Spezielle Relativitätstheorie und Elektrodynamik

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1 Spezielle Relativitätstheorie und Elektrodynamik Aufgabe Im Bezugsystem K treten zwei nahezu gleih gute Läufer im Abstand d voneinander an die auf der x-ahse liegende Startlinie und warten auf das Signal zu einem Lauf parallel zur y-ahse. Die beiden Starter, die jeweils neben den Läufern stehen, feuern ihre Startpistole mit einem kleinen Zeituntershied ab, so dass der bessere der beiden Läufer benahteilegt wird. Im System K beträgt der Zeituntershied T. a) Für welhen Bereih von Zeituntershieden gibt es ein Bezugssystem K, in dem es zu keiner Benahteiligung kommt, und für welhe Skala von Zeituntershieden gibt es ein System K, in dem eine tatsählihe Benahteiligung (und niht nur eine sheinbare) Benahteiligung auftritt? b) Wie lauten die zu diesen beiden Möglihkeiten gehörenden Lorentz-Transformation von K nah K? a) Das erste Ereignis ist der Start des ersten Läufers bei x µ =. Der zweite Läufer startet dann bei T (y µ ) = d Der Abstand der Ereignisse ist = d T. Es gibt also ein Bezugssystem, in dem die beiden Läufer gleihzeitig starten, falls der Abstand raumartig ist, d.h. d > T. Eine tatsählihe Benahteiligung gibt es, falls der Abstand zeitartig ist, d.h. d < T. b) Für die Transformation in das bewegte Bezugssystem K ist nur eine relative Bewegung in x-rihtung nötig: x µ = x µ = y = γ(y βy ) y = γ(y βy ) Keine Benahteilugung gibt es, wenn y = ist, also β = y = T y d < [wegen a)]. Eine tatsählihe Benahteiligung tritt dagegen auf, falls y =, also β = y d T < [wegen a)]. y =

2 Aufgabe Ein Drahtring D mit Radius R bewege sih gleihförmug mit konstanter Geshwindigkeit im Feld eines im Koordinatenursprung ruhenden magnetishen Dipols mit Dipolmoment m = mê z. Die Lage des Rings in Abhängigkeit der Zeit t sei - unter Vernahlässigung der Dike - gegeben durh x + y = R und z = vt. a) Welhe Ringspannung U = D E ds wird in der Shleife induziert, wenn man das Feld des Rings vernahlässigt. b) Skizzieren sie den Verlauf der Ringspannung als Funktion von t. Für welhe Werte von t wird die Ringspannung extremal? a) U = D E ds = A rot E df = d dt A B df Die induzierte Spannung hängt wegen dem Stokeshen Satz und rot E = t von dem Integral des Magnetfeldes über die Flähe A ab, die vom Ring eingeshlossen wird. Das Magnetfeld eines Dipols ist mit m = mê z [ ] B(x) = mzx 3 4π mê z mit z = vt ρ + z 5 ρ + z 3 B Dabei wurden die Zylinderkoordinaten ρ = x + y verwendet. Die Integration über den Kreisring ist mit df = ρdρdφê z : π [ ] R B df = dφ dρ m ρz 3 4π ρ = m R ρ + z 5 ρ + z 3 R + z 3 A Die Spannung ist demnah: b) Die Extrema liegen bei U = d dz A dz B df dt = 3m R v t R + v t 5 = d R v t dt R + v t = R 4v t 5 R + v t v t 7 = ± R v Aufgabe 3 Ein Teilhen mit Masse M und Ladung q > bewegt sih in einem elektrishen und magnetishen Feld. Diese sind räumlih und zeitlih konstant: E = Eê z B = Bê x E, B >

3 ,4,3 Spannung U,, K K Zeit t K, K, K,3 K,4 Abbildung : Spannung U als Funktion der Zeit (m = R = v = = ) a) Bestimmen Sie die Bahnkurve r(t) des nihtrelativistishen Teilhens mit den Anfangsbedingungen r() = v() =. b) Berehnen Sie die Geshwindigkeit v des Teilhens, bei der es keine Beshleunigung erfährt. ) Betrahten Sie nun ein Bezugssystem in dem das Magnetfeld vershwindet. Dort hat das Teilhen die entsprehend transformierte Geshwindigkeit v, es erfährt aber eine Beshleunigung durh das elektrishe Feld. Wie ist das mit einer gleihförmig Bewegung im System aus b) vereinbar? a) Mit der Lorentz-Kraft gilt: ẍ M ÿ = q z E + żb ẏb () Da ẋ() = x() = ist daher x(t) =. Mit der Abkürzung ω = qb M Differentialgleihungen für die restlihen Komponenten: ( ) ( ) ÿ ż = ω z ẏ + E B lauten die Integriert man z.b. die erste Gleihung erhält man: ẏ(t) y() = ω [z(t) z()] ẏ(t) = ωz(t) Dies kann man in die zweite Gleihung einsetzen: z + ω z = ω E B 3

4 Eine partikuläre Lösung ist offensihtlih z(t) = E Bω. Die Gesamtlösung einer solhen linearen Differentialgleihung ist ja: z(t) = A os(ωt) + B sin(ωt) + E Bω Die Konstanten bestimmen sih aus den Anfangsbedingungen: Zusammangefasst gilt also: z() = A + E Bω = A = E Bω ż() = Bω = B = z(t) = E [ os(ωt)] Bω y(t) = ω x(t) = t z(t) dt = E [ωt + sin(ωt)] Bω Das Teilhen bewegt sih auf einer Shraubenlinie. b) Soll das Teilhen keine Beshleunigung erfahren, muss nah () ż = und ẏ = E B v = E B êy ) Da die Teilhengeshwindigkeit kleiner als die Lihtgeshwindigkeit sein muss und sih das Teilhen gleihförmig bewegen soll, muss v = E B < bzw. E B < Aber weil E B Lorentz-invariant ist, gibt es in dem Fall kein Bezugssystem in dem das Magnetfeld vershwindet. Wenn es ein Bezugsystem ohne Magnetfeld gibt, müsste v = E B > sein für eine gleihförmige Bewegung. In dem Fall kann sih das Teilhen, egal wie shnell, gar niht geradlinig bewegen. Aufgabe 4 Eine im Vakuum in x-rihtung laufende, zirkular polarisierte Welle wird durh das elektrishe Feld E(t, x) = Re [f(x t)(ê y + iê z )] beshrieben, worin f eine beliebige, komplexwertige Funktion darstellt. Ermitteln Sie aus den Maxwell-Gleihungen das zugehörige Magnetfeld und berehnen Sie die Energiedihte, den Poyntingvektor, die Impulsdihte sowie den Spannungstensor der Welle. 4

5 Da f eine komplexwertige Funktion ist zerlegt man sie in Real- und Imaginärteil f = a + ib. Das elektrishe Feld und dessen Rotation ist somit: E = a(x t) b(x t) rot E = b (x t) a (x t) Aufgrund der Maxwell-Gleihung rot E = ist dann, sofern man die Integrationskonstanten Null setzt, das Magnetfeld: B = b(x t) = Re [f(x t)(ê z iê y )] a(x t) Die Energiedihte im Vakuum ist u = (E D + H B) = B t ( E + B ) = a + b = f Der Poyntingvektor ist S = E H = E B = ( a + b ) ê x = u ê x und damit die Impulsdihte P = D B = E B = S = u ê x. Der Spannungstensor der Welle ist definiert durh: T ij = E i D j + H i B j δ ij u = E i E j + B i B j δ ij u Der Tensor ist symmetrish T ij = T ji und es zeigt sih: T = u = f sonst T ij = Aufgabe 5 Ein Stab, der in Ruhe die Länge L besitzt, fliegt an Ihnen mit der Geshwindigkeit v in Rihtung seiner Ausdehnung vorbei. a) Wie lange dauert es, bis er an Ihnen vorbei ist? b) Wie lange dauert dieser Vorgang im Ruhesystem des Stabes? ) Vergleihen Sie die beiden Zeiten. d) Ist das Ergebnis mit der Zeitdilitation verträglih und, wenn ja, wieso? e) Ein Stab der Länge L ruht im System S in einem Winkel α zur x-rihtung. Berehnen Sie die Lorentz-Kontraktion des Stabes in einem in x-rihtung mit Geshwindigkeit v bewegten Bezugssystem. 5

6 a) In unserem Bezugssystem hat der Stab aufgrund der Längenkontraktion die Länge L = L γ. Daher brauht er die Zeit t = L γv für den Vorbeiflug. b) Im System des Stabes dauert es t = L v ) Es ist also t t = γ < d) Dieses Verhältnis ist verträglih mit der Zeitdilitation, da es sih bei t um unsere Eigenzeit für den Vorbeiflug handelt und die stellt die kürzeste Zeit dar. Die Eigenzeit basiert immer auf einer Zeitmessung an einem einzigen Ort. Im Ruhesystem des Stabes muss man beim Vorbeiflug Zeiten an zwei Orten messen. e) In seinem Ruhesystem sind die kartesishen Ausmaße des Stabes durh L x = L os α und L y = L sin α gegeben. Ein Beobahter des mit vê x vorbeifliegenden Stabes sieht diesen in x-rihtung Lorentz-kontrahiert, also L x = L x /γ und L y = L y. Die Länge, welhe der Beobahter wahrnimmt, ist demnah L = L x + L y = L γ + (γ ) sin α L Aufgabe 6 Die Stromdihte j µ verhält sih unter Lorentz-Transformationen wie ein Vierer-Vektor. Wie sieht das aber mit der Ladungsdihte ρ aus? Welhe Konsequenzen hat dieses Verhalten für die Gesamtladung Q = d 3 x ρ? Betrahtet man das Ruhesystem der Ladungsverteilung, so ist dort ρ. In einem dazu bewegten System ist gemäß der Lorentz-Transformation von j µ die Dihte ρ = γρ. Die Ladung ist im ersten System Q = V d3 x ρ, im zweiten dagegen Q = V d 3 x γ ρ. Da aufgrund der Längenkontraktion aber dx = γ dx und d 3 x = γ d 3 x ist, sind diese beiden Ladungen gleih Q = Q, solange man über entsprehende Volumina integriert. Wegen der Längenkontraktion ist der Zusammenhang der Volumina ja V = γ V. Die Transformation von Dihten aus dem Ruhesystem in ein anderes ergibt sih also shon wegen ρ V Aufgabe 7 Ein unendlih langer, gerader Draht von vernahlässigbar geringem Quershnitt befinde sih im Inertialsystem K in Ruhe und trage eine homogene Linienladungsduhte λ. Das System K und der Draht bewege sih gegenüber dem Laborsystem K mit der Gesihwindigkeit v parallel zur Ahse des Drahtes. 6

7 a) Man gebe die durh Zylinderkoordinaten ausgedrükten elektrishen und magnetishen Felder im Ruhesystem des Drahtes an. Unter Verwendung der Lorentz- Transformationeigenshaften der Felder bestimme man die Komponenten der elektrishen und magnetishen Felder im Laborsystem. b) Wie lauten die Ladungs- und Stromdihten des Drahtes in seinem Ruhesystem und im Laborsystem? Aus den Ladungs- und Stromdihten im Laborsystem berehne man direkt die entsprehenden elektrishen und magnetishen Felder und vergleihe das Ergebnis mit a). a) Im Ruhesystem K liege der Draht auf der z-ahse. Wählt man einen Zylinder mit Radius ρ und Länge l um den Draht, so gilt nah dem Satz von Gauß: E df = d 3 x λ δ(ρ ) πρ Der Faktor πρ Z in der Dihte ist für die Normierung d x δ(ρ ) πρ = Z π ρdρ dφ δ(ρ ) πρ = notwendig. Da das E-Feld zylindersymmetrish sein wird, gilt mit dem Satz von Gauß und einer zylinderförmigen Flähe der Länge l um den Draht: E πρ l = λl E = λ πρ ê ρ Ohne Strom liegt natürlih kein Magnetfeld B = vor. Die Transformation ins System K erfolgt mit vê z. Daher ist x = x, y = y, ρ = ρ und auh ê ρ = ê ρ, ê φ = ê φ. Die Transformation der Felder ist damit: b) Die Stromdihte im System K lautet: E = γe = γλ πρêρ B = γ v êz E = γvλ (j µ ) = λ πρêφ δ(ρ ) πρ 7

8 Im System K ist die Stromdihte dann: γ βγ (j µ ) = βγ γ λ δ(ρ) πρ = γλ βγλ δ(ρ) πρ Wie in a) ergibt sih das E-Feld wieder aus dem Gaußshen Satz zu: E = γλ πρêρ Für das B-Feld verwendet man den Satz von Stokes und ein Integral über einen Kreis mit Radius ρ: B ds = j df K K B πρ = βγλ Das Magnetfeld stimmt also auh mit dem aus a) überein: B = γλv πρêφ Aufgabe 8 Eine alternative Lagrange-Dihte des elektromagnetishen Feldes ist L = µa ν µ A ν j µa µ a) Leiten Sie die Bewegungsgleihung für A µ her. Unter welhen Voraussetzung stimmt sie mit den Maxwell-Gleihungen ν F µν = jµ überein? b) Überlegen Sie, wie diese Lagrange-Dihte aus der Dihte L = 4 F µνf µν j µa µ hervorgeht. a) Verwendet man wieder das Variationsverfahren gilt: A µ A µ + δa µ µ A ν µ A ν µ A ν µ A ν + µ A ν µ δa ν L L µ A ν µ δa ν + jν δa ν Die Wirkung S = d 4 x L ändert sih damit um: d 4 x ( µ A ν µ δa ν + ) jν δa ν = d 4 x ( µ µ A ν + jν ) δa ν 8

9 Diese Änderung soll wieder Null sein. Daher ergibt sih die Wellengleihung: A ν = jν Dagegen liefert die normale Maxwell-Gleihung ν F µν = ν ( µ A ν ν A µ ) = µ ν A ν A µ = jµ Dies stimmt nur im Fall der Lorentz-Eihung µ A µ = überein. b) F µν F µν = ( µ A ν ν A µ ) ( µ A ν ν A µ ) = µ A ν µ A ν µ A ν ν A µ Der zweite Term läßt sih auh anders ausdrüken: µ A ν ν A µ = µ (A ν ν A µ ) + A ν ν µ A µ In der Lorentz-Eihung bleibt nur die totale Ableitung µ (A ν ν A µ ) übrig. In der Wirkung vershwindet dieser Anteil allerdings, da A µ im Unendlihen vershwindet. Die angegebene Wirkung gilt also nur in der Lorentz-Eihung. Aufgabe 9 Gegeben sei ein statishes, homogenes elektrishes Feld E parallel zur x-ahse sowie ein statishes, homogenes Magnetfeld B = E, das in der x-y-ebene liegt, und mit der x-ahse den Winkel θ bildet. Bestimmen Sie die Relativgeshwindigkeit eines Bezugssystems, in dem die elektrishen und magnetishen Felder zueinander parallel sind. Wie lauten die Felder in diesem System für θ und θ π? Hinweis: Untersuhen Sie den Fall β = βê z. Die Felder lauten: E = E und B = E os θ sin θ In einem System, das sih mit βê z bewegt sind die Felder β sin θ E = γ(e + βê z B) = γe β os θ B = γ(b βê z E) = γe os θ sin θ β 9

10 In dem System sollen diese Felder parallel sein, also = E B = γ E [ β sin θ 5β + sin θ ] ê z [ β, = 5 ] ± 6 4 sin θ 5 sin θ Weil β < sein muss, ist nur das Minuszeihen vor der Wurzel zulässig. [ β = 5 ] 6 4 sin θ 5 sin θ Für θ ist sin θ θ und os θ und damit [ β 5 ] 6 4θ 5 θ 5 [ ( 6 )] 4θ 5 θ = 5 θ Daher ist γ und die Felder lauten: E = E 4 5 θ B = E 4 5 θ Für den Grenzwert θ π setzt man θ = π α mit α. Damit ist os θ = sin α α und sin θ = os α α. β sin θ 3 + In den restlihen Näherungen genügt es β Die Felder sind dann E = α E α 6 5 ( α ) = 4 3 α zu nehemen, also β os θ α und γ 3. B = 3E 4 3 α Aufgabe sin φ Ein Ring in der x-y-ebene mit Radius a hat die Linienladungsdihte λ = λ. Er rotiert um seine Ahse mit konstanter Winkelgeshwindigkeit ω. Berehnen Sie die retardierende Potentiale an seinem Mittelpunkt. Hinweis: sin(α + β) = sin α os β + sin β os α os(α + β) = os α os β sin α sin β

11 Der Mittelpunkt des Rings sei der Ursprung des Koordinatensystems. Da sih der Ring dreht, ist die Ladung, die zur Zeit t = bei ϕ ist, später am Ort ϕ+ωt. Die Ladungsdihte bei einem festen φ ist daher λ(t, φ) = λ sin φ ωt Die retardierte Zeit ist am Mittelpunkt t ret = t x = t a. Das elektrishe Potential ist dann mit Zylinderkoordinaten: Φ(, t) = 4π = 4π λ d 3 x λ(t ret, φ )δ(z)δ(ρ a) x π dφ sin φ = λ π 4π = π 4π dφ sin φ = λ π dφ λ sin φ ωt ret Das Weglassen von ωt ret ist möglih, weil man über eine volle Periode von sin( ϕ ) integriert und der genaue Anfangspunkt der Periode egal ist. Zusätzlih ist in dem Integrationsbereih von bis π sin( ϕ ) positiv und die Betragsstrihe sind überflüssig. Die Stromdihte ist einfah die Ladungsdihte mit der Geshwindigkeit aωê φ des Rings multipliziert: j(t, x) = λ(t, φ)δ(ρ a)δ(z) aωê φ = aωλ sin φ ωt δ(ρ a)δ(z) ê φ Das Vektorpotential ist also: A(t, ) = d 3 x j(t ret, φ ) 4π x = aωλ π dφ sin φ ωt ret sin φ 4π os φ = aωλ π ωtret/ dφ sin φ sin ( φ ) + ωtret 4π ωt ret/ os ( φ ) + ωtret = aωλ π sin φ os ( ωt ret ) dφ sin φ os φ sin ( ωt ret ) os φ os ( ωt ret ) 4π sin φ sin ( ωt ret ) Dabei wurde nah Variablensubstitution wieder die Periodizität aller Funktionen ausgenutzt und der Betrag wie vorhin weggelassen. Es bleiben zwei Integrale übrig: π π dφ sin φ π sin φ = dφ sin φ os φ = 4 φ 3 sin dφ sin φ π os φ = dφ sin φ ( os φ ) = π = ( 4 3 os3 φ + os φ ) π = 4 3

12 Damit erhält man das Vektorpotential: A(t, ) = aωλ 3π sin ( ωt ret ) os ( ωt ret ) Aufgabe Ein Teilhen bewegt sih im System K mit Geshwindigkeit v. Das System K bewegt sih relativ zu K mit der Geshwindigkeit v ê x. Berehnen Sie durh Lorentz- Transformation, welhe Geshwindigkeit es im K hat und zeigen Sie damit die relativistishe Geshwindigkeitsaddition. Die Vierer-Geshwindigkeit im System K beträgt: (u µ ) = γ v v v 3 Dabei berehnen sih die γ-faktoren wie üblih γ = sie dann: γ γ β (u µ ) = γ v v = γ β γ γ v 3 Aus der ersten Komponente folgt: γ γ = γ v v ( v v v v 3 ) = γ γ usw. Im System K ist ( v v ) v v γ v 3 γ v 3 Setzt man dies in die anderen Gleihung ein, ergibt sih sofort die relativistishe Geshwindigkeitsaddition: v = v v v v v = γ v v v v 3 = γ v 3 v v

13 Aufgabe Eine ebene elektromagnetishe Welle E(t, x) = E e ikµxµ propagiert im Vakuum im Bezugssystem K in z-rihtung und ist rehtszirkular polerisiert: ω ω (k µ ) = k = E E = ie E reell k a) Drüken Sie die folgenden Beziehungen so durh Vierer-Vektoren aus, dass ihre Lorentz-Invarianz deutlih sihtbar ist: Lorentz-Eihung der Potentiale, Dispersionsrelation, Kontinuitätsgleihuung, Wellengleihung, Phaseninvarianz einer ebenen Welle b) Geben Sie den Vorfaktor B für das zugehörige Magnetfeld, B(t, x) = B e ikµxµ an. Das Bezugssystem K, dessen Ursprung bei t = mit dem bei von K übereinstimmt, bewegt sih (ohne Rotation) mit Geshwindigkeit v in x-rihtung in K. In K sind die Felder der obigen Welle E (t, x ) = E e ik µx µ und B (t, x ) = B e ik µx µ. ) Berehnen Sie die Frequenz ω, den Wellenvektor k und die Vorfaktoren E und B in K. d) Zeigen Sie, dass der Realteil von E im Ortsteil von K eine Rihtung ê definiert, die orthogonal zu k ist. e) Zeigen Sie, dass die Welle auh im System K rehtszirkular polarisiert ist. Dazu genügt es zu zeigen, dass die Komponente von E in der Rihtung von k ê gerade i mal die Komponente in Rihtung ê ist. a) Lorentz-Eihung der Potentiale: µ A µ = Dispersionsrelation: k µ k µ = Kontinuitätsgleihuung: µ j µ = Wellengleihung für die Funktion Ψ: µ µ Ψ = Ψ = Phaseninvarianz einer ebenen Welle: k µ x µ B t b) Man kann z.b. rot E = ausnutzen: ( rot E = rot E e i(kz ωt)) = ik E e ikµxµ = ik ie E B t = ( B e i(kz ωt)) = iω t B e ikµxµ e ikµxµ 3

14 Nah der Dispersionsrelation gilt k µ k µ = ist k = ω und damit: B = ie E Shneller geht es mit der für ebene Wellen gültige Beziehung ê k E = B. ) (k µ ) = ω k = Die Felder transformieren so: E E = + γ ie B = ie + γ γ γβ γβ γ + v E v ω k ie E E ie = = γ ω βγ ω k = E iγe γβe ie γe iγβe d) Offensihtlih ist Re [ E ] k = E γβe βγk k = e) Daher ist die Rihtung tatsählih orthogonal. Mit + γ β = γ ist der Vektor ê = Re [E ] Re [ E ] γ = β k ê = βγk k γ β = γkê y Die Komponente von E in der Rihtung von k ê ist iγe und damit gerade i mal der Komponente in Rihtung ê. Denn diese ist: Die Welle ist also wieder rehtszirkular. E e = ( γ + γβ ) E = γe 4