Dopplereffekt. 1 Bewegte Quelle. Thomas Kuster. 18. Mai Herleitung der Gleichung

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1 Dopplereffekt Thomas Kuster 18. Mai Bewegte Quelle 1.1 Herleitung der Gleihung Variablen: v Q : Geshwindigkeit des Velofahrer (Ethan), wird gesuht v B : Geshwindigkeit des Beobahters (Kamera steht) f Q : Frequenz des Senders (Hupe von Ethan) f B : Frequenz beim Beobahter (Frequenz in der Aufnahme) Bekannt: λ = f (1) Wie lange dauert eine Periode: T = 1 f (2) T Q = 1 f Q (3) Welhe Streke wird in dieser Zeit (T Q ) zurük gelegt (Quelle bewegt sih gleihmässig): v Q = s t = s T Q (4) s = v Q T Q (5) 1

2 Quelle nähert sih Wellenlänge verkürzt sih aus Siht des Beobahters um die zurükgelegte Streke (s): λ B = λ Q s (6) (5) = λ Q v Q T Q (7) Gleihung (7) in Frequenzen ausdrüken (Gleihung (1) verwenden): Gleihung (11) nah f B auflösen: = v Q T Q (8) f B f Q (3) = 1 v Q (9) f Q f Q = f Q v Q f Q (10) = v Q f Q (11) = v Q f B f Q (12) f B = f Q v Q (13) Quelle entfernt sih In diesem Fall vergrössert sih die Wellenlänge aus Siht des Beobahters. In Gleihung (7) wird das Minus zu einem Plus. Für das Ergebnis (Gleihung 13) folgt somit: f B = f Q + v Q (14) Sie können sih dies auh Anhand der Abbildung 1 und 2 überlegen. Die Quelle shwingt mit der Shwingungsdauer T Q. Während der Zeit T Q bewegt sih die Quelle um eine Streke v Q T Q nah rehts und die 3. Wellenfront pflanzt sih um einen Abstand T Q fort. Der Abstand zwishen der 3. Wellenfront (Kreis um Punkt 3 als Mittelpunkt) und der 4. Wellenfront (Punkt 4) ist vor der Quelle λ v, nah der Quelle λ n. Daraus folgt: λ n > λ > λ v mit λ v = ( v Q )T Q und λ v = ( + v Q )T Q. 2

3 1 2 bewegte Quelle ruhender Beobahter Abbildung 1: Bewegte Quelle. Die Nummern der Wellenfronten entsprehen den Positionen der Quelle, wo die Welle ausgestrahlt wurde. 3 bewegte Quelle T Q T Q 3 v Q T Q 4 λ n = ( + v Q )T Q λ v = ( v Q )T Q Abbildung 2: Die Quelle shwingt mit der Shwingungsdauer T Q. Während der Zeit T Q bewegt sih die Quelle um eine Streke v Q T Q nah rehts. 3

4 4 große Terz C-E?/i C-As?/i 5 Quarte C-F?/i C-G?/i 6 Tritonus C-Fis?/i C-Ges?/i 7 Quinte C-G?/i C-F?/i 8 kleine Sexte C-As?/i C-E?/i 9 große Sexte C-A?/i C-Es?/i 10 kleine Septime C-B?/i C-D?/i 11 große Septime C-H?/i C-Des?/i 12 Oktave C-C?/i C-C?/i Merkhilfen Tabelle Mit Melodieanfängen 1: Merkhilfen, lassen sih Intervalle Intervall. leiht ins Ohr Quelle rufen. Die Wirkung derselben Intervalle ist abhängig vom im aktuellen Fall vorherrshenden Tongeshleht (Dur und Moll) und der Position der beteiligten Töne in der gerade gegebenen Tonleiter. Intervall %28Musik%29 Intervall steigend fallend übermäßige Prime = hromatisher Halbton kleine Sekunde = diatonisher Halbton The Entertainer (Sott Joplin) Kommt ein Vogel geflogen große Sekunde Alle meine Enthen Shlaf, Kindlein, shlaf kleine Terz große Terz Quarte Tritonus Quinte Ein Vogel wollte Hohzeit mahen Maht hoh die Tür Oh, when the saints go marhing in Alle Vögel sind shon da O Tannenbaum Wir kamen einst von Piemont Love Me Tender (Elvis Presley) Maria (West Side Story) Titelmelodie von Die Simpsons ( The Simp-sons ) Wah auf, meins Herzens Shöne Morgen kommt der Weihnahtsmann (C-C-G-G) der Beginn der Ouvertüre des Musials Das Phantom der Oper von Andrew Lloyd Webber Vom Himmel hoh, da komm ih her (Mendelssohn) Für Elise (Beethoven) Hänshen klein Kukuk, Kukuk, ruft's aus dem Wald Swing low, sweet hariot Nun ruhen alle Wälder (Dur) Beethovens Shiksalssinfonie: G-G-G-Es (indifferent, s. u.) Morgen, Kinder, wird's was geben Auf, du junger Wandersmann In Kommt ein Vogel geflogen : von der Mut-ter einen Gruß kleine Sexte When Israel was in Egypt's land Shiksalsmelodie große Sexte kleine Septime große Septime Dies Bildnis ist bezaubernd shön Ein Prosit der Gemütlihkeit Arrivederi Roma Go West (Village People) My Bonnie is over the oean There's a plae for us (Somewhere aus West Side Story) Zogen einst fünf wilde Shwäne (Refrain: Sing, sing ) O terra, addio, Shlussduett aus Aida On a wagon (Donna donna) Ik heff mol en Hamburger Veermaster sehn Nobody knows the trouble I've seen Winde weh'n, Shiffe geh'n In Bunt sind shon die Wälder : und der He erbst be ginnt Oktave Somewhere over the rainbow Mainzer Narrhallamarsh Die Hütte auf Hühnerfüßen (Mussorgski - Bilder einer Ausstellung) Dennoh ist diese Methode, sih musikalishe Intervalle mit Hilfe von Liedanfängen einzuprägen, mit gewisser Vorsiht anzuwenden, da dieselben Intervalle eine untershiedlihe Wirkung haben, je nahdem in welhem Tongeshleht und an 1.2 welher Position Was der Tonleiter ist bekannt sie stehen. Beispiel: die kleine Terz e g innerhalb C-Dur (z. B. Olé, olé, olé ) klingt niht nah Moll, im Gegensatz zur selben kleinen Terz e g innerhalb der Tonart e-moll. Die große Terz, die im häufigsten Fall eine Dur-Assoziation wekt, kann abwärts gespielt zum Beispiel bei der Wiederholung der Exposition im 1. Satz von Beethovens Shiksalssinfonie (G-G-G-Es) auh düster klingen (beim Beginn des Satzes dagegen ist der Charakter dieses Intervalles indifferent, da das unisono gespielte G-Es niht von sih aus -Moll oder Es-Dur zuzuordnen ist). Intervall des Klangs kann mit Hilfe der Tabelle 1 bestimmt werden (im Beispiel kleine Sekunde). Bei der Annäherung (vorlaufende Welle) würde die Frequenz f Bv vom Beobahter gemessen, beim Entfernen (nahlaufende Welle) die Frequenz f Bn. Gemäss Tabelle 2 entspriht dies einem Frequenzverhältnis von: kleine Sekunde = = f B v (15) f Bn 3 von :32 Falls Sie musish niht begabt sind, ist es auh möglih mit einem Audioprogramm das Spektrum des Klangs vor und nah dem passieren der Hupe anzuzeigen und das Verhälnis der Frequenz von zwei gleihen Maxima zu bilden (Abbildung 3 und 4). Dies ergibt im Beispiel: 2882 Hz 2732 Hz (16)

5 Intervall (Musik) Tabelle- Wikipedia 2: Intervall. Quelle % 28Musik%29 Intervall Proportionen Spezialnamen Näherung zwölfstufig Prime 1/ 1 reine Prime 0 Cent 0 Cent übermäßige Prime 25/ / 128 kleiner hromatisher Halbton großer hromatisher Halbton 71 Cent 92 Cent 100 Cent kleine Sekunde 256/ / 15 Leimma diatonish-rein 90 Cent 112 Cent 100 Cent große Sekunde 10/ 9 9/ 8 kleiner Ganzton großer Ganzton 182 Cent 204 Cent 200 Cent kleine Terz 6/ 5 reine kleine Terz 316 Cent 300 Cent große Terz 5/ 4 reine große Terz 386 Cent 400 Cent Quarte 4/ 3 reine Quarte 498 Cent 500 Cent übermäßige Quarte 45/ 32 7/ 5 729/ 512 diatonish-rein Huygens Tritonus 590 Cent 582 Cent 612 Cent 600 Cent verminderte Quinte 64/ 45 10/ 7 diatonish-rein Euler 610 Cent 617 Cent 600 Cent Quinte 3/ 2 reine Quinte 702 Cent 700 Cent kleine Sexte 8/ 5 reine kleine Sexte 814 Cent 800 Cent große Sexte 5/ 3 reine große Sexte 884 Cent 900 Cent kleine Septime 16/ 9 7/ 4 diatonish-rein Naturseptime 996 Cent 986 Cent 1000 Cent große Septime 15/ 8 diatonish-rein 1088 Cent 1100 Cent Oktave 2/ 1 reine Oktave 1200 Cent 1200 Cent Die sogenannte Umkehrung der hier aufgeführten diatonishen Intervalle (Komplementärintervall) entsteht als Differenz zur Oktave; bei der Umkehrung bleiben reine Intervalle rein, kleine und große und ebenso verminderte und übermäßige werden vertausht. Konsonanzen und Dissonanzen Es gibt konsonante ( zusammenklingende, also niht auflösungsbedürftige) und dissonante ( auseinanderklingende, also auflösungsbedürftige) Intervalle. Welhe Intervalle als 5 konsonant und welhe als dissonant galten, shwankte kulturell und historish: In der Antike und im Mittelalter galten im abendländishen Bereih nur die Oktave, Quinte und Quarte als konsonant. Im Spätmittelalter und der Renaissane kamen die große und kleine Terz und Sexte zu den Konsonanzen hinzu. Der Gebrauh der Dissonanzen wurde immer weiter ausgeweitet; shon im Spätbarok und der Klassik wurde die kleine Septime fast zum konsonanten Intervall. Diese Tendenz verstärkte sih in der Romantik und Spätromantik und im Jazz. Hörbeispiele

6 Abbildung 3: Hupe bewegt sih in Rihtung Beobahter: Frequenz der 5. Spitz: 2882 Hz. Erstellt mit Audaity ( soureforge.net/) 1.3 Geshwindigkeit berehnen Gleihung aufstellen für das Frequenzverhältnis (Gleihung 15) und lösen nah v Q : f Bv f Bn = Gleihung (13) {}}{ f Q v Q f Q + v Q }{{} Gleihung (14) = f Q( + v Q ) f Q ( v Q ) = + v Q v Q (17) 6

7 Abbildung 4: Hupe bewegt sih vom Beobahter weg: Frequenz der 5. Spitz: 2732 Hz. Erstellt mit Audaity ( soureforge.net/) 7

8 Die Gleihung (17) nah v Q lösen (mit p = f Bv f Bn ): Einsetzen der Werte ergibt: f Bv = p = + v Q (18) f Bn v Q p( v Q ) = + v Q (19) p pv Q = + v Q (20) p = v Q + pv Q (21) (p 1) = v Q (1 + p) (22) (p 1) 1 + p = v Q (23) (p 1) 1 + p = 344 m/s ( ) = 9.0 m/s = 32 km/h (24) 1.4 Feuerwehr Die Frequenzänderung ist eine grosse Sekunde (p = 10 ), Maxima im Spektrum z. B. p = p = 344 m/s ( ) = 18.3 m/s = 66 km/h (25) 1.5 Videoquellen Feuerwehr Ein Fahrzeug der Feuerwehr fährt mit eingeshaltetem Martinshorn 1 am Beobahter vorbei. Originaltitel: Fire Engine siren demonstrates the Doppler Effet Ethan Velofahrer fährt mit einem Gashorn am Beobahter vorbei. Originaltitel: doppler effet experiment a-rm8 1 Umgangssprahliher Begriff für das Folgetonhorn. Markenrehtlih geshützer Name der Deutshen Signal-Instrumenten-Fabrik Max B. Martin 8

9 2 Ruhende Quelle 2.1 Herleitung Idee Das nähste Maximum (ausgezogene Kreise) bewegt sih mit auf den Beobahter zu, welher sih mit v B auf diesen zubewegt (Abbildung 5). Welhe Zeit wird benötigt bis sie sih treffen? Die benötigte Zeit bis sie sih treffen, entspriht der Periodendauer (T B ) der Welle aus der Siht des Beobahters. v = s (26) t s }{{} 1,2 = v }{{} t (27) λ T B Q Die Streke setzt sih aus 2 Streken zusammen, diejenige welhe das Wellenmaximum und die welhe vom Beobahter zurüklegt wird. λ Q = T B + v B T B (28) = T B ( + v B ) (29) = 1 f B ( + v B ) (30) Gleihung (30) nah f B auflösen und λ Q durh f Q ausdrüken (Gleihung (1) verwenden): f B = 1 ( + v B ) (31) f Q f B = + v B (32) f Q f B = f Q + v B (33) Beobahter bewegt sih von der Quelle weg das Vorzeihen: f B = f Q v B Es ändert sih wiederum (34) 9

10 Sender λ Q v B Beobahter Abbildung 5: Beobahter bewegt sih mit der Geshwindigkeit v B auf die Quelle zu, Quelle ruht und sendet ein Signal mit der Wellenlänge λ Q (Frequenz f Q ) aus. 10

11 2.2 Übersiht Die Gleihungen (33) und (34) lassen sih wie folgt zu einer zusammenfassen (oberes Vorzeihen für Annäherung): f B = f Q ± v B (35) Das selbe ist mit den Gleihungen (13) und (14) für den ruhenden Beobahter möglih (oberes Vorzeihen für Annäherung): Kombination f B = f Q v Q (36) Die Gleihungen (35) und (36) können zu einer kombiniert werden (oberes Vorzeihen für Annäherung): f B = f Q ± v B v Q (37) Überprüfung leiht möglih durh setzen von v B = 0 bzw. v Q = 0. 3 Aufgaben 3.1 Signalhorn Die Frequenz einer Autohupe beträgt 400 Hz. Ein Hupsignal ertönt, wenn das Auto mit einer Geshwindigkeit von v Q = 34 m/s (a. 122 km/h) durh die ruhende Luft hin zu einem ruhenden Empfänger fährt. Finden Sie: 1. Die Wellenlänge des Shalls, die den Empfänger erreiht. 2. Die Empfangene Frequenz 3. Finden Sie die Wellenlänge des Shalls, die den Empfänger erreiht und die empfangene Frequenz, wenn das Auto steht und hupt, der Empfänger sih aber mit einer Geshwindigkeit von v B = 34 m/s zum Auto hinbewegt. 11

12 Abbildung 6: Der sihtbare Bereih der elektromagnetishen Strahlung. Quelle: Astronomie Das Liht weit entfernter Galaxien ist zum Roten vershoben. Was folgern Sie daraus? Sehen Sie sih dazu auh Abbildung 6 an. 3.3 Startender Airbus A380 Ein Airbus A380 startet, Sie stehen in der Verlängerung der Startpiste und der Airbus fliegt direkt über Sie. Sie wissen, dass die Startgeshwindigkeit des A km/h ist. Welhes Intervall (Frequenz Verhältnis) hören Sie? Die Frequenzverhältnisse (Proportionen) können Sie z. B. bei Wikipedia nahsehen oder in der Tabelle Radar der Polizei Das Radargerät sendet elektromagnetishe Wellen aus, die sih mit Lihtgeshwindigkeit ( = m/s) ausbreiten. Der elektrishe Strom in der 12

13 Antenne der Radareinheit shwingt mit der Frequenz f QPolizei = Hz. Die Wellen werden an einem fahrenden Auto reflektiert, welhes sih von dem Polizeiauto mit einer Geshwindigkeit von v = 50 m/s wegbewegt. Berehnen Sie den Frequenzuntershied f zwishen der ausgesendeten Frequenz f Q und der empfangenen Frequenz f BPolizei. Gehen Sie wie folgt vor: 1. Berehnen Sie die Frequenz (f BAuto ) die beim Auto empfangen wird. 2. Das Auto reflektiert die soeben berehnete Frequenz wieder (f QAuto = f BAuto ). Welhe Frequenz (f BPolizei ) misst nun die Polizei? 3. Spielt es eine Rolle ob Sie das Polizeiauto oder das andere Auto als ruhend annehmen? Wenn niht, wieso? 4. Der Untershied der Frequenz ist sehr gering. Weshalb kann der Untershied trotzdem sehr genau gemessen werden? 3.5 Verkehrssünder Auh Lihtwellen können den Dopplereffekt zeigen (siehe Aufgabe 4.2). Wenn die Geshwindigkeit des Beobahters im Vergleih zur Lihtgeshwindigkeit klein ist, gelten näherungsweise dieselben Gleihungen wie beim akustishen Dopplereffekt. Verwenden Sie für die Wellenlänge des roten Lihts 620 nm, für die des gelben Lihts 600 nm. 1. Wie shnell müssten Sie mit Ihrem neuen Ferrari auf ein rotes Lihtsignal zufahren, damit es Ihnen gelb ersheint? 2. Ist diese Geshwindigkeit im Vergleih zur Lihtgeshwindigkeit wirklih noh klein? 3.6 Grenzen des Dopplereffekt Bis zu welher Geshwindigkeit können Sie eine Frequenzvershiebung berehnen? Wieso ist dies so? Versuhen Sie die Wellenausbreitung in einem niht mehr berehenbaren Fall aufzuzeihnen. 13

14 4 Lösungen 4.1 Signalhorn 1. und 2. Überlegungen, Abshätzung Die Quelle (Auto) kommt auf den Empfänger zu Die Hupe ertönt höher Frequenz ist höher Wellenlänge ist kleiner. Gegeben Gesuht f Q = 400 Hz Frequenz der Hupe v Q = 34 m/s Geshwindigkeit des Autos (Hupe) = 344 m/s Shallgeshwindigkeit v B = 0 m/s Geshwindigkeit des Empfängers λ B : Wellenlänge aus Siht des Empfängers Mit der Gleihung (37) kann die Frequenz beim Empfänger (f B ) berehnet werden. Aus dem Zusammenhang λ B f B = folgt: λ B = f B (38) Für die nähste Aufgabe muss f B berehnet werden, daher wird dieser Wert berehnet anstelle nur die Gleihung (38) in die Gleihung (37) einzusetzen: f B = f Q ± v B v Q v B =0 = f Q v Q Auf Grund der Abshätzung ist bekannt, dass die Hupe höher ertönen muss, d. h. f B > f Q dies ist der Fall falls v Q > 1 ist, daraus folgt < v Q sein (Nenner muss kleiner als Zähler sein). Das obere Vorzeihen muss gewählt werden: 344 m/s f B = f Q = 400 Hz = Hz 444 Hz v Q 344 m/s 34 m/s 14

15 die Lösung der 2. Aufgabe. Für die 1. Aufgabe folgt mit der Gleihung (38): λ B = f B = 344 m/s Hz = m s Hz = m s 1 s = m (39) Zum Vergleih, die Wellenlänge der Hupe beträgt: λ B = 344 m/s 400 Hz = 0.86 m (40) 3. Überlegungen, Abshätzung Der Empfänger nähert sih der Quelle. Die Hupe ertönt ebenfalls höher Frequenz ist höher Wellenlänge ist kleiner. Gegeben f Q = 400 Hz Frequenz der Hupe v Q = 0 m/s Geshwindigkeit des Autos (Hupe) = 344 m/s Shallgeshwindigkeit v B = 34 m/s Geshwindigkeit des Empfängers Gesuht λ B : Wellenlänge aus Siht des Empfängers f B : Frequenz aus Siht des Empfängers f B = f Q ± v B v Q v Q =0 = f Q ± v B Die Hupe muss höher ertönen, das obere Vorzeihen muss gewählt werden: f B = f Q + v B 344 m/s + 34 m/s = 400 Hz 344 m/s = Hz 440 Hz Die Wellenlänge des Shalls, die den den Empfänger erreiht ist die selbe die die Quelle aussendet, da sih die Wellen der ruhenden Quelle in der ebenfalls 15

16 ruhenden Luft ausbreiten. Die Wellenlänge ändert sih bei einer ruhenden Quelle niht (vergleihe Abbildung 5) und beträgt somit: λ B = 344 m/s 400 Hz allerding ersheint sie dem bewegtem Empfänger kürzer: = 0.86 m (41) λ B = 344 m/s 440 Hz = m (42) 4.2 Astronomie Nah der Abbildung 6 ist Rot die Farbe mit der längsten Wellenlänge. Leuhtet ein Stern z. B. Grün und er ersheint uns aber Gelb, also in Rihtung Rot vershoben, wurde die Wellenlänge seines ausgestrahlten Lihts grösser. Die Wellenlänge ersheint dem Beobahter grösser wenn sih die Quelle (Stern) vom Beobahter wegbewegt. Da das Liht weit entfernter Galaxien zum Roten vershoben ist müssen sih diese alle von der Erde entfernen, d. h. das Universum dehnt sih aus. Messung Sterne senden niht eine Farbe aus sondern ein ganzes Spektrum. Die Sonne, welhe auh ein Stern ist, sendet alle Farben aus und ersheint daher Weiss. Auf Grund der Art und Weise wie das Liht in der Sonne entsteht fehlen einige shmale Bereihe im Spektrum (Spektrallinien). Bei den anderen Sternen fehlen diese ebenfalls, können die Linien einander zugeordnet werden, wird die Rotvershiebung ersihtlih (Abbildung 7). 4.3 Startender Airbus A380 Abshätzung Das Intervall muss siher grösser sein als eine kleine Sekunde (Beispiel in der Stunde: Intervall der Gashupe des Velofahrers). Gegeben v Q = 260 km/h Geshwindigkeit der Quelle (Airbus) v B = 0 m/s Geshwindigkeit des Empfänger = 344 m/s Shallgeshwindigkeit 16

17 Abbildung 7: Supergalaxienhaufen (BAS11) unten im Vergleih zur Sonne oben. Quelle: Rotvershiebung Gesuht Intervall (p), d. h. das Frequenzverhältnis zwishen der Frequenz beim auf Sie zu fliegen (F Qv ) und beim von Ihnen weg fliegen (f Qn ). p = F Q v f Qn (43) Die Frequenz beim auf Sie zufliegen beträgt: f Bv = f Q v Q (44) und beim wegfliegen: f Bn = f Q + v Q (45) Einsetzen von Gleihung (44) und (45) in (43) ergibt: p = F Q v f Qn = v Q +v Q 17 v Q f Q = f Q +v Q (46) = + v Q v Q (47)

18 Die Geshwindigkeiten müssen in der Gleihen Einheit vorliegen, die des Airbus in m/s beträgt: v Q = 260 km/h 1000 m km h 3600 s Einsetzen der Werte ergibt: p = + v Q v Q = 344 m/s m/s 344 m/s 72.2 m/s = 72.2 m/s = 1.53 (48) Das Intervall liegt zwishen einer Quinte ( 3 2 ) und einer kleine Sexte ( 8 5 ). 4.4 Radar der Polizei 1. Gegeben v B = v Auto = 50 m/s Geshwindigkeit des Empfänger (Auto) v Q = 0 m/s Geshwindigkeit der Quelle (stehendes Polizeiauto) f QPolizei = Hz Frequenz des ausgesendeten Radarsignals = m/s Lihtgeshwindigkeit Gesuht f BAuto : Empfangene Frequenz beim Auto Diese ist gegeben durh: ± v B v Auto f BAuto = f QPolizei = f QPolizei v Q (49) 2. Gegeben v Q = v Auto = 50 m/s Geshwindigkeit der Quelle (fahrendes Auto) v B = 0 m/s Geshwindigkeit des Empfänger (stehendes Polizeiauto) f QAuto = f BAuto Frequenz des reflektierten Radarsignals (Gleihung (49)) = m/s Lihtgeshwindigkeit 18

19 Gesuht Diese ist gegeben durh: Lösung der Aufgabe f BPolizei : Empfangene Frequenz beim Polizeiauto ± v B f BPolizei = f QAuto = f QAuto (50) v Q + v Auto (49) = f QPolizei v Auto + v Auto (51) = f QPolizei v Auto + v Auto (52) Gesuht Mit Gleihung (52) folgt: f = f QPolizei f BPolizei ( v Auto f = f QPolizei f QPolizei = f QPolizei 1 v ) Auto (53) + v Auto + v Auto ( = Hz 1 3 ) 108 m/s 50 m/s (54) m/s + 50 m/s = 500 Hz (55) 3. Nein, durhrehnen ergibt genau die gleihe Gleihung. In der Gleihung für den Dopplereffekt (37) wird ein Faktor berehnet, welher mit der Senderfrequenz multipliziert wird. Bei einer erneuten Anwendung der Gleihung kommt ein weiterer Faktor dazu. Bei einer Multiplikation spielt es keine Rolle mit welhem Faktor zuerst multipliziert wird. 4. Die empfangene Frequenz kann mit der gesendeten überlagert werden. Die Wellen interferieren und erzeugen eine Welle, deren Amplitude mit der Frequenz f shwingt, die man als Shwebungsfrequenz bezeihnet. 19

20 4.5 Verkehrssünder Gegeben Gesuht v Q = 0 m/s Geshwindigkeit des Lihsignals λ Q = 620 nm Wellenlänge des ausgesendeten roten Lihts λ B = 600 nm Wellenlänge des empfangenen gelben Liht = m/s Lihtgeshwindigkeit Gleihung (37) nah v B auflösen: v B : Geshwindigkeit Ihres Ferrari ± v B + v B f B = f Q = f Q v Q f B = + v B f Q ( ) f B fb v B = = 1 f Q f Q ) ( (mit f= λ = ) λq = ( λ B ) 1 1 λ Q λ B ( ) 620 nm = m/s 600 nm 1 = 10 7 m/s }{{} = m/s m/s bzw. der Ausdruk in den Klammern (0.0333) gibt direkt den Anteil an der Lihtgeshwindigkeit an, dieser ist viel keiner als Grenzen des Dopplereffekt Bis zur Wellenausbreitungsgeshwingikeit ist eine Frequenzänderung bestimmbar. Sie können sih dies wie folgt überlegen: Ruhender Beobahter Die Quelle nähert sih mit einer Geshwindigkeit welhe höher ist als die Shallgeshwindigkeit. Die Quelle kann keine Shallwellen mehr nah vorne in Rihtung des Beobahters aussenden, 20

21 t v Q t Abbildung 8: Eine Shallquelle bewegt sih mit einer Geshwindigkeit v Q, die grösser ist als die Wellengeshwindigkeit. Die Einhüllende der Wellenfronten bildet einen Kegel mit der Quelle in der Spitze. da sih diese Shallwellen dann shneller als die Shallgeshwindigkeit ausbreiten müssten. Der Beobahter hört die sih nähernde Quelle gar niht und kann somit auh keine Frequenz der Quelle bestimmen. Ruhende Quelle Der Beobahter entfernt sih mit einer Geshwindigkeit welhe höher ist als die Shallgeshwindigkeit. Der Beobahter kann die Quelle ebenfalls gar niht hören. Mathematish Einsetzen einer Geshwindigkeit die höher ist als in die Gleihung (37), ergibt eine negative Frequenz. Eine negative Frequenz ist physikalish unmöglih. Die Shallwellen breiten sih bei einer Geshwindigkeit der Quelle die grösser als ist wie in Abbildung 8 dargestellt aus. 21

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23 A Unterrihtsablauf A.1 1. Stunde (bewegte Quelle) Beginn 07:45 Ende 08:25 Ziele ˆ Frequenz- bzw. Wellenlängeänderung bei einer bewegter Quelle Qualitativ Quantitativ Formel verstehen (wird hergeleitet) A.1.1 Einstieg :45 Um was geht es heute? Dopplereffekt, dies wissen die Shüler bereits. A.1.2 Folie: Christian Doppler 1 07:46 Biographie liegt auf, kann in der Pause genommen werden. Abbildung 9: Christian Andreas Doppler (* 29. November 1803 in Salzburg; 17. März 1853 in Venedig), österreihisher Mathematiker und Physiker. A.1.3 Fragen 2 07:47 Was stellt Ihr euh unter dem Dopplereffekt vor? Vorbeifahrender Krankenwagen, Rennauto; Geshwindigkeitsmessung mit RADAR. Auf Wandtafel notieren A.1.4 Film Feuerwehr 1 07:49 Was wurde gehört Beobahtung: Klang der Sirene ist höher wenn sie auf den Beobahter zu kommt, als wenn sie sih entfernt. Auf Wandtafel notieren. 23

24 1. Experimentelle Überprüfung 1845 mit Musiker auf offenen Eisenbahnwagen und Musiker neben den Shienen. Eisenbahn war damals das shnellste was es gab. A.1.5 Wasserwanne 5 07:50 Vorführen Bewegte Quelle vorführen. Wieso ist das so? Abbildung 1 bis 2 auflegen. A.1.6 Video Ethan :55 Motivation Ziel Geshwindigkeit von Ethan berehnen. Geshwindigkeit shätzen Werte auf Tafel notieren. A.1.7 Herleitungen der Gleihung 10 07:56 Gemäss Abshnitt 1.1 an der Wandtafel A.1.8 Was ist bekannt? 5 08:06 Intervall, was erhalten Sie? Tabellen 2 auflegen. Evtl. Ausshnitt abspielen. A.1.9 Geshwindigkeit berehnen 5 08:11 Frequenzverhältnis bilden und nah v Q auflösen. A.1.10 Intervall bei der Feuerwehr bestimmen 2 08:16 Vorspielen des Film. Vorspielen des Ausshnitt. A.1.11 Aufgaben lösen 08:18 Restlihe Zeit 24

25 A.2 2. Stunde (ruhende Quelle) Beginn 08:35 Ende 09:15 Ziele ˆ Frequenz- bzw. Wellenlängeänderung bei einer ruhender Quelle Qualitativ Verstehen des Untershieds: ruhende Quelle ruhender Empfänger/Beobahter Quantitativ ˆ Beide Fälle zu einer allgemein Formel zusammenführen. A.2.1 Untershied? 2 8:35 Wie sieht es Qualitativ aus? Was hören Sie? Keine Änderung Gibt es überhaupt eine Änderung? Worin besteht sie? Die Shallenwellen breiten sih in der Luft aus. Die Luft bewegt sih nun gegenüber dem Beobahter. Die Wellenlänge ist immer die selbe (Abstand vom Maximum zum Maximum der Welle). A.2.2 Wasserwellen zeigen :37 Was sehen Sie, fällt Ihnen auf? Abbildung 5 auflegen. A.2.3 Herleitung 5 Abbildung 5 auflegen. A.2.4 Zusammenfassen mit ± 2 08:38 Für ruhende und bewegte Quelle. A.2.5 Kombination 2 08:40 Überprüfen erklären. Jeweils v Q oder v B = 0 setzen 25

26 Welhe Vorzeihen wann? Überlegen ob f B grösser oder kleiner wird. A.2.6 Aufgaben lösen 08:42 26

27 Abbildung 9: Briefmarke: Christian Doppler ( ), Österreih, Quelle: jr/gif/ stamps/stamp doppler.jpg 27

28 Abbildung 10: Christian Doppler ( ). Quelle: physis.ub.a/ outreah/phys420/p420 03/marissa/ Doppler.jpg 28