzustellen, eliminieren wir zunähst einmal j mit dem erweiterten Ampère shen Gesetz: H j + 1 D j H 1 j εd 3 x 1 1 D ε H ε D ] d 3 x ε H + ε D + H B ] d 3 x denn: ε H H ε ε H ε H H ε ε H H 1 B ε H Im Folgenden nehmen wir an, dass das benutzte Medium lineare elektrishe und magnetishe Eigenshaften besitzt. Ist dies der Fall, so ist die Energiedihte des elektrishen Feldes: u e 1 ε D mit: 8π und die Energiedihte des magnetishen Feldes: D ε ε u m 1 8π H B mit: B µ H Daraus ergibt sih für die totale Energiedihte eines elektromagnetishen Feldes: u 1 8π ε D + B H 71

10 Die Ableitung hiervon: u E 1 ε D H B j εdτ u + ε H dτ Da das olumen beliebig war, müssen die Integranden gleih sein, und wir erhalten folgenden Energiesatz: Der Poynting-ektor stellt den Energiefluss dar: u +j ε ε H [ Energie ] Flähe Zeit Da nur die Divergenz des Poynting-ektors im Energiesatz ersheint, ist er nur bis auf die Rotation eines ektorfeldes genau bestimmt. Dies rehtfertigt die obige Wahl von. Die physikalishe Bedeutung des obigen Energiesatzes ist Folgende: Die Änderung der elektromagnetishen Energie in einem bestimmten olumen ist gleih der durh die Grenzflähen nah außen fließenden Energie div und der totalen Arbeit des Feldes an innerhalb des olumens befindlihen Ladungen. 4.5 Energie- und Impulserhaltung des elektromagnetishen Feldes Energieerhaltung Wir betrahten nohmals das Poynting she Theorem: u +j ε Der Term j ε beshreibt die Umwandlung von elektromagnetisher Energie in mehanishe oder Wärme-Energie. Da die Materie aus geladenen Teilhen besteht, beshreibt j ε eine Erhöhung der mehanishen kinetishen Energie der Materie: de meh j Edτ Nun kann man mit dem Poynting shen Theorem die Energieerhaltung für ein zusammengesetztes ystem folgendermaßen ausdrüken: de d E meh + E Feld dτ ndf wobei: E Feld dτ 1 E 8π 2 + B 2 dτ Es wurde dabei vorausgesetzt, dass durh die Bewegung des Teilhens selbst keine Energie das olumen verlässt. Dies bedeutet, dass eine Abnahme der Energie im olumen nur durh Abstrahlung erfolgen kann: 72

11 mit: d E total, ndf Impulserhaltung E total, E meh, + 1 ε 8π D + H Bdτ Die Änderung des Impulses ist nah dem 2. Newton shen Gesetz: dp K Die Kraft auf ein geladenes Teilhen ist die Lorentz-Kraft: K l q ε + q B Wir bezeihnen den Impuls aller Teilhen Elektronen und Kerne im olumen mit p meh ; wir können also nah dem 2. Newton shen Gesetz shreiben: dp meh ρε + 1 j Bdτ Der Übergang zur diskreten erteilung ist durh folgende Ersetzung möglih: ρ i j i q i δr r i q i i δr r i Genau wie für das Poynting she Theorem benutzen wir die Maxwell shen Gleihungen, um ρ und j zu eliminieren: ρ 1 ε j Durh Einsetzen erhalten wir für den Integranden: denn: ρ ε + 1 j B 1 1 B 1 und ε ε ε + 1 B ε B B [ ε ε + B B B ε B B ] 1 ε B B B 0 1 B ε und ε B + ε B ε B ε ε Damit kann nun die Änderung der Impulsdihte folgendermaßen beshrieben werden: 73

12 dp meh + d 1 ε Bdτ 1 [ ] ε ε ε ε + B B B B dτ Da der Poynting-ektor ε B ist, vermutet man, dass der totale elektromagnetishe Impuls p Feld in dem olumen: p Feld 1 ε Bdτ ist. Daraus erhalten wir für die Änderung des totalen Impulses im olumen folgenden Ausdruk: d p total d p meh + p Feld 1 [ ] ε ε ε ε + B B B B dτ Um einen Erhaltungssatz zu bekommen, brauhen wir rehts ein Oberflähenintegral über einen Impulsfluss aus heraus oder ein olumenintegral über eine entsprehende Divergenz. Rehts steht ein ektor oder anders ausgedrükt: ein Tensor 1. tufe. Wollen wir diesen als Divergenz shreiben, muss hinter div ein Tensor 2. tufe Dyade stehen. Hierzu einige Wiederholungen: Ein Tensor 0. tufe ist ein kalar, z.b.: ε B i ε i B i ε x, ε y, ε z B x B y B z ε t B t transponiert Ein Tensor 1. tufe ist ein ektor, z.b.: ε Ein Tensor 2. tufe ist eine Dyade, z.b.: Einheitsgrade: ε B t ε x ε y ε z mit: e x ε x ε y ε z ε t ε x, ε y, ε z B x, B y, B z ; e y ε x B x ε x B y ε x B z ε y B x ε y B y ε y B z ε z B x ε z B y ε z B z I e x e t x + e y e t y + e z e t z ; e z Mit dem Begriff der Dyade und folgender ektoridentität: B B 1 2 B t B B t B ergibt sih für den entsprehenden Teil des Integranden von dp total : t B B t 1 2 I B t B x, y, z B x B y B z B x, B y, B z B 2 B t B + Bt B 1 2 B 2 B t B B B 74

13 d p total 1 Gauß 1 mit: i t Damit ergibt sih der folgende Impulserhaltungssatz: εε t 1 2 ε2 I + B B t 1 B 2 2 I df T df i T ik 1 T ik B i B k 1 2 B2 δ ik + ε i ε k 1 2 ε2 δ i,k d p total 1 n Tdf wobei n T den Impulsfluss aus dem olumen per Einheitsflähe pro Zeiteinheit angibt. dτ 75