Planungsblatt Physik für die 8B

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1 Planungsblatt Physik für die 8B Wohe 5 (von bis 07.10) Hausaufgaben 1 Bis Freitag 07.10: Lerne die Notizen von Dienstag! Aufgabe zum Nahdenken: Ein Raumshiff fliegt an der Erde vorbei; sein Geshwindigkeit beträgt 70% der Lihtgeshwindigkeit. Aus einer Kanone des Raumshiffes wird eine Kugel nah vorne geshossen (auf ein anderes Raumshiff zielend). Die Geshwindigkeit der Kugel relativ zum Raumshiff ist 80% der Lihtgeshwindigkeit. Ist die Geshwindigkeit der Kugel für uns, Beobahter auf der Erde, mehr oder weniger als die Lihtgeshwindigkeit? (Wiederholung!) Bis Dienstag 11.10: Lerne die Notizen von Wohe 5! Erledige / Lerne das Arbeitsblatt zu SRT. Kernbegriffe dieser Wohe: Zeitdilatation, Längenkontraktion, Lorentztransformationen, kosmishe Myonen, Leiter-Garage- Paradoxon Ungefähre Wohenplanung Shulübungen. (a) Dienstag (3.Std): (i) HÜ-Bespr. und evt. mswh, (ii) ein kleiner Vortrag von einer von euh, (iii) das Arbeitsblatt zu SRT (b) Freitag (5.Std): (i) HÜ-Bespr. und evt. mswh, (ii) Diese Stunde drei Sahen: das Arbeitsblatt, ein Artikel von Brian Greene und der Doppler-Effekt (relativistish). Den Artikel von Brian Greene finden wir auf: Für Interessierte gibt es hier auh noh eine lustige, aber lernsame Website: Unterlagen auf 1 Für manhe Aufgaben wird auf Rükseite/Anhang/Buh/Arbeitsblatt verwiesen. 1

2 Ein kleines AB zu SRT A B C D E F Kontrolliere, dass die Größe β = v/ unabhängig von den gewählten Einheiten ist. Drüke die Formeln für die Lorentzkontraktion und die Zeitdilatation in β aus. Mahe ein Diagramm für die Funktion f(β) = 1 β und auh für die Funktion g(β) = 1 f(β). Jemandfährtin einembolidenmitβ = 0,5aufeineroteAmpel zu. WelheFarbe nimmt man im Boliden wahr? Wähle realistishe Wellenlänge/Frequenzen für das Liht! Ih gebe weiters noh λf =. Rot: λ 650nm. Von Zwillingen wird die eine Person (Baby) hier auf Erde alt /älter. Die zweite wird mit genügend Futter, Sauerstoff und sonstigem, was ein Baby brauht, auf eine Reise zum Stern Alpha Centauri geshikt. Dort angekommen wird das Raumshiff sofort umgedreht, um wieder zurükzufliegen. Wir nehmen mal an, die Geshwindigkeit ist a. 75% der Lihtgeshwindigkeit. Alpha Centauri ist der Stern,der uns am nähstensteht (bis aufdie Sonne), und die Entfernung beträgt 4, Lihtjahre. Was ist der Altersuntershied, wenn die Zwillinge sih wieder sehen? Wenn ein Teilhen mit Lihtgeshwindigkeit fliegt (so wie Photonen), dann darf es niht instabil sein, also, die Halbwertszeit muss unendlih sein. Warum ist das so? Die relativistishe Formel für die kinetishe Energie ist etwas komplizierter: E = m, wobei wieder β = v/. Hierzu zwei Fragen: warum muss v < 1 β sein, wenn etwas eine Masse hat? Und zweitens, benutze die Annäherung (1 x ) α 1 αx, welhe gültig ist, wenn x << 1, um zu zeigen, dass die kinetishe Energie für niedrige Geshwindigkeiten aus zwei Teilen besteht: aus m (Ruheenergie) und die normale kinetishe Energie 1 mv.

3 Einige Notizen zu SRT (0) Im Unteren bewegt sih ein Koordinatensystem mit Geshwindigkeit v in positiver x- Rihtung. Die Koordinaten im ruhenden Koordinatensystem werden mit x, y, z, t angedeutet. Die Koordinaten im sih bewegenden System werden mit x, y, z und t angedeutet. Die räumlihen Koordinatenahsen sind parallel. (1) Die Formel t = t 1 v beshreibt wie Zeitintervallen wahrgenommen werden, wenn sih ein Wahrnehmer bewegt. Die sih bewegende Uhr ist langsamer. Nota bene, die Uhr bleibt im sih bewegenden Koordinatensystem still stehen! Also x = 0. () Falls zwei Ereignisse sowohl im sih bewegenden System wie auh im ruhenden System niht am selben Platz sind, dann hängen die Zeit- und Koordinatenintervalle wie folgt zusammen t = t v x, x = 1 v x v t. 1 v Des Weiteren y = y und z = z. Diese Transformation vom einen Koordinatensystem ins andere heißt eine Lorentztransformation. Diese müsst ihr niht auswendig lernen, noh anwenden können. Die Herleitung basiert auf folgenden Annahmen: Die Transformation ist linear, die Lihtgeshwindigkeit ist in beiden Koordinatensystemen gleih, und falls x = 0, dann findet man x = v t, was heißt, dass sih der Ursprung des sih bewegenden Koordinatensystems mit Geshwindigkeit v relativ zum ruhenden Koordinatensystem bewegt. (3) Die Lorentzkontraktion wird durh L = L 1 v beshrieben. Somit wird ein sih bewegender Lineal kürzer werden. Im Ruhezustand betrahtet ist ein Lineal am längsten. (4) Verwirrend ist immer Folgendes: Die Formeln für die Zeitdilatation (siehe (1)) und die Längenkontraktion sind ähnlih, aber der Striht (Akzent) steht auf der anderen Seite. Jedoh spriht man von Dilatation und Kontraktion! Daher muss man sih die Phrasen dazu merken: Eine sih bewegende Uhr tikt langsamer, und zwar mit einem Faktor 1 v ; ein sih bewegender Stab verkürzt sih, und zwar mit demselben Faktor! (5) Oben in der Atmosphäre werden durh in die Atmosphäre eindringende Protonen Myonen (µ) erzeugt. Diese fliegen mit einer Geshwindigkeit, die sih reht gut der Lihtgeshwindigkeit annährt auf die Erde zu. (5a) Diese Myonen nehmen die Atmosphäre als viel dünner wahr als wir; wir sehen eine etwa 10km dike Atmosphäre. Wenn die Myonen eine Geshwindigkeit von 97% der Lihtgeshwindigkeit haben, sodass v/ = 0,97, sehen sie die Atmosphäre um einen Faktor 1 (0,97) 0,4 kürzer, also nur noh 400 meter. Somit dauert diese Streke für die Myonen nur etwa t = 400m , s = 8,5µs. Da die Halbwertszeit τ 1/,µs beträgt, kann man sagen t 3,75τ 1/. Somit wird ein Anteil von etwa (0,5) 3,75 0,074, also etwa 7% die Erde erreihen. Der Rest zerfällt. (5b) Wir nehmen die Zeit der Myonen wie folgt wahr: Diese Teilhen legeneine Strekevon etwa 10km mit einer Geshwindigkeit von etwa 97% der Lihtgeshwindigkeit zurük. Daher dauert für uns diese Myonenreise etwa t = ,97 34, s = 34,5µs. Das sind also 34,5/, 15,7 Halbwertszeiten. Somit würde man naiv erwarten, dass nur ein Anteil von (0,5) 15, die Erde erreihen würden. Wir messen aber viel mehr! Die Myonen zerfallen natürlih nah der Uhr der Myonen selbst. Für sie ist aber die Zeitreise verkürzt. Die Zeitspanne wird mit der Zeitdilatation um einen Faktor 0,4 verkürzt. Daher spüren die Myonen ein Zeitintervall von 0, 4 15, 7 = 3, 768 Halbwertszeiten. Das ist bis auf Rundungsungenauigkeiten genau in Übereinstimmung mit (5a) dort waren es 3,75 Halbwertszeiten. Die Geshihte der Myonen kann also mit Zeitdilatation und mit Lorentzkontraktion erklärt werden: Wir messen auf der Erde mehr kosmishe Myonen als man ohne SRT vermuten würde. 3

4 (6) Elegante Herleitung von der Lorentzkontraktion. Nehmen wir einen Stab mit Länge L im sih bewegenden Koordinatensystem. Wir fertigen aber noh einen Stab mit derselben Länge L an. Diese stellen wir unter einem Winkel von 90 Grad im sih bewegenden Raumshiff auf. Der eine Stab weist nah vorne in der Bewegungsrihtung, der andere weist nah oben. An den Enden befestigen wir Spiegel, in der Eke eine Lihtquelle, die gleihzeitig zwei Lihtpakete zu den jeweiligen Spiegeln shiken kann. Im sih bewegenden Koordinatensystem sehen wir also das, dass wir zwei Lihtpakete sih zu einem Spiegel und dann wieder zurük bewegen. Die Zeit zwishen dem Senden und Ankommen dauert dann t = L /. Nun, im sih ruhenden Koordinatensystem sehen wir, dass zwei Lihtpakete gleihzeitig losgeshikt werden, und auh wieder gleihzeitig ankommen. Diese beiden Ereignisse müssen gleihzeitig sein, da sie am selben Ort stattfinden; entweder prallen sie aufeinander (z.b. könnte das eine Explosion verursahen, wenn wir eine Bombe so einstellen), oder niht (und eine Bombe kann niht shon und doh auh niht explodieren). Somit wissen wir (siehe Herleitung von Zeitdilatation), dass gilt: t = t 1 v. Sei nun L die Länge des sih in x-rihtung bewegenden Stab. Im sih ruhenden Koordinatensystem muss das sih in x-rihtung bewegende Liht zuerst einen Spiegel auf Distanz L, der L sih mit Geshwindigkeit v nah vorne bewegt erreihen; das dauert hier eine Zeitspanne v. Dann muss das Liht die Streke der Länge L zurük zur Quelle, die sih mit Geshwindigkeit v zum Liht hin bewegt, zurüklegen. Das dauert eine Zeitspanne L +v. Daher misst der sih in Ruhe befindenden Wahrnehmer eine Zeit t = L v + L +v = L v. Da t = t 1 v und wir die linke Seite davon in L ausdrüken könne, die rehte in L, so finden wir eine Beziehung zwishen L und L, welhe genau diebehauptete Formel ist dies ist eine gute Algebraübung mit Hinweis v = (1 v ) = ( 1 v ). Elegante Shlussfolgerung ist auh: Im sih ruhenden Koordinatensystem sind die zwei Stäbe niht mehr gleih lang! (7) Addition von Geshwindigkeiten ist in SRT ganz anders. Relativgeshwindigkeiten berehnet man niht mehr mit einer einfahen Addition oder Subtraktion. (8) Wenn sih eine Lihtquelle mit Geshwindigkeit v auf uns zubewegt, wird die ausgestrahlte (emitierte) Frequenz f etwas vershoben wahrgenommen, und zwar nehmen wir die Frequenz f wahr, welhe durh folgende Formel gegeben ist: +v f = f v. Falls die Lihtquelle sih von uns weg bewegt, dann dreht sih das Vorzeihen von v um. (9) Lorentz-Transformationen: Sei K ein Koordinatensystem mit den Koordinaten (t, x, y, z). Sei weiter K ein Koordinatensystem mit Koordinaten (t,x,y,z ), das sih relativ zu K in positiver x-rihtung bewegt. Wir dürfen immer die Ahsen in K so drehen, dass die x -Ahse parallel zur x-ahse, die y -Ahse parallel zur y-ahse und die z -Ahse parallel zur z-ahse ist. Des Weiteren können wir die Uhren so vershieben, dass der Urpsrung von K mit dem Ursprung von K zusammenfällt zur Zeit t = t = 0. Dann ist zu zeigen, dass die Koordinaten durh folgende Beziehungen mit einander verknüpft sind: z = z,y = y,x = x vt,t = 1 v t vx. 1 v Ein Event ist ein Ereignis, dass ein einem bestimmten Zeit und an einem bestimmten Ort stattfindet. Zum Beispiel das wegshiken eines Lihtsignals ist ein Event. Um dies zu beshreiben, brauhen wir also vier Koordinaten! Doe oben stehenden Lorentz-Transformationen können auh so verstanden werden: Falls es zwei Events gibt, die zeitlih durh ein Zeitintervall t und ortlih durh Intervalle x, y und z getrennt sind, dann gilt 4

5 z = z, y = y, x = x v t, t = 1 v t v x. 1 v Seien jetzt Event 1 und Event zwei Ereignisse, die die Bahn eines Lihtstrahls beshreiben: Bei Event 1 wird ein Lihtstrahl losgeshikt, Bei Event wird er absorbiert. Da dies ein Lihtstrahl ist, muss die Geshwindigkeit des Lihts durh t = ( x) +( y) +( z) gegeben sein. Oder, in anderen Worten : ( t) = ( x) +( y) +( z). NunberehnenwirdieGröße ( t ) ( x ) ( y ) ( z ) ink.fallshiernullauskommt, dann ist auh in K die Geshwindigkeit des Lihtsignals was auh sein sollte. Shritt 1: Kontrolliere, dass ( t ) = ( t) v t x+ v ( x), ( x ) = 1 v ( x) v t x+v ( t) 1 v Shritt : Kontrolliere mit dem vorigen Shritt, dass ( t ) ( x ) = ( t) ( x). Ein Hinweis dabei ist v = (1 v ). Shritt 3: Vervollständige das Argument, das zeigt, dass die Lorentz-Transformationen die Lihtgeshwindigkeit bewahren. 5