Wellen. Wellen treten in der Natur in großer Zahl auf: Wasserwellen, Schallwellen, Lichtwellen, Radiowellen, La Ola im Stadion

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1 Wellen Wellen treten in der Natur in großer Zahl au: Wasserwellen, Shallwellen, Lihtwellen, Radiowellen, La Ola im Stadion Von den oben genannten allen die ersten beiden in die Kategorie mehanishe Wellen, denn sie sind an ein Medium gebunden (Wasser bzw. Lut). Die anderen Beispiele sind Wellen, die sih auh im Vakuum ausbreiten können! 1. Was shwingt? Im Folgenden konzentrieren wir uns au mehanishe Wellen, wie Shall, Wasserwellen oder die Wellen, die sih au einer Wellenmashine ausbreiten (siehe Abb. oben). Zunähst guken wir jedoh nur au 1-dimensionale Wellen. Was breitet sih bei einer Welle aus? Es ist niht das Medium, sondern die Störung bzw. Anregung. Die Wellenmashine ist ein gutes Modell ür alle möglihen Wellen. Sie besteht aus einer Kette miteinander gekoppelter Oszillatoren, d.h. Systeme, die Shwingungen ausühren können. Deshalb behandelt man Shwingungen und Wellen auh immer im Doppelpak. Wird ein Körper einer Wellenmashine in Shwingung versetzt, breitet sih diese Anregung über die ganze Kette aus. 2. Graishe Darstellung und Phase Die Abbildungen rehts zeigen diesen Vorgang in 10 Einzelbildern. Dargestellt ist die Auslenkung (y-ahse) als Funktion des Ortes (x-ahse) zu (zehn) vershiedenen Zeiten! Die beiden linken Streien zeigen Peile, die die Shwingung an den Orten x=0 und x=1m verdeutlihen. Wir betrahten nämlih wieder harmonishe Shwingungen und die Auslenkungen verändern sih wie die Projektion einer Kreisbewegung (d.h. wie die Sinusunktion). Der Winkel zwishen dem Peil und der x-ahse wird Phasenwinkel (oder kurz: Phase) genannt. Man sieht, dass der Punkt bei x=1m eine verzögerte Bewegung ausührt. Das ist klar, denn die Welle muss diesen Punkt ja erst erreihen! Man sagt: diese beiden Punkte haben eine Phasendierenz von (in diesem Beispiel) 90 o bzw. im Bogenmaß 2 π. 3. Wie shnell ist eine Welle? Nah der Zeit ist eine komplette Welle ausgesendet worden (siehe 9. Bild von oben) bzw. läut der Phasenwinkel wie-

2 der von vorne los. Den Abstand von Punkten gleiher Phase nennt man Wellenlänge, abgekürzt mit dem griehishen Buhstaben (sprih Lambda ). Die Wellenlänge ist ür die räumlihe Darstellung einer Welle also dasselbe, wie die Shwingungsdauer in der zeitlihen Darstellung (also im Auslenkungs-Zeit Koordinatensystem). Da sih nah einer Shwingungsdauer genau eine Wellenlänge ausgebreitet hat, ist die Geshwindigkeit einer Welle durh = gegeben (bzw. man spriht von als Phasengeshwindigkeit ). Zum Beispiel breitet sih der Shall mit a. = 340 m s aus. Wie groß ist also die Wellenlänge des Kammerton a (Frequenz: = 440Hz )? Zur Erinnerung: 1 =, es gilt also = bzw. =. In unserem Beispiel liegt die Wellenlänge also bei a. 75m. Man sieht: je tieer der on, desto größer die Wellenlänge. Das passt zu der Beobahtung, dass tiee Musikinstrumente größer als hohe Instrumente sind (in den Abbildungen: Kontrabass vs. Piolo Flöte). 4. Die mathematishe Beshreibung Die rehte Abbildung zeigt noh einmal eine Momentaunahme einer Welle. Im Ursprung (x=0) shwingt sie gemäß der Beziehung ür die harmonishe Shwingung wie: s( t) ω t). An einer Stelle x rehts davon kommt die Störung verzögert an. Hier shwingen die eilhen also gemäß s( t, ω ( t t x )), mit t x der Zeit, die die Welle brauht, um den Ort x zu erreihen. Die Zeit t x kann man aber aus der x x Geshwindigkeit berehnen: t x = =. Außerdem giltω = 2π. Einsetzen in die Gleihung s t, ω ( t t )) ührt dann au: ( x s( t, = A sin 2π x Diese Gleihung beshreibt also die Auslenkung s an der Stelle x zur Zeit t. Es ist eine Funktion mit 2 Argumenten! So etwas kommt in der Shule niht ot vor! Man erkennt an dieser Form ebenalls shön, wie sih Wellenlänge und Shwingungsdauer entsprehen: das eine ist die räumlihe-, das anderen die zeitlihe Periode! Die olgende abelle asst alle Kenngrößen ür die Beshreibung von Wellen noh einmal zusammen. t

3 φ: Phase einer Welle. Beshreibt den Shwingungszustand der Welle an einer bestimmten Stelle. : Wellenlänge: Abstand zweier Punkte gleiher Phase (d.h. die beiden Punkte müssen gleihe Auslenkung und gleihe Geshwindigkeit haben) : Shwingungsdauer Zeit, die jeder einzelne Punkt der Welle ür eine volle Shwingung benötigt. In der Zeit shreitet die Welle um die Streke l voran. : Frequenz: Zahl der Shwingungen eines eilhens in der Zeiteinheit: = 1/ : Phasen- oder Wellengeshwindigkeit: der Wellenberg) ausbreitet. Ahtung: die Phasengeshwin- Geshwindigkeit, mit der sih die Phase einer Welle (z.b. digkeit ist niht mit der Geshwindigkeit der von der Welle erassten eilhen zu verwehseln: = 5. ransversal- und Longitudinalwellen abelle 1: Kenngrößen von Wellen Bei einer Welle können vershiedene Bewegungsrihtungen untershieden werden. Zum einen die Rihtung, in der sih die Störung ausbreitet, also sih der Shall oder die Wasserwelle hin bewegt. Au der anderen Seite besteht jeder eil einer Welle aus einer Art von Pendel, das ebenalls eine Bewegung ausührt! Dessen Shwingungen müssen niht in dieselbe Rihtung erolgen! Bei unserer mehanishen Wellenmashine sind diese beiden Bewegungen senkreht zu einander. Man spriht hier auh von Quer- oder ransversalwellen. Im Gegensatz dazu breitet sih eine Shallwelle (in Ausbreitungs- und Shwingungsrihtung bei einer Längswelle sind gleih! Lut) parallel zur Shwingung der Lut aus! Die Abbildung veranshauliht diese periodishen Dihteshwankungen in der Lut bei einer Shallwelle. Hier spriht man von einer Longitudinal- oder Längswelle. Wasserwellen sind übrigens eine Mishorm aus diesen beiden ypen.

4 6 Der Dopplereekt Nähert sih ein Polizeiauto mit Sirene und ährt anshließend an einem vorbei verändert sih niht nur die Lautstärke des Signals, sondern auh seine onhöhe! Wenn der Sender oder der Empänger einer Welle bewegt sind ergeben sih sheinbare Frequenzänderungen. Dies nennt man den Dopplereekt (benannt nah Christian Doppler, einem österreihishen Physiker). Am bekanntesten ist siherlih der akustishe Dopplereekt, d.h. die sheinbare Frequenzveränderung bei Shallwellen. Die Abbildung illustriert den Fall einer bewegten Quelle (roter Punkt). Die Bewegung indet nah links statt. Dadurh werden die Wellen in diese Rihtung gestauht. Das Signal sheint eine größere Frequenz zu haben (wg. = ) - also ersheint der on höher. Enternt sih die Quelle vom Empänger ist es gerade umgekehrt. Den genauen Wert dieser sheinbaren onhöhenveränderung rehnet man wie olgt aus: Wie stark die Wellenlängen gestauht bzw. auseinander gezogen werden hängt v natürlih von der Geshwindigkeit v der Quelle ab: = ±. Die gestrihene Größe bezeihnet die veränderte Wellenlänge. Je nah Bewegungsrihtung gilt das Vor- zeihen + (Quelle enternt sih) oder - (Quelle nähert sih). Für die wahrgenommene Frequenz gilt = =. Wir setzen in diesen Ausdruk = ein und v ± erhalten = ± v (selber nahrehnen!!!). Bewegt sih stattdessen der Empänger, gilt: ± v =. 7 Die Überlagerung von Wellen Begegnen sih Wellen tritt eine Überlagerung au. Sie können sih verstärken oder abshwähen. Bewegen sie sih in untershiedlihe Rihtungen lauen sie anshließend allerdings ungestört weiter! Es gilt: Überlagern sih zwei harmonishe Wellen gleiher Frequenz längs einer Linie entsteht wieder eine harmonishe Shwingung derselben Frequenz - unabhängig von der Phase.

5 Ist die Phasendierenz 180 o (=π ) löshen sih die Wellen aus, da jeweils Berg und al aueinander treen. Ist die Phasendierenz 0 o verstärken sih die Wellen aus, da jeweils Berg und Berg bzw. al und al aueinander treen. 7.1 Relexion und stehende Wellen rit eine Welle au den Rand des Mediums in dem sie sih ausbreitet kommt es (mindestens teilweise) zu einer Relexion. Man denke etwa an eine Wasserwelle am Bekenrand et. Hier können zwei Fälle untershieden werden: entweder kann der Rand ebenalls shwingen ( loses Ende ) oder er ist starr ( estes Ende ). Bei der Relexion an einem esten Ende indet ein Phasensprung von 180 o statt. D.h. Ein Wellenberg wird als Wellental zurükgeworen! Bei der Relexion an einem losen Ende tritt kein Phasensprung au. Ein Wellenberg wird ebenalls als Berg zurükgeworen! Au meiner Webseite beinden sih zwei.wmv Filmhen, die einen beeindrukenden Versuh dazu zeigen! Regt man eine Saite zu Shwingungen an breitet sih eine Welle au ihr aus. Da sie eingespannt ist kommt es am Rand zu dem, was wir Relexion an einem esten Ende genannt haben. Die zurüklauende Welle hat also eine um 180 o (bzw. im Bogenmaßπ ) vershobene Phase. Man beobahtet, dass bei bestimmten Frequenzen eine sog. stehende Welle entsteht. An den sog. Bäuhen der Welle kommt es zu einer starken Auslenkung. Sog. Knoten der Welle sind in Ruhe. Der Abstand der Knoten beträgt genau / 2, da hier Wellenberg und Wellental aueinander treen. An diesen Stellen kommt es zu einer Auhebung bzw. Auslöshung der Wellen. Niht bei allen Frequenzen können sih stehende Wellen ausbilden. Vorraussetzung ist, dass die Länge der Saite l ein vielahes von / 2 ist: Wg. l = k / 2 mit k einer natürlihen Zahl = kann diese Bedingung in Frequenzen umgerehnet werden: k = k 2l Für k=1 nennt man diese Frequenz die Grundshwingung. Für k=2,3, erhält man die sog. Obershwingungen bzw. harmonishe Shwingungen bzw. kurz Harmonishe (siehe Abbildung).